GIẢI TỐN BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CẤU TẠO SỐ I. MỘT SỐ CÁCH PHÂN TÍCH CẤU TẠO SỐ: * Số có hai chữ số: 10 0 ab a b ab a b = × + = + * Số có ba chữ số: 100 10 10 00 0 abc a b c abc ab c ab a b c = × + × + = × + = + + * Số có bốn chữ số: 1000 100 10 10 100 10 000 00 0 abcd a b c d abcd abc d abcd ab b c abcd a b c d = × + × + × + = × + = × + × + = + + + II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHUNG CHO CÁC DẠNG TỐN: - Bước 1: Gọi số cần tìm thích hợp bằng chữ và đặt điều kiện để số đó tồn tại. - Bước 2: Viết số mới được thành lập khi viết thêm vào bên phải, bên trái, xen giữa và nhiều trường hợp khác. - Bước 3: Thành lập biểu thức liên hệ giữa số mới viết được ở bước 2 và số cần tìm. - Bước 4: phân tích cấu tạo số rồi sử dụng kiến thức cơ bản về chuyển vế, nhân một tích với một tổng hoặc một hiệu … Từ biểu thức phức tạp về biểu thức đơn giản. - Bước 5: Giải biểu thức đơn giản đó tìm số cần tìm. - Bước 6: Thử lại và trả lời. II. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP, PHƯƠNG PHÁP GIẢI: DẠNG 1: VIẾT THÊM MỘT SỐ CHỮ SỐ VÀO BÊN PHẢI HOẶC BÊN TRÁI SỐ CẦN TÌM Phương pháp giải: Học sinh áp dụng phương pháp chung để giải toán. Bài tập mẫu: 1) Khi viết thêm một số 12 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó gấp lên 26 lần. Tìm số có hai chữ số đó? Giải: Gọi số cần tìm là ab . (a, b > 0) Khi viết thêm một số 12 vào bên trái số tự nhiên đó ta được số mới là: 12ab . Theo bài, khi viết thêm một số 12 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó gấp lên 26 lần. Suy ra: TÀILIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - VIOLYMPIC NĂM HỌC: 2010 – 2011 MƠN TỐN 4; BIÊN SOẠN: TRẦN ĐĂNG MẠNH Trang 1 Cách 1: 12 26 1200 26 1200 26 1200 (26 1) 1200 25 1200 : 25 48 ab ab ab ab ab ab ab ab ab = × + = × = × − = × − = × = = Cách 2: 12 26 1200 10 ( 10 ) 26 1200 10 260 26 1200 ( 260 10) ( 26 ) 1200 250 25 1200 25 (10 ) ab ab a b a b a b a b a a b b a b a b = × + × + = × + × + × + = × + × = × − × + × − = × + × = × × + Cách 1: Cách 2: - Thử lại: 48 x 26 = 1248 (đúng) - Ta có: (10 )a b× + = ab Trả lời: Vậy số cần tìm là 48 Suy ra: 1200 25 (10 )a b= × × + = 25 x ab => ab = 1200 : 25 = 48. Thử lại: 48 x 26 = 1248 (đúng) Trả lời: Vậy số cần tìm là 48 2) Cho một số tự nhiên có ba chữ số. Khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số cần tìm thì số đó tăng thêm 4107 đơn vò. Tìm số đó? Giải: Gọi số cần tìm là abc (a, b, c > 0) Khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số cần tìm, ta được số mới là: 7abc . Theo bài ra, khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số cần tìm thì số đó tăng thêm 4107 đơn vò. Suy ra: Cách 1: 3 4107 10 3 4107 10 4107 3 (10 1) 4104 9 4104 4104 :9 456 abc abc abc abc abc abc abc abc abc = + × + = + × − = − × − = × = = = Cách 2: 3 4107 1000 100 10 3 100 10 4107 ( 1000 100) ( 100 10) ( 10 ) 4107 3 900 90 9 4104 9 ( 100 10 ) 4104 abc abc a b c a b c a a b b c c a b c a b c = + × + × + × + = × + × + + × − × + × − × + × − = − × + × + × = × × + × + = Thử lại: 456 + 4107 = 4563 (đúng) Ta có: 100 10abc a b c= × + × + Trả lời: Vậy số cần tìm là 456 Suy ra: 9 ( 100 10 ) 4104 9 4104 a b c abc × × + × + = × = 4104 :9 456abc⇒ = = Thử lại: 456 + 4107 = 4563 (đúng) Trả lời: Vậy số cần tìm là 456 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1) Cho một số tự nhiên có hai chữ số, khi viết thêm một chữ số 5 vào bên trái số đó thì số đó gấp lên 21 lần. Tìm số đó? 2) Cho một số tự nhiên có bốn chữ số, khi thêm một chữ số 5 vào bên phải số đó thì số đó tăng thêm 11111 đơn vò. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số đó? 3) Cho một số tự nhiên có hai chữ số. * Khi thêm một số 78 vào bên trái số đó ta được một số gấp 201 lần số cần tìm. Tìm số đó? TÀILIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - VIOLYMPIC NĂM HỌC: 2010 – 2011 MƠN TỐN 4; BIÊN SOẠN: TRẦN ĐĂNG MẠNH Trang 2 * Khi thêm một số 78 vào bên phải số đó thì số đó tăng thêm 3939 đơn vò. Tìm số đó? So sánh hai số vừa tìm được? DẠNG 2: VIẾT THÊM MỘT SỐ CHỮ SỐ XEN GIỮA CÁC CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN 1)Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vò thì số đó gấp lên 10 lần. Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì nó gấp lên 3 lần. 2) Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó gấp lên 7 lần. Tìm số tự nhiên có ba chữ số đó. 3) Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được mốt số gấp 5 lần số nhận được khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái. DẠNG 3: XÓA ĐI MỘT SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Bài tập mẫu: Tìm một số có bỗn chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi chữ số ở hàng đơn vò và chữ số hàng chục thì số đó sẽ giảm 1188 đơn vò. Giải: Gọi số cần tìm là abcd . Điều kiện: a khác 0. Khi xóa chữ số hàng chục và hàng đơn vò ta được số ab . Theo bài, nếu ta xóa đi chữ số ở hàng đơn vò và chữ số hàng chục thì số đó sẽ giảm 1188 đơn vò. Suy ra: 1188 100 1188 100 1188 99 1188 abcd ab ab cd ab ab ab cd ab cd − = × + − = × − + = × + = 1188 99cd ab⇒ = − × Vìø: 1188 = 12 x 99, nên 12 99 99cd ab⇒ = × − × Hay 99 (12 )cd ab⇒ = × − (*) Biện luận: • Vì cd là số có hai chữ số, nên kết quả của 99 (12 )ab× − phải nhỏ hơn 100. Vậy (12 )ab− phải bằng 0 hoặc 1. • Trường hợp 1: (12 )ab− = 0 thì ab = 12 , thay ab = 12 vào (*) ta được cd = 00. ⇒ 1200abcd = . Thử lại: 1200 – 1188 = 12 (đúng) • Trường hợp 2: (12 )ab− = 1 thì ab = 11 , thay ab = 11 vào (*) ta được cd = 99. ⇒ 1199abcd = Thử lại: 1199 – 1188 = 11 (đúng) Trả lời: Vậy ta tìm được 2 số là 1200 và 1199. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Bước 1: gọi số cần tìm bằng chữ phân biệt. Bước 2: viết số sau khi xóa bớt đi một số số theo yêu cầu của đề bài. Bước 3: dựa vào đề bài thành lập biểu thức liên hệ giữa số mới và số cần tìm. Dựa vào kiến thức toán học đã học và biết, tìm biểu thức liên hệ đơn giản giữa số bò xóa và số còn lại sau khi số. Bước 4: biện luận để số bò xóa tồn tại với các giá trò của số còn lại sau khi xóa thích hợp. TÀILIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - VIOLYMPIC NĂM HỌC: 2010 – 2011 MƠN TỐN 4; BIÊN SOẠN: TRẦN ĐĂNG MẠNH Trang 3 Bước 5: thử lại và trả lời. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1) Khi xóa đi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vò của một số tự nhiên có bốn chữ số thì số đó giảm đi 4455 đơn vò. Tìm số có bốn chữ số đó? 2) Khi xóa đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó giảm đi 7 lần. Tìm số có ba chữ số đó? 3) Khi xóa đi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vò của một số tự nhiên có bốn chữ số thì số đó giảm đi 3663 đơn vò. Tìm số có bốn chữ số đó? 4) Khi xóa đi chữ số hàng nghìn của một số tự nhiên có bốn chữ số thì số đó giảm đi 9 lần. Tìm số có bốn chữ số đó? 5) Cho một số có ba chữ số. Nếu xóa đi chữ số hàng răm thì số đã cho bò giảm đi 7 lần. Tìm số đã cho. DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN VÀ TỔNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN CỦA NÓ Phương pháp giải: • Bước 1: gọi số cần tìm thích hợp. • Bước 2: viết tổng các chữ số của số đó. • Bước 3: thành lập biểu thức liên hệ giữa số cần tìm (bước 1) , tổng các chữ số của số đó (Bước 2) nhờ dữ kiện bài toán cho. • Bước 4: Tìm mối liên hệ giữa các chữ số của số đó và sau đó dựa vào mối liên hệ đó biện luận. Tìm ra số đó. Thử lại rồi trả lời. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1) tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó. 2) Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: a/ số đó gấp 6 lần tổng các chữ số của nó. b/ số đó gấp 9 lần tổng các chữ số của nó. 3) (Dạng mở rộng) Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thương bằng 5 và dư 12. 4) (dạng mở rộng) Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta được thương bằng 21. DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN VÀ HIỆU CÁC CHỮ SỐ CỦA NÓ. Phương pháp giải: • Bước 1: gọi số cần tìm và hiệu bằng chữ phân biệt thích hợp. • Bước 3: thành lập biểu thức liên hệ giữa số cần tìm và hiệu các chữ số của số đó (Bước 2) nhờ dữ kiện bài toán cho. • Bước 4: biện luận. Tìm ra số đó. Thử lại rồi trả lời. BÀI TẬP MẪU: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương bằng 28 và dư 1. Giải: Gọi số cần tìm là ab , và hiệu là c. (a ,b > 0, c >0) Theo bài ra: số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương bằng 28 và dư 1. TÀILIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - VIOLYMPIC NĂM HỌC: 2010 – 2011 MƠN TỐN 4; BIÊN SOẠN: TRẦN ĐĂNG MẠNH Trang 4 Nên ta có: 85 100 28 99 ab ab c = → < × < 28 1ab c= × + Vì 100ab < nên 28 1c × + < 100. Suy ra: 28 99c × < Vậy c = 1, 2, 3. - Nếu c = 1 thì 29ab = . Thử lại: 9 – 2 = 7; 29 : 7 = 4 (dư 1) → Loại. - Nếu c = 2 thì 57ab = . Thử lại: 7 – 5 = 2; 57 : 2 = 28 (dư 1) → Chọn. - Nếu c = 3 thì 85ab = . Thử lại: 8 – 5 = 3; 85 : 3 = 28 (dư 1) → Chọn. Trả lời: Ta tìm được hai số tự nhiên là 57 và 85 thỏa điều kiện đề bài cho. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1) Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vò của nó ta được thương là 26 và dư 1. 2) Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vò. DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN VÀ TÍCH CÁC CHỮ SỐ CỦA NÓ. - Phương pháp cơ bản: Viết biểu thức liên hệ rồi biện luận. 1) Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó. 2) Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chữ số của nó. DẠNG 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 1) Tìm một số biết rằng số đó nhân với 4 được bao nhiêu cộng với 4thì được kết quả 7744. 2) Cho số có 4 chữ số xếp theo thứ tự là bốn số nguyên liên tiếp và tổng bốn số đó bằng 22. Hãy tìm số đó? 3) Cho hai số có hai chữ số. Nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vò của số đã cho? 4) Tìm một số có 3 chữ số sao cho khi nhân số đó với 2 ta được một số mới bằng số các chỡ số cần thiết để viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến số phải tìm. 5) Cá chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vò lần lượt là các số nguyên liên tiếp. Số này sẽ bò thay đổi như thế nào nếu ta viết chúng theo thứ tự ngược lại? 6) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tích các chữ số của số đó là một số tròn chục có hai chữ số, nếu bớt số đó đi 3 đơn vò ta được một số có hai chữ số giống nhau. 7) Các chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vò của một số có ba chữ số theo thứ tự là ba số lẽ liên tiếp. Khi bớt số đó đi 24 đơn vò ta được số có ba chữ số giống nhau và chia hết cho 5. tìm số đó? 8) Các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vò của một số chẵn có ba chữ số theo thứ tự ba số tự nhiên liên tiếp. Tổng các chữ số của nó bằng 9. Tìm số đó? 9) Tổng các chữ số của một số chẵn có bốn chữ số là 22, tích các chữ số của nó là một số tròn chục. Khi đổi chổ chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vò hoặc chữ số hàng nghìn và chữ số hàng chục thì số đó không thay đổi. Hãy tìm số đó? TÀILIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - VIOLYMPIC NĂM HỌC: 2010 – 2011 MƠN TỐN 4; BIÊN SOẠN: TRẦN ĐĂNG MẠNH Trang 5 ---------------------HET--------------------- Ngaứy 19 thaựng 9 naờm 2010 TI LIU BI DNG HC SINH GII - VIOLYMPIC NM HC: 2010 2011 MễN TON 4; BIấN SON: TRN NG MNH Trang 6 . phải số cần tìm thì số đó tăng thêm 41 07 đơn vò. Suy ra: Cách 1: 3 41 07 10 3 41 07 10 41 07 3 (10 1) 41 04 9 41 04 41 04 :9 45 6 abc abc abc abc abc abc abc abc. 45 6 + 41 07 = 45 63 (đúng) Ta có: 100 10abc a b c= × + × + Trả lời: Vậy số cần tìm là 45 6 Suy ra: 9 ( 100 10 ) 41 04 9 41 04 a b c abc × × + × + = × = 41 04