Thông tin tài liệu
DÃY SỐ DẠNG un1 un � un Kiều Đình Minh (Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ) Đây trường hợp đặc biệt dãy số dạng un 1 f un Tuy nhiên với dãy số dạng vấn đề hội tụ dãy thường khơng đặt q đơn giản (giới hạn �) Trong viết chủ yếu u xây dựng đánh giá cho dãy tìm bậc tiệm cận dãy, cụ thể tìm cho un O n , tức n n bị chặn Chúng ta khảo sát dãy cho với trường hợp cụ thể hay gặp 2; 3; 1; 2; vài trường hợp lớn hơn, riêng trường hợp đơn giản nên không xem xét đến 1 Trường hợp hay gặp giải tốn Vì đưa lên khảo sát trước tiên n 1, 2, Chứng minh Bài toán Cho dãy số un : u1 a (a 0); un1 un un n 1 n 1, 2, a2 a n 1 �un � a n 1 Lời giải Trước hết ta có số nhận xét dãy ● un n ● un dãy tăng thực un �u1 n Ta có u k 1 n 1 n 1 n 1 � �2 � 1� 1 � uk � uk2 � �uk21 �� uk �� un2 u12 n 1 � , suy uk uk k 1 k 1 � k 1 uk � uk � � un2 �u � n 1 �� n un a2 n 1 n 2 n 1 a2 un n Mặt khác lại có uk2 u12 � k 1 uk2 u k 1 1 uk4 u 1 k 1 u 2 k 1 1 � n 1 1 n 1 � � 1� � 1� 1 1 �2 k �1 �� � �� � � � �u1 k u1 2k � k 1 u k k 1 �u1 2k u1 2k � �u1 u1 2n � u12 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta có 2 Do un u1 n 1 Tóm lại: n 1 k 1 k �u n 1 n 1 n n �2 � n 1 � � u12 a2 k 1 uk n 1 n 1 � un a n 1 n �2 2 a 1 a2 1 a n 1 �u n � a n 1 Bài toán Cho dãy số un : u1 5; un 1 un n 1 n 1, 2, ■ a2 n 1, 2, Tìm phần nguyên u1001 un Lời giải Áp dụng kết toán ta có 1000 � 45 u1001 45,5 � u1001 45 48 �u � n 1, 2, Tìm giới hạn lim � n � Bài toán Cho dãy số un : u1 1; un1 un n �� un �n� Lời giải Áp dụng kết tốn ta có 2025 u1001 2025 n un � � n n 2n n 1 un 1 1 � � 2 n n n n2 n n �un � Chuyển qua giới hạn n � � theo nguyên lý kẹp suy nlim ��� n � � � Nhận xét: Với tốn ta làm cách khác sau 2 un2 2 un �, suy u u u Dễ thấy nlim Theo định lý Stolz lim ■ n n n � � lim lim 1 n � � n n �� n 1 n n �� � 2 2 Đây trường hợp mà hay gặp Chúng ta xem xét toán sau Bài toán Cho dãy số un : u1 a (a 0); un 1 un n 1, 2, Chứng minh un n � 1 n � a n 1 �un a3 � n � � � n �1 a �a k 1 k � k 1 k Lời giải Ta có nhận xét ● un n ● un tăng thực un �u1 n Ta có n 1 n 1 uk31 uk3 k �1 � uk31 uk3 � �uk31 �uk3 � un3 u13 n 1 � un a3 n 1 uk u k k 1 k 1 �n �un a 3 n 1 n Lại có uk31 uk3 3 u1 k 1 u1 k 1 uk3 n 1 n 1 � � 1 1 � � � u uk3 � � k 1 2 � k k 1 k k 1 � k 2 k 2 � � n 1 1 n 1 n 2 1 n � un3 u23 n � � u n � � n �3 k 2 k 1 u13 u16 k 1 k k 1 k k 2 k n � 1 n � 3 u a n Suy n � � n �1 � � a � a k 1 k k 1 k � n � 1 n � a n 1 �un a3 � n 1 � � � n �1 ■ a �a k 1 k � k 1 k Chúng ta để kết đánh giá vế phải bất đẳng thức để tuỳ thuộc vào hoàn cảnh cụ thể mà sử dụng ngắt đánh giá cho hợp lý Bài toán Cho dãy số un : u1 a (a 0); un 1 un n 1, 2, un Tóm lại ta có: �unp � a) Chứng minh tồn p, q cho nlim � � q Hãy tìm giới hạn �� n � � n b) Chứng minh tồn r cho � r n �1 k 1 uk Lời giải a) Áp dụng kết toán ta có a n 1 un3 a n 1 1 n 1 n a n 1 2n � 3 6 � �2 3 6 n n n na na n k 1 k 9n k 1 k n na na n 9n n n n n 1 1 � � n� 2n Chuyển qua giới hạn n � � theo Vì � � n k 1 k k k 1 k k 1 k k 1 k �un3 � nguyên lý kẹp ta có nlim � � Vậy p q � � n � � n 1 n 1 n �1 uk 1 uk 1 1 1 � 1 2 � � �� b) Ta có � � � n �1 uk uk 1 uk uk 1 uk uk 1 uk 1 uk uk 1 � u1 un u1 a k 1 uk 1 k 1 � k 1 u k Chọn r ta có điều phải chứng minh.■ a Nhận xét: Phần a) ta dùng định lý trung bình Cesaro sau un3 3 un31 3 3 Do p q Vì un � un 1 un 1 n Bài toán Cho dãy số un : u1 a (a 0); un 1 un n �1 Chứng minh un 3 �3 n 1 n 1 3 1� � � � a a n � u a a � n 1, 2, � n � � 2 a a 8a � � � � � Lời giải Từ công thức truy hồi dãy ta có u k 1 3 3 n 1 n 1 � � � � 32 � 3� 2 2 � uk uk �� uk 1 uk � �uk 1 �� uk2 � � uk 3uk uk 3uk � � � 2� 2� uk � k 1 k 1 � uk � � 3 � un2 u12 3 n 1 a a n 1 2 Mặt khác lại có 2 3 � � � 1 � 3 2 uk 1 � uk u � u u � u u 3 � � k � k 1 k k 1 n 2uk � 4uk � 2uk � 2uk 8uk � 4u k n 1 � �u k 1 k 1 �3 � 3 3 n 1 1 n 1 � � 2 � uk � un a a n 1 � � � 8uk � k 1 k 1 uk k 1 � � u uk k � � n 1 Để ý ta có đánh giá sau n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 ; � � � 3 3 a a a a k 1 k 1 k 1 k a a k 1 uk n 1 n 1 1 n 1 � � � 2 3 k 1 u k k 1 � � a k 2 k 1 a a k 1 � � � � n 2 1 � a k 1 k a a Suy n u a a 3 �2 � 1 n 1 n 1 1 3 a a 3 n 1 � n 1 � �3 a a � 8a a a 8a 3 �3 n 1 n 1 3 1� � � � Tóm lại: a a n � u a a � n 1, 2, ■ � � n � 2 a a 8a � � � � � Nhận xét: Đánh giá chưa thật chặt ta làm trội qua số bước trung gian, nhiên cần đủ ứng dụng toán giới hạn dãy số Chẳng hạn toán sau n �1 Tìm số Bài tốn (Chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 1993) Cho dãy số un : u1 1; un 1 un un �u p � , n �1 có giới hạn hữu hạn khác khơng thực p cho dãy số � n � �n � Lời giải Áp dụng kết tốn ta có 1 3 n 1 u n 1 n 1 a a 4a a 8a3 n n n 2n n 3 3 �1 � 143 �un2 với a � � 2n 2n �n n � 72n a a � 32 �un Chuyển qua giới hạn n � � theo nguyên lý kẹp ta nlim ���n � � � � � � � 3 p 3 up Nếu p un un u p � � Nếu p n � Vậy p giá trị cần tìm ■ n 2 n n n un � có p (nhờ xấp xỉ Nhận xét: Sau nlim � � p � � � � p� p p p� un 1 un �un � � � � u2 � � u2 � n � � n đánh ● � � � 32 � � un lim � un 1 un2 � lim � n �� � � � n��� � � � lim � n ��� � un u n un � � u p pu p ) ta làm theo hai cách sau mà không sử dụng n � n � � � � � � 1 � un � un un2 un un � � � � � un u � n � � � � � � � � � � 1 1 � lim � � 2un un u n � 2 1 � � � � � u u � n�� un un un � � �1 1� n n � � � u n un � � � � � � � � � � � � � � �1 � 3� xn � n � � 3 � � � � u ●● Đặt Khi áp dụng quy tắc n � un 1 u 2n � u � un2 � un2 �n � un � � un2 3 � 32 � xn x 1 L’ Hơpital ta có lim � un 1 un2 � lim lim n � � x �0 xn x � � n � � � 32 � �un � Cuối cùng, áp dụng định lý trung bình Cesaro nlim ���n � � � � � Bài toán Cho dãy số un : u1 1; un 1 un , n 1, 2, Tìm tất số thực cho dãy un �un � �n � , n 1, 2, hội tụ tìm giới hạn khác khơng � � Lời giải Ta có un n �1 4� 4 � un4 �3 un41 �n �2 � un4 un41 n �2 � un4 n 1 n �2 1 3� 3 � �3 � � 1 � � � u u k �2 suy Mặt khác k � k 1 � 3uk 1 � �3 uk51 27uk31 � � � � � � 4 u �3 uk 1 k �2 Do với n �4 , ta có � uk 1 3uk 1 � 3 uk 1 27 uk 1 81uk41 � k un4 n n 1 n n 1 �3 �3 � 3 k uk 1 27 k 2 uk 81 k 2 uk 1 Dựa vào 1 bất đẳng thức Bunyakovski ta có n n � k 2 uk41 1 n uk81 k 2 n �u k 2 k 1 k 3 1 uk41 n 1 � k 3 k n n 2 � k 3 k 1 � n � 1 n 2 � � � � � � k 4 k 3 k � � n 3 � � n2� n n 17 1 � 1 4 � 2 16 8 k 3 k 3 k u 2 n 2 � � � 1 � n 1 � k 3 k 1 uk41 1 Từ , 3 , suy 27 n 27 n 27 59 1 5 � � 64 k 3 k 64 k 3 k 32 32 un4 35 59 n n 2 6 54 81 32 � un3 35 59 Từ 1 , ta � n 2 n �4 � � � n � n 2n 54n 81 32n � 43 � �un � un � nên suy Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức n � � ta nlim Lại nlim � � ���n � � � � � 4 � � �khi �khi � � u � � 3 n lim un � � mà un un u Do nlim n �� � � n 4 n � � n n � � 3 �3 � �un � un � 4 , n 1, 2, hội tụ lim � ■ Vậy giá trị để � � n ���n � 3 �n � � � � � 2 Bài toán Cho dãy số un : u1 � 0;1 ; un 1 un un n �1 Tìm giới hạn lim n nun n �� ln n un Thật vậy, ta có u u u ��u1 u1 � � u � 0;1 , quy Lời giải Ta chứng minh nlim 1 � � � � � � u n a Chuyển qua giới hạn biểu thức nạp ta un � 0;1 n Dễ thấy dãy cho giảm nên suy tồn nlim � � un Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có truy hồi cho ta có a a a � a Vậy nlim � � un un un2 �1 u u u 1 � lim lim n lim � � lim n n 1 lim lim � lim nun n �� nu n �� n n �� u n � � n � � n � � n �� u u u u u u u n n � n 1 n n � n 1 n n n Áp dụng định lý Stolz ta có 1 n n 1 n n nun nu n nun nun u u un lim lim lim nun lim lim n lim n1 n �� n � � n � � n � � n � � ln n un ln n u n ln n ln n ln n 1 ln n 1 1 u un un nun lim n lim 1 n �� n �� n 1 � ln e � ln un ln �1 � n � n� Bài toán 10 Cho a 0; � 0;1 Xét dãy giới hạn tìm giới hạn un : u1 0; un1 un a u 1 n Chứng minh dãy cho có a � � , u 0, a 0, � 0;1 có f � u �1 au �suy � � u f� u � u a Lập bẳng biến thiên ta có f u �a , u Dễ thấy un 0n nên un �a n �2 Xét hiệu Lời giải Xét hàm số f u u 1 1 k 1 � 1 � uk uk 1 u � a uk 1 ��0k �2 Vậy un bắt đầu giảm từ u2 bị chặn a nên tồn giới hạn � � a lim un l Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi cho ta có l l 1 � l a Vậy lim un a ■ n �� n �� l un thực cách np sử dụng định lý Stolz định lý trung bình Cesaro Tuy nhiên với cách đánh giá sử dụng nguyên lý kẹp lời giải tốn tự nhiên sơ cấp Bình Luận: Như nhận xét tốn việc tìm giới hạn BÀI TẬP LUYỆN TẬP k 1 u : u 1; u u n 1, 2, Cho dãy n Chứng minh � k �1 n 1 n un i 1 ui k n 1, 2, Chứng minh � k �1 Cho dãy un : u1 1; un 1 un un i 1 ui 1 1� n 1, 2, Chứng minh nun n � � Cho dãy un : u1 1; un 1 un � 2un 8� n� 1� a un Cho dãy un : u1 0; un 1 � � un � �n �1 a Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn � un Cho dãy un : u1 a (a 0); un 1 un n 1, 2, Tìm giới hạn nlim �� n un 1� a � 2un �n 1, 2, a Tìm giới hạn dãy số Cho dãy un : u1 0; un 1 � 3� un � n �1 Tìm m để tồn giới hạn lim u1 u2 un Cho dãy un : u1 1; un 1 un n � � un m nun Cho dãy un : u1 � 0;1 ; un 1 un un n �1 Tìm giới hạn nlim �� n p nun 1 Cho dãy un : u1 ; un 1 un un n �1 Tìm p �� cho tồn nlim � � * u p 1 10 Cho dãy un : u1 1; un 1 un p n 1, 2, p �� Chứng minh lim n p un n � � n 1 p * u u : u 1; u u n 1, 2, p �� , p n 1 n 11 Cho dãy n Chứng minh lim n p un n � � n p 2012 n ui 2013 12 Cho dãy un : u1 1; un 1 un un n �1 Tìm giới hạn nlim � � � i 1 ui 1
Ngày đăng: 14/08/2020, 17:51
Xem thêm:
