CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH §1. SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH 1. Dạng đại số của số phức: Ta gọi số phức là một biểu thức dạng (x + jy) trong đó x và y là các số thực và j là đơn vị ảo. Các số x và y là phần thực và phần ảo của số phức. Ta thường kí hiệu: z = x + jy x = Rez = Re(x + jy) y = Imz = Im(x + jy) Tập hợp các số phức được kí hiệu là C. Vậy: C = { z = x + jy | x ∈ R , y ∈ R} trong đó R là tập hợp các số thực. Nếu y = 0 ta có z = x, nghĩa là số thực là trường hợp riêng của số phức với phần ảo bằng 0. Nếu x = 0 ta z = jy và đó là một số thuần ảo. Số phức z = x − jy được gọi là số phức liên hợp của z = x + jy. Vậy Re(z) = Re(z) , Im(z) = −Im(z) , z = z . Số phức z = x jy là số phức đối của z = x + jy. Hai số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2 gọi là bằng nhau nếu x1 = x2 và y1 = y2. 2. Các phép tính về số phức: a. Phép cộng: Cho hai số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2. Ta gọi số phức z = (x1 + x2 ) + j(y1 + jy2 ) là tổng của hai số phức z1 và z2. Phép cộng có các tính chất sau: z1 + z2 = z2 + z1 (giao hoán) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 (kết hợp) b. Phép trừ: Cho 2 số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2. Ta gọi số phức z = (x1 x2 ) + j(y1 jy2 ) là hiệu của hai số phức z1 và z2. c. Phép nhân: Cho 2 số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2. Ta gọi số phức z = z1.z2 = (x1x2y1y2) + j(x1y2 + x2y1) là tích của hai số phức z1 và z2. Phép nhân có các tính chất sau: z1,z2 = z2.z1 (tính giao hoán) (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) (tính kết hợp) z1(z2 + z3) = z1.z2 + z2.z3 (tính phân bố) (1.z) = z z.0 = 0. z = 0 j.j = 1 d. Phép chia: Cho 2 số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2. Nếu z2 ≠ 0 thì tồn tại một số phức z = x + jy sao cho z.z2 = z1. Số phức: 122 22 1 2 2 1 22 22 1 2 1 2 1 2 x y y x y x j x y x x y y zz z − + + + + = = được gọi là thương của hai số phức z1 và z2. e. Phép nâng lên luỹ thừa: Ta gọi tích của n số phức z là luỹ thừa bậc n của z và kí hiệu: z z.z z n = L Đặt w = zn =(x + jy)n thì theo định nghĩa phép nhân ta tính được Rew và Imw theo x và y. Nếu zn = w thì ngược lại ta nói z là căn bậc n của w và ta viết: n z = w f. Các ví dụ: Ví dụ 1: j2 = 1 j3 = j2.j = 1.j = j Ví dụ 2: (2+j3) + (35j) = 52j j 1 j = − j 72 32 2 3 7 j 1 j (2 5j)(1 j) 1 j 2 5j 2 = − + − + = − + + = + − Ví dụ 3: z + z = (x + jy) + (x − jy) = 2x = 2Rez Ví dụ 4: Tìm các số thực thoả mãn phương trình: (3x j)(2 + j)+ (x jy)(1 + 2j) = 5 + 6j Cân bằng phần thực và phần ảo ta có: 17 36 y 17 20 x = = − Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: ⎧⎨⎩ + ε = + + ε = 2z 1 j z j 1 Ta giải bằng cách dùng phương pháp Cramer và được kết quả: 5 4 3j 5 (2 j)(1 2j) 1 2j 2 j 2 1 1 j 1 j 1 1 j z + = − + = − − = + = 5 3 j 5 (j 1)(1 2j) 1 2j j 1 2 1 1 j 2 1 j 1 j − − = − + = − − = + ε =
CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH §1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH Dạng đại số số phức: Ta gọi số phức biểu thức dạng (x + jy) x y số thực j đơn vị ảo Các số x y phần thực phần ảo số phức Ta thường kí hiệu: z = x + jy x = Rez = Re(x + jy) y = Imz = Im(x + jy) Tập hợp số phức kí hiệu C Vậy: C = { z = x + jy | x ∈ R , y ∈ R} R tập hợp số thực Nếu y = ta có z = x, nghĩa số thực trường hợp riêng số phức với phần ảo Nếu x = ta z = jy số ảo Số phức z = x − jy gọi số phức liên hợp z = x + jy Vậy Re(z) = Re(z) , Im(z ) = − Im(z) , z = z Số phức -z = -x - jy số phức đối z = x + jy Hai số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 gọi x1 = x2 y1 = y2 Các phép tính số phức: a Phép cộng: Cho hai số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = (x1 + x2 ) + j(y1 + jy2 ) tổng hai số phức z1 z2 Phép cộng có tính chất sau: (giao hốn) z1 + z2 = z2 + z1 (kết hợp) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 b Phép trừ: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = (x1 - x2 ) + j(y1 - jy2 ) hiệu hai số phức z1 z2 c Phép nhân: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = z1.z2 = (x1x2-y1y2) + j(x1y2 + x2y1) tích hai số phức z1 z2 Phép nhân có tính chất sau: (tính giao hốn) z1,z2 = z2.z1 (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) (tính kết hợp) z1(z2 + z3) = z1.z2 + z2.z3 (tính phân bố) (-1.z) = -z z.0 = z = j.j = -1 d Phép chia: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Nếu z2 ≠ tồn số phức z = x + jy cho z.z2 = z1 Số phức: z= y x − y x1 z1 x1x + y y = + j 22 2 z2 x2 + y2 x + y 22 gọi thương hai số phức z1 z2 e Phép nâng lên luỹ thừa: Ta gọi tích n số phức z luỹ thừa bậc n z kí hiệu: z n = z.z L z Đặt w = zn =(x + jy)n theo định nghĩa phép nhân ta tính Rew Imw theo x y Nếu zn = w ngược lại ta nói z bậc n w ta viết: z=n w f Các ví dụ: Ví dụ 1: j2 = -1 j3 = j2.j = -1.j = -j Ví dụ 2: (2+j3) + (3-5j) = 5-2j = −j j + j (2 + j)(1 + j) − + j = = =− + j 1− j 1− j 2 z + z = ( x + jy) + ( x − jy) = 2x = Re z Ví dụ 3: Ví dụ 4: Tìm số thực thoả mãn phương trình: (3x - j)(2 + j)+ (x - jy)(1 + 2j) = + 6j Cân phần thực phần ảo ta có: 20 36 x= y=− 17 17 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: ⎧z + jε = ⎨ ⎩2 z + ε = + j Ta giải cách dùng phương pháp Cramer kết quả: j z= 1+ j − j (2 − j)(1 + j) + j = = = j 1− 2j 5 1 j 1+ j j − ( j − 1)(1 + j) − − j ε= = = = j 1− 2j 5 Ví dụ 6: Chứng minh đa thức P(z) đa thức biến số phức z với hệ số thực: P(z) = a0zn + a1zn-1 + ⋅⋅⋅+ an P (z ) = P ( z ) Thật ta thấy số phức liên hợp tổng tổng số phức liên hợp số hạng, số phức liên hợp tích tích số phức liên hợp thừa số Do vậy: a k z n −k = a k z n −k Do đó: n n n k =0 k =0 k =0 P( z ) = ∑ a k z n −k = ∑ a k z n −k = ∑ a k z n −k = P( z ) Từ kết suy đa thức P(z) có hệ số thực α nghiệm phức tức P(α) = α nghiệm nó, tức P( α ) = Biểu diễn hình học: Cho số phức z = x + jy Trong mặt phẳng xOy ta xác định điểm M(x,y) gọi toạ vị số phức z Ngược lại cho điểm M mặt phẳng, ta biết toạ độ (x,y) lập số phức z = x + jy Do ta gọi xOy mặt phẳng phức Ta biểu diễn số phức vec tơ tự có toạ độ (x,y) Mođun argumen số phức z: Số phức z có toạ vị M Ta gọi độ dài r vec tơ OM mođun z kí hiệu z Góc ϕ xác định sai khác 2kπ gọi argumen z kí hiệu Argz: M r = z = OM y r Argz = Ox, OM = ϕ + kπ ϕ đặc biệt, trị số Argz nằm -π π gọi giá x O trị Argz kí hiệu argz Trường hợp z = Argz không xác định Giữa phần thực, phần ảo, mođun argumen có liên hệ: x = rcosϕ y = rsinϕ r = x + y2 y tgϕ = x ( ) y ⎧ ⎪acrtg x ⎪ y ⎪ arg z = ⎨π + acrtg x ⎪ y ⎪ ⎪− π + acrtg x ⎩ x > x < 0, y ≥ x < 0, y < Với x = từ định nghĩa ta có: ⎧π ⎪⎪ arg z = ⎨ ⎪− π ⎪⎩ y > y < Hai số phức có mođun argumen z = z z.z = z Từ cách biểu diễn số phức vec tơ ta thấy số phức (z1 - z2) biểu diễn khoảng cách từ điểm M1 toạ vị z1 đến điểm M2 toạ vị z2 Từ suy | z | = r biểu thị đường tròn tâm O, bán kính r Tương tự | z - z1 | = r biểu thị đường tròn tâm z1, bán kính r; | z - z1 | > r phần mặt phức ngồi đường trịn | z - z1 | < r phần đường trịn Hơn ta có bất đẳng thức tam giác: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ; | z1 - z2 | ≥ || z1 | - | z2 || Từ định nghĩa phép nhân ta có: z1.z2 = r1.r2 [(cosϕ1cosϕ2 - sinϕ1sinϕ2) - j(sinϕ1cosϕ2 + sinϕ2cosϕ2)] = r1.r2 [cos(ϕ1 + ϕ2) + jsin(ϕ1 + ϕ2)] Vậy: | z1.z2 | = | z1 |.| z2 | Arg(z1.z2 ) = Argz1 + Argz2 + 2kπ Tương tự, z2 ≠ thì: z1 r1 = [cos(ϕ1 - ϕ2) + jsin(ϕ1 - ϕ2)] z r2 z z1 = z2 z2 ⎛z ⎞ Arg ⎜⎜ ⎟⎟ = Argz1 + Argz2 + 2kπ ⎝ z2 ⎠ Các ví dụ: Ví dụ 1: + j = 32 + 2 = 13 Ví dụ 2: Viết phương trình đường trịn A(x2 + y2) + 2Bx + 2Cy + D = với hệ số A, B, C, D số thực mặt phẳng phức Ta đặt z = x + jy nên z = x − jy x + y =| z |2 = z.z Mặt khác 2x = z + z z−z 2y = = − j(z − z ) j Thay vào phương trình ta có: Azz + B(z + z ) − Cj(z − z ) = hay Az z + Ez + Ez + D = Dạng lượng giác số phức: Nếu biểu diễn số phức z theo r ϕ ta có: z = x + jy = r(cosϕ + jsinϕ) Đây dạng lượng giác số phức z Ví dụ: z = -2 = 2(cosπ + jsinπ ) Các phép nhân chia dùng số phức dạng lượng giác tiên lợi Ta có: z1 = r1 (cos ϕ + j sin ϕ) z = r2 (cos ψ + j sin ψ ) z = z1.z = r1r2 [cos(ϕ + ψ ) + j sin (ϕ + ψ )] z1 r1 = [cos(ϕ − ψ ) + j sin (ϕ − ψ )] z r2 Áp dụng cơng thức để tính tích n thừa số z, tức zn ta có: [r(cosϕ + jsinϕ)]n = rn(cosnϕ + jsinnϕ) Đặc biệt r = ta có cơng thức Moivre: (cosϕ + jsinϕ)n = (cosnϕ + jsinnϕ) Thay ϕ -ϕ ta có: (cosϕ - jsinϕ)n = (cosnϕ - jsinnϕ) Ví dụ: Tính tổng: s = cosϕ + cos2ϕ + ⋅⋅⋅+ cosnϕ t = sinϕ + sin2ϕ + ⋅⋅⋅ + sinnϕ Ta có jt = jsinϕ + jsin2ϕ + ⋅⋅⋅ + jsinnϕ Đặt z = cosϕ + jsinϕ theo công thức Moivre ta có: s + jt = z + z2 + ⋅⋅⋅ + zn Vế phải cấp số nhân gồm n số, số hạng z cơng bội z Do ta có: z= z n − z n+1 − z cos( n + 1)ϕ + j sin( n + 1)ϕ − cos ϕ − j sin ϕ = = s + jt = z z −1 z −1 cos ϕ + j sin ϕ − [cos( n + 1)ϕ − cos ϕ] + j[sin(n + 1)ϕ − sin ϕ] = (cos ϕ − 1) + j sin ϕ [cos( n + 1)ϕ − cos ϕ] + j[sin(n + 1)ϕ − sin ϕ] (cos ϕ − 1) − j sin ϕ = (cos ϕ − 1) + j sin ϕ (cos ϕ − 1) − j sin ϕ Như vậy: cos(n + 1)ϕ cos ϕ − cos ϕ − cos(n + 1)ϕ + cos ϕ + sin(n + 1)ϕ sin ϕ − sin ϕ s = Re(s + jt ) = (cos ϕ − 1) + sin ϕ cos(n + 1)ϕ cos ϕ + sin(n + 1)ϕ sin ϕ − cos(n + 1)ϕ + cos ϕ − = − cos ϕ cos ϕ − cos(n + 1)ϕ + cos nϕ − = 2(1 − cos ϕ) Tương tự ta tính t = Im(s+jt) Khi biểu diễn số phức dạng lượng giác ta dễ tính bậc n Cho số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) ta cần tìm bậc n z, nghĩa tìm số phức ζ cho: ζn = z n số nguyên dương cho trước Ta đặt ζ = ρ(cosα + jsinα) vấn đề phải tìm ρ α cho: ρn(cosnα + jsinnα) = r(cosϕ + jsinϕ) Nghĩa ρn = r nα = ϕ ϕ + kπ Kết là: ζ = n r ; α = n Cụ thể, bậc n z số phức: ϕ ϕ⎞ ⎛ ζ o = n r ⎜ cos + j sin ⎟ n n⎠ ⎝ ϕ + 2π ϕ + 2π ⎞ ⎛ ζ1 = n r ⎜ cos + j sin ⎟ n n ⎠ ⎝ ϕ + 2(n − 1)π ϕ + 2(n − 1)π ⎤ ⎡ ζ n −1 = n r ⎢cos + j sin ⎥⎦ n n ⎣ với k số nguyên cần lấy n số nguyên liên tiếp (k = 0, 1, 2, ,n-1) k lấy hai số nguyên n ta có số phức Toạ vị số phức tổng, hiệu, tích thương hai số phức: a Toạ vị tổng hiệu: Toạ vị tổng hai số phức tổng hay hiệu vec tơ biểu diễn số phức b Toạ vị tích hai số phức: Ta tìm toạ vị tích hai số phức phương pháp dựng hình Cho hai số phức z1 z2 hình vẽ Ta dựng cạnh Oz1 tam giác Oz1z đồng dạng với tam giác O1z2 Như Oz tích hai số phức z1 z2 Thật vậy, tam giác Oz1z đồng dạng với tam giác O1z2 nên ta có: z2z1=z z2 z1 z z2 = hay z = z1.z2 z1 c Toạ vị thương hai số phức: Việc tìm thương hai số phức đưa tìm tích 1 z1 Vì ta cần tìm w = Trước hết ta giả thiết | z | < 1(hình a) z2 z Ta tìm w theo bước sau: - vẽ đường tròn đơn vị z - dựng z đường vuông với Oz cắt đường tròn đơn vị s - vẽ tiếp tuyến với đường tròn s cắt Oz t - ∆Ozs & ∆Ost đồng dạng nên ta có | t |= |z| - lấy w đối xứng với t Trường hợp | z | > ta vẽ hình b: - vẽ đường tròn đơn vị z - từ z vẽ tiếp tuyến với đường tròn s - dựng s đường vuông với Oz cắt Oz t - Ozs Ost đồng dạng nên ta có | t | = |z| - lấy w đối xứng với t z t s s z t O w w a b Dạng mũ số phức: Nhờ công thức Euler e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ ta biểu diễn số phức dạng số mũ: z = rejϕ = | z |ejArgz −j 3π Ví dụ z = −1 − j = 2e Biểu diễn số phức dạng mũ tiện lợi cần nhân hay chia số phức: z1 = r1e jϕ z = r2 e jα z1z = r1r2 e j( ϕ+α ) z1 r1 j( ϕ−α ) = e z r2 Mặt cầu Rieman: Ta xét mặt cầu S tâm (0, 0, 0.5), bán kính 0.5 (tiếp xúc với mặt phẳng xOy O) Mặt phẳng xOy mặt phẳng phức z với Ox trục thực Oy trục ảo Đoạn thẳng nối điểm z = x + jy có toạ vị N mặt phẳng phức với điểm P(0, 0, 1) mặt cầu cắt mặt cầu điểm M(a, b, c) Ta gọi M hình chiếu điểm z lên mặt cầu S với cực P Phép ánh xạ lập nên tương ứng một tất điểm mặt phẳng z mặt cầu S thủng P Vì điểm P, M, N nằm đường thẳng nên ta có: OT a b PM − c = = = = P ON x y PN a b 1− c hay = = c x y M a b a + jb hay: x= ;y = ;z = 1− c 1− c 1− c 2 (a + b ) O y b Từ đó: z = a (1 − c) T 2 x : a +b +c -c=0 N c suy ra: z = 1− c z x y c= ;a= ;b= hay: 2 1+ z 1+ z 1+ z Hình chiếu có tính chất đáng lưu ý sau: đường tròn mặt phẳng z(đường thẳng coi đường trịn có bán kính ∞) chuyển thành đường tròn z+z z+z mặt cầu ngược lại Thật để ý x = ta thấy đường tròn ;y = 2j mặt phẳng z thoả mãn phương trình dạng: j Azz + B( z + z ) − C( z − z ) + D = 2 Trong A, B, C, D số thực thỏa mãn A ≥ 0, B2 + C2 > 4AD, đặc biệt đối vơsi đường thẳng A = Áp dụng gái trị z, x, y ta có: (A - D)c +Ba +Cb + D = đường trịn mặt cầu S §2 HÀM MỘT BIẾN PHỨC Khái niệm miền biên miền: a Điểm tập: Giả sử E tập hợp điểm mặt phẳng phức z zo điểm thuộc E Nếu tồn số ε lân cận zo nằm hồn tồn E zo gọi điểm tập E b Biên tập: Điểm ζ thuộc E hay không thuộc E gọi điểm biên tập E hình trịn tâm ζ chứa điểm thuộc E không thuộc E Tập hợp điểm biên tập E gọi biên tập E Nếu điểm η không thuộc E tồn hình trịn tâm η khơng chứa điểm E η gọi điểm ngồi tập E Ví dụ: Xét tập E hình trịn | z | < Mọi điểm E điểm Biên E đường tròn | z | = Mọi điểm | η | > điểm E c Miền: Ta gọi miền mặt phẳng phức tập hợp G có tính chất sau: - G tập mở, nghĩa có điểm - G tập liên thông, nghĩa qua hai điểm tuỳ ý thuộc G, nói chúng đường cong liên tục nằm gọn G Tập G, thêm điểm biên gọi tập kín kí hiệu G Miền G gọi bị chặn tồn hình bán kính R chứa G bên a b c Trên hình a miền đơn liên, hình b miền nhị liên hình c miền tam liên Hướng dương biên L miền hướng mà L theo hướng phần miền G kề với người ln nằm bên trái π π Ví dụ 1: Vẽ miền < arg z < π π Ta vẽ tia Ou1 cho ( Ox, Ou1 ) = Sau vẽ tia Ou2 cho ( Ox , Ou ) = Mọi điểm z nằm u1Ou có argumen thoả mãn điều kiện toán Ngược lại π π điểm có argumen nằm ỏ góc u 1Ou π π Vậy miền < arg z < phần mặt phẳng giới hạn hai cạnh Ou1 Ou2 y y u2 u1 O x -1 O x Ví dụ 2: Vẽ miền Rez > -1 Mọi điểm nằm bên phải đường thẳng x = -1 thoả mãn Rez > -1 Ngược lại điểm z có phần thực lớn -1 nằm bên phải đường thẳng x = -1 Vậy miền Rez > -1 nửa mặt phẳng phức gạch chéo hình vẽ Định nghĩa hàm biến phức: a Định nghĩa: Giả sử E tập hợp điểm mặt phẳng phức Nếu có quy luật cho ứng với số phức z∈E số phức xác định w ta nói w hàm số đơn trị biến phức z xác định E ký hiệu: w = f(z), z∈E (1) Tập E gọi miền xác định hàm số Nếu ứng với giá trị z∈E ta có nhiều giá trị w ta nói w hàm đa trị Sau nói đến hàm số mà khơng nói thêm hàm đơn trị Ví dụ: Hàm w = xác định toàn mặt phẳng phức trừ điểm z = z z Hàm w = xác định toàn mặt phẳng phức trừ điểm z = ±j z2+1 z +1 = z = ±j Hàm w = z + z + xác định toàn mặt phẳng phức Đây hàm đa trị Chẳng hạn, với z = ta có w = Vì = cos0 + j sin0 nên w có hai giá trị: 0 w = cos + j sin = 2 + 2π + 2π + j sin w = cos = cos π + j sin π = −1 2 nên ứng với z = ta có hai giá trị w1 = w1 = -1 b Phần thực phần ảo hàm phức: Cho hàm w = f(z) nghĩa cho phần thực u phần ảo v Nói khác u v hai hàm z Nếu z= x+jy thấy u v hai hàm thực biến thực độc lập x y Tóm lại cho hàm phức w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thưc u = u(x, y) v = v(x, y) viết w = f(z) dạng: w = u(x, y) + jv(x, y) (2) Ta chuyển dạng (2) hàm phức cho dạng (1) Ví dụ 1: Tách phần thực phần ảo hàm phức w = z Ta có: 1 x − jy x − jy x jy = w= = = − = z x + jy ( x + jy)( x − jy) x + y x + y x + y Vậy: x y u= v=− 2 x +y x + y2 Ví dụ 2: Tách phần thực phần ảo hàm w = z3 Ta có: w = z = ( x + jy) = x + jx y + j2 xy + j3 y = ( x − 3xy ) + j(3x y − y ) Vậy: u = x − 3xy v = 3x y − y 10 nghiệm u*(x, y) tương ứng gọi hàm riêng tốn Tính chất giá trị riêng hàm riêng là: * Mọi giá trị riêng dương * Tập giá trị riêng tập vô hạn đếm * Nếu λi ≠ λj hàm riêng tương ứng với chúng thoả mãn hệ thức: ∫∫ u i ( x, y)u j ( x, y)dxdy = D nghĩa hàm riêng trực giao với * Một giá trị riêng ứng với nhiều hàm riêng độc lập tuyến tính khác Giá trị riêng gọi giá trị riêng bội * Đối với hàm riêng chưa hệ trực chuẩn phương pháp trực giao hố Schmidt xây dựng hệ hàm riêng trực giao chuẩn, nghĩa hệ ta có: i≠ j ⎧0 u ( x , y ) u ( x , y ) dx dy = ⎨ j ∫∫ i i= j D ⎩1 * Mọi hàm β(x, y) khả vi, liên tục lần thoả mãn điều kiện biên: β( x , y) ( x ,y )∈γ = khai triển theo hệ thống hàm trực giao chuẩn thành chuỗi hội tụ tuyệt đối miền D, nghĩa biểu diến dạng: ∞ β( x , y) = ∑ a k u k ( x , y) k =1 ak tính theo cơng thức: a k = ∫∫ β( x , y)u k ( x , y)dxdy D Từ tính chất nêu hàm riêng giá trị riêng ta thấy tốn (5) & (6) có giá trị riêng dương nên (6) có nghiệm tổng quát là: Tk ( t ) = b k cos λ k at + c k sin λ k at Từ suy ra: ∞ ∞ k =1 k =1 [ u ( x , y, t ) = ∑ u k ( x , y)Tk ( t ) = ∑ u k ( x, y) b k cos λ k at + c k sin λ k at ] Nếu xét đến điều kiện ban đầu ta có: b k = ∫∫ u o ( x , y) ~ u k ( x , y)dxdy D ∫∫ u1 ( x, y)u k ( x, y)dxdy aλ k D Ví dụ 1: Giải phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 2⎛ ∂ u = a ⎜⎜ + ⎟⎟ ∂t ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎧0 ≤ x ≤ l t≥0 miền D = ⎨ ≤ y ≤ m ⎩ với điều kiện đầu: ck = 166 ⎧u ( x , y, t ) t =0 = xy(l − x )(m − y) = u o ( x , y) ⎪ ⎨ ∂u = = u1 ( x , y) ⎪ ∂t ⎩ t =0 điều kiện biên: u ( x, y, t ) ( x ,y )∈γ = γ biên miền D Ta tìm nghiệm toán dạng (4): u(x, y, t) = u*(x, y).T(t) u*(x, y) lại tìm dạng u*(x, y) = X(x).Y(y) phương pháp phân li biến số Khi phương trình (5) viết thành: Y′′( y) X′′( x ) +λ=− Y ( y) X( x ) Từ ta suy ra: ⎧X′′( x ) + αX( x ) = (8) ⎨ ⎩Y′′( y) + βY( y) = Từ điều kiện biên toán ta rút ra: ⎧X(0) = X(l) = (9) ⎨ + = Y ( ) Y ( l ) ⎩ Khi giải phương trình (8) với điều kiện (9) để có nghiệm khơng tầm thường ta cần có: π2n k 2π2 αk = ; βn = m l Từ ta có: n2 ⎞ 2⎛ k λ kn = π ⎜⎜ + ⎟⎟ m ⎠ ⎝l Nghiệm riêng ứng với giá trị riêng hệ hàm trực chuẩn: kπx nπy sin sin u kn = l m lm Khi nghiệm phương trình (6) có dạng: ⎛ ⎛ k n ⎞⎟ k n ⎞⎟ ⎜ ⎜ Tk ( t ) = b kn cos πat + + c kn sin πat + ⎜ ⎜ l m ⎟⎠ l m ⎟⎠ ⎝ ⎝ Tóm lại nghiệm toán là: ∞ ∞ ⎡ ⎛ ⎛ k n ⎞⎟ k n ⎞⎟⎤ kπx nπy ⎜ ⎜ u ( x , y, t ) = ∑ ∑ ⎢b kn cos πat + + c kn sin πat + ⎥ sin sin ⎜ ⎜ l m ⎟⎠ l m ⎟⎠⎥⎦ l m k =1 n =1 ⎢ ⎝ ⎝ ⎣ Trong bkn ckn tính sau: ckn = ∀k, n u1 ≡ 167 b kn = lm kπx nπy xy(l − x )(m − y) sin sin dxdy ∫ ∫ lm 0 l m l kπx m nπy = − − x ( l x ) sin dx y ( m y ) sin dy ∫ ∫ lm l m ⎧ 64m l ⎪ = ⎨ π (2k ′ + 1) (2n ′ + 1) ⎪0 ⎩ k = 2k ′ + 1, n = 2n ′ + k = 2k1 Như vậy: (2n + 1) πy (2k + 1) πx ⎤ 64m 2l ∞ ∞ ⎡ cos πatθ kn sin sin u ( x, y, t ) = ∑∑ ⎥ ⎢ 3 m l π k =1 n =1 ⎣ ( 2k ′ + 1) ( 2n ′ + 1) ⎦ Ví dụ 2:Giải phương trình: ∂ 2u ⎞ ∂ 2u 2⎛ ∂ u = a ⎜⎜ + ⎟⎟ ∂y ⎠ ∂t ⎝ ∂x ⎧0 ≤ x ≤ l miền D = ⎨ t≥0 ≤ ≤ y m ⎩ với điều kiện đầu: πy πx ⎧ = = sin u ( x , y , t ) u ( x , y ) sin o t =0 ⎪⎪ l l ⎨ ⎪ ∂u = u1 ( x , y) = a ⎪⎩ ∂t t =0 l điều kiện biên: u ( x, y, t ) ( x ,y )∈γ = γ biên miền D Tương tự ví dụ 1, sau dùng phương pháp phân li biến số ta tìm giá trị riêng là: n2 ⎞ 2⎛ k λ kn = π ⎜⎜ + ⎟⎟ l ⎠ ⎝l k πx n πy hệ hàm trực chuẩn tương ứng sin hệ số nghiệm tổng sin l l l quát tính sau: ⎧0 k, n ≠ ll πx πy kπx nπy b kn = ∫ ∫ sin sin sin sin dxdy = ⎨ k = n =1 l 00 l l l m ⎩1 nπy πa πx πy ll dxdy k + n c kn = ∫ ∫ sin sin sin m l l l 00 l 168 k , n chan ⎧0 4a l nπy πx l πy ⎪ dx ∫ sin sin dy = ⎨ = ∫ sin 16a l l l m ⎪ lπ (2k′ + 1)(2n ′ + 1) k , n le ⎩ Nghiệm toán là: ⎛ atπ ⎞ πx πy atπ 16 ⎟⎟ sin sin + sin u ( x , y, t ) = ⎜⎜ cos l ⎠ l l l π ⎝ ⎡ atπ (2k + 1) + (2n + 1) ⎤ sin ⎢ ⎥ ∞ ∞ l 16 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎛ 2k + ⎞ ⎛ n + ⎞ + ∑∑ sin πx ⎟ sin ⎜ πy ⎟ ⎜ π k =1 n =1 (2k + 1)(2n + 1) (2k + 1) + (2n + 1) ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ §6 BÀI TỐN CAUCHY- PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH VƠ HẠN VÀ NỬA VƠ HẠN Bài tốn ban đầu: Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt - phương trình loại parabolic tốn giải phương trình: ∂ 2u ∂ u (1) =a ∂x ∂t với điều kiện đầu : u ( x, t ) t =0 = u o ( x ) -∞ < x < ∞, -∞ < y