Đào Anh Dũng http://violet.vn/tranthuquynh81 Chuyên đề: Tứ giác áp dụng. *********** A.Lý thuyết: I .tứ giác 1. tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD và DA trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng năm nằm trên một đờng thẳng. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh. Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA gọi là các cạnh. 2.Tứ giác đơn là tứ giác mà các cạnh chỉ cắt nhau tại các đỉnh ( hình a, b). Nếu trái lại là tứ giác không đơn ( hình c,) Tứ giác lồi là tứ giác đơn nhng nó luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đờng thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó ( hình a,) 3. Tổng số đo bốn góc của tứ giác lồi bằng 360 0 . II. Hình thang. 1. Định nghĩa: ABCD là hình thang *Hai cạnh song song gọi là 2 cạnh đáy, hai cạnh còn lại gọi là 2 cạnh bên. *Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình. VD: MN là đờng trung bình của hình thang ABCD. 2.Tính chất: Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy. VD: MN// BC // AD và MN = 2 BC AD + Chuyên đề: Tứ giác áp dụng(tiếp theo) *********** 1 Đào Anh Dũng http://violet.vn/tranthuquynh81 3 .Hình thang cân: Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau. Trong hình thang cân : - Hai đờng chéo bằng nhau. - Hai cạnh bên bằng nhau. Nếu một hình thang có hai đờng chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân. III.Đờng trung bình của tam giác: Địnhnghĩa:Đờngtrung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. VD: DE là đờng trung bình của tam giác ABC. Định lý 1: Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Định lý 2: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ và bằng nửa cạnh ấy. Chuyên đề: Tứ giác áp dụng(tiếp theo) *********** Bài toán 1: Cho biết AB // CD. Tính số đo x trong hình vẽ. Bài toán 2: Tính các số đo x, y trong hình vẽ bên 2 Đào Anh Dũng http://violet.vn/tranthuquynh81 Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD có à 0 120D = Tính số đo các góc A, B, C biết rằng chúng bằng nhau. Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD có 00 55;125 == B . Chứng minh rằng: hai đờng phân giác của hai góc D và C vuông góc với nhau. Bài toán 5: Cho tứ giác ABCD có số đo các góc A, B, C, D tỉ lệ với 1; 2; 3; 4. Tính số đo các góc A, B, C, D. Bài toán 6:Tính số đo các góc của tứ giác ABCD biết: 1 4 2 3 3 2 4 1 0 0 00 = = = D C Bài toán 7: Cho hình thang ABCD có: 0 30D = ; C4.B = (AB//CD). Tính số đo các góc của hình thang. Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD biết AB =AD; 0 135D;60A;90B 0 0 === . a) Tính số đo góc C và chứng minh rằng: BD=BC. b) Từ A kẻ AE vuông góc với đờng thẳng CD. Tính số đo các góc của tam giác AEC. Bài toán 9: Cho tam giác ABC cân tại A có 0 70 = A Từ điểm D thuộc cạnh BC, kẻ ( )DH AC H AC a) Tính số đo các góc của tứ giác ABDH. b) Chứng minh rằng: HDC2.A = c) Chứng minh rằng hệ thức trên đây không phụ thuộc vào độ lớn góc A. Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác của A và B vuông góc với nhau. a) CMR: Các tia phân giác của hai góc C và D cũng vuông góc với nhau. b) Có thể kết luận gì về vị trí của hai đờng thẳng AD và BC. Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 ( ) 2 MA MB MC MD AB BC CD DA+ + + > + + + b) MA MB MC MD AC BD + + + + . Dấu = xảy ra khi nào ? Chuyên đề: Tứ giác áp dụng(tiếp theo) *********** Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B sao cho AB=AB và trên AC lấy một điểm C sao cho AC=AC. Chứng minh rằng tứ giác BBCC là hình thang. Bài toán 2: CMR: nếu một tứ giác có phân giác trong của hai góc kề với một cạnh vuông góc với nhau thì tứ giác đó là hình thang. Bài toán 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD). 00 70;130 == CA .Tính số đo các góc B,C của hình thang. 3 Đào Anh Dũng http://violet.vn/tranthuquynh81 Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho 1 2 AM BC= , N là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng: a) Tam giác AMB cân. b) Tứ giác MNAC là hình thang vuông. Bài toán 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD) AB<CD; AD=BC=AB, 0 30 = BDC . Tính số đo các góc của hình thang. Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD, AB=BC và AC là tia phân giác của góc A. CMR: tứ giác ABCD là hình thang. Bài toán 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đờng cao AH. Từ H kẻ HD vuông góc với AC, HE vuông góc với AB. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC. Chứng minh rằng tứ giác DEMN là hình thang vuông. Bài toán 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Hai đờng phân giác của góc A và B cắt nhau tại điểm K thuộc cạnh đáy CD. Chứng minh rằng: AD+BC=CD. Bài toán 9: 1) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD, đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, = CADBAC . Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20cm và góc D bằng 60 0 . 2) Cho tam giác ABD cân tại A, 0 40 = D . ở phía ngoài tam giác ABD dựng tam giác DBC cân tại D và 0 70 = B . Tứ giác ABCD là hình gì ? tại sao ? Bài toán 10: 1) Cho hình thang ABCD với tổng các góc kề với đáy lớn CD bằng 90 0 . CMR: đoạn thẳng nối trung điểm của hai đáy bằng nửa hiệu hai đáy. 2) Chứng minh rằng: Tổng các bình phơng các đờng chéo của một hình thang bằng tổng các bình phơng các cạnh bên cộng với hai lần tích của hai cạnh đáy. Bài toán 11: Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đờng cao, M là một điểm trên BC sao cho CM=CA. Đờng thẳng đi qua M Song song với CA cắt AB tại I. a) Tứ giác ACMI là hình gì ? b) CMR: AM là phân giác của góc BAH từ đó suy ra AI=AH. c) CMR: ta luôn có AB+AC<AH+BC 4 . Anh Dũng http://violet.vn/tranthuquynh 81 Chuyên đề: Tứ giác áp dụng. *********** A.Lý thuyết: I .tứ giác 1. tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB,. cạnh. 2 .Tứ giác đơn là tứ giác mà các cạnh chỉ cắt nhau tại các đỉnh ( hình a, b). Nếu trái lại là tứ giác không đơn ( hình c,) Tứ giác lồi là tứ giác đơn