SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 Khóa ngày 23 tháng năm 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN LỚP 11 THPT- VỊNG SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang Câu 1(2.5 điểm) a) Giải phương trình: 4sin2 xcos x 2cos2x cos x 3sin3x � � 1� x y 1 � � � � � xy � (x, y��) b) Giải hệ phương trình: � � � �x2 y2 1 � x2y2 � � � � � Câu 2(2.5 điểm) a) Tìm giới hạn: lim x�0 1 3x - 1 2x x2 u1 � �u � b) Tìm giới hạn: lim� nn � , biết un xác định � un1 3un 2n 1, n �1 �3 � � Câu 3(2.5 điểm) Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' Trên đường chéo AC lấy điểm M cho MA 3MC Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng A' BD , cắt đường chéo AC ' hình hộp điểm N a) Xác định thiết diện hình hộp ABCD.A' B'C ' D' cắt mặt phẳng b) Chứng minh N trung điểm AC ' Câu 4(1.0điểm) Cho đa giác gồm 2017 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác gồm màu xanh đỏ Chứng minh phải tồn đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Câu 5(1.5 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn đồng thời điều kiện : i) (x 2)(y 2) 3(x2 y2 xy) ii) ( x y)3 4(x3 y3) Chứng minh : x y HẾT SỞ GD&ĐT NĂM HỌC 2015 - 2016 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 QUẢNG BÌNH Mơn thi: Tốn (VỊNG 1) (Khóa ngày 23 tháng năm 2016) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) Yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm tròn số) điểm tất Câu Nội dung Giải phương trình: 4sin xcos x 2cos2x cosx 3sin3x Phương trình tương đương với 1a 2sin2xsin x 2cos2x cosx 3sin3x � cosx cos3x 2cos2x cosx 3sin3x � cos3x 3sin3x 2cos2x � � � cos� 3x � cos2x 3� � � � x x k x k2 � � �� �� 2 � � 3x 2x l 2 x l � � 15 2 k2 ; x l (k,l ��) 15 � � 1� x y 1 � � � � � xy � Giải hệ phương trình: � �x2 y2 � � �1 x21y2 � � � � � Điểm 1,25 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp số: x 1b 1,25 điểm ĐK: xy�0 Hệ cho tương đương với � � 1� � 1� � x y � �x x � �y y � � � �� x y � � � �� � 2 � 1� � 1� �x2 y2 � �x x � �y y � 13 � � x2 y2 � � � � � � � � x Đặt S � � 1� � � 1� � 1� �y � ;P �x � � �y y � x � � y� � x � � � 0,5 0,25 �S �S �� �2 �S 2P 13 �P Hệ trở thành Khi đó, ta � � 3� x 2; y � x 1; y � x y � �� � 3� � x 3; y x ;y � � x y � � � 3 �� 3 ��3 ��3 � ;� 1; ;� ;� � � � � � � ;1� � � ;1� � 2 � �� �� �� � 1 3x - 1 2x Tìm giới hạn: lim x�0 x2 0,5 1; Đáp số: x; y � � 2a 1 3x 1 2x 1 3x (x 1) (x 1) 1 2x x �0, x2 x2 x2 1 3x (x 1)3 (x 1)2 (1 2x) x 1 1 2x� x2 �3 (1 3x)2 (x 1) 1 3x (x 1)2 � x � � � � � 3 x 2 (1 3x) (x 1) 1 3x (x 1) x 1 1 2x 1,0điểm � lim x�0 0,25 0,25 0,25 1 3x 1 2x x2 � � 3 x xlim � � 2 �0 3 x x � (1 3x) (x 1) 1 3x (x 1) � Đáp số: lim x �0 3x 2x x 2 0,25 2b 1.5điểm �u � Tìm giới hạn: lim� nn � , biết un xác định �3 � u1 � � un1 3un 2n 1, n �1 � Đặt un n , ta dãy xác định sau v1 vn1 3un, n �1 0,25 suy cấp số nhân v1 cơng bội q Do 2.3n1 � un 2.3n1 n 0,25 n n �2 � Đặt an n ta chứng minh an �� �(*),n �1 quy nạp �3 � Thật vậy, rõ ràng an 0,n �1 (*) 3 n �2 � Giả sử an �� �, ta có �3 � 0,25 với n 1: a1 an1 n � � � , n� an 3n n Suy lim n 3 an1 an, n n1 an1 �2 � �3 � , n �� 0,25 0,25 �2.3n1 n � �un � �2 n � Do lim�n � lim� � lim� n � n �3 � �3 � � � Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D ' Trên đường chéo AC lấy điểm M cho MA 3MC Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng A' BD , cắt đường chéo AC ' hình hộp điểm N a) Xác định thiết diện hình hộp ABCD.A' B'C ' D' cắt mặt phẳng b) Chứng minh N trung điểm AC ' 0,25 2,5 điểm 0,25 (Vẽ hình hộp kẻ cạnh PQ thiết diện cho 0.25) 3a a) Tìm thiết diện Xét hai mặt phẳng ( A' BD) (CB' D ') có 1,0 điểm 0,25 �BD / / B' D' � (A' BD) / /(CB'D') , � �A' B / / D'C Mà / /( A' BD) / /(CB' D') Từ ta có cách dựng thiết diện sau: Trong mặt phẳng (ABCD) dựng đường thẳng qua M song song BD cắt BC P cắt CD Q Trong mặt phẳng (CDD’C’) dựng đường thẳng qua Q song song CD’ cắt DD’ R; Trong mặt phẳng (ADD’A’) dựng đường thẳng qua R song song A’D cắt A’D’ S; Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) dựng đường thẳng qua S song song B’D’ cắt A’B’ T; Trong mặt phẳng (ABB’A’) dựng đường thẳng qua T song song A’B cắt BB’ K Thiết diện lục giác QPRSTK 0,25 0,5 b) Gọi M ' A'C '�TS N AC '�MM ' 3b 1,25 điểm N �AC ' � � N AC '�( ) Ta có: � N �MM ' �( ) � Gọi O AC �BD, G A ' O �AC ' 0,25 AG AO 1 � AG AC ' (1) Ta có GC ' A ' C ' (A' BD) �( ACC ' A') OG � � Mặt khác �( ) �( ACC ' A') MN � MN / /OG � (A' BD) / /( ) � 0,25 Xét tam giác AMN có MN//OG nên � AN AN AM AG AO 0,25 AG (2) 2 Từ (1) (2) suy AN AC hay N trung điểm AC’ 0,25 Cho đa giác gồm 2017 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác gồm màu xanh đỏ Chứng minh phải tồn đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Đa giác có 2017 cạnh nên có 2017 đỉnh Vì đỉnh sơn màu xanh đỏ nên phải tồn hai đỉnh 0,25 1.0 điểm 0,25 kề M N sơn màu( chẳng hạn màu đỏ) Vì đa giác cho đa giác có số lẻ đỉnh, phải tồn đỉnh nằm đường trung trực đoạn thẳng MN Giả sử 0,25 đỉnh A Nếu A sơn màu đỏ tam giác AMN tam giác cân A có đỉnh A, 0,25 M, N sơn màu đỏ Nếu A sơn màu xanh Lúc ta gọi B C đỉnh khác đa giác kề với M N - Nếu B C sơn màu xanh tam giác ABC cân A có đỉnh sơn màu xanh 0,25 - Nếu ngược lại hai đỉnh B C mà sơn màu đỏ tam giác BMN tam giác CMN tam giác cân có đỉnh sơn màu đỏ 5 Cho x, y số thực dương thỏa mãn đồng thời điều kiện : 1.5 điểm i) (x 2)(y 2) 3(x2 y2 xy) ii) ( x y)3 4(x3 y3) x y Chứng minh : Từ (ii) ta có: x y 4 x3 y3 � x y � x y �x y � Thậy 0,25 x y � x y �2 (1) Ta chứng minh BĐT sau : 3 0,25 a3 b3 a2 b2 � ,a,b �0 (*) 2 a b a b �۳ 2 3 2 0,25 �a b � �a b � � � � � � � � � � a6 b6 4a3b3 �3a4b2 3a2b4 3 2 6 3 3 3 3 3 2 Ta có a b 4a b a a b a b b a b a b �3a b 3a b Từ (ii) ( x y)3 4(x3 y3) x y suy ra: Từ (i) ta có 0,25 x3 y3 x2 y2 � (2) (theo BĐT (*)) 2 x2 y2 xy x 1 1 y 1 1 � x y �3 xy x y 0,25 (vì ta có BĐT quen thuộc (a b c) �3(ab bc ca) ) � x y � x y (3) 2 Từ (2) (3) suy Từ (1) (4) suy x y � x y x y hay x y �2 (4) 0,25