Chun đề hình học Góc vng đường trịn nội tiếp bàng tiếp Người viết: Nguyễn Thanh Dũng Trường THPT Chun Chu Văn An Lạng Sơn Tính tốn đường tròn nội tiếp, bàng tiếp Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp , đường tròn bàng tiếp tương ứng với góc A, B, C Tam giác ABC có cạnh nửa chu vi trịn nội tiếp , đường tròn bàng tiếp Bán kính đường a, Tính đoạn tiếp tuyến đường trịn nội tiếp b, Tính tốn đoạn tiếp tuyến đường trịn bàng tiếp Nhận xét : từ tính toán ta suy ra: hay là: D M đối xứng với qua trung điểm BC Tính chất góc vng sinh từ hai đường trịn nội tiếp, bàng tiếp Bài toán 1: Cho tam giác ABC với tâm đường tròn nội tiếp I, đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB, AC F,E Gọi M giao điểm hai đường thẳng EF BI Chứng minh ∠BMC = 900 Chứng minh: Ta có: ∠BMF = 1800 − ∠FBM − ∠BFM = 1800 − = ∠AFE − ∠B − (1800 − ∠AFE ) ∠B ∠A ∠B ∠C = 900 − − = = ∠ICE 2 2 tứ giác IEMC nội tiếp, nên ∠IMC = ∠IEC = 900 Bài toán 2: Cho tam giác ABC, gọi I A tâm đường trịn bàng tiếp góc A, đường tròn ( I A ) tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA P, M, Q Gọi S giao điểm MP I AC Chứng minh ∠ASI A = 900 Chứng minh: Ta có lưu ý tam giác BMP cân B nên ∠BMP = ∠B ∠C SC phân giác ngồi góc C nên ∠SCB = 900 + 2 ∠I A SP = 1800 − ∠SCB − ∠SMC = 1800 − 900 − = 900 − ∠C − ∠BMP ∠B ∠C ∠A − = = ∠I A AP 2 nên tứ giác I A SAP nội tiếp, nên ∠ASI A = ∠API A = 900 Bài toán 3: Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp, J tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi M giao điểm AJ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR M tâm đường tròn qua bốn điểm B, I, C, J Chứng minh: Trước hết ta chứng minh tính chất quen thuộc tâm nội tiếp: MB=MC=MI Thật vậy, ta có ∠MBI = ∠MBC + ∠IBC = ∠MAC + ∠MBC = ngồi ta có ∠MIB = ∠MAB + ∠IBA = ∠A ∠B + , theo tính chất góc 2 ∠A ∠B + , 2 nên ta có ∠MBI = ∠MIB , nên tam giác MBI cân M, tương tự MIC cân M, nên suy MB=MC=MI Hơn CI CJ hai phân giác ngồi góc C nên CI ⊥ CJ , tam giác CIJ vng C lại có MC=MI nên M trung điểm BC Vì MB=BC=MI=MJ nên M tâm ngoại tiếp tứ giác B,I,C,J Các ví dụ áp dụng Bài 1: Cho tam giác với trung điểm nhọn, tâm nội tiếp , đường tròn nội tiếp Phân giác góc cắt CMR: tam giác tiếp xúc Gọi Giải: Theo tốn ta có ∠BXC = ∠BYC = 900 , nên ta có ZX=ZY, nên tam giác XYZ cân Z, ∠ZXY = ∠ZXB + ∠IXF = ∠B ∠B ∠C ∠A + ∠ICF = + = 900 − , 2 2 nên tam giác XYZ 900 − ∠A = 600 tức ∠A = 600 Bài 2: (VMO-2009) Cho hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi cho ∠ACB = α không đổi Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC, BC D, E, F Các đường thẳng AI, BI cắt đường thẳng EF M,N a, CMR: đoạn thẳng MN có độ dài khơng đổi C thay đổi b, CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN qua điểm cố định C thay đổi Giải: a, Sử dụng toán ta thấy tứ giác ABMN nội tiếp đường trịn AB đường kính, nên MN = AB.sin ∠NBM , tứ giác IFMB IEFC nội tiếp nên ∠NBM = ∠IFE = ∠ICE = MN = AB.sin α , nên ta có ∠α = const b, Kéo dài AN MB cắt H, AM BN hai đường cao, nên I trực tâm tam giác HAB, mặt khác ID vng góc với AB nên D chân đường cao đỉnh H, đường tròn qua D,M,N đường tròn Euler tam giác HAB nên phải qua trung điểm K AB K điểm cố định AB cố định Bài 3: (IMO, 2012 #1) Cho tam giác giác tiếp xúc với J tâm đường tròn bàng tiếp tam M, L, K Gọi F giao ML BJ, G giao KM CJ Đường thẳng AF, AG cắt đường thẳng BC S, T CMR: M trung điểm đoạn thẳng ST Giải: Sử dụng toán số 2, ta có JG ⊥ AG , JF ⊥ AF , theo tính chất tiếp tuyến dễ thấy JC ⊥ ML, JB ⊥ KM , nên tứ giác AMLT AMKS hình thang, CM=CL ∆CML : ∆CTA nên CA=CT tức AMLT hình thang cân, suy MT=AL Hồn tồn tương tự tứ giác AMKS hình thang cân nên MS=AK Mặt khác AK, AL hai tiếp tuyến A đường trịn J nên AK=AL, từ suy MT=MS Bài tập tự luyện Bài 1: Cho I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F tương ứng CI cắt EF T CMR: T nằm đường trung bình song song với AC tam giác ABC Bài 2: (VMO-2013- Bài 3) Cho tam giác khơng cân ABC Kí hiệu (I) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC D, E, F tiếp điểm (I) với BC, CA, AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vng góc CI cắt (I) L khác F Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D, I, J thẳng hàng b) Giả sử B, C cố định, A thay đổi cho tỷ số AB = k Gọi M, N tương ứng AC giao điểm IE, IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB, IC P, Q Chứng minh đường trung trực PQ qua điểm cố định (hd: sử dụng toán 1) Bài 3: (IMO Shortlist 2004- G7- RUS) Cho tam giác ABC, gọi X điểm đường thẳng BC cho C nằm B X Đường tròn nội tiếp tam giác ABX ACX cắt P, Q CMR đường thẳng PQ qua điểm cố định X thay đổi (hd: sử dụng 1)