KIỂM TRA HỌC KỲ I Họ và tên :…………………… . Môn : TOÁN - LỚP 11 NÂNG CAO Lớp :…………………………… Thời gian làm bài : 90 phút ……………………………… ĐỀ SỐ 1 Bài 1(2,5 điểm) Giải các phương trình : 1/ 2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0 3/ 2 2 sin 2sin 2 5cos 0 2sin 2 x x x x − − = + Bài 2 (0,75điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 3sin(3 ) 4cos(3 ) 6 6 y x x π π = + + + Bài 3 ( 1, 5 điểm ) 1/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x 3 ) 15 . 2/ Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau . Bài 4 ( 1,5 điểm ) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ ,các quả cầu chỉ khác nhau về màu . Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu . 1/ Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ . 2/ Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ . Bài 5 ( 1,5 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(- 2 ; 3) , B(1 ; - 4) ; đường thẳng d : 3x – 5y + 8 = 0 ; đường tròn (C ) : (x + 4) 2 + (y – 1) 2 = 4. Gọi B’ , (C’) lần lượt là ảnh của B , (C ) qua phép đối xứng tâm O .Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB uuur . 1/ Tìm toạ độ của điểm B’ ; Tìm phương trình của d’ và (C ’ ) . 2/ Tìm phương trình đường tròn (C”) ảnh của (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2 Bài 6 ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD và P là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB . 1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD). 2/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). 3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ? . 4/ Gọi K là giao điểm của PQ và BD .Chứng minh rằng ba đường thẳng NK , PM và SB đồng qui tại một điểm. …………………………………… ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN 11 NÂNG CAO H ỌC KỲ I -------------------------------------- ĐỀ SỐ 1 Bài câu Hướng dẫn Điểm 1 1 Bài 1(2,5 điểm) Giải các phương trình : 1/ 2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 <=> sin(4x +30 0 ) =1 <=> Zk , 36090304 000 ∈+=+ kx Zk , 90.15 00 ∈+=⇔ kx 0,5 2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0 <=> 2cos 2 x - 1 - 3cosx + 2 = 0 <=> 2cos 2 x - 3cosx + 1 = 0 <=> Zk , 2 3 2 2 1 cos 1cos ∈ +±= = ⇔ = = π π π kx kx x x 1 3/ 2 2 sin 2sin 2 5cos 0 2sin 2 x x x x − − = + (1) ĐK : Zk , 2 4 5 2 4 2 2 sin ∈ +≠ +−≠ ⇔−≠ π π π π kx kx x Với điều kiện đó thì phương trình (1) tương đương với phương trình sau: sin 2 x - 4sinx.cosx - 5cos 2 x = 0 Ta có cosx = 0 không thoả mãn phương trình (1) Do đó , cosx ≠ 0 , chia hai vế của phương trình (1) ta được phương trình tan 2 x - 4tanx - 5 = 0 Giải phương trình này ta có : Zk, 4 1tan ∈+−=⇔−= π π kxx hoặc tanx = 5 <=> Zk , 5arctan ∈+= π kx Kết hợp với điều kiện , ta được nghiệm của phương trình đã cho là : 1 Zk , 5arctan x, )12( 4 ∈+=++−= ππ π kkx 2 Bài 2 (0,75điểm ) 1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 3sin(3 ) 4cos(3 ) 6 6 y x x π π = + + + ++= α π ) 6 3(sin5 xy với cosα = 5 3 và sinα = 5 4 Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng - 5 khi 1) 6 3(sin −= ++ α π x Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi 1) 6 3(sin = ++ α π x 0,75 3 1 Bài 3 ( 1, 5 điểm ) 1/ Tìm hệ số chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x 3 ) 15 . Số hạng tổng quát của khai trển trên là : kkkkkkk xCxxCT 21515 15 315 15 .3.)1.().()3.( +−− −=−= với 0 ≤ k ≤ 15 , k ∈Z Theo giả thiết số hạng cần tìm chứa x 31 nên 15 + 2k = 31 <=> k = 8 ( thoả mãn) Hệ số của số hạng cần tìm là : 788 15 3.)1.( − C = 140733453. 78 15 = C 0,75 2 2/ Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau . Số cần tìm có dạng abcd ,trong đó a , b , c , d thuộc tập hợp { }7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 và đôi một khác nhau . Vì số cần lập là số chẵn nên d { } 6 , 4 , 2 ∈ Do đó chữ số d có 3 cách chọn . Có 3 6 A cách chọn ba chữ số a ,b ,c . Vậy có 3603.A 3 6 = số thoả yêu câu bài toán . 0,75 4 1 Bài 4 ( 1,5 điểm ) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ ,các quả cầu chỉ khác nhau về màu . Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu . 1/ Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ . 0,5 Số cách lấy đúng 3 quả cầu màu đỏ là 2520. 2 10 3 8 = CC Không gia mẫu ,(của phép thử ngẫu nhiên lấy 5 quả cầu từ 18 quả cầu khác màu ) có số phần tử là : 5 18 C =8568 Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 quả cầu màu đỏ . -Số cách lấy được đúng 3 quả cầu màu đỏ là : 2520 - Số cách lấy được 4 quả cầu đỏ là 700. 1 10 4 8 = CC -Số cách lấy được 5 quả cầu đều màu đỏ là : 56 5 8 = C Xác suất của biến cố lấy được ít nhất 3 quả caàu màu đỏ là : 38,0 8568 567002520 )( ≈ ++ = AP 1 5 1 Bài 5 ( 1,5 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(- 2 ; 3) , B(1 ; - 4) ; đường thẳng d : 3x – 5y + 8 = 0 ; đường tròn (C ) : (x + 4) 2 + (y – 1) 2 = 4 .Gọi B’ , (C’) lần lượt là ảnh của B , (C ) qua phép đối xứng tâm O .Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB uuur . 1/ Tìm toạ đồ của điểm B’ ; Tìm phương trình của d’ , (C ’ ) . Ta có : B’ = (-1 ; 4 ) d’: -3x + 5y + 8 = 0 Đường tròn (C ) có tâm I(-4 ; 1) và bán kính R = 2 Đường tròn (C’) có tâm I’(4 ; - 1) và R’ = 2 (C’) : (x – 4) 2 + (y + 1) 2 = 4 0,75 2 2/ Tìm phương trình đường tròn (C”) ảnh của (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2 Gọi I’’ là tâm của đường tròn (C’’) ,khi đó OIOI 2'' −= mà )1;4( −= OI Suy ra )2;8('' −= OI => )2;8('' −= I Và R’’ = 2R = 4 Vậy (C’’) : (x – 8) 2 + (y + 2) 2 = 16 0,75 6 1 Bài 6 ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD và P là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB . 0,75 K Q I P N M D A B C S 1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD). MN là đường trung bình của tam giác SAD . Vì MN nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) và MN // AD nên MN // (ABCD). 2 Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)là đường thẳng đi qua S và song song với AD . 0,25 3 3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ? . Ba mặt phẳng (MNP) ,(SAD) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến MN , PQ , AD , đồng thời MN //AD nên ba đường thẳng PQ , MN . AD đôi một song song . Trong mặt phẳng (ABCD) , qua điểm P kẻ đường thẳng song song với AD ,cắt CD tại Q . Điểm Q là giao điểm cần tìm . 0,75 4 4/ Gọi K là giao điểm của PQ và BD .Chứng minh rằng ba đường thẳng NK , PM và SB đồng qui tại một điểm. Trong mặt phẳng (SAB) , hai đường thẳng SB và PM không song song nên chúng cắt nhau tại I . Suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD) . Lại có (SBD) và (MNP) cắt nhau theo giao tuyến KN nên điểm I phải thuộc đường thẳng NK . Vậy ba đường thẳng SB , MP , NK đồng qui tại I . 0,5 . Gi i các phương trình : 1/ 2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0 3/ 2 2 sin 2sin 2 5cos 0 2sin 2 x x x x − − = + B i 2 (0,75 i m. <=> 2cos 2 x - 3cosx + 1 = 0 <=> Zk , 2 3 2 2 1 cos 1cos ∈ +±= = ⇔ = = π π π kx kx x x 1 3/ 2 2 sin 2sin 2 5cos 0 2sin 2 x x