Bài luyện số (Nguyễn Hữu Minh Tuấn, THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng) Bài Cho số dương a,b,c,d thỏa mãn a + b + c + d = a2 + b2 + c2 + d2 = Chứng minh a2 + b2 + c2 £ 8(ab + bc + ca) Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 5( a + b + c ) ≥ 4( a + b + c ) + 8( ab + bc + ca) ⇔ 5(a + b + c ) ≥ 4(a + b + c ) ⇔ 5(4 − d ) ≥ 4(3 − d ) = 4d − 24d + 36 ⇔ 9d − 24d + 16 ≥ ⇔ (3d − 4) ≥ Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy 20 2 d = , a, b, c > 0, a + b + c = , a + b + c = 3 Bài Giải phương trình (2 − x)(2 + x ) = (*) Lời giải Do + x > với x ∈ ¡ nên (*) tương đương với : 2− x = 6 ⇔ x+ −2=0 x 2+4 + 4x 42t + 4t (4 − 6.ln 4) + − 2, t ∈ ¡ , f ′(t ) = Đặt f (t ) = t + + 4t (2 + 4t ) f ′(t ) = ⇔ 42t + 4t (4 − 6.ln 4) + = Đây phương trình bậc theo 4t nên có khơng q nghiệm, phương trình f ′(t ) = có khơng q nghiệm (mỗi giá trị dương 4t cho ta giá trị t) Từ ta có phương trình f (t ) = có khơng q nghiệm 1 Dễ thấy f (0) = f (1) = f ( ) = Vậy phương trình (*) có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2 Bài Hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Trên tia đối Ax tia AB ta lấy điểm M Từ M kẻ tới đường tròn (O’) hai tiếp tuyến MC MD (C, D tiếp điểm D nằm (O)) Đường thẳng AC cắt (O) lần thứ hai P AD cắt (O) lần thứ hai Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định M thay đổi tia Ax Lời giải Trước hết, ta có bổ đề: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Khi AB.CD = AD.BC đường chéo AC qua giao điểm hai tiếp tuyến (O) B D (định lí tứ giác điều hòa) Chứng minh: Giả sử AC qua giao điểm hai tiếp tuyến (O) B D Gọi giao điểm E Ta có: ∆BCE : ∆ABE ( g g ) ⇒ BC CE = AB BE ∆DCE : ∆ADE ( g.g ) ⇒ DC CE = AD DE Mà CE = DE nên BC CD = ⇒ AB.CD = AD.BC AB AD Lại giả sử AB.CD = AD.BC gọi E, E’ giao điểm tiếp tuyến (O) B D với đường thẳng AC Tương tự trên, ta chứng minh được: CE = DE ' nên có E trùng E’ Từ ta thấy bổ đề chứng minh Trở lại toán, gọi N giao điểm tiếp tuyến A B (O’), AN cắt (O) điểm thứ hai K Ta chứng minh PQ qua giao điểm hai tiếp tuyến (O) B K Thật vậy: Tứ giác ACBD nội tiếp (O’) có đường chéo AB qua tiếp tuyến (O’) C D nên theo bổ đề AC.BD = AD.BC , suy ra: · · sin BAP sin BAQ PB QB · · · sin ·ADC.sin DAB = sin DCA sin BAC ⇒ = ⇒ = · · PK QK sin KAP sin KAQ · · · · ⇒ sin KAP sin BAQ = sin KAQ sin BAP ⇒ PB.QK = PK QB Do đó, theo bổ đề PQ qua giao điểm tiếp tuyến K B (O), rõ ràng giao điểm điểm cố định nên ta có đpcm Bài Tìm tất số ngun dương n > có tính chất: a, b ước số n (a, b) = a + b − ước số n Lời giải Ta chứng minh số n = p m p số nguyên tố m số nguyên dương tất số cần tìm Thật vậy, n = p m a, b ước số n (a, b) = a = b = ; khơng tính tổng qt, giả sử a = , b = p t (1 ≤ t ≤ m) ta có: n = p m Ma + b − = p t Do đó, số n = p m số thỏa mãn đề Tiếp theo, ta chứng minh số n thỏa mãn đề có dạng n = p m Xét số n thỏa mãn đề gọi p ước số nguyên tố nhỏ n; đặt n = p m t m, t nguyên dương ( p, t ) = Giả sử t > , gọi q ước nguyên tố p + t − Theo giả thiết p + t − 1| n Suy q ước nguyên tố n, q ≠ p ta chọn p ước nguyên tố nhỏ n nên p ≤ q − q | t Lại có t < p + t − < t + q nên suy điều vô lý Từ suy q = p tức ước nguyên tố p + t − bội p Từ tồn số nguyên dương c để p + t − = p c ⇒ t = p c − p + ( Chú ý t > nên c ≥ ) Do p c | n nên p c + t − 1| n hay p c − p | n ⇒ p c −1 − 1| n = p m t Lại ( p m , p c −1 − 1) = nên ta có p c −1 − 1| t = p c − p + Từ ta p c −1 − 1| 2( p c − p + 1) − p (2 p c −1 − 1) ⇒ p c −1 − 1| p − Đây điều vơ lý p c −1 − > p − ( c ≥ ) Vậy điều giả sử sai , tức t = , hay n = p m Vậy số n cần tìm có dạng p m với p số nguyên tố m số nguyên dương Bài Hai người chơi trò chơi sau: người thứ chọn số nguyên dương từ đến 9; người thứ hai nhân số với số nguyên dương tùy ý từ đến 9; sau người thứ lại nhân kết thu với số tùy ý từ đến … Người thu số lớn 2010 trước thắng Hỏi người có chiến thuật thắng? Lời giải Ta chứng minh người thứ chọn số số nguyên từ đến người thứ thắng *Nếu số chọn số nguyên từ đến Đặt số x Khi người thứ hai thu số nguyên y không vượt 81 không nhỏ 14 (Do 2x ≥ 2.7 = 14 9x ≤ 9.9 = 81 ) *Tiếp theo người thứ chọn số nguyên từ đến để nhân với y thu số không vượt 162 không nhỏ 126 (Do y ≥ 9.14 = 126 y ≤ 2.81 = 162 ) *Tiếp theo người thứ hai thực phép nhân thu số không vượt 1458 không nhỏ 252 ( Lập luận tương tự ) *Cuối người thứ lấy nhân với kết thu số lớn 9.252=2268 > 2010 Vậy người thứ thắng Do người thứ chọn số trước nên người thứ có quyền chọn hoặc Vậy người thứ người có chiến thuật để ln chiến thắng trò chơi