Giản đồ pha điện tử ở mô hình falicov kilball với bất trật tự tuân theo phân bố gauss

1 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu chữ viết tắt Danh mục hình vẽ, đồ thị Trang MỤC LỤC……………………………………………………………… MỞ ĐẦU …………………………………………………………… CHƢƠNG CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ ANDERSON…………………………………………………………… 1.1 Bức tranh vùng lƣợng… ………………………………… 1.2 Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi MOTT… ………… 1.3 Định xứ Anderson… ………………………………………… CHƢƠNG LÝ THUYẾT MÔI TRƢỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON…………………………………………………………… 15 2.1 Sơ lƣợc hàm Green ………………………………………… 15 2.1.1 Định nghĩa hàm Green hai thời gian…………………… 15 2.1.2 Phƣơng trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian……17 2.1.3 Một ví dụ tính hàm Green…………………………… 18 2.2 Lý thuyết mơi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson………… 20 2.2.1 Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng ……… 20 2.2.2 Lý thuyết mơi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson…… 23 CHƢƠNG GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở FKM VỚI BẤT TRẬT TỰ TUÂN THEO PHÂN BỐ GAUSS……………………………………… 29 3.1.Mơ hình hình thức luận……………………………………… 29 3.2 Kết tính số thảo luận…………………………………… 35 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 41 MỞ ĐẦU Tƣơng tác điện tử bất trật tự đóng vai trị quan trọng việc hình thành tính chất vật rắn Mặc dù tính chất truyền dẫn vật rắn giải thích cách thông qua lý thuyết vùng lƣợng, nhƣng tƣơng tác điện tử nguyên nhân hàng đầu gây nên số tƣợng vật lý thú vị nhƣ điện môi Mott, siêu dẫn, siêu chảy v.v Mặt khác, bất trật tự ln có mặt vật liệu thực tế nhƣ tạp chất sai hỏng mạng đƣợc thừa nhận có vai trị định cho loạt tính chất khác vật rắn nhƣ thủy tinh spin, hiệu ứng Hall lƣợng tử, hỗn loạn lƣợng tử v.v Vì thế, để mơ tả hiểu đƣợc tính chất điện tử vật liệu cần xem xét đồng thời hai hiệu ứng trật tự tƣơng quan điện tử Kết nghiên cứu mơ hình liên kết chặt trật tự (sau đƣợc gọi mơ hình Anderson) cho thấy bất trật tự đủ lớn cản trở khuyếch tán hạt tải Các trình tán xạ ngƣợc kết hợp làm cho hạt tải bị định xứ Đặc biệt, định xứ trạng thái mức Fermi gây chuyển pha kim loại – điện môi, gọi chuyển pha Anderson Mặt khác chuyển pha kim loại – điện môi gây tƣơng quan điện tử gọi chuyển pha Mott Sự kết hợp mô hình Anderson mơ hình Hubbard tạo nên mơ hình Anderson – Hubbard (AHM), lúc kết hợp mơ hình Anderson mơ hình Falicov – Kimball gọi mơ hình Anderson – Falicov – Kimball (AFKM) Nhƣ vậy, so với mơ hình Hubbard (mơ hình Falicov – Kimball) AHM (AFKM) đƣợc bổ sung số hạng thứ ba mô tả bất trật tự εi đƣợc phân bố cách ngẫu P ( εi ) nhiên nút mạng theo hàm phân bố xác suất Các hàm phân bố xác suất thƣờng đƣợc xét đến phân bố đều, phân bố Gauss, phân bố Lorentz phân bố nhị phân (binary distribusion) Đáng ý việc tìm kiếm thơng số trật tự để phân biệt đƣợc trạng thái định xứ trạng thái lan truyền chuyển pha Anderson thách thức nghiên cứu hệ điện tử bất trật tự Dobrosavljevic cộng phát triển lý thuyết mơi trƣờng điển hình (Typical Medium Theory: TMT) để nghiên cứu hệ khơng trật tự, mật độ trạng thái điển hình (TDOS) đƣợc xấp xỉ cách lấy trung bình nhân theo cấu hình không trật tự, thay cho mật độ trạng thái lấy trung bình cộng [1] Nhóm tác giả chứng tỏ TDOS triệt tiêu cách liên tục độ lớn trật tự tiến đến giá trị tới hạn dùng làm thơng số trật tự hiệu dụng trung bình cho chuyển pha Anderson Giản đồ pha ( ) mơ hình AFKM lấp đầy nửa thu đƣợc từ lý thuyết mơi trƣờng điển hình TMT cho trƣờng hợp tn theo phân bố đoạn bao gồm pha: kim loại, điện mơi Mott (có khe cấm) điện mơi Anderson (khơng có khe cấm) đƣợc cơng bố cơng trình Byczuk [2] Ở đề tài chúng tơi nghiên cứu giản đồ pha mơ hình AFKM lấp đầy nửa bất trật tự tuân theo phân bố Gauss lý thuyết TMT so sánh với kết Byczuk nhằm đánh giá ảnh hƣởng loại phân bố tạp lên giản đồ pha tìm đƣợc Đề tài luận văn tơi là: Giản đồ pha điện tử mơ hình Falicov – Kimball với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss Đề tài hƣớng tới kết sau đây: 1) Tìm hiểu chuyển pha kim loại – điện mơi định xứ Anderson, lý thuyết trƣờng trung bình động lý thuyết mơi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson 2) Xây dựng giản đồ pha điện tử FKM với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss so sánh với giản đồ pha trƣờng hợp phân bố Luận văn áp dụng lý thuyết môi trƣờng điển hình, kết hợp DMFT việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái định xứ Để đơn giản hóa việc tính tốn DMFT tuyến tính đƣợc áp dụng Nội dung luận văn có bố cục nhƣ sau Chƣơng 1: Chuyển pha kim loại – điện môi định xứ Anderson Chƣơng 2: Lý thuyết mơi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson Chƣơng 3: Giản đồ pha điện tử FKM với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss CHƢƠNG 1: CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ ANDERSON Điện môi chất dẫn điện có khả cho ánh sáng qua tồn khe lƣợng, Eg Bởi lƣợng ánh sáng nhìn thấy ( 1.7 − 3.1 eV ) nhỏ lƣợng khe Eg ≈ −10 eV chất điện môi, hấp thụ photon không xảy vật liệu cho ánh sáng truyền qua Kim cƣơng, chất cách điện tốt, suốt có điện trở suất ρ ≈ 1011 − 1018 Ωm Kim loại chất dẫn điện tốt hấp thụ phần phản xạ ánh sáng Sự phản xạ hấp thụ xảy kim loại có vùng dẫn khơng bị lấp đầy Bạc chất dẫn điệ n tốt có điệ ntrở suất ρ ≈ 10 −8 Ωm hệ số phản xạ đối R = 0.90 với ánh sáng nhìn thấy Khi vật liệu trải qua chuyển pha kim loại – điện mơi (MIT) điện trở suất thay đổi vài bậc độ lớn Ví dụ với V 2O3 , giản đồ điện trở suất - áp suất đƣợc trình bày Hình 1.2a Tại áp suất ngồi 20Kbar chuyển pha bậc xảy ra, điện trở suất V 2O3 thay đổi bậc Khi chƣa xét đến bất trật tự, hai tham số điều khiển MIT cƣờng độ tƣơng quan điện tử độ lấp đầy dải điện tử Cả hai tham số đƣợc điều khiển thông qua điện trƣờng, từ trƣờng ngoài, áp suất pha tạp hạt tải Trong vật liệu, nơi lý thuyết vùng lƣơng áp dụng tốt, điều khiển tính dẫn điện khó, chẳng hạn nhƣ đƣa hạt tải vào kim cƣơng Ở số vật liệu khác tƣơng quan điện tử đóng vai trị chủ đạo việc điều khiển MIT Ví dụ V2O3.Trạng thái điện mơi đƣợc gọi điện môi Mott Sau phần giới thiệu vắn tắt tranh vùng lƣợng, tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott định xứ Anderson 1.1 BỨC TRANH VÙNG NĂNG LƢỢNG Xét khí Fermi đƣợc đặt vào mạng tinh thể tuần hồn Nếu Hình.1.1 Bức tranh sơ đồ vùng lượng EF lượng Fermi, Eg khe cấm, k véc tơ mạng đảo Nếu EF cắt với vùng lượng hệ kim loại Nếu EF cắt khe cấm hệ điện mơi [3] mạng không đổi không gian thời gian, điện tử đƣợc phân bố không gian tuân theo phân bố Fermi-Dirac không gian xung lƣợng Khi mạng tinh thể tuần hoàn yếu đƣợc đƣa vào V(r) = V(r+R), R véc tơ mạng, điện tử với véc tơ sóng k định bị phản xạ Bragg mặt mạng tinh thể, từ khe lƣợng (khe cấm) Eg = 2|V| vùng lân cận lƣợng Fermi đƣợc hình thành, phân tách vùng điện tử thành vùng dƣới (vùng hóa tri) vùng (vùng dẫn) Nếu trạng thái trống thấp đƣợc tách khỏi trạng thái đầy cao khe lƣợng (khe cấm) hệ điện mơi Trong trƣờng hợp này, điện trƣờng ngồi yếu khơng làm thay đổi phân bố điện tử khơng thể gây dịng điện Khi số lƣợng điện tử ô sở chẵn (lẻ) vùng hóa trị ln bị lấp đầy hoàn toàn (một phần) Nếu Eg > mức Fermi cắt với vùng lƣợng hệ kim loại Khi mức Fermi nằm khe cấm hệ điện môi Eg lớn tính cách điện vật liệu tốt Lƣợc đồ cấu trúc vùng đơn giản đƣợc trình bày Hình1.2 Năng lƣợng điển hình khe cấm khoảng vài eV lƣợng nhiệt k BT ≈ / 40 eV khơng đủ để tạo dịng điện tử Sự chuyển pha kim loại – điện môi xảy vật liệu đƣợc pha tạp hạt tải điện cấu trúc mạng đƣợc xếp lại áp lực Ở trạng thái điện môi, mức Fermi nằm khe cấm, pha tạp vừa đủ điện tử làm cho mức Fermi EF dịch chuyển lên vùng điện tử lấp đầy thấp hệ trở thành kim loại, ngƣợc lại Sự tác động áp lực làm thay đổi đáng kể mạng hiệu dụng dẫn tới thay đổi độ rộng khe cấm Khi khe cấm nằm vùng lân cận mức Fermi bị triệt tiêu phát sinh, MIT xảy Lý thuyết vùng lƣợng khơng tiên đốn đƣợc cách hành xử ôxit kim loại chuyển tiếp (V 2O3, NiO, Fe3O4 …) điện mơi Mott Một số ơxít kim loại chuyển tiếp chất cách điện chúng có số lẻ điện tử ô sở Điều khơng phù hợp với lý thuyết vùng Ví dụ oxit Fe 3O4 Fe2O3 có cấu trúc mạng nhƣ có 5.5 điện tử tƣơng ứng ô sở Tuy 11 chất dẫn điện tốt 10 lần so với chất thứ hai Lý thuyết vùng khơng thể giải thích đƣợc pha điện môi vùng lƣợng bị lấp đầy phần, nhƣ trƣờng hợp lấp đầy khơng ngun Một ví dụ khác V2O3 lẽ phải kim loại giản đồ pha, lại thể chế độ điện mơi (xem Hình.2b) nhiệt độ thấp Hình.1.2: a) Điện trở suất hàm áp suất V 2O3 độ pha tạp khác Sự thay đổi đột ngột điện trở suất hệ chuyển pha kim loại – điện môi b) Sơ đồ pha cho V 2O3 Lý thuyết vùng dự đoán pha kim loại sơ đồ pha, nhiên số liệu thực nghiệm chứng minh tồn pha điện môi nhiệt độ thấp [4] 1.2 BỨC TRANH CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI MOTT Các chất điện mơi hình thành tƣơng quan điện tử đƣợc gọi điện môi Mott Xét hệ điện tử đƣợc lấp đầy nửa với vùng lƣợng hẹp, đƣợc mô tả Hamiltonian Hubbard sau đây: H = −∑ t f iσ† f jσ − µ∑ nˆiσ +U ∑nˆi ↑ nˆi↓ ij ij ,σ iσ i (1.2.1) † Trong đó, f iσ , fiσ toán tử sinh hủy điện tử nút i có spin σ ; tij tham số nhảy nút điện tử từ nút j sang nút i xét lân cận gần số hạng đầu Hamiltonian mơ tả động hệ điện tử; µ hóa học; U tƣơng tác Coulomb địa phƣơng hai điện tử nút mạng số hạng sau Hamiltonian mô tả hệ; niσ = f iσ† fiσ toán tử số hạt nút i Mặc dù mơ hình Hubbard đơn giản, cho phép mơ tả pha điện môi Mott chuyển pha MIT pha điện môi Mott pha kim loại Thật vậy, hệ kim loại hay điện môi phụ thuộc vào tỉ lệ khe lƣợng cƣờng độ tƣơng quan điện tử - điện tử, 2t / U Khi tƣơng quan điện tử điện tử không đáng kể , t / U 1, điện tử nhảy nguyên tử hệ kim loại Trong giới hạn nguyên tử, t / U 1, tƣơng quan điện tử - điện tử chiếm ƣu thế, điện tử đƣợc định xứ mạnh hệ điện mơi Hình.1.3 a) Sơ đồ chuyển pha Mott, tương quan điện tử giảm phân vùng Hubbard (LHB) phân vùng Hubbard phía (UHB) bắt đầu phủ hệ trở thành kim loại b) Phổ phát xạ tính tốn lý thuyết trường trung bình động cho V2O3 Đỉnh chuẩn hạt ( E − EF = ) LHB nhìn thấy rõ ràng, nhiên đỉnh chuẩn hạt rộng nhiều so với dự đốn mơ theo lý thuyết trường trung bình động [5] Đỉnh chuẩn hạt ( E − EF = ) LHB nhìn thấy rõ ràng, nhiên đỉnh chuẩn hạt rộng nhiều so với dự đốn mơ theo lý thuyết trường trung bình động Sơ đồ chuyển pha Mott đƣợc trình bày Hình 1.3.a Chúng ta xem xét hệ lấp đầy nửa xen phủ nhỏ quỹ đạo nguyên tử, tức độ rộng vùng 2D U Năng lƣợng µ+ = E0 ( N + 1) − E0 ( N ) cần để tăng thêm điện tử đƣợc cho µ+ ( N = L ) = U + D (N số điện tử L số nút mạng), kích thích điện tích với lƣợng U đƣợc xem linh động, cho chúng tạo thành vùng rộng D nhƣ trƣờng hợp điện tử không tƣơng tác Vùng gọi phân vùng Hubbard trên, nói chung khơng phải vùng đơn điện tử mơ tả phổ kích thích điện tích điện tử đƣợc thêm vào trạng thái Năng lƣợng cần thiết để loại bỏ điện tử µ− ( N = L ) = E0 ( N ) − E0 ( N − 1) = 2D Phổ tƣơng ứng tạo thành phân vùng Hubbard dƣới Cả hai phân vùng đƣợc trình bày Hình.1.3a Khi D U chờ đợi hóa học khơng liên tục khe lƣợng ∆µ ( N = L ) ≈ U − D > , hai phân vùng tách nhau, hệ điện mơi Nếu độ xen phủ quỹ đạo nguyên tử tăng U ≈ D , hai phân vùng bắt đầu chạm nhau, chuyển pha kim loại – điện môi xảy Khi U D phân vùng phủ nhau, khe cấm biến hệ kim loại Năng lƣợng khe cấm chất điện môi vào cỡ eV, eV ~ 104K, vƣợt thang lƣợng (nhiệt độ Neel) đƣợc dự đoán Slater, E g ≈ k Nếu lực đẩy chất điện môi lớn so với động năng, độ ổn định điện môi đƣợc đảm bảo B TN Mặc dù lý thuyết Mott-Hubbard mô tả tốt trạng thái điện mơi, nhƣng khơng mơ tả đƣợc xác trạng thái kim loại Trong kim loại tƣơng quan, đỉnh chuẩn hạt nằm mức Fermi, phân vùng Hubbard dƣới, đƣợc quan sát thấy thí nghiệm phát quang Ví dụ phổ V2O3 đƣợc thể Hình.1.3.b Lƣu ý thí nghiệm phát quang phân giải trạng thái bị chiếm đóng khơng thể phân giải phân vùng Hubbard Ngoài ra, tranh MIT bất trật tự chƣa đƣợc đề cập đến Phần giới thiệu chuyển pha kim loại – điện môi Anderson 1.3 ĐỊNH XỨ ANDERSON Chuyển tiếp định xứ Anderson chuyển pha kim loại – điện môi đƣợc gây trật tự Khi điện tử lan truyền tuần hoàn, giao thoa thành phần phản xạ truyền qua hàm sóng tạo dải khe cấm phổ lƣợng điện tử Với lƣợng xác đinh dải, mật độ trạng thái khác khơng, hàm sóng điện tử tƣơng ứng trải rộng toàn cấu trúc Trong tinh thể thực, tán xạ hàm sóng điện tử với tạp chất làm xuất điện trở độ dẫn điện hữu hạn Theo vật lý cổ điển, điện tử lan truyền kim loại theo chế khuếch tán mơ tả nhƣ dịch chuyển ngẫu nhiên: sau va chạm điện tử khơng cịn ghi nhớ chuyển động trƣớc nó, mật độ hạt phƣơng trình ∂ = D ∇ 2n, n n ( r , t ) tuân theo (1.3.1) ∂t D hệ số khuếch tán Mật độ n ( r , t ) đƣợc hiểu nhƣ mật độ hạt, nhƣng hiểu xác suất tìm thấy hạt tọa độ r thời điểm t Nếu điện tử bắt đầu dịch chuyển từ điểm xác định thời điểm ban đầu ( t = ), độ dịch chuyển bình phƣơng trung bình thời điểm t, thời gian đủ dài r ( t ) = Dt , t → ∞ (1.3.2) Từ biểu thức (1.3.2), gọi l quãng đƣờng tự trung bình τ thời gian hai lần va chạm liên tiếp, ta viết đƣợc số khuếch tán nhƣ sau D = l2 = v l = k F l , F 2τ vF = k F (1.3.3) 2m tốc độ điện tử bề mặt Fermi, m khối lƣợng m nó, kF véc tơ sóng Fermi Khi vật dẫn đƣợc đặt điện trƣờng E, điện tử nhận xung lƣợng từ trƣờng ngồi, có tốc độ cuốn: theo mô tả cổ điển, hạt đƣợc giả định có xung lƣợng hồn tồn xác định quãng đƣờng tự trung bình l xung lƣợng giảm xuống sau lần tán xạ với tạp chất Ở trạng thái cân bằng, tốc độ mà điện tử đƣợc gia tốc nhờ trƣờng tốc độ mà bị tán xạ tạp chất Lƣu ý có điện tử gần với mức Fermi EF 10 tham gia vào trình dẫn điện biểu thức độ dẫn điện  = ne 2τ / m , với mật độ điện tử linh động n liên hệ với mật độ trạng thái mức Fermi đƣợc tính theo cơng thức: ρ ( E F ) = n / E F = n / mvF2 Kết hợp công thức với công thức số khuếch tán thời gian phục hồi τ (1.1.3), thu đƣợc liên hệ độ dẫn điện với số khuếch tán nhƣ sau: σ = e D ρ ( EF ) , (1.3.4) e điện tích điện tử Theo tranh này, trật tự hệ tăng, tức nồng độ tạp chất tăng, quãng đƣờng tự trung bình điện tử giảm, dẫn tới D giảm độ dẫn điện giảm Với trật tự mạnh, nhiên chờ đợi độ dẫn điện σ hữu hạn Tuy nhiên, báo cáo hội thảo năm 1958, Anderson cho rằng, trật tự vƣợt qua giá trị tới hạn, biểu thức (1.3.4) khơng nữa, điện tử bị bẫy chuyển động khuếch tán bị dừng hồn tồn [6] Ý tƣởng ban đầu đƣợc đƣa để giải thích số kết thực nghiệm nhóm Feher, theo thời gian phục hồi spin điện tử chất bán dẫn pha tạp dài cách bất thƣờng Đặc biệt, Anderson đƣa giả thuyết rằng, quãng đƣờng tự trung bình điện tử nhỏ chiều dài bƣớc sóng Fermi λF = 2π / kF , thay cho điện tử nhƣ sóng lan truyền với thời gian sống ngắn, chúng đƣợc xem nhƣ sóng bị giam cầm không gian với thời gian sống dài Hàm sóng ψ ( r ) điện tử đƣợc định xứ theo hàm mũ xung quanh tâm r0 , khoảng cách ξ , đƣợc gọi độ dài định xứ, có ψ (r ) − r − r  A exp   ξ   (1.3.5) Để giải thích tƣợng định xứ xuất nhƣ nào, Anderson sử dụng mơ hình liên kết chặt mạng tinh thể trật tự, mơ hình trở thành mơ hình mẫu nghiên cứu tƣợng định xứ Trong mơ hình Anderson, điện tử chịu ảnh hƣởng ngẫu nhiên εi nút i mạng tinh thế, nhảy qua nút lân cận nhờ số hạng nhảy 32 khe cấm lƣợng ω phổ hệ tƣơng quan Mặt khác, Ageom ( ω) triệt tiêu định xứ Anderson xảy Ta phân loại trạng thái lƣợng ω đƣợc định xứ trật tự Ageom ( ω) = Aarith ( ω) > Khi hai Ageom ( ω) = Aarith ( ω) = , hệ trạng thái điện mơi tƣơng quan Cả hai Ageom ( ω) Aarith ( ω) đƣợc sử dụng để phân biệt trạng thái định xứ có khe cấm, định xứ không khe cấm trạng thái lan truyền Tiếp theo, chúng tơi dẫn phƣơng trình DMFT tuyến tính hóa nhƣ cơng trình [2] Do tính đối xứng Aα ( ω) ta thấy hàm Green tâm vùng ảo G ( ) = −iπ Aα ( 0) Thật vậy: từ phép biến đổi Hilbert ta có: Re G ( ω = P ∫ d Aα ( ω ') ⇒ Re G ( ) = P ω − ' ) ω' ∫ dω ' ω A α ( ω ') −ω ' Do tính đối xứng điện tử - lỗ trống ta có Aα ( ω ) = Aα ( −ω) hay Aα ( ω) hàm chẵn nên Aα ( ω ') ∞ ∫ −∞ ' hàm lẻ, lấy cận tích phân đối xứng ta suy −ω ' Aα ( ω ') Re G ( ) = ω d −ω ' Từ điều kiện tự () η ( 0) ( 3.1.5 ) , ( 3.1.6) hợp G ( ) = −iπ Aα ( 0) DMFT dẫn tới hệ G ( , εi ) thức A( 0, ε i ) = − Im G ( 0,εi ) π Aα ( ) = Aα ( 0) quy hồi: Kiểm tra điều kiện hội tụ? A( 0,εi ) α ηα ( ) = −iπ Aα ( ) W / 16 Hình 3.1 Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT phương pháp lặp (trong số α “geom” “arith) [11] 33 ( ) ( n+1) =  ( n) −iπ W Aα ( ) / 16 , bƣớc lặp thứ ( n +1) vế trái thu đƣợc từ kết bƣớc lặp thứ ( n ) vế phải Chúng ta giải đƣợc phƣơng trình tự hợp DMFT phƣơng pháp lặp nhƣ sơ đồ trình bày Hình.3.1 ( Do : G ( ) = −iπ Aα ( 0) nên G Mà η (n +1) (0 ) = W 2G ( n) (0 ) n ) (0 ) = từ suy η / 16 ( n) ( 0) −iπ Aα ( n +1) (0 ) = −iπ W ( n) Aα (0 ) 16 Sử dụng phƣơng trình (3.1.5), (3.1.6) mở rộng chúng với lƣu ý ( n) Aα ( 0) nhỏ thu đƣợc biểu thức quy hồi DMFT Xét hệ lấp đầy nửa, ta có : µ = U , w = ( n = n 2 f = ) c Ta thu đƣợc: G ( 0,εi ) = µ − ε − η ( ) − ∑( 0,ε ) i = i −η ( 0) −U + U −ε i ε = + η ( 0) U2 /4 ( U /2 ) −ε i −η ( ) −( U / 2) i U − ( ε +η ( 0) ) i Xét phƣơng trình DMFT tuyến tính hóa Đặt η ( 0) = ic (c nhỏ gần biên pha), η ( 0) ảo nên: với η ( () n +1) (0 ) = ic = −iπ W ( 0) /16 Aα n Suy ra: Im G −π ( n +1) ( 0, ε i ) = W  ε i  () Aα n ( )   +U      2     / 16  −  U 2 ε       Hay: i 2    34 A = Trong  ε i ( n +1)      2        i   A ( 0, ε i ) = ( n+1 ) ( 0, εi ) π Im G −  2   ( n +1) ,  −U 2  ε2  (3.1.11) +U  ϒ( ε) = W2 Aα( n) ( ) ϒ( εi ) 16 ( 0, ε i )   Các mối quan hệ quy hồi DMFT tuyến tính hóa với trung bình nhân hai vế (3.1.11) là: ( ) Aα n +1 ( 0, ε i ) geom = W2 A ( n) ( 0) ϒ( ε ) i α 16  ⇒ A( n +1) ( 0) = A( n) ) W exp  geom geom ( 16  π∆ geom ∞ ∫ d ε ln ϒ ( ε ) e − − 6ε ∆ 2    ∞ ( n+1) Nếu cho Ageom  ( n) ( ) = Ageom ( 0) ta thu đƣợc phƣơng trình xác định ( đƣờng cong ranh giới ∆ = ∆ U ) tức ta đƣợc:  1= W2 16 exp    π∆  ∞ ∫ d ε ln ϒ ( ε ) e −  6ε ∆    −∞ W2 ≡ 16 exp  I U , ∆  )  geom (  (3.1.12) Tƣơng tự, với trung bình cộng hai vế (3.1.11) hệ quy hồi DMFT tuyến tính ta thu đƣợc biểu thức  W ( (  A( n +1) 0) = A( n) 0) 16 arith   1= W2 ∞ d εϒ ε e ( 16  π∆ ∫ −  ∞  π∆2 ∫ −∞  arith ) ∞ − 6ε ∆ 2    ≡      6ε ∆ d εϒ ( ε ) e− W2 I 16  U,∆  arith ( ) (3.1.13) (3.1.14) Trong đó: 35 I geom ( U,∆  ) = exp    π∆2 ∫ (ε ) e ∞ d ε ln ϒ −∞ − 6ε ∆    (3.1.15) ,  6ε I arith ( U , ∆ ) = ∫ −∞ d εϒ( ε ) e− π∆ ∞ ∆ (3.1.16) Tuy nhiên, tích phân (3.1.16) phân kỳ đƣờng biên pha theo trung bình cộng chúng tơi tiến hành giải hệ phƣơng trình DMFT phƣơng pháp lặp sơ đồ khối có Hình 3.1, cịn đƣờng biên pha theo trung bình nhân nhận đƣợc từ lời giải phƣơng trình (3.1.12), (3.1.15) 3.2 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN Để so sánh kết tính tốn với kết trƣờng hợp phân bố đều, hàm phân bố Gauss P ( ε i ) = π∆ exp ( −6εi2 / ∆ ), đƣợc sử dụng mơ hình có phƣơng P (ε i ) = ∆ ∆ θ − εi  2  sai với phƣơng sai hàm phân bố Đồ thị hàm phân bố xác xuất tạp theo hai phân bố   P ( εi ) Hình 3.2 Đồ thị hàm phân bố xác xuất tạp theo phân bố phân bố Gauss với ∆ = −3 ∆ 12 −∆ −∆1 ∆1 ∆ ∆  i 12 đƣợc thể Hình 3.2 Ta nhận thấy rằng, lƣợng ngẫu nhiên nhỏ nằm khoảng ( −∆1 ≤ εi ≤ ∆1 ) , với ∆1 ≈ 0, 232∆ PGauss ( ε i ) > PBox ( εi ) ; lƣợng ngẫu 36  ∆≤ khoảng  − εi nhiên  ≤ εi ∆  ∆1 ≤   ngƣợc lại ta   ≤ −∆1    2 có: PBox ( ε i ) > PGauss ( εi ) Năng lƣợng ngẫu nhiên lớn, nằm giới hạn  ∆ ∆  ( ε i ) > ; PBox ( εi ) = nhiên số trạng thái   − ≤ εi ≤  P Gauss  nhƣ chiếm khoảng 8,4% so với toàn trạng thái phân bố Gauss Chúng tơi thực tính số để giải phƣơng trình DMFT tuyến tính hóa (3.1.12) phƣơng pháp lặp theo sơ đồ Hình 3.1 thu đƣợc trung Điện mơi Anderson Kim loại Điện mơi Mott Hình 3.3 Giản đồ pha điện tử mơ hình Falicov – Kimball với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss nhiệt độ khơng tuyệt đối bình nhân trung bình cộng mật độ trạng thái định xứ (LDOS) Chọn W làm đơn vị lƣợng, kết đƣợc thể Hình 3.3 Ta xác định đƣợc ba pha giản đồ: Pha kim loại xuất miền U ∆ nhỏ, pha điện môi Mott ổn định U tăng, cịn pha điện mơi Anderson trội lên ∆ lớn Sự xuất bất trật tự làm tăng tƣơng tác tới 37 hạn chuyển pha Mott – Hubbard Uc = W / = / Khi cƣờng độ trật tự tới hạn định xứ Anderson tăng tƣơng tác nhỏ (0 ≤ U ≤ 0, 6W ) , giá trị tới hạn ∆ c (U = ) ≈ 1, 637 sau bị giảm xuống tƣơng tác mạnh Chúng thấy giới hạn mức độ trật tự nhỏ ( ≤ ∆ ≤ 0, 25 ) lý thuyết L-DMFT với trung bình cộng trung bình nhân cho kết Các kết thu đƣợc tƣơng tự nhƣ kết qua thu đƣợc cơng trình [2] Byczuk Giản đồ pha kim loại – điện mơi mơ hình Falicov – Kimball với bất trật tự tuân theo phân bố (kết Byczuk) tuân theo phân bố Gauss đƣợc thể Hình 3.4 Điện mơi Anderson Kim loại Điện mơi Mott Hình 3.4 : Giản đồ pha điện tử mơ hình Falicov – Kimball lấp đầy nửa nhiệt độ không tuyệt đối bất trật tự tuân theo phân bố phân bố Gauss Ta thấy miền kim loại hai trƣờng hợp có hình dạng gần giống nhau, chí diện tích chúng gần Tuy nhiên ngồi phần chung, miền kim loại phân bố tập trung nhiều miền có ∆ nhỏ, cịn miền kim loại phân bố Gauss tập trung miền có ∆ lớn Điều 38 đƣợc giải thích sơ thơng qua Hình 3.2 : Bất trật tự có lƣợng ngẫu nhiên nhỏ ( −∆1 ≤ εi ≤ ∆1 ) phân bố Gauss tập trung nhiều so với phân bố đều, miền kim loại ứng với lƣợng bất trật tự nhỏ phân bố Gauss hẹp so với phân bố ngƣợc lại Tiếp theo, tiến hành tính số theo sơ đồ 3.1 để tính LDOS trung bình nhƣ hàm ∆ U = 0,3 (nhỏ) so sánh với kết Byczuk ta thấy kết hai trƣờng hợp tƣơng tự Tuy nhiên đồ thị Hình 3.5 cho ta thấy phân bố LDOS trung bình giảm nhanh so với phân bố Gauss Xét kết với phân bố Gauss, mức độ trật tự nhỏ ≤ ∆ ≤ 0, 25 hai kiểu lấy trung bình cộng trung bình nhân cho kết quả, ∆ tăng Ageom ( 0) Aarith ( 0) giảm nhƣng trung bình nhân giảm U = 0.3 Hình 3.5 : Mật độ trạng thái địa phương trung bình mức Fermi ( ω) = hàm thông số trật tự U = 0,3 (tương tác yếu) nhanh hơn; ∆ = , chuyển pha kim loại – điện môi Anderson xảy ( Ageom ( ) = Aarith ( ) = 0.578 ), theo phân bố chuyển pha xảy ∆ ≈ 1.7 Kết phù hợp với giản đồ pha Hình 3.4 39 Tiếp tục tính số theo sơ đồ Hình 3.1 để tính trung bình mật độ trạng thái địa phƣơng LDOS nhƣ hàm ∆ tƣơng tác mạnh xét U = 0.8 U = 0.3 U = 0.8 : Mật độ trạng thái địa phương trung bình mức Fermi ω= số trật tự U = 0,3 yếu) Hình 3.6 : Mật độ trạng thái địa phương trung bình mức Fermi (( ω)) = hàm thông số trật tự U = 0,8 (tương tác mạnh) Từ kết tính số thu đƣợc thể sơ đồ Hình 3.6 ta thấy kết thu đƣợc tính số phân bố Gauss xấp xỉ với kết phân bố Cụ thể chuyển pha kim loại – điện môi Mott phân bố Gauss xảy sớm bất trật tự tăng ( ∆ nhỏ hơn) so với phân bố đều, chúng có giá trị lần lƣợt 0,46 0,6 Chuyển pha kim loại – điện môi Anderson xảy hai lần trƣờng hợp Ở phân bố Gauss ứng với giá trị ∆ ≈ 0, ∆ ≈ 2,1 , phân bố ∆ ≈ 0, 67 ∆ ≈ 2, Kết phù hợp với giản đồ pha Hình 3.4 40 KẾT LUẬN Những kết mà luận văn thu đƣợc là:  Giới thiệu tổng quan tranh vùng lƣợng, khái niệm điện môi Mott định xứ Anderson  Giới thiệu hàm Green: Định nghĩa, phƣơng trình chuyển động cách tính hàm Green số trƣờng hợp đơn giản; trình bày sơ lƣợc lý thuyết trƣờng trung bình động DMFT cho hệ đồng lý thuyết mơi trƣởng điển hình TMT cho định xứ Anderson  Sử dụng phƣơng trình chuyển động nhƣ phƣơng pháp giải toán tạp mơ hình AFKM lấp đầy nửa theo lý thuyết mơi trƣờng điển hình Tiến hành giải số phƣơng trình từ lý thuyết trƣờng trung bình động tuyến tính hóa nhƣ tính mật độ trạng thái trung bình mức Fermi, từ nhận đƣợc giản đồ pha điện tử FKM với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss, nhƣ mật độ trạng thái trung bình cộng trung bình nhân mức Fermi nhƣ hàm ∆ cho trƣờng hợp tƣơng tác U  So sánh kết tính số thu đƣợc với kết cơng trình Byczuk bất trật tự tuân theo phân bố đều, rút kết luận: Giản đồ pha cho trƣờng hợp tƣơng tự nhau, chúng gồm pha: kim loại U, ∆ nhỏ; điện môi Mott U lớn điện môi Anderson ∆ lớn, hình dạng miền kim loại khơng khác nhiều Do nói: giản đồ pha mơ hình AFKM lấp đầy nửa, mức độ định tính, khơng phụ thuộc vào việc bất trật tự tuân theo phân bố hay phân bố Gauss 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] V Dobrosavljevic, A Pastor and B K Nikolic, Typical medium theory of Anderson localization: A local order parameter approach to strong disorder effects, Eur Phys Lett 62, 76 ( 2003) [2] K Byczuk, Metal – insulator transitions in the Falicov – Kimball model with disorder, Phys Rev B71, 205105 (2005) [3] A Horvat, Metal – Mott insulator transitions – Seminar in University of Ljubljana, September 10, 2013 (2013) [4] D.B McWhan et al., Metal – insulator transitions in pure and doped V2O3 , Phys Rev B7, 1920 (1973) [5] S-K Mo et al., Prominent quasiparticle peak in the photoemission spectrum of the metallic phase of V2O3, Phys Rev Lett 90,186403 (2003) [6] P.W Anderson, Absence of diffusion in certain random site, Phys Rev 109, 1492 (1958) [7] E Tarquini, Anderson localization in high dimensional lattices, Ph.D thesis, Université Paris – Saclay, (2016) [8] Nguyễn Tồn Thắng, Nhập mơn hệ điện tử tƣơng quan mạnh Bài giảng (lƣu hành nội bộ) [9] Q Feng, Study of single impurity Anderson model and dynamical mean field theory based on equation of motion method, Ph.D thesis, Goeth – Universität Frankfurt, (2009) [10] V Dobrosavljević , Typical – medium theory of Mott – Anderson localization, Int J Mod Phys B 24,1680 (2010) [11] Nguyễn Thị Huệ, Luận văn thạc sĩ, Khoa Vật lý, Học viện Khoa học Công nghệ, Hà Nội, (2019) ... nửa bất trật tự tuân theo phân bố Gauss lý thuyết TMT so sánh với kết Byczuk nhằm đánh giá ảnh hƣởng loại phân bố tạp lên giản đồ pha tìm đƣợc Đề tài luận văn là: Giản đồ pha điện tử mơ hình Falicov. .. hình Anderson – Falicov – Kimball lấp đầy nửa với bất trật tự tuân theo phân bố Trong chƣơng thu đƣợc kết tƣơng tự cho mô hình với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss so sánh với kết Byczuk công... Anderson 2) Xây dựng giản đồ pha điện tử FKM với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss so sánh với giản đồ pha trƣờng hợp phân bố Luận văn áp dụng lý thuyết mơi trƣờng điển hình, kết hợp DMFT việc