§Ị thi chän häc sinh giái líp 12 THPT M«n thi: Toán (thời gian làm bài: 180 phút) Câu 1: (2đ) Không dùng bảng số tính cá nhân chứng minh: tg 550 > 1,4 Câu 2: (2 đ ) Chøng minh n Cos dx Sin n x.dx n n n n Cos x Sin x Cos x Sin x Và suy giá trị chúng Câu ( ® ) BiƯn ln theo m sè nghiệm ccủa phơng trình x x m x x m Câu 4: ( đ ) Tìm m để phơng trình: x4 (2m + ) x2 + m + = Có nghiệm thoả mẫn: - < x1 < -1 < x2 < < x3 < < x4 < C©u 5: (2đ) Tìm nghiệm khoảng ( : ) phơng trình x sin 3Cos x 1 2Cos ( x ) Câu (2đ) Trong tam giấc ABC có góc cạnh thoả mÃn: CosB 2a c (1) SinB 4a c Chứng minh tam giác tam giác cân Câu 7: ( ® ) m n ) (m,n Z ) Tìm giới hạn E = x Lim1 ( m 1 x xn C©u 8: (2đ) Giải hệ phơng trình : 42 x y 51 x y 1 2 x y 1 (1) y x ln( y x ) 0( 2) C©u (2đ) Cho đờng tròn (C1 ) : x2 + y2 – x – 6y + = (C2 ): x2 + y2 – 2mx – = Tìm m để (C1 ) ( C2 ) tiếp xúc với Nói rõ loại tiếp xúc Câu 10 (2đ) Chứng minh n số nguyên, n 1 th× http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 n 1 n 1 1 > 1 n n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Së GD&§T Thanh hoá Trờng THPT Thọ Xuân Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Năm học 2005-2006 Môn toán- bảng A Câ u Hớng dẫn chấm §iÓm tg10 0 18 Ta cã: tg 55 tg (45 10 ) tg10 tg 18 1 x XÐt hµm sè : f(x) = ta cã: 1 x f’(x) = > VËy f(x) ®ång biÕn x (- ;1) hc (1 x) x (1;+ ) Theo (1) ta cã tg550=f(tg )> f( )>f( ) =1,4 18 18 (0,5đ ) Câu 1: tg (0,5® ) (0,5® ) -x dt = - dx Đặt t= Ta có: n Cos xdx = n x Sin n x Cos = (0,5® ) (0,5® ) Cos n ( Sin n ( t ) dt t ) x Cos n ( t ) 2 = Sin ntdt Sin n xdx = n n n n Cos t Sin t Cos x Sin x (1) Cos xdx + Sin xdx Mặt khác: = dx = n n n n Cos x Sin x Cos x Sin x n (0,25 ®) n (2) (0,5® ) (0,5® http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cos xdx = Sin n xdx Tõ(1) vµ (2): = n n n n Cos x Sin x Cos x Sin x n ) (0,25 ®) x x m x x m (1) Đặt t= x x m (t 0) (2) 0,25® 0,25® t = x 4x m t 0 Ta cã: t=2 t t 0 0,25® Tõ (2) x x m = x4+4x+m=16 -x4-4x+16=m Đặt: f(x)= -x4-4x+16 f(x) = -4x3-4=-4(x3+1) f(x)=0 x=-1và f(-1)=19 Lim = - x Bảng biến thiên f(x) x - + F(x) + 0,25đ 0,25đ -1 19 - F(x) 0,25đ - - Từ bảng biến thiên ta có bảng biện luận theo m số nghiƯm cđa (1) nh sau: m Sè nghiƯm cđa ph¬ng trình (1) + 19 0,5đ - Đây phơng trình trùng phơng Đặt t= x2 0; phơng trình đà cho có dạng: t2 (2m+3)t +m+5 = (2) Phơng trình đà cho có nghiệm x1;x2;x3;x4 phơng trình (2) có nghiệm dơng t1 ; t2 dơng.(0 R2 , lập luận tơng tự ta có đợc hệ vô nghiệm Kết luận: Để (C1) (C2) tiếp xúc với m = 11 m = tiếp xúc tiếp xúc 10 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 1 1 n n n+1 sè gåm n sè 1+ vµ sè ta n sè h¹ ng 1 1 n n 1 n 1 n n cã: 0,25® 0,25® n thõa sè 0,5® n n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 0,25® http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mi nht Dấu đẳng thức xảy VËy 1 n 1 n 1 1 > 1 n 1 n 0,5® n 0,5® http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word