(2010 ~3

Đề thi chọn đội tuyển trường tỉnh năm học 2010-2011 Phương trình hệ phương trình Giải bình luận huynhcongbang Hiệu đính bổ sung namdung 1.Giải hệ phương trình  x =3 x − 12 y + 50   y = 12 y + z − =  z 27 x + 27 z (Trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Giải hệ phương trình (2 x − x + 4)(2 y − y + 4) = 18  2  x + y + xy − x − y + 14 = (Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển) Giải phương trình x + x + + −3 x + x + x − = x + x + (Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển) Giải hệ phương trình  y − x2 x + = e y +1  3 log ( x + y= + 6) log2 ( x + y + 2) +  (Trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp, đề chọn đội tuyển 11) Giải hệ phương trình: 2(2 x + 1)3 + x + 1= (2 y − 3) y −   x + + y + = (Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Giải phương trình: sin x − sin x + cos x − = (Trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) 7.Giải hệ phương trình sau:  y x + = +2  y  x x  1) 3x +  y( x + −= (Đề chọn đội tuyển trường Chun Lê Q Đơn – Bình Định) Giải hệ phương trình  x + x y + y = y x + x y + x  3  x( y − x ) = (Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên) Giải hệ phương trình: 4  x − x = y − y  2 3 ( x − y ) = (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 10 Giải hệ phương trình: ( x + 2)2 + ( y + 3)2 = −( y + 3)( x + z − 2)  −3 yz  x + x + z − y − 15 = 8 x + 18 y + 18 xy + 18 yz = −84 x − 72 y − 24 z − 176  (Đề chọn đội tuyển THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 11 Giải hệ phương trình 1.Giải hệ phương trình  x =3 x − 12 y + 50   y = 12 y + z − =  z 27 x + 27 z (Trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Lời giải Ta có: x = x − 12 y + 50 ⇔ 48 − 12 y = x − x − ⇔ 12(4 − y ) = ( x − 2)( x + 1)2 (1) y = 12 y + z − ⇔ z − 18 = y − 12 y + 16 ⇔ 3( z − 6) = ( y − 4)( y + 2)2 (2) z = 27 x + 27 z ⇔ 27 x − 54 = z − 27 z − 54 ⇔ 27( x − 2) = ( z − 6)( z + 3) 3 (3) -Nếu x = −1 ( x − 2)( x + 1) = , từ (1) suy y = hay ( y − 4)( y + 2) = , từ (2) suy 2 , từ (3) suy x = , mâu thuẫn z = hay ( z − 6)( z + 3)2 = Do đó, x = −1 khơng thỏa mãn hệ, ta xét x ≠ −1 ⇒ ( x + 1)2 > Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có: ( y + 2)2 > 0,( z + 3)2 > Từ (2) suy y − 4, z − dấu Từ (3) suy x − 2, z − dấu Từ đó, ta được: x − 2, y − dấu Hơn nữa, từ (1), ta thấy x − 2, −( y − 4) dấu, tức là: ≤ ( x − 2)( y − 4) ≤ Do đó: x = y = Từ phương trình (1), (2), (3), dễ thấy hai trường hợp cho ta kết là: = x 2= , y 4= ,z Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y, z ) = (2, 4, 6) Bình luận Mấu chốt tốn phải có phân tích (1), (2), (3) Điều thực đốn nghiệm toán là= x 2= , y 4= , z tác giả tốn xuất phát từ đẳng thức để biến đổi đề Dạng xuất đề thi HSG TPHCM năm 2006 – 2007: Giải hệ phương trình:  x3 + y = 3x +  2 y + z = y + 3 z + x = z +  Cách giải tốn hồn tồn tương tự [Namdung] Bài 11 (đề thi chọn đội tuyển ĐHKHTN) có hình thức giải hoàn toàn tương tự Giải hệ phương trình (2 x − x + 4)(2 y − y + 4) = 18  2  x + y + xy − x − y + 14 = (Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển) Lời giải Xét đẳng thức: x + y + xy − x − y + 14 = (*) Ta xem (*) phương trình bậc hai theo biến x, viết lại là: x + x( y − 7) + y − y + 14 = Phương trình có nghiệm khi: Hoàn toàn tương tự, xem (*) phương trình bậc hai theo biến y, viết lại là: y − y( x − 6) + ( x − x + 14) = Phương trình có nghiệm khi: 10 ∆ x = ( x − 6)2 − 4( x − x + 14) ≥ ⇔ −3 x + 16 x − 20 ≥ ⇔ ≤ x ≤ Ta xét hàm số: f (t ) = 2t − 3t + 4, t ∈  ⇒ f ′(t ) = 4t − = ⇔ t = < Suy ra, [1, +∞) , hàm số đồng biến Ta được: f ( x ) ≥ f ( 2) = 6, f ( y ) ≥ f (1) =⇒ f ( x) f ( y ) ≥ 3.6 = 18 x 2= , y Từ phương trình thứ hệ ta thấy đẳng thức phải xảy ra, tức là= Thay hai giá trị vào (*), ta thấy khơng thỏa Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm ∆ y = ( y − 7)2 − 4( y − y + 14) ≥ ⇔ −3 y + 10 y − ≥ ⇔ ≤ y ≤ Nhận xét Ý tưởng giải khơng khó quen thuộc cần tìm miền xác định biến thơng qua việc tính Delta phương trình bậc hai; lời giải có khảo sát hàm số thực kết chứng minh bất đẳng thức đại số túy nên công cụ giải đại số Và việc hai biểu thức x y phương trình đầu hệ giống dẫn đến đánh giá sai hướng mà dùng giải tích, xét hàm số để khai thác phương trình điều khơng đem lại kết Các hệ số chọn số đẹp ưu điểm bật toán Giải phương trình x3 + x + + −3 x3 + x + x − = x + x + (Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển) Lời giải Điều kiện xác định: 3 x + x + ≥  −3 x + x + x − ≥ Theo bất đẳng thức AM – GM thì: x + x + 2= x + x + ≤ + (3 x + x + 2) x + x + = 2 Đẳng thức xảy x + x + =⇔ x= −1 + (−3 x + x + x − 1) −3 x + x + x 3 −3 x + x + x − = −3 x + x + x − ≤ = 2 Đẳng thức xảy −3 x + x + x − =1 ⇔ x =−1 x3 + x + −3 x3 + x + x x + x + ⇒ x + x + + −3 x + x + x − ≤ + = 2 2 2 x + x + (3 x + x + 3) + ( x + 1) ≤ = 2x2 + 2x + 2 Đẳng thức xảy ( x + 1)2 = 0⇔ x= −1 3 Do đó, ta ln có: x + x + + −3 x + x + x − ≤ x + x + Đẳng thức phải xảy ra, tức x = −1 Thử lại thấy thỏa Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 Bình luận Bài khơng q khó áp dụng đánh giá quen thuộc BĐT Tuy nhiên, để xác định hướng đơn giản; thông thường sau nhẩm nghiệm x = −1 đứng trước phương trình vơ tỉ có chứa này, ta hay dùng cách nhân lượng liên hợp; nhưng, cách trước sau vào bế tắc tính tốn phức tạp Giải hệ phương trình  y − x2 x + = e y +1  3 log ( x + y= + 6) log2 ( x + y + 2) +  (Trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp, đề chọn đội tuyển 11) Lời giải x + y + > Điều kiện xác định:  x + y + > Xét hàm số: f = (t ) et (t + 1), t ∈ [ 0, +∞) Ta có: f ′(t )= et (t + 1) + et = et (t + 2) > nên hàm đồng biến 2 x2 + =2 ⇔ e x ( x + 1) = e y ( y + 1) ⇔ f ( x ) =f ( y ) ⇔ x =y ⇔ x = ±y y +1 Phương trình thứ hai hệ tương đương với: Do đó: e y − x2 log2 ( x + y= + 6) log2 ( x + y + 2) + ⇔ log2 ( x + y + 6)3 = log2  2( x + y + 2)2  ⇔ ( x + y + 6)3 = 2( x + y + 2)2 (*) Xét hai trường hợp: -Nếu x = y thay vào (*), ta được: (3 x + 6)3 = 2(2 x + 2)2 Theo điều kiện ban đầu x + > ⇒ x + > x + > Hơn nữa: (3 x + 6)3 − 2(2 x + 4)2 = ( x + 2)2 (27 x + 46) > ⇒ (3 x + 6)3 > 2(2 x + 4)2 Do đó: (3 x + 6)3 > 2(2 x + 4)2 > 2(2 x + 2)2 nên phương trình vơ nghiệm -Nếu x = − y , thay vào (*), ta được: (− x + 6)3 = 2(2)2 ⇔ (6 − x)3 = ⇔ − x = ⇔ x = Suy ra: y =− x =−4 Thử lại thấy thỏa Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y= ) (4, −4) Bình luận Hệ dạng quen thuộc với ý tưởng dùng tính chất hàm đơn điệu: f (a= ) f (b) ⇔ = a b Ở ý đánh giá trường hợp x = y, phương trình bậc ba thu phải giải theo công thức tổng quát, điều thường bị tránh kì thi HSG; đó, việc tìm đánh giá thích hợp để chứng minh nghiệm khơng thỏa đề điều tự nhiên Giải hệ phương trình: 2(2 x + 1)3 + x + 1= (2 y − 3) y −   x + + y + = (Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Lời giải −1 , y ≥ 2 Xét hàm số: f (= t ) 2t + t , t ∈ (0; +∞) Điều kiện xác định: x ≥ Suy ra: f ′(t )= 6t + > nên hàm đồng biến Từ phương trình thứ hệ, ta có: f (2 x + 1)= f ( y − ) ⇔ x + 1= Thay vào phương trình thứ hai, ta được: y−2 4y −8 + 2y + = (*) Ta thấy hàm số: g= ( y) = g ′( y ) (4 y − 8)3 Hơn nữa: g (6= ) + 4 y − + y + − 6, y ∈ (2, +∞) có đạo hàm là: 2y + > 0, ∀y ∈ (2, +∞) nên đồng biến 4.6 − + 2.6 + −= nên (*) có nghiệm y = Với y = , ta có x = Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = ( , 6) Bình luận Dạng tốn ứng dụng trực tiếp tính đơn điệu vào tốn để đơn giản hóa biểu thức thường gặp Hướng giải dễ dàng phát từ phương trình thứ hệ, x y nằm vế phương trình quan sát kĩ thấy tương ứng biểu thức dẫn đến xét hàm số nêu [Namdung] Ý tưởng hoàn toàn giống với đề thi Đại học mơn tốn khối A năm 2010: Giải hệ phương trình (4x2+1)x + (y-3)sqrt(5-2y) = 4x2 + y2 + 2sqrt(3-4x) = Giải phương trình: sin x − sin x + cos x − = (Trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) Lời giải Đặt= a sin= x, b cos x ⇒ −1 ≤ a, b ≤ Từ phương trình cho, ta có hệ sau: 4ab − 2a + 2b − =  2 a + b = Ta có: 4ab − 2a + 2b − = ⇔ −4ab + 2a − 2b + = ⇔ (−4ab + 2a − 2b + 3) + ( 2a + 2b + 2) =0 ⇔  2(a − b)2 − 2 (a − b) + 1 + (a + b + ) =   ⇔ ( 2a − 2b − 1)2 + (a − b + ) = Mặt khác: a + b = nên a + b ≤ 2(a + b )= Đẳng thức xảy a= b= ⇒ a+b+ ≥ −  2a − 2b − =0 ( 2a − 2b − 1)2 =  ⇔ Do đó, từ (*), suy ra:  − a= b=  (a + b + ) =  Dễ thấy hệ vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bình luận Đây dạng phương trình lượng giác giải cách đánh giá quen thuộc Ngoài cách đặt ẩn phụ đưa đại số hoàn toàn trên, ta biến đổi trực tiếp phương trình ban đầu, nhiên điều dễ làm lạc sang hướng túy lượng giác việc giải tốn gặp nhiều khó khăn [Namdung] Bài đề thi Olympic 30-4 năm 2000, lớp 10, đề trường Lê Hồng Phong Tp.HCM đề nghị Lời giải thức giống để nguyên a = sinx b = cosx 7.Giải hệ phương trình sau:  y x + = +2  y  x x  1) 3x +  y( x + −= (Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Q Đơn – Bình Định) Lời giải Điều kiện xác định: x > 0, y ≠ Phương trình thứ hệ tương đương với: y x += + ⇔ y x + y= x x + xy ⇔ y + y( x − x) − x = x x y x Xem phương trình bậc hai theo biến y, ta có: ∆ x =( x − x)2 + x x =x + x x + x =( x + x)2 > Do đó, phương trình có hai nghiệm là: (2 x − x ) − ( x + x) (2 x − x ) + ( x + x) y1 = = − x , y2 = = x, 2 Xét hai trường hợp: -Nếu y = − x , thay vào phương trình thứ hai hệ, ta được: − x ( x + −= 1) 3x + Dễ thấy: − x ( x + − 1) < < x + nên phương trình vơ nghiệm -Nếu y = x , thay vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 2x (*) x( x + − 1) = x + ⇔ x + 1.(2 x − ) =2 x ⇔ x + = 2x − 3 không thỏa mãn đẳng thức nên xét x ≠ phép biến đổi 2 2x phù hợp) Xét hai hàm số: f ( x) = x + 1, x > 0= g ( x) ,x > 2x − (dễ thấy x = x Ta có:= f ′( x) −2 > nên hàm đồng biến, = g ′( x) ( x − )2 x2 + nghịch biến Suy phương trình (*) có không nghiệm < nên hàm Nhẩm thấy x = thỏa mãn (*) nên nghiệm (*) Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = ( , ) Bình luận Quan hệ x y che giấu phương trình đầu tiên, nhận thấy điều bước dễ nhận biết Bài tính tốn rườm rà hướng giải rõ ràng nên khơng q khó Giải hệ phương trình  x + x y + y = y x + x y + x  3  x( y − x ) = (Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên) Lời giải Ta có: x + x y + y = y x + x y + x ⇔ ( x − xy ) + ( x y − x y ) − 9( x − y ) = ⇔ ( x − y )  x( x + xy + y ) + x y −  =0 ⇔ ( x − y )  x( x + y )2 −  =0 Từ phương trình thứ hai hệ, ta thấy x ≠ y nên từ biến đổi trên, suy ra: x( x + y )2 − = ⇔ x( x + y )2 = (*) Ta có: x( y − x ) = ⇔ y − x = 7 ⇔ y = x3 + x x Thay vào (*), ta được: x( x + x + )2 = x Ta chứng minh vế trái hàm đồng biến theo biến x Thật vậy:   7  7  3  3 x( x + x + )= x x + x x + +  x +   x x x      7 = x + x x + + x  x3 +  = x3 + x x + x + x x + x x  3 ( ) Từ (*) suy x > biểu thức trên, số mũ biến x dương nên hàm đồng biến; suy có khơng q nghiệm Thay trực tiếp x = vào biểu thức, ta thấy thỏa Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x, y ) = (1, 2) Bình luận Điểm đặc biệt xử lí hệ phương trình sau biến đổi, ta dùng cách đại số trực tiếp, phân tích nghiệm x = phương trình bậc cao cịn lại khó mà giải Cách lập luận theo tính đơn điệu hàm số vừa tránh điều vừa làm cho lời giải nhẹ nhàng Giải hệ phương trình: 4  x − x = y − y  2 3 ( x − y ) = (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Lời giải Đặt x + y = a, x − y = b, 3= c Từ phương trình thứ hai hệ, ta có: ( ab ) =c ⇔ ab =c Ta= có: x a+b a −b Suy ra: = ,y 2  a + b   a − b   ab 2 x − y = ( x − y )( x + y )( x + y ) = ab   +   = (a + b ) , nữa: 2      (a − b) a + 3b a + c 3b x − y = ( a + b) − = = 2 Do đó, phương trình thứ hệ cho tương đương với: ab a + c 3b (a + b ) = ⇔ c(a + b ) =a + c 3b 2 Ta có hệ là: 2 c2 c4 c(a + b ) =a + c b ⇒ c(a + ) =a + ⇔ ca + c =a + ac ⇔ (ca − 1)(a − c ) =0  a a ab = c 4 ⇔a= 2 ∨a = c c Suy hệ có hai nghiệm là: (a, b) = (c,1);( , c ) c Xét hai trường hợp: 3 −1 c +1 3 +1 = = ,y 2  + c3  − c −1 11 11 - Nếu= = = a = , b c x =  + c  = , y =  − c2  = 3 c 2c 2c 2c 2c 3    3 + 3 −   −1  Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x, y ) =  ,  , ,     3   - Nếu= a c= , b = x Bình luận Đây hệ phương trình đẹp, hình thức dễ làm bối rối khơng thể nhẩm nghiệm tìm hàm số để khảo sát 10 ý tưởng thông thường Lời giải túy đại số cách đặt ẩn phụ đề cần phải ý, xuất đề VMO 2005: −49  x + xy =  2  x − xy + y = y − 17 x 10 Giải hệ phương trình: ( x + 2)2 + ( y + 3)2 = −( y + 3)( x + z − 2)  −3 yz  x + x + z − y − 15 = 8 x + 18 y + 18 xy + 18 yz = −84 x − 72 y − 24 z − 176  (Đề chọn đội tuyển THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 11 11