NGHỆ AN 12 13

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NGHỆ AN Bài 2x − có đồ thị (C) điểm P(2; 5) Tìm tất giá trị m để đường thẳng x+1 y = −x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác PAB a) Bài Bài w k2 p i ne t NĂM HỌC 2012 -2013 Cho hàm số y = √ x+1−2 1) Giải phương trình √ = 2x + − x +  x2 + y2 + + = x2 y2 2) Giải hệ phương trình  (xy − 1)2 = x2 − y2 + 1) Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a.Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng √ ABC trùng với tâm tam giác ABC , Biết khoảng hai đường thẳng AA BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ 2) Cho tứ diện ABCD.G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng (α) qua trung điểm I AG cắt cạnh AB, AC, AD điểm khác A Gọi hA ; hB ; hC ; hD khoảng cách từA, B,C, D đến mặt phẳng (α) hB + hC + hD ≥ hA Chứng minh rằng: Bài Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ OXY , Cho điểm A(−1; −1) đường tròn (T ) : (x − 3)2 + (y − 2)2 = 25 Gọi B,C hai điểm phân biệt (T ) khác A Viết phương trình đường thẳng BC , biết I(1;1) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= √ √ −√ a+b+c a + ab + abc ———————————————–Hết—————————————————- ww Soạn diễn đàn TOÁN THPT - www.k2pi.net Bài I w k2 p i ne t LỜI GIẢI THAM KHẢO CỦA DIỄN ĐÀN TỐN THPT www.k2pi.net Phương trình hoành độ giao điểm : x2 + (3 − m)x − (m + 1) = Do ∆m = m2 − 2m + 13 > √0, ∀m nên đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Tam giác ABC ⇔ d(p; (∆)) = |AB| √ ⇔ |m − 7| = (x1 − x2 )2 ⇔ m2 − 14m + 49 = (m − 3)2 + 4(m + 1) m=1 ⇔ 2m2 + 8m − 10 = ⇔ m = −5 Bài II.1 ĐK : x ≥ −1 x = 13 √ √ √ Phương trình tương đương với : (x + 1) x + + x + = (2x + 1) + 2x + √ √ Đặt : a = x + 1; b = 2x + (a ≥ 0) ta có : a3 + a = b3 + b ⇔ (a − b) a2 + ab + b2 + = ⇔ a = b √ √ x ≥ − 12 x + = 2x + ⇔ (x + 1)3 = (2x + 1)2 Với a = b, ta có : x=0 √ x ≥ − 21 ⇔ ⇔ x3 − x2 − x = x = 1+2 Bài II.2  x = Điều kiện : y = Ta có : (1) ⇔ x + 1x + y − 1y =5 ww Ta có : (2) ⇔ x2 y2 − 2xy + = x2 − y2 + ⇔ x2 y2 − x2 + y2 − = 2xy ⇔ x2 + y2 − = 2xy ⇔ x + 1x y − 1y =  a = x + (|a| ≥ 2) x Đặt b = y − y  a+b =   a2 + b2 =  ab = a = −2; b = −1 Khi ta có hệ : ⇔ ⇔  ab = a = 2; b = −1 a + b = −3  ab = +) Với : a = −2 ⇒ b=1 +) Với : a=2 ⇒ b = −1 (Do |a| ≥ 2) x = −1√ y= −1± x = 1√ y= 1± Bài III.1 Gọi G trọng tâm tam giác ABC M trung điểm BC Theo ta có A G ⊥ (ABC) nên A G ⊥ BC www.k2pi.net w k2 p i ne t Hình 1: Câu III.1 Lại có AM ⊥ BC BC√⊥ (A AM) Trong mp(A AM) kẻ MH ⊥ AA ta có BC ⊥ MH a Suy dAA ,BC = MH = √ √ a a , AG = Tam giác ABC cạnh a suy AM = a2 Đặt AA = x, ta có A G = x2 − √ √ 2a a a2 a x = x − ⇔x= Trong tam giác AA M ta có: MH.AA = A G.AM ⇔ √ 2 a Từ ta tính A G = a3 Diện tích tam giác ABC là: SABC = √ a3 Vậy thể tích khối lăng trụ: V = A G.SABC = 12 ww Bài III.2 Gọi B1 ;C1 ; D1 giao α) AB1 AC1 AD1 Đặt = x; = y; =z AB AC AD BB1 − x CC1 − y DD1 − z Khi = ; = ; = B1 A x C1 A y D1 A z 1−x 1−y 1−z Khi đó: hB = hA ; hC = hA ; hC = hA x y z − x2 − y2 − z2 ŒPCM ⇔ + + ≥ 3(∗) x y z V.AB1 IC1 xy V.AC1 ID1 yz V.AB1 ID1 zx Lại có: = ; = ; = V.ABGC V.ACGD V.ABGD V Suy : V.AB1C1 D1 = V.AB1 IC1 +V.AC1 ID1 +V.AB1 ID1 = (xy + yz + zx)(V = V.ABCD)(1) V.AB1C1 D1 Lại có: = xyz(2) V 1 (1); (2) ⇔ + + = x y z www.k2pi.net w k2 p i ne t Hình 2: Câu III.2 Áp dụng Sa vác ta có: V T (∗) ≥ 1 + + −3 x y z = ĐPCM ww Bài IV Ta có : H (3; 2) tâm đường tròn (T ) Hình 3: Câu IV Phương trình phân giác góc A AI : x − y = Khi ta có giao AI với (T ) D(6; 6) √ Lại có HD = 42 + 32 = Nhận thấy B,C, H thuộc đường tròn tâm D (6; 6) bán kính R = nên có phương trình : (T1 ) : (x − 6)2 + (y − 6)2 = 25 Suy phương trình BC : 6x + 8y − 59 = Bài V www.k2pi.net w k2 p i ne t √ √ Ta chứng minh a + bc + abc ≤ (a + b + c) √ √ a a Áp dụng BĐT AM-GM ta có: ab ≤ 3( + 2b) ; abc ≤ 2( + b + 4c) 2 √ √ Do a + bc + abc ≤ (a + b + c) 3 −√ Ta có P ≥ a+b+c (b + a + c) Đặt t = a + b + c > P≥ −√ t t 3 Xét hàm f (t) = −√ t t f (t) = ⇐⇒ t = −3 Vậy MinP = Lời giải thực thành viên : Ẩn Số, giangmanh, quynhanhbaby, dandhv, , Inspectorgadget ww diễn đàn TOÁN THPT - www.k2pi.net www.k2pi.net ... hàm f (t) = −√ t t f (t) = ⇐⇒ t = −3 Vậy MinP = Lời giải thực thành viên : Ẩn Số, giangmanh, quynhanhbaby, dandhv, , Inspectorgadget ww diễn đàn TOÁN THPT - www.k2pi.net www.k2pi.net