TOHOPV~1.DOC toán học

Lời giải tổ hợp đề thi chọn HSG trường, tỉnh thành Năm học 2009 – 2010 Biên soạn: Nguyễn Vương Linh, học sinh khối THPT chuyên Toán – Tin, ĐHKHTN - ĐHQGHN Bài 1: Một người ham thích làm tốn ngày làm tốn, tuần làm khơng q 10 Chứng minh có số ngày liên tiếp người làm 30 toán Lời giải: Gọi sơ tốn người làm ngày thứ i Theo giả thiết, , tuần người làm khơng q 10 bài, nên phải tồn vô hạn cho (1) Đặt chứng minh tồn (quy ước ) Như vậy, tốn tương đương với việc cho (khi i,j thỏa mãn điều kiện tốn kết thúc) (*) Giả sử Do nhận giá trị 2, nên Kết hợp với giả thiết phản chứng, suy tồn cho Ta chứng minh Thật vậy: - Nếu , (vơ lí) Do - Nếu , (vơ lí) Vậy ta phải có Q trình lặp lại với , tức số số k cho hữu hạn (2) , Từ (1) (2) rõ ràng mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai, hay tồn cho Kết hợp với nhận xét (*), chứng minh toán kết thúc Bài 2: Sau khai trương 10 ngày, nhân viên thư viện cho biết : 1) Mỗi ngày có người đến đọc sách ; 2) Khơng có người đến thư viện ngày lần ; 3) Trong hai ngày 10 ngày có 15 người khác đến thư viện Căn đồng thời điều kiện mà nhân viên thư viện cung cấp cho biết số người tối thiểu đến thư viện 10 ngày nói ? Lời giải: Ta nhìn nhận tốn theo góc độ tập hợp sau: Cho 10 tập tập cho Tìm số m nhỏ cho tồn tập hợp Từ giả thiết, ta quy cách hiểu đơn giản hơn: Ta chứng minh Thật vậy, xét tập hợp sau: Kiểm tra trực tiếp, điều kiện đề thỏa mãn, tức giá trị nhỏ m không vượt 40 Bây ta chứng minh không tồn tập hợp thỏa mãn đề với Thật vậy, giả sử tồn 10 tập thỏa mãn đề Trước hết, ta định nghĩa bậc phần tử số tập nhiều chứa phần tử Bây giờ, khơng tính tổng quát, giả sử phần tử có bậc lớn bậc k Đồng thời, Theo giả thiết, Như thế, tổng số phần tử tập hợp Do phần tử nhận tối đa 39 giá trị khác nhau, nên Xét tình sau: ( giải tương tự) Theo giả thiết, , nên bỏ giá trị nằm tập này, ta thu tập đôi rời nhau, tức Xét tiếp tập Do tập phân biệt chung khơng q phần tử, nên có phần tử khác ; có phần tử khác ,… Và Nhưng dấu xảy (do ), tức chữ “không quá” phải trở thành chữ “đúng” Cho nên, tập hợp có dạng sau: (các biểu diễn khác có hốn vị phần tử tập hoán vị tập, hồn tồn đánh số lại phần tử để thu tập biểu diễn trên) Xét tập Khi đó, tập không chứa phần tử mới, nên , phần tử giao phải đơi phân biệt Theo đó, Và đó, (vơ lí) - Với , tồn phần tử có bậc Gọi chúng Ta xây dựng tập theo mơ hình tập hợp trên, lưu ý phải có tập hợp chứa phần tử (nếu không số giá trị khác vượt ) Bằng cách chứng minh tương tự, ta suy điều vơ lí Vậy điều giả sử sai, kết luận Giá trị nhỏ m 40, hay có 40 người đến thư viện 10 ngày đầu mở cửa Bài 3: Chứng minh chọn 15 số từ tập hợp {2, 3, …, 2010} cho chúng đôi nguyên tố có số ngun tố chọn Lời giải: Giả sử tồn 15 hợp số dương thuộc đoạn cho chúng đôi nguyên tố Gọi ước nguyên tố nhỏ phải đôi phân biệt (ngược lại, tồn ) Gọi j số cho Và đó, Rõ ràng số cho kiểm tra trực tiếp (vơ lí) Vậy điều giả sử sai ta có đpcm Bài 4: (ĐH KHTN) Chứng minh với dãy a1, a2, …, an (n nguyên dương) ta chọn số tự nhiên k  n cho | (a1+…+ak) – (ak+1+…+an)|  max{|a1|, |a2|, …, |an|} Bình luận: Điều khó chịu số lượng số hạng lớn dấu trị tuyệt đối dễ gây rối trình giải Ta tìm cách để giảm số giá trị Lời giải: Đặt , , Theo đề bài, ta cần chứng minh tồn số k cho (đến đây, số số hạng dấu trị tuyệt đối cịn 2, tốn gọn nhiều) Xét trường hợp: - Tồn số cho Ta chứng minh số không vượt H Thật vậy, số 0, toán giải Ngược lại, số khác 0, ta giả sử Bây giờ, giả sử Thì từ điều kiện chiều ta , ta có Trừ BĐT ngược Nhưng điều mâu thuẫn với cách chọn H Vậy trường hợp bị loại - Tất giá trị mang dấu Khơng tính tổng qt, giả sử Bây giờ, số từ đến n, ta gọi j số cho nhỏ Ta chứng minh Thật vậy, giả sử Khi đó: Theo cách xác định số j, , tức Mặt khác, rõ ràng định H Trường hợp bị loại Tóm lại, ta ln chọn số k cho Và vậy, ta có , điều trái với cách xác , tức ta có đpcm Bài 5: (ĐH KHTN) Giả sử ta chọn n số phân biệt từ tập {1, 2, 3, , 2n-1} cho số chọn khơng có hai số chia hết cho Chứng minh khơng có số số nhỏ k, k số xác định điều kiện 3k < 2n < 3k+1 Lời giải: Một lượng điều kiện khó sử dụng Cần gỡ rối theo bước Giả sử dãy số thuộc đoạn không chia hết cho Ta cần chứng minh thỏa mãn số Trước hết, đặt , lẻ Từ giả thiết, ta suy phải đôi phân biệt nằm đoạn , tức hoán vị Bây xét trường hợp sau: ( cách giải tương tự) Khi đó, Xét dãy Rõ ràng dãy s phần dãy a ban đầu, nên phải thỏa mãn tính chất dãy a, tức số dãy s khơng chia hết cho Như dãy dãy mà phần tử đôi phân biệt nhỏ , phần tử lớn dãy s , nên , tức Giả sử Như thế: Mặt khác, ta lại có: , tức Nên tồn dãy dãy dãy a cho Lưu ý Do s dãy a, nên phần tử s khơng chia hết cho Theo đó, phần tử phải đơi phân biệt nhỏ , mà rõ ràng điều vơ lí Vậy điều giả sử sai, hay ta có (đpcm) Bài 6: (ĐH SP) Cho tập hợp X = {1, 2, …, 2010} Tìm số nguyên N lớn cho hoán vị X = (a1, a2, …, a2010) X tồn 30 số hạng liên tiếp có tổng khơng nhỏ N Lời giải: Trước hết, ta tìm giá trị lớn N Xét hoán vị Theo giả thiết, nhóm 30 số hạng liên tiếp có tổng không nhỏ N, nên Bây ta hốn vị cho khơng thể thay kiểm tra trực tiếp hốn vị khơng thể thay số nhỏ số nhỏ Thật vậy, hoán vị đảm bảo Kết luận: Giá trị lớn N 30165 Bài 7: (Đồng Nai) Tập hợp số nguyên dương tô màu đen trắng Giả thuyết rằng: tổng hai số khác màu bị tơ màu đen có vơ hạn số bị tơ màu trắng Chứng minh tổng tích hai số bị tô màu trắng bị tô màu trắng Lời giải: Bài xuất kì thi VMEO 2006, lời giải sau: Do tập số nguyên dương bị chặn dưới, tồn vô số số tô màu trắng, nên tồn số nguyên dương bé tơ màu trắng Kí hiệu số p - Bước 1: Ta chứng minh số tô màu trắng bội p Thật vậy, giả sử tồn số tô màu trắng Khi đó, theo cách chọn số p, ta có Mặt khác, k,p có màu trắng, nên màu trắng (ngược lại k có màu đen) phải có Tiếp tục vậy, ta có số , , , có màu trắng, tức có màu trắng Nhưng , nên điều trái với cách chọn số nguyên dương bé tô màu trắng Do vậy, tất số tô màu trắng phải bội p - Bước 2: Ta chứng minh số bội p tô màu trắng Thật vậy, giả sử tồn số có màu đen Khi có màu đen có màu đen Như vậy, tất số lớn k bội p có màu đen Mặt khác, theo bước tất số màu trắng bội p Như vậy, số lượng số màu trắng phải hữu hạn, trái giả thiết số lượng số màu trắng vô hạn Vậy điều giả sử sai bước giải Từ bước trên, ta thu được: số có màu trắng số bội p Từ đây, kết luận tốn hiển nhiên Ta có đpcm Bài 8: (ĐH SP) Cho tập hợp S = {1, 2, 3, …, n} Tìm số cách chia tập S thành tập khác rỗng cho tập không chứa hai số nguyên liên tiếp Lời giải: Kí hiệu số cách chia tập S thành tập khơng chứa khác rỗng mà tập không chứa phần tử liên tiếp Ta tìm cách tính theo Giả sử ta chia tập tổng số phần tử chúng n Bổ sung thêm phần tử Sẽ có khả xảy ra: - Khả 1: không tạo thành tập (tức tập chứa n + có phần tử khác) Khi đó, rõ ràng ta có cách bổ sung (vào tập không chứa n) Vậy số cách xây dựng tập trường hợp - Khả 2: tạo thành tập Khi đó, n số từ đến n phải nằm tập hợp cịn lại Có thể thấy có cách chia thỏa mãn (1 tập chứa số chẵn tập lại chứa số lẻ) Do đó, số cách trường hợp cách Vậy ta thu công thức truy hồi Mặt khác, kiểm tra trực tiếp ta có , nên Như vậy, sô cách chia tập hợp thỏa mãn đề , Bình luận: Bài khơng khó việc lập cơng thức truy hồi, lại dễ sai (vì quên n + tự lập thành tập mới) Để tránh bị bỏ sót, nên tính trực tiếp số giá trị Bài 9: (ĐH SP) Cho n số nguyên lớn P1, P2, …, Pn tập có hai phần tử đơi phân biệt tập hợp S = {1, 2, 3, …, n} thỏa mãn tính chất: i  j mà Pi  Pj   tồn k để Pk = {i, j} Chứng minh với số i  S xuất hai lần tập Pj với j = 1, 2, …, n Lời giải: Với giả thiết, ta có: , kí hiệu Theo giả thiết, mà nên số mà số lần xuất số tập hợp Theo tồn Và rõ ràng, ứng với (không kể thứ tự i j) phân biệt Cho khơng vượt n Nhưng, số số lại Như dấu BĐT phải xảy ra, tức đpcm Bài 10: Giả sử số nguyên dương không lớn hai màu Xanh Đỏ Chứng minh tồn dãy số màu thỏa mãn: tô Lời giải: Ta chứng minh toán quy nạp - Giả sử mệnh đề toán tới n, tức ln tồn dãy có màu thỏa mãn Khơng tính tổng qt, giả sử n số có màu đỏ Xét mệnh đề với + Giả sử tồn số có màu đỏ Khi đó: , nên số thỏa mãn tồn điều kiện để bổ sung vào dãy Tức ta có dãy thỏa mãn đề + Nếu tất số , với có màu xanh, ý , nên dãy thỏa mãn tất điều kiện toán Vậy mệnh đề với Theo đó, ta cần chứng minh toán với số cho 1/ màu 2/ 3/ gồm n + số , tức cần chứng minh tồn Giả sử tồn cách tơ cho khơng tìm số Khơng tính tổng qt, giả sử màu đỏ + Nếu tô màu đỏ Khi đó, 3,4,5 có màu xanh (nếu khơng, số tô màu đỏ hợp với 1,2 tạo thành dãy thỏa mãn đề bài) Nhưng đó, lại thỏa mãn điều kiện Vậy trường hợp bị loại Do có màu xanh Xét tiếp trường hợp: + có màu đỏ Lí luận tương tự, 5,6 có màu xanh, 4,7 có màu đỏ, dãy loại bỏ trường hợp Do có màu xanh Khi đó, 4,5,6 có màu đỏ, dãy lại thỏa mãn điều kiện kể Tóm lại, tốn với Nên ta có đpcm Bài 11: (ĐHKHTN) Cho tập hợp A gồm phần tử Xét k tập gồm phần tử A Hãy tìm số k nhỏ cho với cách chọn k tập ln tồn tập có chung phần tử Lời giải: Một cách tự nhiên, khơng người nghĩ sau: Chọn tập với Ta chọn n - tập thế, chọn thêm tập ln có tập giao phần tử Nên dự đoán số tập n - tìm cách chứng minh Bây giờ, cần kiểm chứng lại xem điều có hay khơng Ta kí hiệu tập đánh số phần tử tập từ đến n (trong đó, giá trị tốt để tồn tập hợp, mà tập hợp giao phần tử) Ta chứng minh Theo bước suy luận trên, rõ ràng ta có Theo đó, , nên tồn phần tử thuộc vào tập hợp Khơng tính tổng qt, giả sử phần tử 1, thuộc vào tập hợp Theo giả thiết, , nên tồn phần tử khác (kí hiệu 2) thuộc vào tập hợp Tức Xét tập hợp Ta có trường hợp nhỏ: - Nếu Khi đó, , đó, tập có phần tử chung với tập , phải có dạng Như thế, số tập tối đa chọn - Nếu khơng thuộc tập Khi đó, , kiểm tra trực tiếp cho thấy có phần tử chung với tập có dạng Như thế, tập lại tập , số tập tối đa tình Kết hợp trường hợp ta Vậy ta cần xét toán trường hợp sở , chí xét trường hợp Kiểm tra trực tiếp cho thấy Do đó, giá trị lớn là: , với , với , với Và việc tập hợp thỏa mãn đề xin dành cho bạn (chú ý đến bước chứng minh phía để dựng) Vậy giá trị nhỏ m để m tập phần tử , , , Bài tốn giải hồn tồn ln có tập giao Bài 12: (Bắc Ninh) Cho tập gồm số nguyên dương tập có phần tử Tìm nhỏ với cách chọn tập ln có phần tử mà Lời giải: Với số ngun dương x, ta kí hiệu mãn (nói cách khác, đặt hết cho ) số nguyên khơng âm lớn thỏa chia hết cho không chia Bây giờ, ta chia tập S thành tập thỏa mãn Ta chứng minh số phần tử chọn nhiều ta chọn tập Thật vậy, với số nguyên dương k không chia hết cho 3, xét tập Rõ ràng tập phủ kín S Xét giá trị k Khi đó, tập A chọn khơng tồn phần tử liên tiếp nằm Như thế, đặt số nguyên không âm lớn cho ta chọn nhiều thuộc , giá trị đạt ta chọn số phần tử Do mệnh đề với số k nguyên dương bất kì, nên gộp lại, số phần tử chọn cho khơng có phần tử nhiều gấp lần phần tử nằm tập Tính tốn trực tiếp, ta có: Và đó, ta chọn 1507 phần tử nằm tập phần tử phân biệt thuộc S thỏa mãn Vậy tập hợp A cần có 1508 phần tử, hay giá trị nhỏ n 1508 Bài 13: (Hải Phịng) Chứng minh rằng: Có thể tơ màu phần tử tập hai màu đen trắng cho cấp số cộng công sai khác gồm 18 phần tử A tô đủ màu Lời giải: Rất số người cố gắng tìm cách tơ (xây dựng cấu hình cụ thể) cho tốn, nhanh chóng cảm thấy khó khăn với giá trị lớn số Một số khác tìm phương án tiếp cận nhẹ nhàng Do màu tô bới màu đen trắng, nên số cách tô màu 2009 số Ta đếm số cách tơ cho có cấp số cộng gồm 18 số màu Rõ ràng, ta tô 18 số màu, tô màu tùy ý cho 1991 số cịn lại Như vậy, số cách tơ dẫn đến xuất cấp số cộng có 18 số màu nhỏ (do chắn có cách trùng cách tơ này) (kí hiệu a số lượng cấp số cộng gồm 18 số) Bài toán giải ta chứng minh số cách tô xuất cấp số cộng màu nhỏ tổng số cách tô Khi có cách tơ mà khơng có 18 số màu lập thành cấp số cộng) Tức ta cần chứng minh Bây ta đếm số lượng cấp số cộng Xét cấp số cộng BĐT d cho Tức Do x số Điều kiện thỏa mãn phép chứng minh kết thúc , nên * Bình luận: Phiên toán xuất IMO Shortlist 1987 Romania đề nghị, sau chọn (bài khó nhất) German TST 1988 Bài tốn gốc Chứng minh tơ màu số ngun dương từ đến 1987 màu cho: - Mỗi số tô màu - Khơng tồn cấp số cộng chứa 10 số màu Các bạn tham khảo lời giải IMO Compendium (trang 496 - 497) Polya's Footsteps (trang 146 - 147) (tuy nhiên giống với lời giải trên) Bài 14: (ĐH SP) Tập hợp gọi có tính chất có khơng bốn phần tử thuộc với phân biệt thuộc a Hãy tập hợp gồm bốn phần tử, có tính chất b Có hay khơng tập hợp gồm bốn phần tử có tính chất Lời giải: Ta giải câu b trước (điều giúp giải câu a cách nhanh gọn) Giả sử tồn số thực thỏa mãn đề Xét đẳng thức Do Mặt khác, tất số kể thuộc vào tập T, nên có trường hợp sau xảy ra: - Nếu Khi đó, Như vậy: Mặt khác, , rõ ràng điều vơ lí Vậy trường hợp bị loại - Nếu + Nếu + Nếu tự) Khi đó: , ta giải tương tự trường hợp , ta cho (trường hợp hồn tồn tương Mặt khác, lí Tóm lại, không tồn số ta lại thu điều vô thỏa mãn đề Bây trở lại câu a Từ cách xác định kể trên, ta thử cho , Và ta cho Bài 15: (ĐH KHTN) Cho số nguyên dương kiện: Tồn m tập tập , với Khi thu số thỏa mãn đề Tìm lớn thỏa mãn điều , tập gồm n phần tử cho Lời giải: Quá trình chứng minh thực theo bước sau: - Bước 1: Để có điều này, ta chứng minh phần tử thuộc vào không tập hợp Ngược lại, giả sử tồn phần tử (kí hiệu 1) thuộc vào tập hợp khác (kí hiệu ) Xét tập Khi đó, theo giả thiết ta , tức phần tử từ đến 2n thuộc vào nhiều tập B Do số phần tử tối đa tập Mặt khác, , nên tập có tổng số phần tử Từ (1)(2), (vơ lí) Vậy điều giả sử sai, hay phần tử thuộc vào tối đa tập hợp Như vậy, m tập hợp có tối đa 8n phần tử, tức - Bước 2: Gọi số phần tử thuộc vào tập hợp Kết hợp với giả thiết với kiểm tra trực tiếp, ta , tức tổng số phần tử m tập hợp không vượt Như thế, - Bước 3: (Điều xảy ??) Định nghĩa tương tự Theo giả thiết, ta có nhận xét: giá trị lớn số cách chọn số khác số từ đến (và đó, ) Do , nên ( kí hiệu bước 2) Ngồi ra, để ý rằng, có phần tử i thuộc vào tập hợp (chẳng hạn ), khơng có phần tử j khác thuộc vào , tức phải giảm phần tử Như vậy, tổng số phần tử lớn tập hợp , hay với (bây thấy ), ta phải có Kết hợp - Bước 4: Tiếp tục đánh giá tương tự bước 3, ta Cuối cùng, ta dựng tập hợp thỏa mãn đề Xét tập sau đây: rõ ràng tất điều kiện toán thỏa mãn Vậy giá trị lớn m Bình luận: Các bước đánh giá m thể vẻ đẹp toán rời rạc: ln biến ảo đến khó lường, ln phải nhạy cảm để phát mấu chốt cuối Điều để lại ấn tượng nhiều làm việc sử dụng BĐT yếu để chứng minh BĐT mạnh - điều không thường gặp toán chúng ta, thử thách cho kiên trì nhạy bén tất tình xảy Bài 16: (PTNK) Cho A = {1, 2, …, 2n} Một tập A gọi tốt có hai phần tử x, y |x – y|  {1, n} Tìm số tập hợp {A 1, A2, …, An} thoả mãn điều kiện Ai tập tốt với i = 1, 2, …, n A1  A2  …  An = A Lời giải: Từ giả thiết, ta viết lại toán sau (các bạn tự kiểm tra tính tương đương tốn so với ban đầu) Cho hình chữ nhật kích thước chia thành ô vuông đơn vị Đánh số ô từ trái qua phải 1,2, ,n (hàng 1) n + 1,n + 2, ,2n (hàng 2) Lát chúng quân domino * cho chúng phủ kín hình chữ nhật khơng có quân đè lên Ngoài ra, với n lẻ, ta bổ sung thêm quân domino "đặc biệt" phủ kín n n + Đếm số cách lát thỏa mãn đề Với toán này, xét số cách lát thỏa mãn đề với hình chữ nhật kích thước * n Ta tìm cách xây dựng cơng thức truy hồi cho Giả sử ta lát hình chữ nhật * (n + 1) quân domino Xét qn domino phủ lên vng n Có khả xảy ra: 1/ Quân domino phủ lên ơ: Rõ ràng phần cịn lại hình chữ nhật kích thước * n, số cách lát tình 2/ Quân domino phủ lên Như vậy, buộc phải có qn domino phủ lên đó, phần cịn lại hình chữ nhật kich thước * (n - 1) Tức số cách lát tình 3/ Qn domino phủ lên (với n lẻ) Khi đó, phần cịn lại lát qn domino nằm ngang (nếu có quân domino nằm dọc chia hình chữ nhật thành phần, phần có số lẻ chưa lát (do quân domino "đặc biệt" gây ra)) Tức trường hợp có cách lát Như ta xây dựng công thức truy hồi sau: (lưu ý n chẵn khơng có quân domino "đặc biệt" nên phải bớt cách ) (lập luận tương tự với quân domino “đặc biệt”) Và quy nạp ta thu , Fibonacci thứ k dãy Fibonacci xác định công thức Cuối ta công thức tổng quát số