Bài giảng: Phương pháp số, Phan Thị Hà

H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG - - BÀI GI NG PH NG PHÁP S Biên so n : Ths PHAN TH HÀ Ts PHAN NG C U L u hành n i b HÀ N I - 2006 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Gi i thi u môn h c GI I THI U MÔN H C I GI I THI U CHUNG Ph ng pháp s m t l nh v c c a toán h c chuyên nghiên c u ph ng pháp gi i toán (ch y u g n đúng) b ng cách d a nh ng d li u s c th cho k t qu c ng d i d ng s Nói g n h n, ph ng pháp s nh b n thân tên g i c a nó, có ngh a ph ng pháp gi i toán b ng nh ng s c th Ngày ph n l n cơng vi c tính tốn đ u đ c th c hi n máy tính Tuy v y th c t ch ng t r ng, vi c áp d ng thu t toán ph ng pháp tính tốn khác có th cho t c đ tính tốn đ xác r t khác L y ví d đ n gi n nh tính đ nh th c c a ma tr n ch ng h n, n u tính tr c ti p theo đ nh ngh a vi c tính đ nh th c c a m t ma tr n vuông c p 25 c ng m t hàng tri u n m (ngay c v i máy tính hi n đ i nh t hi n nay); n u s d ng ph ng pháp kh Gauss k t qu nh n đ c g n nh t c th i Nh v y, ph ng pháp s công c không th thi u công vi c c n th c hi n nhi u tính tốn v i t c đ tính tốn nhanh đ xác cao nh v t lý, n t vi n thông, d nhiên t t c ngành m t l nh v c đ u c n đ n công ngh thông tin Ph ng pháp s đ c nghiên c u t r t lâu cho đ n nh ng thành t u đ t đ c m t kh i l ng ki n th c đ s đ c in nhi u tài li u sách, báo Tuy nhiên, môn h c "Ph ng pháp s " ch nh m cung c p nh ng ki n th c c n b n nh t v ph ng pháp s V i l ng ki n th c sinh viên có th áp d ng vào gi i quy t nh ng toán thơng th ng th c t có kh n ng t tìm hi u đ nâng cao ki n th c cho g p v n đ ph c t p h n II M C ÍCH Mơn h c ph ng pháp s cung c p cho sinh viên ki n th c c n b n nh t v m t s ph ng pháp gi i g n d li u s T o c s đ h c t t nghiên c u nghành khoa h c k thu t nói chung Cơng ngh thơng tin nói riêng Góp ph n rèn luy n ph ng pháp suy lu n khoa h c, t logic, ph ng pháp nghiên c u th c nghi m Góp ph n xây d ng th gi i quan khoa h c tác phong khoa h c c n thi t cho ng i k s t ng lai III PH M VI NGHIÊN C U Nghiên c u m t s ph ng pháp c b n nh t c a ph ng pháp s , đ c ng d ng nhi u th c t nh ph ng pháp s đ i s n tính, tốn n i suy, tìm nghi m g n ph ng trình phi n, tính g n đ o hàm tích phân, gi i g n m t s d ng c a ph ng trình vi phân Tìm hi u l nh v c ng d ng c a ph ng pháp th c t Nghiên c u cách cài đ t thu t tốn máy tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Gi i thi u môn h c IV PH NG PHÁP NGHIÊN C U: h c t t môn h c này, sinh viên c n l u ý nh ng v n đ sau: Ki n th c c n tr c: - Sinh viên ph i có ki n th c c b n v toán h c cao c p - Thành th o nh t m t ngơn ng l p trình c bi t cu n sách s d ng ngôn ng l p trình C đ mơ t thu t tốn, v y sinh viên ph i n m đ c ngơn ng l p trình C Thu th p đ y đ tài li u: Giáo trình Ph ng pháp s Phan ng C u, Phan Th Hà, H c vi n Công ngh BCVT, 2002 N u c n sinh viên nên tham kh o thêm: - Gi i tích s Ph m K Anh, nhà xu t b n đ i h c Qu c Gia Hà N i, 1966 - Ph ng pháp tính T V n nh, Nhà xu t b n Giáo d c - 1995 - Ph ng Pháp tính D ng Thu V , Nhà xu t b n Khoa h c K thu t, 2001 t m c tiêu, th i h n cho b n thân: t m c tiêu t m th i th i h n cho b n thân c g ng th c hi n chúng Xây d ng m c tiêu ch ng trình nghiên c u Nghiên c u n m nh ng ki n th c c t lõi: Sinh viên nên đ c qua sách h ng d n h c t p tr c nghiên c u gi ng môn h c tài li u tham kh o khác Tham gia đ y đ bu i h ng d n h c t p: Thông qua bu i h ng d n h c t p, gi ng viên s giúp sinh viên n m đ c n i dung t ng th c a môn h c gi i đáp th c m c, đ ng th i sinh viên c ng có th trao đ i, th o lu n v i nh ng sinh viên khác v n i dung h c Ch đ ng liên h v i b n h c gi ng viên: Cách đ n gi n nh t tham d di n dàn h c t p m ng Internet, qua có th trao đ i tr c ti p v n đ v ng m c v i gi ng viên ho c b n h c khác online T ghi chép l i nh ng ý chính: Vi c ghi chép l i nh ng ý m t ho t đ ng tái hi n ki n th c, kinh nghi m cho th y giúp ích r t nhi u cho vi c hình thành thói quen t h c t nghiên c u H c đôi v i hành H c lý thuy t đ n đâu th c hành làm t p đ n đ hi u n m ch c lý thuy t Nói chung cu i m i ch ng, sinh viên c n t tr l i câu h i, t p Hãy c g ng v ch nh ng ý tr l i chính, t ng b c phát tri n thành câu tr l i hồn thi n Liên h v i mơn h c khác v n đ th c t có liên quan đ hi u sâu h n ý ngh a c a ph ng pháp Cài đ t thu t toán b ng nhi u cách khác nhau, có s d ng đ h a đ làm n i b t đ c tr ng k t qu c a thu t toán Dùng đ th so sánh ph ng pháp khác gi i quy t m t toán, phân tích nh ng m y u m m nh c a thu t toán Khi cài đ t thu t tốn n u có v ng m c sinh viên có th tham kh o thêm ph n code c a toàn b ch ng trình t ng ng đ c vi t b ng ngơn ng l p trình C tài li u: “Ph ng pháp s Phan ng C u, Phan Th Hà, H c vi n Công ngh BCVT, 2002” CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch CH S ng 1: S x p x sai s NG X P X VÀ SAI S M C ÍCH, YÊU C U Sau nghiên c u ch ng 1, yêu c u sinh viên: Hi u đ c Ph Hi u đ c sai s t đ i sai s t N m đ c cách vi t s x p x N m đ c qui t c tính sai s ng Pháp S gì, vai trị t m quan tr ng c a Ph ng đ i Hi u bi t cách đánh giá sai s tính tốn sai s ph 1.1 T NG QUAN V PH 1.1.1 Ph ng pháp s ng pháp NG PHÁP S ng pháp s gì? Ph ng pháp s (numerical method) hay đơi cịn đ c g i Ph ng pháp tính (Computational method), Tốn h c tính tốn (Computational mathematics) ho c Gi i tích s (Numerical analysis) m t l nh v c c a toán h c chuyên nghiên c u ph ng pháp gi i g n toán b ng cách d a nh ng d li u s c th cho k t qu c ng d i d ng s Nói g n h n, ph ng pháp s nh b n thân tên g i c a nó, có ngh a ph ng pháp gi i toán b ng nh ng s c th Trong ph ng pháp s th ng quan tâm đ n hai v n đ : ng pháp đ gi i tốn • Ph • M i liên h gi a l i gi i s g n l i gi i đúng, hay v n đ sai s c a l i gi i 1.1.2 Nh ng d ng sai s th ng g p Khi th c hi n m t tốn b ng ph ng pháp s ta th • Sai s vi c mơ hình hóa tốn • Sai s ph • Sai s c a s li u • Sai s tính tốn ng g p nh ng lo i sai s sau đây: ng pháp Nh ng sai s t ng h p l i nhi u d n đ n nh ng l i gi i cách xa so v i l i gi i v y khơng th dùng đ c Chính v y vi c tìm nh ng thu t tốn h u hi u đ gi i toán th c t u r t c n thi t CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: S x p x sai s 1.2 SAI S TUY T I VÀ SAI S T NG I 1.2.1 Sai s t đ i Trong tính g n ta làm vi c v i giá tr g n c a đ i l ng Cho nên v n đ đ u tiên c n nghiên c u v n đ sai s Xét đ i l ng A đ i l ng g n c a a Ta nói a x p x A vi t a ≈ A Tr t đ i Δ a = | a-A | đ đ (1.1) c g i sai s t đ i c a a (khi dùng a đ x p x A) Trong th c t ta không bi t đ c s A, nói chung sai s t đ i khơng tính c Vì v y ta tìm cách c l ng sai s t đ i c a a b ng s Ea>0 cho | a - A | ≤ Ea (1.2) S d ng Ea đ c g i sai s t đ i gi i h n c a a Rõ ràng n u Ea sai s t đ i gi i h n c a a m i E > Ea đ u sai s t đ i gi i h n c a a N u sai s t đ i gi i h n l n so v i sai s t đ i khơng cịn có ý ngh a v ph ng di n sai s n a Trong nh ng u ki n c th ng i ta c g ng ch n Ea s d ng bé nh t có th đ c thỗ mãn (1.1) N u Ea sai s t đ i gi i h n c a a x p x A ta quy c vi t: A = a ± Ea (1.3) v i ý ngh a c a (1.1), t c a - Ea ≤ A ≤ a + Ea (1.4) ng đ i 1.2.2 Sai s t G i Δa sai s t đ i c a a dùng a đ x p x A, đ i l δa = Δa |a| ng (1.5) đ c g i sai s t ng đ i c a a Tuy nhiên m t l n n a ta th y r ng A th bi t, v y ng i ta đ nh ngh a đ i l ng εa = Ea |a| ng không (1.6) ng đ i gi i h n c a a T ta có sai s t Ea = | a| εa T ng i ta th (1.7) ng vi t A = a(1 ± εa) (1.8) Vì th c t ch có th thao tác v i sai s gi i h n, ng i ta th ng g i m t cách đ n gi n Ea sai s t đ i, εa sai s t ng đ i ôi ng i ta bi u di n sai s t ng đ i d i d ng % Ví d v i a =10, Ea = 0.05, ta có εa = 0.05/10 = 0.5 % 1.2.3 Chú thích: đ Sai s t đ i khơng nói lên đ y đ "ch t l c ph n ánh qua sai s t ng đ i ng" c a m t s x p x , “ch t l CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ng” y Ch 1.3 CÁCH VI T S ng 1: S x p x sai s X PX 1.3.1 Ch s có ngh a M t s vi t d i d ng th p phân có th g m nhi u ch s , nh ng ta ch k ch s t ch s khác không đ u tiên tính t trái đ n ch s cu i khác khơng phía bên ph i ch s có ngh a Ch ng h n s 2.740 có ch s có ngh a, s 0.02078 có ch s có ngh a 1.3.2 Ch s đáng tin M i s th p phân đ u có d ng a = ± α nα n −1 α1α α −1α −2 α − m = ± Σ αs10s Trong αs nh ng s nguyên t đ n Gi s a x p x c a s A v i sai s t đ i Δa N u Δa ≤ 0.5*10s ta nói r ng ch s αs đáng tin (và nh v y ch s có ngh a bên trái αs đ u đáng tin) N u Δa > 0.5*10s ta nói r ng ch s αs đáng nghi (và nh v y ch s bên ph i αs đ u đáng nghi) Ví d S x p x a = 4.67329 v i Δa = 0.004726 Ta có | Δa | ≤ 0.5 *10-2 ch s đáng tin là: 4,6,7; ch s đáng ng 3,2, v i Δa = 0.005726 Ta có | Δa | ≤ 0.5 *10-1 (nh ng | Δa | > 0.5 *10-2 ) ch s đáng tin là: 4,6; ch s đáng ng 7, 3, 2, 1.3.3 Cách vi t s x p x a Kèm theo sai s Cách th nh t vi t kèm theo sai s nh công th c (1.3) A = a ± Ea b M i ch s có ngh a đ u đáng tin Cách th hai vi t theo quy c: m i ch s có ngh a đ u đáng tin; có ngh a sai s t đ i gi i h n không l n h n m t n a đ n v hàng cu i 1.3.4 Sai s quy trịn Trong tính tốn v i s ta th ng làm tròn s theo quy c sau: n u ch s b đ u tiên ≥ thêm vào ch s gi l i cu i m t đ n v , n u ch s b đ u tiên < đ nguyên ch s gi l i cu i Gi s a x p x c a A v i sai s t đ i gi i h n E Gi s ta quy tròn a thành a' v i sai s quy tròn t đ i gi i h n θ, t c là: | a' - a| ≤ θ Ta có | a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + E V y có th l y θ +E làm sai s t đ i gi i h n c a a' Nh v y vi c quy tròn làm t ng sai s t đ i gi i h n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: S x p x sai s 1.4 CÁC QUY T C TÍNH SAI S 1.4.1 M đ u Ta xét toán t ng quát h n nh sau: Xét hàm s u c a bi n s x y: u = f(x,y) Gi s x x p x c a giá tr X, y x p x c a giá tr Y ta coi u x p x c a giá tr U = f (X,Y) Cho bi t sai s v x y, l p công th c tính sai s v u Cho bi n x ta s ký hi u Δx = x - X s gia c a x, dx vi phân c a x Theo đ nh ngh a v sai s t đ i, ta có | Δx | ≤ Δ x Theo công th c vi phân c a hàm nhi u bi n ta có: du = ∂u ∂u dx + dy ∂x ∂y T Δu ≈ ∂u ∂u Δx + Δy ∂x ∂y Suy Δu = | ∂u ∂u | Δy | Δx + | ∂x ∂y (1.9) 1.4.2 Sai s c a t ng Cho u = x + y Ta có ∂u ∂u = =1 ∂x ∂y T (1.9) suy Δu = Δx + Δy (1.10) Ta có quy t c sau: Sai s t đ i gi i h n c a m t t ng b ng t ng sai s t đ i gi i h n c a s h ng Ghi Xét tr ng h p u = x - y x, y d u Lúc ta có δu = Δ u/|u| = ( Δ x + Δ y)/ |x-y| ng Ta th y r ng n u | x -y | r t bé sai s t i ta tìm cách tránh tr nh ng s g n ng đ i gi i h n r t l n Do tính tốn 1.4.3 Sai s c a tích Cho u = xy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: S x p x sai s Ta có ∂u ∂u = y, =x ∂y ∂x T (1.9) suy Δ u = |y| Δ x + |x| Δ y Do δu = Δ u/|u| = Δ x/|x| + Δ y/|y| = δx + δy V y δu = δx + δy (1.11) Ta có quy t c sau: Sai s t ng đ i gi i h n c a m t tích b ng t ng sai s t h ng c a tích Xét tr ng đ i gi i h n c a s ng h p đ c bi t u = xn ta có δxn = n δx 1.4.4 Sai s c a th (1.12) ng Cho u = x/y Ta có x ∂u ∂u = , = − ∂x y ∂y y T (1.9) suy Δu = | x |Δx + | |Δy y y Ta có Δ u / |u| = Δ u | x 1 y y | = | | ( | | Δ x + | | Δ y) = | | Δ x + | | Δ y = x x y x y y Suy ra: δxy = δx + δy (1.13) Ta có quy t c sau: Sai s t ng đ i gi i h n c a m t th s h ng c a th ng ng b ng t ng sai s t ng đ i gi i h n c a 1.4.5 Sai s c a hàm b t k Cho u = f(x1, x2, , xn) Theo công th c vi phân c a hàm nhi u bi n ta có: du = ∂u ∂u ∂u dxn dx1 + dx2 + + ∂x1 ∂x ∂x n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: S x p x sai s T ta có Δu ≈ ∂u ∂u ∂u Δx1 + Δxn Δx2 + + ∂x1 ∂x ∂x n Suy Δu = | ∂u | Δ ∂x1 x1 +| ∂u | Δ ∂x x2 + + | Ví d Tính sai s t đ i gi i h n sai s t V = (1/6)πd n u cho đ ∂u | Δ ∂x n xn (1.14) ng đ i gi i h n c a th tích hình c u: ng kính d = 3.7 ± 0.05 cm π = 3.14 ± 0.0016 Gi i Xem π d đ i s c a hàm V, áp d ng (1.12) (1.13) ta có δV = δπ + 3δd (H s 1/6 không nh h ng đ n sai s t ng đ i) δπ = 0.0016/3.14 = 0.0005 δd = 0.05/3.7 = 0.0135 Suy δV = 0.0005 + * 0.0135 = 0.04 M t khác V = (1/6)πd3 = 26.5 cm3 Ta có Δ V = |V|*δV = 26.5*0.04 = 1.06 ≈ 1.1 cm3 V = 26.5 ± 1.1 cm3 1.5 SAI S TÍNH TỐN VÀ SAI S PH NG PHÁP Nh nh c đ n trên, gi i m t toán ph c t p ta ph i thay tốn b ng tốn đ n gi n h n đ có th tính tốn b ng tay ho c b ng máy Ph ng pháp thay toán ph c t p b ng m t ph ng pháp đ n gi n tính đ c nh v y g i ph ng pháp g n Sai s ph ng pháp g n t o g i sai s ph ng pháp M c d u toán d ng đ n gi n, có th tính tốn đ c b ng tay ho c máy tính, nh ng q trình tính tốn ta th ng xun ph i làm tròn k t qu trung gian Sai s t o b i t t c nh ng l n quy tròn nh v y đ c g i sai s tính tốn Trong th c t vi c đánh giá lo i sai s , nh t sai s tính tốn nhi u tốn r t khó th c hi n hi u rõ h n b n ch t c a sai s ph ng pháp sai s tính tốn ta xét ví d sau: Ta bi t r ng v i s x b t k ta có x2 xn x + + + + 1! 2! n! Cơng th c có th dùng đ tính giá tr ex Tuy nhiên t ng vô h n, nên th c x2 xn x t ta ch tính đ c t ng Sn = 1+ + + + , ngh a dùng ph ng pháp g n 1! 2! n! Khi tính t ng Sn ta l i th ng xuyên ph i làm tròn, ta l i g p sai s tính toán Sn Vi c đ a m t đánh giá v sai s t ng h p c a c hai lo i sai s toán r t ph c t p ex = 1+ 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch 1.6 S N ng 1: S x p x sai s NH C A M T Q TRÌNH TÍNH TỐN Xét m t q trình tính tốn v lý thuy t có vơ h n b c đ tính m t đ i l ng Ta nói r ng q trình tính n đ nh n u sai s tính tốn t c sai s quy trịn tích l y l i không t ng vô h n N u sai s t ng vơ h n ta nói q trình tính khơng n đ nh Rõ ràng n u q trình tính khơng n đ nh khơng có hy v ng tính đ tính v i sai s nh h n sai s cho phép cđ il ng c n ki m tra tính n đ nh c a m t q trình tính tốn th ng ng i ta gi s sai s ch x y t i m t b c, b c sau coi nh khơng có sai s khác phát sinh N u cu i sai s tính tốn khơng t ng vơ h n coi nh q trình tính n đ nh 1.7 M T VÀI I U V M I QUAN H GI A TH C T VÀ MƠ HÌNH Theo nh ng u v a nói hi u th c t t đ i đúng, sai s ch x y ta mu n mơ hình hóa th c t ti n hành tính tốn mơ hình Th c v y, có c m giác r ng gi i t nhiên ho t đ ng m t cách xác: h m t tr i có kho ng t n m tu i, nh ng s v n hành c a có v v n hoàn h o: hàng ngày m t tr i m c, m t tr i l n đ u theo quy lu t C sau 365 ngày + 1/4 ngày qu đ t quay đ m t vịng quanh m t tr i h u h t vùng trái đ t đ u tr i qua b n mùa Chúng ta có th hình dung r ng ch c n m i n m s v n hành c a hành tinh sai l ch chút hàng t n m sai s tích l y có th s gây nên nh ng bi n c khôn l ng! Tuy nhiên theo nhà thiên v n s v n hành c a hành tinh không t đ i hoàn h o nh ta t ng Xét v trí c a m t tr i trái đ t ch ng h n, theo lý thuy t n u ngày hôm m t tr i đ ng v trí gi a b u tr i tính t đơng sang tây sau 24 gi n a c ng v trí gi a b u tr i (t t nhiên có th ch ch v phía nam n u ta Vi t nam) Nh ng th c t không ph i nh v y Các nhà thiên v n không th xây d ng đ c múi gi m t cách xác nh t quán n u d a vào v trí c a m t tr i Nói c th h n, n u d a vào v trí m t tr i c a n m làm múi gi cho vùng trái đ t n m sau th i gian khơng cịn thích h p cho qu đ o c a m t tr i n a, mà có khác chút Chính s "đ ng đ nh" c a m t tr i nh v y nên nhà thiên v n đ a khái ni m m t tr i trung bình th i gian trung bình So v i m t tr i trung bình th i gian trung bình hàng n m m t tr i th t l ch kho ng th i gian t -14,3 đ n +16,3 phút Tuy nhiên s d sai s không tích l y t n m sang n m khác sai s giao đ ng quanh v trí trung bình tri t tiêu l n theo th i gian Ngh a là, không ch mơ hình c a chúng ta, mà c gi i t nhiên c ng có nh ng sai s Tuy nhiên sai s gi i t nhiên đ u có quy lu t th ng tri t tiêu l n nhau, khơng làm nh h ng đ n s v n hành c a v t th BÀI T P Bài Khi đo s góc ta đ c giá tr sau: a= 21o37’3”; b=1o10’ Hãy xác đ nh sai s t ng đ i c a s x p x bi t r ng sai s t đ i phép đo 1” 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ng 6: Gi i g n ph Ch T u ki n ban đ u y0 =y(x0) , cho tr - B ng trình vi phân c δ>0, v i i = 1, 2, ta th c hi n thu t toán sau: c 1: (a) u = y0 + hf(x0,y0) (b) v = y0 + h [f(x0,y0) + f(x0,u)] (6.14) c l i ta đ t u = v tính l i (b) N u |v-u|< δ ta ch n y1 = v, ng Ng i ta ch ng minh đ c r ng v i h đ bé trình l p (6.14) h i t Vì v y n u sau ba b n l n l p mà v n không đ t đ c s trùng đ n m c đòi h i c a g n liên ti p c n gi m b c h làm l i t đ u - B c i: (a) u = yi-1 + hf(xi-1,yi-1) (b) v = yi-1 + h [f(xi-1,yi-1) + f(xi,u)] N u |v-u|< δ ta ch n yi = v, ng (6.15) c l i ta đ t u = v tính l i (b) Ng i ta ch ng minh đ c r ng v i h đ bé trình l p (6.15) h i t Vì v y n u sau ba b n l n l p mà v n không đ t đ c s trùng đ n m c đòi h i c a g n liên ti p c n gi m b c h làm l i t đ u Ta có th mơ t thu t tốn Euler - Cauchy đ cài đ t máy tính theo b c sau: a.Thu t toán cho m t l n chia kho ng nh t Nh p a, b , y0, δ n t h= b−a , x0 = a ta tính xi = xi-1 + h n T u ki n ban đ u y0 =y(x0), v i i = 1, 2, ta th c hi n thu t toán nh (6.14) (6.15) b.Thu t toán cho nhi u l n chia kho ng - B c 0: Nh p a, b , y0 , δ, n, kmax ε t h0 = b−a , x 0( ) = a , y 0( ) = y0 n V i i = 1, 2, tính - B c 1: t h1 = y i( ) theo (6.14) (6.15) h0 , x 0(1) = a , y 0(1) = y0 V i i = 1, 2, tính y i(1) theo (6.14) (6.15) Tính d1 = max | y2i (1) - y i (0) |, i=0,1,2, ,n i 109 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 6: Gi i g n ph ng trình vi phân N u d1