http://ductam_tp.violet.vn/ B GIO DC V O TO K THI TUYN SINH I HC NM 2010 Mụn Thi: TON Khi A THI THAM KHO Thi gian: 180 phỳt, khụng k thi gian giao I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I: Cho hm s 3 2 2 ( 3) 4y x mx m x= + + + + cú th l (C m ) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C 1 ) ca hm s trờn khi m = 1. 2) Cho (d ) cú phng trỡnh y = x + 4 v im K(1; 3). Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m sao cho (d) ct (C m ) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú din tớch bng 8 2 . Cõu II: 1) Gii phng trỡnh: cos2 5 2(2 -cos )(sin -cos )x x x x+ = 2) Gii h phng trỡnh:. Giải hệ phơng trình: =++ =+++ yyxx yyxyx )2)(1( 4)(1 2 2 (x, y R ) Cõu III 1) Tớnh tớch phõn I = 2 2 6 1 sin sin 2 x x dx ì + 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m sao cho phng trỡnh sau cú nghim thc: 2 2 1 1 1 1 9 ( 2)3 2 1 0 x x m m + + + + + = Cõu IV: Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 60 0 , ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a. Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC). II. PHN RIấNG (3.0 im) Câu V.a 1. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho parabol (P): xxy 2 2 = và elip (E): 1 9 2 2 =+ y x . Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đờng tròn. Viết phơng trình đờng tròn đi qua 4 điểm đó. 2.Trong không gian với hệ trục O xyz cho mặt cầu (S) có phơng trình 011642 222 =+++ zyxzyx và mặt phẳng ( ) có phơng trình 2x + 2y - z + 17 = 0. Viết phơng trình mặt phẳng ( ) song song với ( ) và cắt (S) theo giao tuyến là đờng tròn có chu vi bằng 6. Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 4 2 1 biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn: 1 6560 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 0 + = + ++++ + n C n CCC n n n nnn ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) CõuVb: 1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho im A(10; 2; -1) v ng thng d cú phng trỡnh 3 1 12 1 == zyx . Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht. 2.Trong mt phng Oxy cho im A(2;3), B(3;2), ABC cú din tớch bng 3 2 ; trng tõm G ca ABC thuc ng thng (d): 3x y 8 = 0. Tỡm bỏn kớnh ng trũn ni tip ABC. http://ductam_tp.violet.vn/ CõuVIb : : Tỡm cỏc s thc b, c phng trỡnh z 2 + bz + c = 0 nhn s phc z = 1 + i lm mt nghim. HNG DN GII I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) CõuI.1.(Hc sinh t gii) 2)Phng trỡnh honh im chung ca (C m ) v d l: = + + + + = + + + + = = + + + = 3 2 2 2 0 2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0 ( ) 2 2 0 (2) x x mx m x x x x mx m g x x mx m (d) ct (C m ) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C phng trỡnh (2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 0. = > = + / 2 1 2 2 0 ( ) 2 (0) 2 0 m m m m a m g m . Mt khỏc: + = = 1 3 4 ( , ) 2 2 d K d Do ú: = = = = 2 1 8 2 . ( , ) 8 2 16 256 2 KBC S BC d K d BC BC 2 2 ( ) ( ) 256 B C B C x x y y + = vi , B C x x l hai nghim ca phng trỡnh (2). + + + = = + = 2 2 2 2 ( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256 ( ) 4 128 B C B C B C B C B C x x x x x x x x x x 2 2 1 137 4 4( 2) 128 34 0 2 m m m m m + = = = (tha K (a)). Vy 1 137 2 m = CõuII:1. Phng trỡnh (cosxsinx) 2 - 4(cosxsinx) 5 = 0 cos -sin -1 cos -sin 5( cos -sin 2) x x x x loai vi x x = = 2 2 2 sin( ) 1 sin( ) sin ( ) 4 4 4 2 x k x x k Z x k = + = = = + 2) Hệ phơng trình tơng đơng với 2 2 1 ( 2) 2 1 ( 2) 1 x x y y x x y y + + + = + + = Đặt 2yxv, y 1x u 2 += + = Ta có hệ 1vu 1uv 2vu == = =+ Suy ra =+ = + 12yx 1 y 1x 2 . Giải hệ trên ta đợc nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5) CõuIII:1. Ta cú: I = 2 2 6 1 sin sin 2 ì + x x dx = 2 2 6 3 sin cos 2 x x dx ì . t 3 cos cos 2 x t = ì i cn: Khi 2 x cos 6 2 4 t t = = = ; khi x cos 0 2 2 t t = = = . Do vy: 2 2 4 3 sin 2 I tdt = ì = ( ) 3 2 16 + . 2. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m sao cho phng trỡnh sau cú nghim thc: http://ductam_tp.violet.vn/ 2 2 1 1 1 1 9 ( 2)3 2 1 0 x x m m + − + − − + + + = (1) * Đk [-1;1]x ∈ , đặt t = 2 1 1 3 x+ − ; [-1;1]x ∈ ⇒ [3;9]t ∈ Ta có: (1) viết lại 2 2 2 2 1 ( 2) 2 1 0 ( 2) 2 1 2 t t t m t m t m t t m t − + − + + + = ⇔ − = − + ⇔ = − Xét hàm số f(t) = 2 2 1 2 t t t − + − , với [3;9]t ∈ . Ta có: 2 / / 1 4 3 ( ) , ( ) 0 3 ( 2) t t t f t f t t t = − + = = ⇔ = − Lập bảng biến thiên t 3 9 f / (t) + f(t) 48 7 4 Căn cứ bảng biến thiêng, (1) có nghiệm [-1;1]x ∈ ⇔ (2) có nghiệm [3;9]t ∈ ⇔ 48 4 7 m≤ ≤ CâuIV:Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM. Suy ra: SM =AM = 3 2 a ; · 0 60AMS = và SO ⊥ mp(ABC) ⇒ d(S; BAC) = SO = 3 4 a Gọi V SABC - là thể tích của khối chóp S.ABC ⇒ V S.ABC = 3 3 1 . 3 16 ABC a S SO ∆ = (đvtt) Mặt khác, V S.ABC = 1 . ( ; ) 3 SAC S d B SAC ∆ ∆SAC cân tại C có CS =CA =a; SA = 3 2 a ⇒ 2 13 3 16 SAC a S ∆ = Vậy: d(B; SAC) = . 3 3 13 S ABC SAC V a S ∆ = (đvđd). II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) C©u V.a 1ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua giao ®iÓm cña(E) vµ (P) Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (E) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 09x37x36x91)x2x( 9 x 23422 2 =−+−⇔=−+ (*) XÐt 9x37x36x9)x(f 234 −+−= , f(x) liªn tôc trªn R cã f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt, do ®ã (E) c¾t (P) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt To¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (E) vµ (P) tháa m·n hÖ =+ −= 1y 9 x x2xy 2 2 2 09y8x16y9x9 9y9x y8x16x8 22 22 2 =−−−+⇒ =+ =− ⇔ (**) C S O M A B http://ductam_tp.violet.vn/ (**) là phơng trình của đờng tròn có tâm = 9 4 ; 9 8 I , bán kính R = 9 161 Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đờng tròn có phơng trình (**) 2.Viết phơng trình mặt phẳng ( ) Do () // () nên () có phơng trình 2x + 2y z + D = 0 (D 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5 Đờng tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới () là h = 435rR 2222 == Do đó = = =+= ++ ++ (loại) 17D 7D 12D54 )1(22 D3)2(21.2 222 Vậy () có phơng trình 2x + 2y z - 7 = 0 Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 4 2 1 , biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn: 1 6560 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 0 + = + ++++ + n C n CCC n n n nnn BG: Ta cú ( ) ++++=+= 2 0 nn n 22 n 1 n 0 n 2 0 n dxxCxCxCCdx)x1(I 2 0 1nn n 32 n 21 n 0 n xC 1n 1 xC 3 1 xC 2 1 xC + ++++= + suy ra I n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 2 C 3 2 C 2 2 C2 + ++++= + (1) Mặt khác 1n 13 )x1( 1n 1 I 1n 2 0 1n + =+ + = + + (2) Từ (1) và (2) ta có n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 2 C 3 2 C 2 2 C2 + ++++= + 1n 13 1n + = + Theo bài ra thì 7n65613 1n 6560 1n 13 1n 1n == + = + + + Ta có khai triển ( ) = = + 7 0 4 k314 k 7 k k 7 0 4 k7 k 7 7 4 xC 2 1 x2 1 xC x2 1 x Số hạng chứa x 2 ứng với k thỏa mãn 2k2 4 k314 == Vậy hệ số cần tìm là 4 21 C 2 1 2 7 2 = CõuVb *1.Gi H l hỡnh chiu ca A trờn d, mt phng (P) i qua A v (P)//d, khi ú khong cỏch gia d v (P) l khong cỏch t H n (P). Gi s im I l hỡnh chiu ca H lờn (P), ta cú HIAH => HI ln nht khi IA Vy (P) cn tỡm l mt phng i qua A v nhn AH lm vộct phỏp tuyn. Mt khỏc, )31;;21( tttHdH ++ vỡ H l hỡnh chiu ca A trờn d nờn . 0 ( (2;1;3)AH d AH u u = = uuur r r l vộc t ch phng ca d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vy: (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y 5z 77 = 0 http://ductam_tp.violet.vn/ 2.*Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = 5 2 2 ABC a b S AB ∆ − − = ⇒ 8(1) 5 3 2(2) a b a b a b − = − − = ⇔ − = ; Trọng tâm G ( ) 5 5 ; 3 3 a b+ − ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3) Từ (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = 3 2 65 89 S p = + + Từ (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ 3 2 2 5 S r p = = + . CâuVIb: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z 2 + bx + c = 0 ( b, c ∈ R), nên ta có : ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 0 2 0 2 0 2 b c b i b i c b c b i b c + = = − + + + + = ⇔ + + + = ⇔ ⇔ + = = . ch phng ca d) )5; 1;7()4;1;3( AHH Vy: (P): 7(x 10) + (y 2) 5( z + 1) = 0 7x + y 5z 77 = 0 http://ductam_tp.violet.vn/ 2.*Gọi C(a; b) , (AB): x –y 5 =0 ⇒ d(C; AB) = 5 2 2 ABC a b S AB ∆ −. 8(1) 5 3 2(2) a b a b a b − = − − = ⇔ − = ; Trọng tâm G ( ) 5 5 ; 3 3 a b+ − ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3) Từ (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = 3 2 65 89 S p = + + Từ (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ 3 2 2 5 S r p =. 2y z - 7 = 0 Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 4 2 1 , biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn: 1 656 0 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 0 + = + ++++ + n C n CCC n n n nnn