Mathscope.org VMO 2011 Preparation Bài luyện số Hồ Phi Nhạn _ 12 CT _ LHP –tp HCM Bài Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + y + z biết x, y, z thỏa mãn phương trình y2 + yz + z2 = – 3x2/2 GIẢI : 2 2 2 Do : P = x + y + z nên ( P − x) = y + yz + z = ( y + yz + z ) − ( y − z ) 3 4 3x ( y + yz + z ) = − ÷ 3 ⇒ x − Px + P − ≤ P 2P − ⇒ 3x − ≤0 ÷ + 3 ⇒ ( P − x) ≤ ⇒ 2P − ≤ ⇒− 2≤P≤ 2 2 ; ; ÷ Đạt ( x, y, z ) = ÷ 3 − − − 2 ; ; Giá trị nhỏ P − Đạt ( x, y, z ) = ÷ 3 ÷ Giá trị lớn P Bài Cho dãy số (an) xác định a1 = a2 = 1, an+1 = an + an-1/n(n+1) với n = 2, 3, 4, … Chứng minh dãy số (an) có giới hạn hữu hạn n dần đến vô GIẢI : Nhận xét an > với n=1,2,3,… Do : an+1 = an + an-1/n(n+1) > an với n=2,3,4,… ⇒ {an} dãy số tăng Ta chứng minh {an} bị chặn cách chứng minh an ≤ − Ta quy nạp theo n=2,3,… để chứng minh : với n=2,3, n (đúng) a • a3 = a2 + = ≤ − (đúng) 2.3 2 • Giả sử ta có : an ≤ − với n = 2,3, , k Ta chứng minh : ak +1 ≤ − n k +1 Thật : 2− ak −1 2 k −1 < − + ak +1 = ak + ≤ 2− + = 2− k (k + 1) k k (k + 1) k k (k + 1) k +1 • a2 = ≤ − với n=2,3, n Dãy số {an } tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn n dần đến vơ Theo ngun lí quy nạp ta an ≤ − Bài Cho đường tròn (C) tâm O cố định điểm M khác O Đường kính AB quay quanh O đường thẳng AB không qua M MA, MB cắt (O) điểm thứ hai A’, B’ a) Chứng minh đường thẳng A’B’ qua điểm cố định b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MA’B’ qua điểm cố định GIẢI : Gọi L, K, I giao điểm đường thẳng OA với A’B’ , đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB đường tròn ngoại tiếp tam giác MA’B’ a) Ta chứng minh L điểm cố định : Tứ giác MAKB nội tiếp đường trịn có giao điểm hai đường chéo O , nên OA.OB không đổi , nên K điểm cố định OM · ′L = MBA · · Ta có : MA nên ∆MA ' L ~ ∆MKA ; ta : ML.MK = MA '.MA = MKA OM.OK=OA.OB Suy OK = Nhưng M điểm cố định (O) đường trịn cố định nên phương tích từ M đến O MA’.MA khơng đổi ML.MK khơng đổi Vì K cố định ML.MK khơng đổi nên hiển nhiên L điểm cố định Vậy đường thẳng A’B’ qua điểm cố định L_giao OM với A’B’ b) Ta chứng minh I điểm cố định : ′ ′ · ′ = MB · ' A′ = MA · ′O nên ∆MA ' I ~ ∆MOA ⇒ MA = MO ⇒ MI = MA MA Do MIA MI MA MO Với ý MA.MA’ khơng đổi (lí luận tương tự câu a) ta suy I điểm cố định Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác MA’B’ ln qua điểm cố định khác M I Bài Cho n số tự nhiên Chứng minh phương trình x + xy – y2 = n có nghiệm ngun có vơ số nghiệm ngun GIẢI : @@ : Em nghĩ n phải số nguyên dương Vì n=0 phương trình có nghiệm ngun (0,0) 2 2 x + xy − y = x + x( x − y ) − ( x − y ) Nhận xét : 2 2 x + xy − y = (2 x + y ) + (2 x + y )(3 x + y ) − (3 x + y ) Và : có số ( x0 , y0 ) nghiệm nguyên phương trình x + xy − y = n ta suy hai số khác : ( x0 , x0 − y0 ) (2 x0 + y0 ;3 x0 + y0 ) nghiệm nguyên phương trình Từ nhận xét này, ta cố gắng xây dựng dãy nghiệm ( xk , yk ) từ nghiệm ban đầu ( x0 ; y0 ) cho nghiệm đôi khác Với n số tự nhiên, ( x0 , y0 ) nghiệm nguyên phương trình x + xy − y = n Ta xét trường hợp : • TH1 : x0 ≥ y0 ≥ (hiển nhiên ( x, y ) ≠ (0, 0) ) Xét dãy ( xk , yk ) thỏa mãn : xk = xk −1 + yk −1 yk = xk −1 + yk −1 (với k=1,2,3,…) Ta nhận thấy : ( xk , yk ) nghiệm nguyên phương trình x + xy − y = n với k=0,1,2,… ( xk + yk ) > ( xk −1 + yk −1 ) với k=1,2,3,… Do hiển nhiên ( xi , yi ) ≠ (x j , y j ) với i ≠ j Vậy phương trình x + xy − y = n có vơ số nghiệm ngun trường hợp • TH2: x0 ≤ y0 ≤ : hoàn toàn tương tự TH1 với cách xét dãy ( xk , yk ) thỏa mãn : xk = xk −1 + yk −1 yk = xk −1 + yk −1 (với k=1,2,3,…) ta ( xk + yk ) < ( xk −1 + yk −1 ) với k=1,2,3,… Vậy phương trình x + xy − y = n có vơ số nghiệm ngun trường hợp • TH3 : x0 ≥ y0 ≤ Dựa vào nhận xét đầu ( x1 , y1 ) = ( x0 ; x0 − y0 ) nghiệm nguyên phương trình x + xy − y = n hiển nhiên x1 ≥ y1 ≥ Ta quay lại TH1 • TH4: x0 ≤ y0 ≥ Dựa vào nhận xét đầu ( x1 , y1 ) = ( x0 ; x0 − y0 ) nghiệm nguyên phương trình x + xy − y = n hiển nhiên x1 ≤ y1 ≤ Ta quay lại TH2 Như TH ta chứng minh phương trình x + xy − y = n (n=1,2,3, ) có vơ số nghiệm ngun có nhật nghiệm ngun Bài Phủ hình vng x qn tri-mi-no hình chữ L cho khơng chườm lên cịn thừa khơng phủ Hỏi nằm vị trí nào? GIẢI : Ta đánh số 25 ô vuông bảng : ô vuông số hàng lẻ số cột lẻ số (có ơ) ; 16 vng cịn lại ta đánh số (-4) (như hình vẽ bên) Nhận xét ta lát quân tri-mi-no vào bảng bên tổng ba số quân tri-mi-no hiển nhiên số âm Từ nhận xét : Nếu ô không lát số mang số (-4) tổng ô lại : 7.9+(-4).15 = > Và phần cịn lại khơng thể lát kín qn tri-mi-no Do khơng lát nằm số mang số Ta ô khơng lát Do tính đối xứng hình vng X ta cần cách lát trường hợp : • TH1 : • TH2 : • TH3 :