Chương 1_Logic mệnh đề

http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 1 CHƯƠNG 1 LOGIC MỆNH ĐỀ I- MỆNH ĐỀ I.1- Khái niệm: • Mệnh đề là một câu khẳng đònh đúng hoặc một câu khẳng đònh sai. • Câu khẳng đònh đúng gọi là mệnh đề đúng (mệnh đề có chân trò đúng). • Câu khẳng đònh sai gọi là mệnh đề sai (mệnh đề có chân trò sai). • Kí hiệu các mệnh đề: P, Q, R, …. • Kí hiệu chân trò đúng là 1 (hay T – True), chân trò sai là 0 (hay F – False) Ví dụ 1: a/ Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam. b/ Thượng Hải là thủ đô của Ấn Độ. c/ 5 + 5 = 10 d/ 43 chia hết cho 5 e/ Hôm nay trời đẹp quá ! f/ Hôm nay trời có đẹp không? g/ Hãy học bài đi! h/ n là một số nguyên tố Là mệnh đề đúng (1). Kí hiệu mđ: P Là mệnh đề sai (0). Kí hiệu mđ: Q Là mệnh đề đúng (1). Kí hiệu mđ: R Là mệnh đề sai (0). Kí hiệu mđ: T Không phải là mệnh đề. Câu cảm thán. Không phải là mệnh đề. Câu hỏi nghi vấn. Không phải là mệnh đề. Câu mệnh lệnh. Không phải là mệnh đề. Là vò từ (mệnh đề chứa biến).Nếu n=3 ta được mệnh đề đúng, n= 4 ta được mệnh đề sai. * Biến mệnh đề: p gọi là biến mệnh đề nếu nó nhận giá trò là một mệnh đề nào đó. Ví dụ 2: p là biến mệnh đề có thể nhận giá trò là các mệnh đề P, Q, R, T ở trên. I.2- Các phép toán lôgic: I.2.1: Phép phủ đònh (NOT): Phủ đònh của mệnh đề P kí hiệu là P . Chân trò của P là 0 nếu chân trò của P là 1 và ngược lại. Bảng chân trò của phép phủ đònh: Ví dụ 3: mệnh đề P: “ 2 là số hữu tỉ” P : “ 2 không phải là số hữu tỉ” ( 2 là số vô tỉ) I.2.2 Phép hội (AND): Phép hội của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∧Q (đọc là P và Q) chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng. Bảng chân trò của phép hội: P Q P∧Q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Ví dụ 4: + “Chiều nay trời đẹp và trận bóng đá sẽ hấp dẫn”: P ∧Q + “Danh sách sinh viên nam và tuổi từ 20 trở lên”: P∧Q Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nam”) AND (Year(Date())-Year(NgaySinh)>=20) P P 0 1 1 0 http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 2 + “Danh sách sinh viên nữ có quê ở Long An”: P∧Q Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nữ”) AND (QUEQUAN=”Long An”) I.2.3 Phép tuyển (OR): Phép tuyển của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∨Q (đọc là P hoặc Q) chỉ sai khi cả P và Q cùng sai. Bảng chân trò của phép tuyển: P Q P∨Q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Ví dụ 5: + “Danh sách sinh viên quê ở Cần Thơ hoặc/hay/và Long An”: P∨Q Điều kiện lọc danh sách là: (QUEQUAN=”Cần Thơ”) OR (QUEQUAN=”Long An”) I.2.4 Phép tuyển loại (XOR): Phép tuyển loại của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ∨ Q (đọc là hoặc P hoặc Q) chỉ đúng khi chỉ một trong 2 mệnh đề là đúng. Bảng chân trò của phép tuyển loại: P Q P∨ Q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 Ví dụ 6: + “Sinh viên An quê ở Cần Thơ hoặc Long An”: P ∨ Q + “ 2 là số hữu tỉ hoặc là số vô tỉ”: P∨ Q + “5 giờ chiều nay Minh đi học thêm Anh văn hoặc đi dự đám cưới bạn Lan”: P ∨ Q I.2.5 Phép kéo theo: Phép kéo theo của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ⇒ Q là một mệnh đề chỉ sai khi P đúng Q sai. Bảng chân trò của phép kéo theo: P Q P ⇒ Q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 Ví dụ 7: + “Nếu An vượt đèn đỏ thì An sẽ vi phạm luật giao thông”: P ⇒ Q + “Vì 50 chia hết cho 10 nên 50 chia hết cho 5” (P đúng, Q đúng: mệnh đề đúng) + “202 là số chẵn suy ra 202 chia hết cho 4” (P đúng, Q sai: mệnh đề sai) Lưu ý: • P gọi là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q gọi là điều kiện cần để có P • Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 3 I.2.6 Phép tương đương: Phép tương đương của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ⇔ Q là một mệnh đề chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Bảng chân trò của phép kéo theo: P Q P ⇔ Q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Ví dụ 8: + “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó có ba cạnh bằng nhau” + “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 khi và chỉ khi 36 chia hết cho12” + P: “Tứ giác ABCD là hình vuông” Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” Ta có P ⇔ Q I.3 Phép toán bit (NOT, AND, OR, XOR: thực hiện trong máy tính) • Bit là đơn vò thông tin nhỏ nhất ứng với một trong hai kí số nhò phân 0 hoặc 1. • Chuỗi bit là chuỗi gồm các kí số 0, 1. Cho 2 chuỗi 4 bit A = 0011; B = 0101. Ta thực hiện các phép toán bít như sau: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 NOT A A AND B A OR B A XOR B 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 II- CÔNG THỨC MỆNH ĐỀ II.1 Các khái niệm II.1.1 Công thức mệnh đề (biểu thức lôgic) Công thức mệnh đề (còn gọi là biểu thức lôgic) là một biểu thức được xây dựng từ: • Các mệnh đề P, Q, R, …. • Các biến mệnh đề p, q, r, … có thể nhận giá trò là các mệnh đề. • Các phép toán trên các mệnh đề và biến mệnh đề theo một trật tự nào đó. Ví dụ 9: A = (p ∧q) ∨ ( r ⇒ q) E = p ∨ (q ∧ r) F = (p ∨ q) ∧ r Nhận xét: Lập bảng chân trò của E và F ta thấy E ≠ F, suy ra thứ tự thực hiện phép toán logic là rất quan trọng. II.1.2 Công thức tương đương Hai công thức E và F gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trò. Kí hiệu hai công thức tương đương logic là E ≡ F hay đơn giản là E = F. Ví dụ 10: E = p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q và F = p ∨ ∨∨ ∨ q là hai công thức tương đương (c/m bằng bảng chân trò) http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 4 p q p p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q p ∨ ∨∨ ∨ q (p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ⇔ ( p ∨ ∨∨ ∨ q) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 (E) (F) (G) II.1.3 Công thức mệnh đề hằng đúng, hằng sai Công thức mệnh đề gọi là công thức hằng đúng nếu nó luôn nhận gía trò 1 (E ≡ 1). Công thức mệnh đề gọi là công thức hằng sai nếu nó luôn nhận gía trò 0 (E ≡ 0). Ví dụ 11: G = (p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ⇔ ( p ∨ ∨∨ ∨ q) là công thức hằng đúng; G ≡ 1 (suy ra từ ví dụ 9). II.1.4 Qui tắc thay thế: Qui tắc 1: Nếu trong công thức mệnh đề E ta thay thế một biểu thức con bởi một công thức mệnh đề tương đương thì được một công thức mệnh đề mới tương đương logic với E. Ví dụ 12: p ⇒ ⇒⇒ ⇒ (q ⇒ ⇒⇒ ⇒ r) ≡ p ⇒ ⇒⇒ ⇒ ( q ∨ ∨∨ ∨ r) ≡ p ∨ ∨∨ ∨ q ∨ ∨∨ ∨ r Qui tắc 2: Nếu E là công thức mệnh đề hằng đúng thì khi ta thay biến mệnh đề p trong E bởi một công thức mệnh đề tùy ý thì được một công thức mệnh đề mới vẫn là hằng đúng. Ví dụ 13: G = (p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ⇔ ( p ∨ ∨∨ ∨ q) ≡ 1 (suy ra từ ví dụ 10) suy ra G’ = ((r ∧ ∧∧ ∧ t) ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ⇔ (( r t∧ ) ∨ ∨∨ ∨ q) ≡ 1 II.2 Các qui luật logic Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai ta có các tương đương logic sau: 1/ Phủ đònh của phủ đònh: P ≡ p 2/ Qui tắc De Morgan: qpqp ∨≡∧ )( ; qpqp ∧≡∨ )( 3/ Luật giao hoán: p ∧ q ≡ q ∧ p ; p ∨ q ≡ q ∨ p 4/ Luật kết hợp: p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r 5/ Luật phân phối: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p∧ r) ; p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p∨ r) 6/ Luật lũy đẳng: p ∧ p ≡ p ; p ∨ p ≡ p 7/ Luật trung hòa (luật đồng nhất): p ∧ 1 ≡ p ; p ∨ 0 ≡ p 8/ Luật về phần tử bù: p ∧ p ≡ 0 (Luật bài trung) P ∨ p ≡ 1 (Luật mâu thuẫn) 9/ Luật thống trò: p ∧ 0 ≡ 0 ; p ∨ 1 ≡ 1 10/ Luật hấp thụ: p ∧ (p ∨ q) ≡ p ; p ∨ (p ∧ q) ≡ p * Chứng minh các công thức trên bằng cách lập bảng chân trò. Chẳng hạn ta chứng minh luật hấp thụ 10/ bằng bảng sau: p q p ∨ q p ∧ q p ∧ (p ∨ q) p ∨ (p ∧ q) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 5 III - QUI TẮC SUY LUẬN III.1 - Khái niệm: Trong các chứng minh toán học, ta thường xuất phát từ tiền đề là các khẳng đònh đúng p 1 , p 2 , . . . , p n và áp các qui tắc suy luận toán học để khẳng đònh kết luận q là đúng. Công thức tổng quát của qui tắc suy luận là: (p 1 ∧ ∧∧ ∧ p 2 ∧ ∧∧ ∧ . . . ∧ ∧∧ ∧ p n ) ⇒ ⇒⇒ ⇒ q Hay viết theo mô hình là: p 1 p 2 . . . p n q III.2 - Các qui tắc suy luận thường dùng: III.2.1 – Qui tắc khẳng đònh (Modus Ponens) Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c/m bằng cách lập bảng chân trò): (( p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ∧ ∧∧ ∧ p) ⇒ ⇒⇒ ⇒ q hay dưới dạng sơ đồ p ⇒ q p q Ví dụ 14: a/ Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau. (p ⇒ q) Tam giác ABC cân tại A (p) KL: AB = AC (q) b/ Mọi số chẵn đều chia hết cho 2 mà 2006 là một số chẵn. Suy ra số 2006 chia hết cho 2. c/ Nếu học giỏi sẽ được thưởng mà Lan đạt loại giỏi. Vậy Lan sẽ được thưởng. III.2.2 – Qui tắc tam đoạn luận (Modus Syllogism) / Chứng minh bắc cầu Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c/m bằng cách lập bảng chân trò): (( p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ∧ ∧∧ ∧ ( q ⇒ ⇒⇒ ⇒ r)) ⇒ ⇒⇒ ⇒ (p ⇒ ⇒⇒ ⇒ r) hay dưới dạng sơ đồ p ⇒ q q ⇒ r p ⇒ r Ví dụ 15: a/ Bình chơi Game Online thì Bình không học Toán ứng dụng. Bình không học Toán ứng dụng thì Bình thi rớt Toán ứng dụng. Mà Bình ham chơi Game Online nên Bình thi rớt Toán ứng dụng. Tiền đề Kết luận http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 6 b/ 75 chia hết cho 15; 15 chia hết cho 5. Vậy 75 chia hết cho 5. c/ Một con ngựa rẻ thì hiếm. Cái gì hiếm thì đắt. Suy ra một con rẻ thì đắt (!). Suy luận trên là hợp logic. Nhưng kết luận sai do dựa trên một tiền đề sai. III.2.3 – Qui tắc phủ đònh (Modus Tollens) / Chứng minh phản đảo Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c/m bằng cách lập bảng chân trò): (( p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ∧ ∧∧ ∧ q ) ⇒ ⇒⇒ ⇒ p hay dưới dạng sơ đồ p ⇒ q q p Ví dụ 16: a/ Nếu học giỏi sẽ được thưởng mà An không được thưởng. Vậy An không học giỏi. b/ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Góc O 1 khác góc O 2 nên hai góc ấy không đối đỉnh. III.2.4 – Qui tắc tam đoạn luận rời/ Chứng minh loại trừ Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c/m bằng cách lập bảng chân trò): (( p ∨ ∨∨ ∨ q) ∧ ∧∧ ∧ p ) ⇒ ⇒⇒ ⇒ q Ý nghóa của qui tắc này là khi chỉ có đúng hai trường hợp có thể xảy ra và mộtt trường hợp đã được khẳng đònh là sai thì trng hợp còn lại là đúng. Ví dụ 17: a/ Sáng nay hai bạn An và Bình được phân công làm trực nhật. Nhưng bạn An đi học trễ. Vậy bạn Bình làm trực nhật. b/ Tích a.b = 0 (suy ra a = 0 hoặc b = 0) mà a ≠ 0 Vậy b = 0. III.2.5 – Qui tắc mâu thuẫn / Chứng minh phản chứng Qui tắc này được thể hiện bởi tương đương logic sau: ( p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ≡ ≡≡ ≡ (( p ∧ ∧∧ ∧ q ) ⇒ ⇒⇒ ⇒ 0) Do đó, nếu chứng minh được công thức mệnh đề bên phải là hằng đúng thì công thức bên trái cũng là hằng đúng. Nghóa là nếu ta giả sử q là sai và cùng với tiền đề dẫn đến điều vô lí thì kết luận q là đúng. Đó là cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng. Ví dụ 18: Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ. Giả sử 2 là một số hữu tỉ. Khi đó 2 = p/q với p/q là phân số tối giản. ⇒ 2 = p 2 /q 2 ⇒ 2q 2 =p 2 ⇒ p 2 ⋮ 2 ⇒ p⋮2 (vì nếu p-lẻ thì p 2 cũng lẻ mâu thuẫn với p 2 ⋮ 2) ⇒ p = 2k. Suy ra 2q 2 = 4k 2 ⇒ q 2 = 2k 2 ⇒ q 2 ⋮ 2 ⇒ q⋮2. Do đó p, q có ước số chung là 2, trái với giả thiết p/q là phân số tối giản. Vậy 2 là một số vô tỉ. http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 7 IV- VỊ TỪ - LƯNG TỪ IV.1 – Vò từ: Vò từ là một khẳng đònh chứa biến dạng P(x) với x∈A sao cho: • P(x) không phải là mệnh đề. • Cho x= a∈ A thì P(a) là một mệnh đề. Ví dụ 18: a/ P(x) = “x < 5” ; x∈ N với N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } P(0) = “ 0 < 5” là mệnh đề đúng. P(5) = “ 5 < 5” là mệnh đề sai. P(1) = “ 1 < 5” là mệnh đề đúng. P(6) = “ 6 < 5” là mệnh đề sai. P(2) = “ 2 < 5” là mệnh đề đúng. P(7) = “ 7 < 5” là mệnh đề sai. P(3) = “ 3 < 5” là mệnh đề đúng. P(8) = “ 8 < 5” là mệnh đề sai. P(4) = “ 4 < 5” là mệnh đề đúng. … b/ P(n) = “n là số nguyên tố” ; n ∈ N (Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó) P(0) = “ 0 là số nguyên tố” : mệnh đề sai. P(1) = “ 1 là số nguyên tố” : mệnh đề sai. P(2) = “ 2 là số nguyên tố” : mệnh đề đúng. P(3) = “ 3 là số nguyên tố” : mệnh đề đúng. P(4) = “ 4 là số nguyên tố” : mệnh đề sai. P(5) = “ 5 là số nguyên tố” : mệnh đề đúng. . . . c/ P(x, y) = “x + y là số nguyên chẵn” ; n∈ Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, . . . } Ta thấy P(2, 4) là mệnh đề đúng, còn P(5,2) là mệnh đề sai, . . . IV.2 - Lượng từ: • Để chỉ một phần tử bất kì thuộc tập A ta viết: ∀ ∀∀ ∀x∈ ∈∈ ∈A (lượng từ với mọi) • Để chỉ ít nhất một phần tử thuộc tập A ta viết: ∃ ∃∃ ∃x∈ ∈∈ ∈A (lượng từ tồn tại) • Để chỉ một phần tử duy nhất thuộc A ta viết: ∃ ∃∃ ∃! !! !x∈ ∈∈ ∈A (lượng từ tồn tại duy nhất) + Ghép các lượng từ với vò từ ta được các mệnh đề sau: ∀ ∀∀ ∀x∈ ∈∈ ∈A, P(x) ∃ ∃∃ ∃x∈ ∈∈ ∈A, P(x) ∃ ∃∃ ∃! !! !x∈ ∈∈ ∈A, P(x) + Phủ đònh các mệnh đề trên ta được các mệnh đề tương logic sau: (∀ ∀∀ ∀x∈ ∈∈ ∈A, P(x)) ≡ ∃ ∃∃ ∃x∈ ∈∈ ∈A, P(x) (∃ ∃∃ ∃x∈ ∈∈ ∈A, P(x)) ≡ ∀ ∀∀ ∀x∈ ∈∈ ∈A, P(x) Ví dụ 19: P(n) = “n là số nguyên tố” ; n∈ N (Xem ví dụ 18b) • ∀n∈N, P(n) = “Mọi số tự nhiên n đều là số nguyên tố” : mđ sai. (1) • ∃n∈N, P(n) = “Có số tự nhiên n là số nguyên tố” : mđ đúng. (2) • ∃!n∈N, P(n) = “Có duy nhất 1 số tự nhiên n là số nguyên tố” : mđ sai. Phủ đònh của (1) ta được: ∃n∈N, P(n) = “Có số tự nhiên n không phải là số nguyên tố” : mđ đúng. Phủ đònh của (2) ta được: ∀n∈N, P(n) = “Mọi số tự nhiên n không phải là số nguyên tố” : mđ sai. http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 8 V – QUY NẠP VÀ ĐỆ QUY V.1 – QUY NẠP V.1.1 – Nguyên lí quy nạp: Nguyên lí quy nạp dựa trên mệnh đề hằng đúng sau đây: P(0) ∧ ∧∧ ∧ [∀ ∀∀ ∀n∈ ∈∈ ∈N, P(n) ⇒ ⇒⇒ ⇒ P(n+1)] ⇒ ⇒⇒ ⇒ ∀ ∀∀ ∀n∈ ∈∈ ∈N, P(n) V.1.2 – Các bước chứng minh quy nạp: Như vậy, để chứng minh mệnh đề P(n) là đúng ∀ ∀∀ ∀n∈ ∈∈ ∈N ta thực hiện các bước sau: Bước 1/ Khẳng đònh P(0) là đúng. Bước 2/ Giả sử P(n) là đúng suy ra P(n+1) cũng đúng. Bước 3/ Kết luận: P(n) đúng , ∀n∈N Lưu ý: Nguyên lý quy nạp có thể bắt đầu từ n 0 ∈ N. Tức là P(n) đúng ∀n∈N, n ≥ n 0 . Khi đó mệnh đề P(0) trong bước 1 được thay bởi P(n 0 ) Ví dụ 20: a/ P(n) : 0 + 1 + 2 + . . . + n = n(n+1)/2 ; ∀n∈N + P(0) đúng vì 0 = 0(0+1)/2 + Giả sử P(n) đúng, tức là 0 + 1 + 2 + . . . + n = n(n+1)/2 Suy ra 0 + 1 + 2 + . . . + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2 =(n+1)[(n+1)+1]/2 Suy ra P(n+1) đúng. Vậy, P(n) đúng ∀n∈N. b/ Chứng minh rằng P(n) = n 3 + 5n chia hết cho 6, ∀n∈N. + Với P(0) ta có: 0 ⋮ 6. Suy ra P(0) đúng. + Giả sử P(n) đúng, tức là n 3 + 5n ⋮ 6 Ta xét P(n+1): (n+1) 3 + 5(n+1) = (n 3 + 3n 2 + 3n + 1) + 5n + 5 = (n 3 + 5n) + 3(n 2 + n +2) = (n 3 + 5n) + 6(n(n+1)/2 + 1) ⋮ 6 Vậy (n+1) 3 + 5(n+1) ⋮ 6, tức là P(n+1) là đúng. + Kết luận: n 3 + 5n ⋮ 6, ∀n∈N. c/ Tương tự, hãy chứng minh rằng 2 n+2 > 2n + 5 ; ∀n∈ N, n ≥ 1. V.2 – Đệ quy V.2.1 – Đònh nghóa đệ quy (đònh nghóa quy nạp): Đôi khi rất khó đònh nghóa một đối tượng một cách tường minh, nhưng lại dễ dàng đònh nghóa đối tượng này thông qua chính nó. Đònh nghóa như vậy gọi là đònh nghóa đệ quy (hay đònh nghóa quy nạp). Ví dụ 21: a/ Đònh nghóa tập hợp số tự nhiên N đệ quy như sau: • 0 là số tự nhiên • Nếu n là số tự nhiên thì n+1 cũng là số tự nhiên. Khi đó ta có: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } b/ Đònh nghóa hàm số f đệ quy như sau: • f(0) = 3 (với n = 0) • f(n) = 2f(n-1) + 3 với n = 1, 2, 3, … http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 9 Khi đó ta có: f(1) = 2f(0) + 3 = 2 × 3 + 3 = 9 f(2) = 2f(1) + 3 = 2 × 9 + 3 = 21 f(3) = 2f(2) + 3 = 2 × 21 + 3 = 45 f(4) = 2f(3) + 3 = 2 × 45 + 3 = 93 V.2.2 – Thuật toán đệ quy: Một thuật toán được gọi là đệ quy nếu nó giải bài tóan bằng cách rút gọn liên tiếp bài toán ban đầu tới chính bài toán ấy nhưng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn. Ví dụ 22: a/ Tính giá trò a n , với a là số thực khác 0, n là số tự nhiên: Ta đònh nghóa a n đệ quy như sau: • Khi n = 0: a 0 =1 • Khi n > 0: a n = a. a n-1 Như vậy để tính a n ta quy về các trường hợp có số mũ n nhỏ hơn cho đến khi n = 0 thì dừng. Ta có thuật toán đệ quy tính lũy thừa của a như sau (mã VB): Function LuyThua(a, n) as Double If n = 0 then LuyThua = 1 else LuyThua = a * LuyThua(a, n-1) End If End Function b/ Tính giá trò n! = 1.2.3. . .(n-1).n = (n-1)! . n nếu n > 0 ; 0! = 1. + Thủ tục đệ quy: Function GiaiThua(n) as Long If n = 0 then GiaiThua = 1 else GiaiThua = n * GiaiThua(n-1) End If End Function + Thủ tục lặp (Không đệ quy): Function GiaiThua(n) as Long T = 1 For i = 1 to n T = T * i Next GiaiThua = T End Function c/ Tính giá trò: S = 1 + 2 + 3 + . . . + n Dùng cách tính tổng lặp (lặp lại đối với S): S = 0 For i = 1 to n S = S + i Next http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh đề Toán ứng dụng trong Tin học Biên soạn: Trường Sơn 10 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 - LÔGIC MỆNH ĐỀ 1.1- Trong các câu sau, cho biết câu nào là mệnh đề: a) Trần Hưng Đạo là một vò tướng tài. b) x + 1 là một số nguyên dương. c) 9 là một số chẵn. d) Hôm nay trời đẹp làm sao ! e) Hãy học Toán ứng dụng. f) Nếu bạn đến trễ thì tôi sẽ đi xem bóng đá trước. 1.2- Gọi P và Q là các mệnh đề: P: "Minh giỏi Toán" Q: "Minh yếu Anh văn". (Giả sử:không giỏi là yếu, không yếu là giỏi) Hãy viết lại các mệnh đề sau dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép toán mệnh đề. a) Minh giỏi toán nhưng yếu Anh văn. b) Minh yếu cả Toán lẫn Anh văn. c) Minh giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Anh văn vừa yếu Toán. d) Nếu Minh giỏi Toán thì Minh giỏi Anh văn. e) Minh giỏi Toán và Anh văn hay Minh yếu Toán nhưng giỏi Anh văn. 1.3- Gọi P, Q, R là các mệnh đề: P: "Bình đang học Toán". Q: "Bình đang học Tin học". R: "Bình đang học Anh văn". Hãy viết lại các mệnh đề dưới đây dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép toán. a) Bình đang học Toán và Anh văn nhưng không học Tin học. b) Bình đang học Toán và Tin học nhưng không học cùng một lúc Tin học và Anh văn. c) Không đúng là Bình đang học Anh văn mà không học Toán. d) Không đúng là Bình đang học Anh văn hay Tin học mà không học Toán. e) Bình không học Tin học lẫn Anh văn nhưng đang học Toán. 1.4- Hãy lấy phủ đònh các mệnh đề sau: a) Ngày mai nếu trời mưa hay trời lạnh thì tôi sẽ không ra ngoài. b) 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4. c) Hình tứ giác này không phải là hình chữ nhật mà cũng không phải là hình thoi. d) Nếu An không đi làm ngày mai thì sẽ bò đuổi việc. e) Mọi tam giác đều có các góc bằng 60 o . 1.5- Cho biết chân trò của các mệnh đề sau: a) π = 2 và tổng các góc của một tam giác bằng 180 o . b) π = 3,1416 kéo theo tổng các góc của một tam giác bằng 170 o . c) π = 3 kéo theo tổng các góc của một tam giác bằng 170 o . d) Nếu 2 > 3 thì nước sôi ở 100 o C. e) Nếu 3 < 4 thì 4 < 3. f) Nếu 4 < 3 thì 3 < 4. [...].. .Chương 1 – Logic mệnh đề http://www.ebook.edu.vn Toán ứng dụng trong Tin học 1.6- Giả sử P và Q là hai mệnh đề nguyên thủy sao cho P → Q sai Hãy xác đònh chân trò của các mệnh đề sau: (Kí hiệu ¬P là phủ đònh của P) a) P ∧ Q b) ¬ P ∨ Q c) Q → P 1.7- Gọi P, Q, R là các mệnh đề sau: P: ABC là một tam giác cân Q: ABC là một tam giác đều R: Tam giác ABC có 3 góc bằng nhau Hãy viết lại các mệnh đề sau... x là một biến nguyên Tìm chân trò của các mệnh đề sau: a) p(1) b) q(1) c) ¬ p(2) f) ¬ (p(-1) ∨ q(-1)) d) q(3) e) p(6) ∨ q(6) 1.18- Xét vò từ p(x): "x2 - 3x + 2 = 0" Cho biết chân trò của các mệnh đề sau: a) p(0) b) p(1) c) p(2) e) ∀x, p(x) d) ∃x, p(x) 1.19- Xét vò từ theo hai biến nguyên lớn hơn 0: p(x, y): "x là ước của y" Hãy xác đònh chân trò của các mệnh đề sau: a) p(2, 3) b) p(2, 6) e) ∀y, ∃x,... hình chữ nhật hay nó là hình thoi d/ Ngày mai Nam không đi làm nhưng vẫn không bò đuổi việc e/ Có tam giác mà các góc khác 60o 1.5 Mệnh đề đúng: c, d, f Mệnh đề sai: a, b, e 1.6 a) Đúng c) Đúng 1.8 Có 3 cách đặt dấu () vào biểu thức đã cho: Câu b, d, e : không phải là mệnh đề b/ ¬ P ∧ Q c/ P ∨ (¬ Q ∧ ¬ P) e/ (P ∧ ¬ Q) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q) b) Sai a/ ¬ (P ∨ Q ∨ R) b/ ¬ (P ∨ Q) ∨ R c/ ¬ (R ∧ ¬ P) ≡ ¬ R ∨ P c/... ∀n∈ N 2! 3! (n + 1)! (n + 1)! g) (1 + a)n ≥ 1 + na, ∀n∈ N, a> -1 h) 2n > n ; ∀n∈ N i) 2n+2 > 2n + 5 ; ∀n∈ N, n ≥ 1 Biên soạn: Trường Sơn 13 Chương 1 – Logic mệnh đề Toá http://www.ebook.edu.vn n ứng dụng trong Tin học HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 1.1 Câu a, c, f : là mệnh đề; 1.2 a/ P ∧ Q d/ P ⇒ ¬ Q 1.3 a/ P ∧ R ∧¬ Q b/ P ∧ Q ∧¬ (Q ∧ R) d/ ¬ ((R∨ Q) ∧¬ P) e/ ¬ Q ∧ ¬ R ∧ P 1.4 a/ Không đúng là ngày mai nếu trời... Hãy viết lại các mệnh đề sau theo ngôn ngữ thông thường: a) Q → P b) ¬ P → Q c) P ∧ ¬ Q d) R → P 1.8- Có bao nhiêu cách đặt dấu "( )" khác nhau vào dạng mệnh đề ¬ p ∨ q ∨ r Lập bảng chân trò cho từng trường hợp 1.9- Lập bảng chân trò cho các dạng mệnh đề sau và chỉ ra các hằng đúng: a) ¬ p → (p ∨ q) b) ¬ p → (¬ q ∨ r) c) (p ∧ q) → ¬ p d) (p ∨ r) → (r ∨ ¬ p) f) (p ∨ ¬ q) ∧ (¬ p ∨ q) e) (p → q) ∨ (q →... ∴¬ t ¬s ¬s∧¬t ¬ (s ∨ t) r→s∨t ∴¬ r (¬ p ∨ q) → r ∴¬ (¬ p ∨ q) p∧¬q ∴p Biên soạn: Trường Sơn (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) Chương 1 – Logic mệnh đề http://www.ebook.edu.vn Toán ứng dụng trong Tin học 1.16- Hãy kiểm tra các suy luận sau, suy luận nào là đúng / sai ? (∴ký hiệu kết luận) b) p → q c) p → (q → r) a) p → q ¬q r→¬q ¬q→¬p ¬r... đúng thì Hà được điểm cao Mà Hà không được điểm cao Suy ra c) Nếu chiều nay Minh đá bóng thì Minh không được xem Tivi Mà Vậy Minh không đá bóng chiều nay Biên soạn: Trường Sơn 11 Chương 1 – Logic mệnh đề Toá http://www.ebook.edu.vn n ứng dụng trong Tin học 1.13- Cho biết suy luận nào trong các suy luận sau là đúng và qui tắc suy luận nào đã được sử dụng? a) Điều kiện đủ để Cảng SG thắng trận... p) (6) ≡ ¬ [(p ∨ q) ∧ (q ∧p)] (7) ≡ ¬ [(q ∧p) ∧(p ∨ q)] (8) ≡ ¬ [q ∧[p ∧(p ∨ q)]] (9) ≡ ¬ (q ∧ p) c*) C/minh: p→ (q → r) ≡ p ∧ q→ r ; (p→ q) ∧ [¬q ∧ (r ∨ ¬q)] ≡ ¬ (q ∨ p) 1.12- Hãy điền mệnh đề thích hợp vào chỗ trống để cho các suy luận sau đây theo phương pháp khẳng đònh và phủ đònh là đúng: a) Nếu xe của Minh không khởi động được thì anh phải kiểm tra bugi Mà xe của Minh không khởi động . có: (1+ a) k ≥ 1+ ka ⇒ (1+ a) k (1+ a) ≥ (1+ ka) (1+ a) , a> -1 ⇒ (1+ a) k +1 ≥ 1+ (k +1) a+ ka 2 ≥ 1+ (k +1) a ⇒ (1+ a) k +1 ≥ 1+ (k +1) a ⇒ (*) đúng với n=k +1 Vậy (1+ a). thụ 10 / bằng bảng sau: p q p ∨ q p ∧ q p ∧ (p ∨ q) p ∨ (p ∧ q) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 http://www.ebook.edu.vn Chương 1 – Logic mệnh