CLB Toán học ðề số Bài Cho x, y, z số thực dương ðặt a = x2(y-z)4, b = y2(z-x)4, c = z2(x-y)4 Chứng minh a2 + b2 + c2 ≥ 2(ab+bc+ca) Lời giải : BðT tương đương với Khơng tính tổng qt, ta giả sử , ta có: Suy ( ) Vậy BðT ñúng Bài Với số thực p, xét phương trình 4x3 – 3x – p = (1) Ta xét hàm số f(p) ñược ñịnh nghĩa sau: i) Nếu phương trình (1) có nghiệm thực f(p) tích nghiệm lớn nghiệm nhỏ (1) ii) Nếu phương trình (1) có nghiệm thực f(p) bình phương nghiệm thực Hãy tìm giá trị nhỏ f(p) p chạy tập hợp số thực Lời giải: Nếu pt (1) có nghiệm Nếu pt (1) có nghiệm theo Viete, ta có Dấu “=” xảy (Thử lại thấy ñúng) Vậy giá trị nhỏ f(p) p chạy tập hợp số thực Bài ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB AC ñiểm P Q tương ứng R S tương ứng trung ñiểm cạnh AC BC T giao ñiểm ñường thẳng PQ RS Chứng minh T nằm phân giác góc B tam giác Lời giải: Gọi giao ñiểm giác vng Vì Suy Mà thẳng hàng , phân giác góc tam giác , ta có nên tam giác cân Mặt khác, trung ñiểm thẳng hàng nên suy nên tam nên IQTC tứ giác nội tiếp thẳng hàng Vậy hay T thuộc phân giác góc B Bài Tìm tất số nguyên dương n cho 3n – 2n chia hết cho n Lời giải: Dễ dàng nhận thấy n=1 thoả yêu cầu toán (mod p) nên Với n>1, xét p ước nguyên tố nhỏ của, ta có (mod p) (Vì nên tồn p) ) (mod Vì p ước nguyên tố nhỏ n nên Suy p=1 (Vô lý) Suy (mod p) Vậy n=1 nghiệm toán Bài Với giá trị k tập hợp S = {2010, 2011, …, 2010 + k} chia thành hai tập không giao A B cho tổng phần tử A tổng phần tử B? Lời giải: Xét hàm số có giá trị tổng phần tử tập Giả sử A, B tập rời ñược chia từ S Suy chẵn hay chia hết cho Suy (mod 4) chẵn hay Ta CMR với k ta chia S theo u cầu đề với k+4 ta làm điều Thật vậy, xét Nếu S chia ñược làm tập A,B rời mà Thì chia theo u cầu , ta xét nên với k+4 ta Mặt khác, với (mod 4) thoả (mod 4) thoả mãn u cầu đề Giả sử tồn tập rời khơng tính tổng qt, giả sử ðặt Ta có: Và : Vì nên ta có BðT: Tương đương với nên lẻ nên chia ñược thành Khi , ta xét Thì , Vậy tất số k thoả ñề : (mod 4)