SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 Khóa ngày 23 tháng năm 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN LỚP 11 THPT- VỊNG Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang SỐ BÁO DANH:…………… Câu 1(3.0 điểm) ( a) Giải phương trình: − − x ) 2− x = x (x ∈ ¡ ) b) Chứng minh phương trình p(x − a)(x − c) + q(x − b)(x − d) = (ẩn x) ln có nghiệm, biết a < b < c < d , p q hai số thực Câu 2(2 điểm) u1 = u1.u2 un lim Cho dãy số (un) xác định : Tìm ÷ un+1 un+1 = ( un − 2) , ∀n ≥ Câu 3(2.5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi (J) đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC; IJ cắt (O) M (khác A) Gọi N điểm cung ¼ ABM ; NI NJ cắt (O) S T a) Chứng minh M trung điểm IJ b) Chứng minh IJ, BC TS đồng quy Câu 4(1.5điểm) Xác định số cách chọn 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương cho cặp 100 số chọn có hiệu số số lớn số bé lớn Câu 5(1.0điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho 22n−1 − 2n + số phương HẾT SỞ GD& ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn (VỊNG2) (Khóa ngày 23 tháng năm 2016) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) Yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm tròn số) điểm tất Câu 1a Nội dung Điểm 2.0 điểm Giải phương trình: ( − − x ) − x = x ĐK : x ≤ Phương trình tương đương với (1+ )( ) ( 1− x 1− 1− x − x = x 1+ 1− x ( ⇔ x − x = x + − x ) ) 0,5 0,25 x = ⇔ 3 − x =1+ 1− x Giải phương trình − x = + − x Đặt a = 1− x;b = − x (a ≥ 0) b = 1+ a Ta có hệ phương trình b − a = Giải hệ b = 1+ a b = 1+ a b = 1+ a ⇔ ⇔ ⇔ a = 0, b = 3 2 b − a = (1+ a) − a = a + 2a + 3a = 0,25 0,25 0,25 0,5 Với a=0, b=1 ta x=1 nghiệm phương trình Đáp số : x=0 x=1 1b Chứng minh phương trình p(x − a)(x − c) + q(x − b)(x − d) = ln có nghiệm, biết a < b < c < d , p q hai số thực Xét hàm số f (x) = p(x − a)(x − c) + q(x − b)(x − d) = liên tục ¡ 1,0 điểm Nếu p = q = phương trình có nghiệm ∀x∈ ¡ 0,25 Nếu p≠ q ≠ 0, khơng tính tổng qt giả sử p≠ f (b) = p( b − a) ( b − c) ; f (d) = p( d − a) ( d − c) ⇒ f (b) f (d) = p2 ( b − a) ( b − c) ( d − a) ( d − c) < (v×a < b < c < d) Vậy phương trình ln có nghiệm Cho dãy số (un) xác định u1 = un+1 = ( un − 2) , ∀n ≥ 0,5 0,25 2,0 điểm u u u Tìm lim n ÷ un+1 Ta chứng minh un > 5,∀n ≥ 2 Ta có u2 = (u1 − 2) = > Giả sử un > un+1 = ( un − 2) > ( 5− 2) = > 2 Từ un+1 = ( un − 2) ⇒ un+1 − un = un ( un − 5) + > 0,∀n∈ ¥ * 0,25 0,25 Do (un) dãy tăng Giả sử (un ) bị chặn suy tồn limun = L (L ≥ 5) Chuyển qua giới hạn un+1 = ( un − 2) ta 0,5 L = ( L − 2) ⇒ L = 1; L = (vô lý) , limun = +∞ Ta có un+1 = ( un − 2) ⇔ un+1 − = un ( un − 4) , ∀n ≥ u1.u2 un un+1 − u1.u2 un un+1 − u1.u2 un = = Nên un+1 un+1 un+1 − un+1 un(un − 4) = un+1 − u1.u2 un−1 u − u1 = = n+1 un+1 (un − 4) un+1 (u2 − 4) = 0,25 0,5 un+1 − 4 = 1− un+1 un+1 ( u1 = 5, u = ) u u u ⇒ lim n ÷ = lim 1− ÷ = lim u n = +∞ u u n+1 n+1 u u u Đáp số : lim n ÷ = un+1 0,25 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi (J) đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC; IJ cắt (O) 2,5 điểm M(khác A) Gọi N điểm cung ¼ ABM ; NI NJ cắt (O) S T a) Chứng minh M trung điểm IJ b) Chứng minh IJ, BC TS đồng quy 0,25 (Hình vẽ đến câu 3a cho 0,25) 3a Ta có: µA µB · · · MBI = MBC + CBI = + (1) 2 µA µB · · · MIB = AIB + IBA = + (2) 2 0,25 0,25 Từ (1) (2) suy tam giác MBI cân M, MI=MB=MC (3) Hơn tứ giác IBJC nội tiếp đường trịn đường kính IJ (4) Từ (3) (4) suy M trung điểm IJ 3b ( ) 2( ) 0,25 0,25 » Ã ằ = sđNM ẳ + sđAS ằ = NIM · = s®NA + s®AS (*) Ta có NTS · · Mặt khác NTS + J¶IS = 1800 (**) + J¶IS = 1800 NIM 0,5 Từ (*) (**) suy J· TS = J¶IS Do tứ giác JTIS nội tiếp đường trịn (O1) Hơn tứ giác IBCJ nội tiếp đường tròn (O2) có đường kính IJ Ta thấy IJ trục đẳng phương (O1) (O2); BC trục đẳng phương (O2) (O), TS trục đẳng phương (O) (O1) Theo tính chất tâm đẳng phương ba đường trịn có tâm khơng thẳng hàng O, O1 O2 suy IJ, BC TS đồng quy Xác định số cách chọn 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương cho cặp 100 số chọn có hiệu số số lớn số bé lớn Gọi A tập hợp tất 100 số ( a1,a2, ,a100 ) thỏa mãn u cầu tốn Kí hiệu B tập hợp 100 số phân biệt 1917 số nguyên dương Ta xét ánh xạ f : A → B theo quy ước sau ( a1,a2, ,a100 ) a ( a1,a2 − 1, ,a100 − 99) a1 < a2 < < a100 Vì a2 − a1 ≥ ⇒ a2 − 1≥ a1 + 1> a1 a3 − a2 ≥ ⇒ a3 − ≥ a2 > a2 − a4 − a3 ≥ ⇒ a4 − 3≥ a3 − 1> a3 − 0,25 0,5 1.5 điểm 0,25 0,25 0,25 a100 − a99 ≥ ⇒ a100 − 99 ≥ a99 − 97 > a99 − 98 a1 ≥ 1,a100 − 99 ≤ 2016 − 99 = 1917 ⇒ ( a1,a2 − 1, ,a100 − 99) ∈ B 0,25 Như với phần tử thuộc A ứng với phần tử thuộc Bqua ánh xạ f tương tự với phần tử ( b1,b2, ,b100 ) ∈ B tồn ( b ,b + 1, ,b 100 + 99) ∈ A để f ( b1,b2 + 1, ,b100 + 99) = ( b1,b2, ,b100 ) Do f song ánh nên số phần tử A số phần tử tập B 100 A = B = C1917 100 Đáp số : C1917 Tìm tất số nguyên dương n cho 22n−1 − 2n + số phương 2n−1 n 22n−1 − 2n + 1là số phương − + 1= m ,m∈ ¥ * Xét m= 22n−1 − 2n + 1= 12 ⇒ n = ( thỏa mãn) Xét m> từ 22n−1 − 2n + 1= m2 , suy m lẻ n≥ Ta có 2 22n−1 − 2n + 1= m2 ⇔ 22n−2 + ( 2n−1 − 1) = m2 ⇔ 22n−2 = m2 − ( 2n−1 − 1) ⇔ 22n−2 = ( m− 2n−1 + 1) ( m+ 2n−1 − 1) 0,25 0,25 1.0 điểm 0,25 0,25 n−1 n−1 Đặt a = m− + 1; b = m+ − Khi ta có n≥ a < b ab = 22n−2 Mặt khác m lẻ nên a, b chẵn Hơn b − a = 2n − ≡ 2(mod4) suy a = b= 2n Thế vào ab = 22n−2 ta 2n+1 = 22n−2 ⇒ n = Thử lại n= thỏa mãn Đáp số: n = 1; n = 0,25 0,25