Phòng giáo dục Đề khảo sát học sinh giỏi Trờng thcs Môn: Toán 6 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Giáo viên ra đề : Nguyễn Văn Hải Đề BàI Câu 1 Chứng minh rằng a)Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4. b)Trong 4Số tự nhiên tùy ý bao giờ cũng có ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho 3. Câu 2. Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 ngời tham gia.Khi tổng chỉ huy xếp hàng 5,hàng 6 và hàng8 thì thấy đều lẻ 1 ngời.Khi cho đoàn ngời xếp hàng 13 thì vừa không lẻ ngời nào.Hỏi số ngời dự đồng diễn chính xác là bao nhiêu? Câu 3. a)Tính tổng:S n =1+a+a 2 +a 3 + .+a n . b)Ap dụng tính tổng sau: S =1-2+2 2 -2 3 + +2 100 T=3-3 2 + 3 3 + .+3 1999 -3 2000 . Câu4. a) Cho bốn điểm A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta kẻ đợc một đờng thẳng.Có bao nhiêu đờng thẳng? b)Cũng hỏi nh thế với 5 điểm,10 điểm? ------------------------------------------- Đáp án và thang điểm Câu1 : (2,5điểm ) a) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là : S = a+ (a+1) +(a+2) +(a+3) =4a +6 (0,25đ) Bởi vì ;44 a 6 không chia hết cho 4 suy ra S không chia hết cho 4 (0,25đ) b) Giả sử 4 số tự nhiên tùy ý là 4321 ,,, aaaa (0,25đ) Chia các số d này cho 3 ta đợc các số d là 4321 ,,, rrrr (0 )3,,, 4321 < rrrr (0,25đ) 111 3 rqa += (0,25đ) 222 3 rqa += (0,25 đ) 333 3 rqa += (0,25đ) 444 3 rqa += (0,25đ) Vì các số 4321 ,,, rrrr chỉ nhận một trong các giá trị 0,1,2 nên chắc chắn có ít nhất hai số bằng nhau. Giả sử 21 rr = thế thì 21 aa = = (3 11 + rq )3 22 rq + =3( .3) 21 qq = ( 0,25đ) Đó là điều phải chứng minh. Câu 2: (2,5 điểm) Nếu số ngời tham dự đồng đồng diễn là n. Khi xếp hàng 5 mỗi hàng k ngời thì lẻ 1 ngời tức là : n = 5. k+1 => n-1=5k => n-1 5 lập luận tơng tự ta thấy n-1 6 và n-1 8 (0,25đ) vậy n-1 là một bội chunh của 5,6,8 . Ta có BCNN (5 , 6 , 8) = 120 .Mọi bội chung của 5,6,8 đều là bội của 120 . Điều này nghĩa là số n phải thỏa mãn các điều kiện n-1= 120k , Nk 13;500350 nn (0,25) (1 ) Nếu n-1 = 360 => n =361 (loại ) (0,25đ) Nếu n-1 = 480 => n= 481 ( nhận ) (0,25đ) Vậy số ngời tham gia đồng diễn là 481 ngời . (0,25đ) Câu 3: ( 2,5điểm ) a) Xét tổng : S n = 1+a+a 2 + + a n (0,25đ) khi a= 1 ta có ngay : S n = n+1 khi 1 a : a.S n = a + a 2 + + a n +a n+1 => a .S n S n = a n+1 -1 => S n = 1 1 1 + a a n (0,75đ) b) áp dụng : S 100 = 1+a +a 2 + + a 100 = 1 1 100 a a (0,25đ) Với a= -2 ta đợc : S = 1 – 2 +2 2 -2 3 + .+2… 100 = 3 12 3 12 12 1)2( 101101101 + = − −− = −− −− (0,5®) * T = 3 - 3 2 + 3 3 - + 3… 1998 – 3 2000 = 3( 1-3 +3 2 -3 3 + +3… 1998 -3 1999 ) = (0,5®) 3. 4 )31(3 4 13 .3 13 1)3( 200020002000 − = − − = −− −− (0,25®) C©u 4: (2,5®iÓm ) a) Qua A 1 kÎ ®îc 3 ®êng th¼ng A 1 A 2 , A 1 A 3 , A 1 A 4 (0,25®) Qua A 2 kÎ ®îc 2 ®êng th¼ng A 2 A 3 , A 2 A 4 (0,25®) Qua A 3 kÎ ®îc 1 ®êng th¼ng A 3 A 4 (0,25®) Qua A 4 kh«ng cßn kÎ thªm ®îc ®êng th¼ng nµo míi. VËy cã tÊt c¶ 3+2+1=6 ®êng th¼ng. (0,25®) b) NÕu cho 5 ®iÓm A 1 , A 2 , A 3 ,A 4 , A 5 trong ®ã kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng th× (0,25) Qua A 1 kÎ ®îc 4 ®êng th¼ng A 1 A 2 , A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 (0,25®) Qua A 2 kÎ ®îc 3 ®êng th¼ng A 3 A 2 , A 2 A 5 , A 2 A 4 (0,25®) Qua A 3 kÎ ®îc 2 ®êng th¼ng A 4 A 3 , A 3 A 5 (0,25®) Qua A 4 kÎ ®îc 1 ®êng th¼ng A 4 A 5 (0,25®) Qua A 5 kh«ng cßn kÎ thªm ®îc ®êng th¼ng nµo míi (0,25®) VËy cã tÊt c¶ 4+ 3+2+1=10 ®êng th¼ng. LËp luËn nh trªn sè ®êng th¼ng kÎ ®îc khi cho 10 ®iÓm trong ®ã kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng lµ : 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 ®êng th¼ng . (0,25®) . áp dụng : S 100 = 1+a +a 2 + + a 100 = 1 1 100 a a (0 ,25 đ) Với a= -2 ta đợc : S = 1 – 2 +2 2 -2 3 + . +2 100 = 3 12 3 12 12 1 )2( 101101101 + = − −− =. 3 rqa += (0 ,25 đ) 22 2 3 rqa += (0 ,25 đ) 333 3 rqa += (0 ,25 đ) 444 3 rqa += (0 ,25 đ) Vì các số 4 321 ,,, rrrr chỉ nhận một trong các giá trị 0,1 ,2 nên chắc chắn