CLB Toán học ðề số Bài Giải hệ phương trình x + = y3 − y + = z − 25 z + = x + Lời giải: Ta có ðặt hệ thành: với Mặt khác ta lại có : nên nên Suy Ta lại có : Suy đồng biến Ta xét trường hợp: TH1: Suy : Ta có (Vơ lý) , , TH2: : lập luận tương tự ta có điều vơ lý Vậy suy Suy nên Thử lại thấy ñúng Bài ða thức P(x) bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt Hỏi P(x) có nhiều hệ số 0? Lời giải: số hệ số nhiều mà ña thức hệ số thực bậc n với n nghiệm thực phân Ta gọi biệt có, (P đa thức) số hệ số P Ta có số tính chất sau: (i) (do xét ña thức (ii) (do đa thức nghiệm phân biệt bậc có (iii) Nếu đa thức (iv) Giả sử Ta tìm có hệ số 0) khơng thể có có Nên thông qua quy nạp theo : Qua (i), (ii), (iii) ta kiểm chứng ñược giả thiết quy nạp Giả sử ta có Ta CM _Thật vậy, bắt đầu với (*) (***): Xét đa thức P thỏa có nghiệm có nghiệm thực phân biệt (Giữa nghiệm thực phân biệt Ta có đa thức bậc ln có nghiệm theo định lý Rolle) Nên ta có ðể dấu xảy theo (iv) Ta kiểm chứng ñược tồn dấu qua ña thức: Vậy _Ta tiếp tục với (**): Xét đa thức P thỏa Ta có đa thức bậc có Ta có Suy Vậy suy Vậy ta suy có nghiệm thực phân biệt nghiệm thực phân biệt Giả sử tồn ña thức có suy P có nghiệm kép (Loại !) Ta kiểm chứng ñược tồn dấu qua ña thức: Vậy với Hay số hệ số nhiều mà ña thức hệ số thực bậc n với n nghiệm phân biệt có Bài ðường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB AC ñiểm D E tương ứng Gọi P ñiểm cung lớn DE đường trịn (I), F – ñiểm ñối xứng với A qua ñường thẳng DP M trung ñiểm ñoạn DE Chứng minh góc FMP vng Lời giải: M trung điểm DE giao điểm DE IA AD, AE tiếp tuyến (I) Mặt khác, mà tam giác DAF tam giác IDP cân D I nên theo (*) ta có chúng đồng dạng Suy (Vì tam giác DAF cân D) Ta có Mặt khác, ta có Suy Từ (1) (2) ta có tam giác DMF tam giác IMP đồng dạng (c-g-c) suy nên Vậy góc FMP vng Bài Tìm tất cặp số nguyên dương (m, n) cho m4 + n2 m − 3n số nguyên Lời giải: ðặt Dễ thấy với nguyên dương nên suy chẵn nên để A ngun tính chẵn lẻ Ta xét TH TH1: lẻ, ta có CMTT, ta có Suy (Loại tử khơng chia hết cho mẫu chia hết cho TH2: chẵn, ta có chẵn nên Do nguyên A khác nên nên để ngun ( nguyên dương) Vậy Suy nên mà Mặt khác, Suy số nguyên chẵn ðặt , ta có : Ta CM nên quy nạp _Dễ dàng kiểm chứng mệnh ñề ñúng _Giả sử mệnh ñề ñúng , ta CM mệnh ñề ñúng Thật : (ðúng _Vậy Từ (*) ta suy nhận Thử giá trị với , ta Thử lại, ta nhận Bài Sau khai trương ñược ñúng 10 ngày, nhân viên thư viện cho biết : 1) Mỗi ngày có người đến đọc sách ; 2) Khơng có người ñến thư viện ngày lần ; 3) Trong hai ngày 10 ngày có 15 người khác ñến thư viện Căn ñồng thời ñiều kiện mà nhân viên thư viện cung cấp cho biết số người tối thiểu ñã ñến thư viện 10 ngày nói ? Lời giải: ðầu tiên ta chuyển tốn ngơn ngữ tập hợp Vì điều kiện (2) nên ta gơi ) Theo (1) (3) ta có người ñến thư viện vào ngày thứ ( i ii Tìm Ta giải tốn tổng qt sau : Cho tập ) thỏa mãn tính chất sau : i ii tập Tìm Ta giải toán tổng quát truy hồi : Do số cách lập 2n+2 phần tử hữu hạn (nói cách khác có hữu hạn sơ đồ Ven) nên tồn nhỏ cách lập cho Xét trường hợp mà nhỏ TH1 : Nếu với nên (Hình 1) TH2 : Nếu tồn Xét Hình 2: Các tập , ta gọi Trong TH này, Vì , , cho , khơng tính tổng qt, ta giả sử khơng giao với có phần giao với đơi khác T Hình Hình Vậy trường hợp 1, chưa nhỏ Ta loại TH1 xét tiếp TH2 mà Ta CM , ta thấy xét cầu ñề có = nhỏ nhất) mà Vậy Mặt khác, ta CM ngồi mà Xét cầu đề có nhỏ nhất) Vậy Thật vậy, giả sử tồn a,b thế, ta thỏa yêu (Vô lý có Vậy, khơng tính tổng qt, ta giả sử Thật vậy, giả sử cịn có 2n tập nữa, số phần tử , sau = Tiếp theo, ta xét gồm 2n tập hợp (Vơ lý Vì nên suy thỏa u có xác định sau : Suy Ta có Dấu “=” xảy (Giống Hình có giao với nhau) Khi ấy, ta có (Vì phải thêm vào 2.2n phần tử tập Áp dụng: Ta có (Hình 3) ) Vì TH có tập, tập phần tử Hình Lời giải ñáp án Gọi xi số người ñến ñọc sách ñược i ngày (i = 1, 2, …, K) K ≤ 10 Gọi n số người đến thư viện 10 ngày ta có: (1) n = x1 + x2 + … + xK 80 = x1 + 2x2 + … + KxK (2) Gọi y số cách chọn ngày cho khơng có người đến thư viện q lần hai ngày Vì ngày 10 ngày có 15 người khác ñến thư viện, nên hai ngày 10 ngày có khơng q người đến thư viện hai ngày Nên ta có: C102 = C 22 x2 + C 32 x3 + + C K2 x K + y (3) 3 Nhận xét : xi − ixi + C i2 xi = (i − 2)(i − 3) xi ≥ Lấy (1) trừ (2/3) x (2) cộng (1/3) x (3) ta có 115 n≥ + ⇒ n ≥ 39 Vậy số người tối thiểu ñi ñến thư viện 10 ngày 39 Bảng số liệu ñây cho thấy giá trị ñạt ñược (Ai tập hợp số người ñến thư viện vào ngày thứ i) A1 = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A2 = {1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}, A3 = {1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} ; A4 = {2, 3, 10, 17, 24, 25, 26, 27} A5 = {2, 4, 11, 18, 28, 29, 30, 31} ; A6 = {2, 5, 12, 19, 32, 33, 34, 35} A7 = {6, 13, 20, 32, 28, 24, 36, 37}, A8 = {7, 14, 21, 33, 29, 39, 26, 38} A9 = {8, 15, 22, 34, 30, 39, 25, 36}, A10 = {9, 16, 23, 35, 31, 27, 38, 37}