Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 30 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Tailieumontoan.com Phạm Văn Vượng CÁC CHUYÊN ĐỀ TRỌNG ĐIỂM SỐ HỌC Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com PHẦN MỘT: CÁC CHUYÊN ĐỀ TRỌNG ĐIỂM CHUYỀN ĐỀ 1- SỐ HỌC A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Các tốn chia hết, phép chia có dư toán trọng tâm số học THCS Chuyên đề đề cập đến Dưới ta nhắc lại định nghĩa vài tính chất thường áp dụng toán chia hết Các số đưa số nguyên Định nghĩa: Ta nói a chia hết cho b tồn số m cho a = mb Nếu m số nguyên dương, a b chia cho m có số dư ta nói a đồng dư với b theo mơđun m kí hiệu a ≡ b ( mod m ) Tính chất: Nếu a b, b c a c Nếu a b, a c a BCNN b c (đặc biệt b c nguyên tố a bc ) Nếu a b chia hết cho c với số ngun k, l ta ln có ka ± lb chia hết cho c (đặc biệt a ± b chia hết cho c) Nếu tổng a1 + a2 + + an chia hết cho b, n-1 số hạng chia hết cho b số hạng cịn lại chia hết cho b Tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 24 Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Ta ln có a chia cho dư 10 Nếu a lẻ a chia cho dư Nếu a chẵn a chia cho dư Vậy a chia cho dư 11 Nếu a lẻ a chia cho dư Nếu a chẵn a chia cho dư Vậy a chia cho dư hoặc 12 a chia cho dư 13 a chia cho dư hoặc 14 Nếu a ≡ b ( mod m ) , c ≡ d ( mod m ) a ± c ≡ b ± d ( mod m ) 15 Nếu a ≡ b ( mod m ) , c ≡ d ( mod m ) ac ≡ bd ( mod m ) Ta chứng minh số tính chất sau: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Giả sử A = n ( n + 1)( n + )( n + 3)( n + ) tích số ngun liên tiếp hai thừa số chẵn, thừa số chia hết cho 4, thừa số chia hết tích chia hết cho Mặt khác, tích có thừa số chia hết cho 3, thừa số chia hết cho 5, A chia hết cho BCNN 3, Hay A chia hết cho 120 4k ( k + 1) + chia cho dư 11 Nếu a lẻ = a 2k + suy a= Nếu a chẵn a = 4k a chia hết cho 8, = a 4k + a chia cho dư Vậy a chia cho dư hoặc với a ∈ 13 Với a ∈ , a= 8k + a chia cho dư Với a ∈ , a= 8k + a chia hết cho B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ I CÁC BÀI TỐN CHIA HẾT Ví dụ Cho a, b số nguyên, chứng minh rằng: = P a 7b3 − a 3b chia hết cho 30 Hướng dẫn giải P = ( a 7b3 − a 3b3 ) − ( a 3b − a 3b3 ) A= a 7b3 − a 3b3= a 3b3 ( a − 1)= a 2b3 ( a − 1) a ( a + 1) ( a + 1) chia hết cho ( a − 1) a ( a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp = A a 2b3 ( a − )( a − 1) a ( a + 1)( a + ) + 5a ( a − 1) ⇒ A Do A 30 ( ) Tương tự B = a 3b − a 3b3 30 ⇒ P 30 Ví dụ Cho đa thức P = a − 5a + 5a + 5a − 6a + 240 Chứng minh a số nguyên P chia hết cho 120 Hướng dẫn giải = P (a − 5a + 6a ) − a + 5a − 6a + 240 = a ( a − 5a + ) − a ( a − 5a + ) + 240 = (a − 5a + )( a − a ) + 240 Suy P = ( a − 3)( a − )( a − 1) a ( a + 1) + 240120 Từ suy P chia hết cho 120 Ví dụ Cho a, b số nguyên dương a + 1, b + 2007 chia hết cho Chứng minh rằng: P = 4a + a + b chia hết cho (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007-2008) Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com P = 4a + a + b = Ta có 4a + = (4 (4 a a + ) + ( a + 1) + ( b + 2007 ) − 2010 − 1) + = ( − 1) ( 4a −1 + 4a −2 + + + 1) + chia hết cho ) ( Mặt khác 4a + số chẵn nên 4a + 4a + chia hết cho a+1, b+2007 2010 chia hết P chia hết cho Ví dụ Cho P = ( a + b )( b + c )( c + a ) − abc , với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho (Vịng 2, THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2005-2006) Hướng dẫn giải c 4k ( k ∈ ) ta có: Do a + b + c chia hết đặt a + b += P= ( 4k − c )( 4k − b )( 4k − a ) − abc = (16k − 4kc − 4ka + ac ) ( 4k − b ) − abc = 4k (16k − 4kc − 4ka + ac − 4kb + bc + ab ) − 2abc Do a + b + c nên ba số a, b, c phải có số chẵn nên 2abc , từ suy P chia hết cho Ví dụ a) Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z cho: x2 + y + z = 560 647 b) Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c, d thoản mãn: a + b3 + c + d = a + b + c + d + 660 064 Hướng dẫn giải a) Ta biết bình phương số nguyên chia cho dư 0, 1, 4, x + y + z chia cho số dư thuộc tập {0;1; 2;3; 4;5;6} Mặt khác, 560647 chia cho dư Vậy không tồn x, y, z số nguyên thỏa mãn đề b) Đẳng thức cho tương đương với 660064 ( a − 1) a ( a + 1) + ( b − 1) b ( b + 1) + ( c − 1) c ( c + 1) + ( d − 1) d ( d + 1) = Vế trái chia hết cho 6, vế phải không chia hết cho 6, từ suy điều cần chứng minh Ví dụ Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn đẳng thức: x + y = 7z + (Vòng 1, THPT Chuyên- Đại học quốc gia Hà Nội, năm học 2011 - 2012) Hướng dẫn giải Ta biết x ∈ x chia cho dư Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Tương tự: y , z chia cho dư x + y 4= 7z + ⇔ x + y + z 4= 8z + x + y + z chia cho có só dư: 0, 1, 2, z + chia cho dư Từ suy khơng tồn x, y, z số nguyên thỏa mãn đẳng thức Ví dụ Chứng minh với số nguyên a thì: a) P = a + 3a + 53 không chia hết cho 49 b) Q = a + 5a + 185 không chia hết cho 169 Hướng dẫn giải nên a + a − chia hết cho khơng chia hết cho a) Ta có ( a + ) − ( a − ) = Nếu a + a − chia hết cho P = ( a + )( a − ) + 63 không chia hết cho 49 Nếu a + a − khơng chia hết cho ( a + )( a − ) không chia hết cho 7, P khơng chia hết cho 7, nên P không chia hết cho 49 b) Q = a + 5a + 185 không chia hết cho 169 Tương tự ta viết Q = ( a + )( a − ) + 221 Ví dụ Tìm số tự nhiên n P = 12 + 22 + 32 + + n khơng chia hết cho Hướng dẫn giải Ta có P = n ( n + 1)( 2n + 1) Đặt Q =n ( n + 1)( 2n + 1) Q = P Dễ thấy n =5k + 1, n =5k + Q khơng chia hết cho 5, P khơng chia hết cho Ví dụ Tìm số ngun a cho: a) P = a − a + 124 chia hết cho 121 b) Q = a − a + 4a − 14 chia hết cho a + Hướng dẫn giải a) P = (a + 5)(a − 6) + 154 Ta có (a + 5) − (a − 6) = 11 chia hết cho 11 , a + 5; a − chia hết cho 11 không chia hết cho 11 Nếu a + 5; a − chia hết cho 11 a + 5; a − chia hết cho 121 Suy P không chia hết cho 121 Nếu a + 5; a − không chia hết cho 11 P khơng chia hết cho 121 Vậy không tồn số nguyên a để P chia hết cho 121 b) Q = (a + 3)(a − 7) + (a + 7) chia hết cho a + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (a + 7) (a + 3) ⇒ (a − 7)(a + 7)= (a + 3) − 52 (a + 3) ⇒ a + ∈ {4;13; 26;52} ⇒ a ∈ {1; −7} Ví dụ 10 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) b) a (b − c) + b3 (c − a ) + c (a − b) Hướng dẫn giải a) Ta có a 2b − a c + b c − ab + c (a − b= ) ab(a − b) − c(a + b)(a − b) + c (a − b) = (a − b)(ab − ac − bc + c ) = (a − b)(b − c)(a − c) b) Ta có a (b − c) + b3 (c − a ) + c (a − b) = (a − b)(b − c)(a − c)(a + b + c) Ví dụ 11 a) Tìm m để đa thức A( x) = x − x + 21x + x + m − chia hết cho đa thức B( x) = x − x − b) Tìm a b để đa thức f ( x)= x − 3bx + x + a − chia hết cho x − x + Hướng dẫn giải 2 a) Ta có A( x)= ( x − x − 2)( x − x + 15) + m + 23 , A( x) chia hết cho B ( x) m + 23 =⇔ m= −23 b) f ( x) chia hết cho x − x + nên ta có: −7 a = x) p ( x)( x − 1) f = (1) 3b f (= a −= ⇒ ⇒ ⇒ f ( = x ) q ( x )( x + 2) f ( − = 2) a − 12 = b 25 b = − Ví dụ 12 Tìm đa thức A( x) , biết A( x) chia cho x − dư 7, A( x) chia cho x + dư −1 A( x) chia cho x − x − 15 thương x + dư Hướng dẫn giải Theo đề ta có với x : A= ( x) p ( x)( x − 5) + (1) A(= x) q ( x)( x + 3) − (2) A( x)= (2 x + 1)( x − 5)( x + 3) + ax + b (3) Từ (1), (2) ta có A(5) = 7, A(−3) = −1 Từ (3) ta có A(5) = 5a + b; A(−3) = −3a + b A(5) = 5a + b = Do ta có ⇒ a = 1, b = A(−3) =−3a + b =−1 Vậy A( x)= ( x − x − 15)(2 x + 1) + x + Ví dụ 13 Cho đa thức P(n) = n1880 + n1840 + n1800 , Q(n) = n 20 + n10 + Chứng minh với n ∈ Z P (n) chia cho Q (n) Hướng dẫn giải Ta phân tích P (n) thành nhân tử: = P (n) n1800 (n80 + n 40= + 1) n1800 (n 40 + 1) − n 40 = n1800 (n 40 + n 20 + 1)(n 40 − n 20 = + 1) n1800 (n 20 + 1) − n 20 (n 40 − n 20 + 1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com = n1800 (n 20 + n10 + 1)(n30 − n10 + 1)(n 40 − n 20 + 1) Từ suy P (n) chia hết cho Q (n) với n ∈ Ví dụ 14: Cho a số nguyên dương Chứng minh rằng: a) P = (a + 4)(a + 5)(a + 6) + + (2a + 5)(2a + 6) chia hết cho 2a+3 b) Q =(a + 1)(a + 2)(a + 3) (3a − 1)3a chia hết cho 3a Hướng dẫn giải 1.2.3 (a + 3)(a + 4)(a + 5) (2a + 5)(2a + 6) 1.2.3 (a + 3) 2.4.6 (2a + 4)(2a + 6) = 1.2.3 (2a + 5) 1.2.3 (a + 2)(a + 3) a) P = = 1.3.5 (2a + 5)2a +3 chia hết cho 2a+3 1.2.3 (3a − 1)3a b) Q = 1.2.3 a 3.6.9 3a = [1.4.7 (3a − 2)][ 2.5.8 (3a − 1)] 1.2.3 a = [1.4.7 (3a − 2)][ 2.5.8 (3a − 1)].3a chia hết cho 3a II SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ví dụ 15: Chứng minh tập hợp số nguyên tố vô hạn Hướng dẫn giải Giải sử tập hợp số nguyên tố hữu hạn xếp theo thứ tự tăng: 2,3,5, p Xét số A 2.3.5 p + = Khi A hợp số, nên A chia hết cho q với q số nguyên tố Mà 2,3,5 q p chia hết cho q nên chia hết cho q , vơ lí Vậy tập hợp số ngun tố vơ hạn Ví dụ 16: Cho biểu thức A = x + 4; B = x + x + Tìm số tự nhiên x để A B số nguyên tố Hướng dẫn giải A = ( x + x + 4) − x = ( x + 2) − x = ( x − x + 2)( x + x + 2) Nếu x = A = không số nguyên tố Nếu x = thì= A 5,= B số nguyên tố Nếu x ≥ A= [ x( x − 2) + 2] ( x + x + 2) tích hai số tự nhiên lớn nên A hợp số Vậy x = thỏa mãn đề Ví dụ 17 Tìm số nguyên tố p cho p + số nguyên tố (Vòng 2, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải Đặt = A p + , p = A = 18 khơng số ngun tố Nếu p = A = 83 số nguyên tố Nếu p > p lẻ nên có dạng = p 3k + p 3k + = Khi = A p + chia hết cho A > nên A không số nguyên tố p = số nguyên tố thỏa mãn đề tài Ví dụ 18 Cho tập A = {6;12;18; 24} Tìm số nguyên tố p cho p cộng với phần tử A nguyên tố Ta thấy p = p = không thỏa mãn Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 Hướng dẫn giải TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nếu p =5k + 1(k ≥ 1) p + 24 = 5k + 25 = 5(k + 1) không số nguyên tố; Nếu = p 5k + p + 18 = 5k + 20 = 5(k + 4) không số nguyên tố; Nếu = p 5k + p + 12 khơng số nguyên tố; Nếu = p 5k + p + không số nguyên tố; Nếu p = 5k số nguyên tố k = , nên p = Khi p + = 11, p + 12 = 17, p + 18 = 23, p + 24 = 29 Vậy p = số nguyên tố thỏa mãn đề Ví dụ 19: Tìm số ngun cho P = n + 30018 số phương Hướng dẫn giải Giả sử P số phương P = n + 30018 = k ⇔ (k − n )(k + n ) = 30018 (1) Mặt khác (k + n ) − (k − n ) = 2n chẵn nên k + n k − n phải chẵn lẻ Theo (1) k + n k − n phải chẵn Suy 30018 =− (k n )(k + n ) chia hết cho 4, vơ lí Do không tồn số nguyên n để P số phương Ví dụ 20: Chứng minh a, a + m, a + 2m số nguyên tố lớn m chia hết cho Hướng dẫn giải: Các số nguyên tố lớn số lẻ Nếu m số lẻ a + m số chẵn lớn nên không số nguyên tố Vậy m số chẵn, m = p ( p số nguyên dương) Nếu = p 3k + ba số cho a, a + 6k + 2, a + 12k + Nếu a chia cho dư a + 6k + 2 (loại) Nếu a chia cho dư a + 12k + 4 (loại) Vậy p khơng có dạng 3k + Tương tự p khơng có dạng 3k + Vậy p = 3k ⇒ m = 6k Kết luận: m chia hết cho A 2n + lập phương số tự Ví dụ 21: Tìm số tự nhiên n cho n + số nguyên tố = nhiên Hướng dẫn giải: Đặt n + = p ⇒ A = p + = a Suy a số tự nhiên lẻ nên a = 2t + ⇒ p + = 8t + 12t + 6t + ⇒ p= t (4t + 6t + 3) số nguyên tố nên t =1 ⇒ p =13 Suy = n 10, = A 27 Ví dụ 22 Chứng minh b số nguyên tố lớn số A = 3n + + 2009b hợp số, với số tự nhiên n (THPT chuyên Quảng Ngãi, năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải: Ta có Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A = 3n + + 2009b = (3n + 2010b ) + (1 − b ) = 3.(n + 670b ) + (1 − b)(1 + b) Do b số nguyên tố lớn nên b không chia hết cho , ( b − 1)( b + 1) ⇒ A 3, A > Vậy A hợp số Ví dụ 23 Chứng minh với số nguyên tố lẻ p không tồn số nguyên dương m, n thỏa mãn : 1 = + 2 p m n (Vòng , THPT chuyên Đại học Vinh, năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải: Giả sử tồn số nguyên tố p lẻ cho: 1 = + ⇔ p.(m + n ) = m n ⇒ m n p , p m n Mà p số nguyên tố nên m p n p Nếu m p thì= m kp (k ∈ N * ) ⇒ p.(m + n= ) ( kpn ) 2 ⇒ m + n= pk n ⇒ ( m + n ) p Mà m p nên n p Vậy m ≥ p, n ≥ p ⇒ m ≥ p , n ≥ p Suy 1 2 + ≤ ⇒ ≤ ⇒ p ≤ Vơ lí p số ngun tố lẻ m n p p p Ví dụ 24 Cho ba số nguyên dương a, b, c đôi khác đồng thời thỏa mãn điều kiện: i) a ước b + c + bc , ii) b ước a + c + ac , iii) c ước a + b + ab , a) Hãy ba số ( a, b, c ) thỏa mãn điều kiện b) Chứng minh a, b, c đồng thời số nguyên tố (Vòng , THPT chuyên sư phạm, năm học 2008-2009) Hướng dẫn giải: a) Dễ thấy số ( a, b, c ) = (1,3, ) thỏa mãn đề b) Đặt S = a + b + c + ab + bc + ac Từ giả thiết suy S chia hết cho a, b, c Vì a, b, c đơi khác nhau, a, b, c đồng thời số nguyên tố S abc hay = S kabc(k ∈ ) Khơng tính tổng qt, giả sử a < b < c Nếu a = b, c lẻ ⇒ b + c + bc lẻ nên không chia hết cho Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do a ≥ nên b ≥ 5, c ≥ = Từ S kabc(k ∈ ) suy 1 1 1 + + + + + k − n, k + n số nguyên dương 391 , 17 k − n = k − n = ⇒ ⇒ 391 23 k + n = k + n = Vậy k 196, n 195 = k 20, = n = = III CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ PHẦN NGUN Ví dụ 26 Tìm chữ số hàng đơn vị số A = 1313 + 64 + 20092009 (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải ( ) 13 có Ta có 1313 = 13 chữ số hàng đơn vị , 64 có chữ số hàng đơn vị , 2009n có hàng đơn vị n số tự nhiên lẻ, nên 20092009 có hàng đơn vị Vậy A có chữ số hàng đơn vị Ví dụ 27 Cho x, y, z số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = Chứng minh P= ( x + 5)( y + 5)( z + 5) bình phương số hữu tỉ Hướng dẫn giải Ta có x + = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự y + = ( x + y )( y + z ) ; z + = ( x + z )( y + z ) P =( x + y )( y + z )( x + z ) bình phương số hữu tỉ Chú ý: ta thay số hữu tỉ d , nghĩa x, y, z số hữu tỉ thỏa mãn xy + yz + zx = d P= ( x + d )( y + d )( z + d ) bình phương số hữu tỉ Ví dụ 28 Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số thỏa mãn đồng thời hai tính chất: (i) (ii) Khi chia số cho 100 ta số dư ; Khi chia số cho 51 ta số dư 17 (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006-2007) Hướng dẫn giải Gọi số cần tìm a a ∈ 1000 ≤ a ≤ 9999 a= 100m + 6= 51k + 17 ( k , n ∈ ) , 102m − ( m − 3= ) 17 ( 3k + 1) Suy 102m − ( m − 3)17 nên ( m − 3)17 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com a) A = 9n3 +36n2 +48n +5 không chia hết cho 343 b) B = 4n3 +6n2 +3n +38 không chia hết cho 125 1.31 Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: = P 2a 2b + 2b c + 2a c − a − b − c > 1.32 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) ( a + b ) ( c − d ) − ( c − d ) 2 (a − b) + a2 ( a − b) − ( a + b) a2 2 b) ( ax + by ) + ( ay − by ) + c x + c y 2 1.33 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) ab ( a + b ) − bc ( b + c ) + ca ( c + a ) + abc 2 2 2 b) x y ( y − x ) − y z ( y − z ) − z x ( z − x ) 1.34 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) A =( a + 1)( a + )( a + )( a + 11) + 128 b) B= (a − a + ) − 8a + 8a − 25 1.35 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) a 2b + a c + ab + ac + b c + bc + 2abc b) x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) − xyz 2 1.36 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) A = x + x + b) B = x + x + 1.37 Tìm a b cho: a) x + ( a − 1) x + b − chia hết cho x + x + b) ( a − 1) x + ( b + 3) x − 24 chia hết cho ( x + 1)( x + 3) 1.38 Tìm a, b cho: a) f ( x ) = x + ax + b chia cho x + dư −6 , chia cho x – dư 21 b) g ( x ) = x − x − x + ax + b chia cho x − x − dư x − 13 1.39 Tìm số nguyên dương n để 3n − 16 ; 4n – 21 ; 5n − 23 số nguyên tố 1.40 Tìm số nguyên n để: a) n + ; n + 13 ; n + 17 số ngun tố Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Website:tailieumontoan.com b) n + ; n + ; n + ; n + số nguyên tố 1.41 Tìm số nguyên dương n để: a) P = n3 − 4n + 6n − số nguyên tố b) Q = n5 + n + số nguyên tố 1.42 Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4k ± với k nguyên dương 1.43 Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn x − y = 1.44 a) Tìm tất số nguyên tố p cho p vừa tổng, vừa hiệu hai số nguyên tố b) Chứng minh p q số nguyên tố lớn p − q chia hết cho 24 1.45 Tìm ba số nguyên tố liên tiếp viết theo thứ tự tăng a, b, c cho a + b + c số nguyên tố 1.46 Tìm số tự nhiên n cho n ≠ 11 ; n + số nguyên tố 13n + 27 lập phương số tự nhiên 1.47 Tìm số nguyên dương n để A = n 2006 + n 2005 + số nguyên tố (Thi học sinh giỏi lớp 9, Quảng Ngãi, năm học 2005 – 2006) 1.48 Tìm số nguyên dương n cho n + n3 + số phương (Thi học sinh giỏi lớp 9, Quảng Ngãi, năm học 2004 – 2005) 1.49 Tìm số tự nhiên n để n + 20 n – 39 số phương 1.50 Cho số tự nhiên p, a, b, c thỏa mãn p = a + b + c Chứng minh A= ( ap + bc )( bp + ac )( cp + ab ) số phương 1.51 Tìm số nguyên n cho A =n + 8n3 + 23n + 30n + 18 số phương 1.52 Tìm số dư chia số phương cho , cho 1.53 Tìm ba số nguyên liên tiếp cho tổng bình phương ba số số phương 1.54 Tìm số tự nhiên n cho n + 18n + 2020 số phương (THPT Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi, năm học 2009 - 2010) 1.55 Tìm số phương lớn có chữ số hàng đơn vị khác cho xoá chừ số hàng đơn vị hàng chục thu số phương (Thỉ học sinh giỏi lóp 9, Bình Định, năm học 2004 — 2005) 1.56 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh A = p8 n + 23 p n + 16 chia hết cho 1.57 Cho n số nguyên dương Hãy tìm ước chung lớn hai số 21n + 14n + (Thi học sinh giỏi lớp 9- TP Hồ Chí Minh, năm học 2008 - 2009) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com abc = n2 − 1.58.Tìm số tự nhiên abc có ba chữ số thoả mãn (n ∈ , n ≥ 2) cba= ( n − ) (Thi HSG lớp 9, Bà Rịa - Vũng Tàu, năm học 2007 - 2008) 1.59 Cho hai số hữu tỉ a, b thoả mãn đẳng thức: a 3b + ab3 + 2a 2b + 2a + 2b + = Chứng minh − ab bình phương số hữu tỉ (Vịng 2, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2011 - 2012) 1.60 Với số tự nhiên n , ta đặt an = 3n + 6n + 13 a) Chứng minh: hai số , ak không chia hết cho chia cho có số dư khác (ai + ak ) chia hết cho b) Tìm số tự nhiên n lẻ để an số phương (Vịng 2, THPT Chun - TP Hà Nội, năm học 2008 - 2009) 1.61 Tìm tất số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời điều kiện abcd chia hết cho abc − bda = 650 (Vòng 1, THPT Chuyên - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2008 – 2009) 1.62 Tìm số nguyên dương n = đế p 307512 + 113n có chữ số hàng đơn vị 4n + 1.63 Cho n số tự nhiên, chứng minh n + n + 1= 1.64 Cho n k1 , k2 , , kn số nguyên dương Chửng minh rằng: k1 + k2 + + kn + ( n − 1) ≤ k1 + k2 + + kn n 1.65 Tính= tổng: A 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + n ( n + 1)( n + )( n + 3) 1.66 Với số thực a , ta gọi phần nguyên a số nguyên lớn khơng vượt q a , kí hiệu [ a ] Chứng minh với số nguyên dương n biểu thức 1 n + 3 n − + không biểu diễn dạng lập phương số nguyên dương 27 (Vòng 2,THPT Chuyên - Đại học Quốc gia năm 2011 2012) 4n + 1.67 Cho n số tự nhiên, chứng minh 4n + 1= HƯỚNG DẪN GIẢI 1.1 P = n ( n − 1) = ( n − 1)( n + 1) n ( n + 1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com Do ( n − 1) n ( n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho P chia hết cho P =− ( n )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Mỗi số hạng ( n 1)( n + 1) n ( n2 − ) + 5 =− chia hết P chia hết cho P chia hết cho BCNN hay P chia hết cho 30 1.2 abcde 41 nên 10 = abcde 1.3 a) Do abc 37 nên 10.abc= ( (99999a + bcdea ) 41 Mà 99999a 41, bcdea 41 (1000 a + 100 b+ 10c ) 37 ⇒ 999a + (100b+10c + a ) 37 ) hay 999a + bca 37 Mà 999a 37 nên bca 37 b) Gọi số cho abc ( a , b, c chữ số a ≠ ) a + b + c = nên a =7 − ( b + c ) abc = 100a + 10b += c 100[7 − (b + c)] + 10b + c = 700 - 90b - 99c = (100 − 13b − 14c ) + ( b − c ) (*) Từ (*) ta có abc b = c, ngược lại b = c abc 1.4 a) A= 64n − 1= ( 64 − 1) ( 64n−1 + 64n−2 + + 64 + 1) chia hết cho 63 b) B = 11217.3217 + 7563.9563 = 9.11217.3215 + 9.7563.9562 chia hết cho Mặt khác = B ( 33 217 − 1) + ( 63217 + 1) chia hết cho Từ suy B chia hết cho Vì B chia hết cho nên B chia hết cho 36 ( ) ( ) 1.5 a) P = 49n − 30n + 30n − 11n Áp dụng đẳng thức a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + + ab n − + b n −1 ) Dễ dàng chứng minh P chia hết cho 19 ( ) b) = Q 36n − + 29.7 n − 87 n chia hết cho 29 1.6 Khi chia số cho số dư 0, 1, , Theo ngun lí Đirichlet, có hai số có số dư, giả sử abc = = 1000abc += def (1000k + l ) + 1001r chia hết k + r , def = 7l + r Ta có abcdef cho 1.7 Bốn số a, b, c, d tồn hai số chia cho có số dư Vậy hiệu hai số chia hết cho 3, nên A Nếu tồn hai số số a, b, c, d chia hết cho có số dư hiệu hai số chia hết cho Nếu bốn số chia cho có số dư khác số phải có hai số chẵn, hai số lẻ mà hiệu hai số chẵn hai số lẻ số chẵn Do A Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com Vậy A chia hết cho 12 1.8 P = n5 + 5n3 + 24n n5 − n n3 − n = + + n 30 30 n3 − n Ta có n − n = ( n − 1) n ( n + 1) chia hết ∈ n5 − n = ( n − 1)( n + 1) n ( n2 + 1) chia hết cho Mặt khác n5 − n = ( n − 1)( n + 1) n ( n2 − ) + 5 =− ( n )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Chia hết cho Suy n5 − n chia hết cho 30 Do P số nguyên 1.9 ( ) a) a − b = ( a − b )( a + b ) a + a 2b + b a, b không chia hết a = 3k ± 1, b = 3l ± +) Nếu a = 3k + 1, b = 3l + a =3k − 1, b =3l − ( a − b ) +) Nếu a = 3k + 1, b = 3l − a =3k − 1, b =3l + ( a + b ) ( Mặt khác a = 3k ± 1, b = 3l ± a + a 2b + b ) Vậy a − b chia hết cho b) Vì m, n số phương lẻ liên tiếp nên có dạng m = ( 2k − 1) , n = ( 2k + 1) P= ( m − 1)( n − 1) = ( 2k − 1) 2 − 1 ( 2k + 1) − 1 = ( 4k − 4k )( 4k + 4k= ) 16k ( k − 1)( k + 1) Dễ thấy ( k − 1) k ( k + 1) ( k − 1) k k ( k + 1) Từ suy P chia hết cho 16.3.4 = 192 hay P chia hết cho 192 1.10 a) P = (n − 1)( n8 − 1) = ( n − 1)( n + 1) ( n + 1) ( n + 1) 2 Vì n số lẻ nên n =2k + ( k ∈ ) = P 64 k ( k + 1) ( 2k + 2k + 1) 2 (( 2k + 1) + 1) Từ dễ dàng chứng minh P chia hết cho 512 = n 2k b) Do n chẵn nên ( k ∈ ) Q= n ( n + 1964 )= ( k − 1) k ( k + 1) + 3936k chia hết cho 48 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com 1.11 a ) P = ( a − 1)( a + 1)( a + 3) − 96 Do a số lẻ nên a = 2k + 1, k ∈ ⇒ P = k ( k + 1)( k + ) − 96 chia hết cho 48 b)Q = ( n − )( n − ) n ( n + ) + 2.384 Do n số tự nhiên chẵn nên n = 2k Q= 16 ( k − )( k − 1) k ( k + 1) + 2.384 chia hết cho 384 3 1.12 a ) A = n + 11n = n − n + 12n = ( n − 1) n ( n + 1) + 12n chia hết cho b= ) B mn ( m −= n ) mn ( m − 1) − ( n −= 1) mn ( m − 1) − mn ( n − 1) = n ( m − 1) m ( m + 1) − m ( n − 1) n ( n + 1) chia hết cho c) C=n ( n + 1)( 2n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) + ( n − 1) = n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) chia hết cho 1.13 a) a có dạng k ± 1, k ± 2, k ± a có dạng 7l ± từ suy a − a + chia hết cho b) ab = 10a + b = a + ( 3a + b ) hay ( 3a + b ) ⇒ 3a + b = k ⇒ b = k − 3a Từ ta chứng minh a − ( k − 3a ) chia hết cho 1.14 a) A =ab = 10a + b (a ≠ 0, a; b chữ số ) Ta có ( 3a + 2b ) + 17 a = 20a + 2b = (10a + b ) = A Từ suy A chia hết cho 17 ( 3a + 2b ) chia hết cho 17 b) Ta có ( x + y ) + ( x + y ) = 17 ( x + y ) 17 Từ suy điều cần chứng minh 1.15 Từ giả thiết có n số lẻ A= ( n − 1)( n + 1) ( n2 + 1) chia hết cho 16 ( n − 1)( n + 1) tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8, n + số chẵn lên chia hết cho Mặt khác ( n − 1) n ( n + 1) chia hết cho 3, mà n không chia hết ( n − 1)( n + 1) chia hết cho Từ suy A chia hết cho 48 1.16 P = ( a − ) a ( a + )( a + ) + 768 Do a số chẵn lên a= 2k Vì ( k − 1) k ( k + 1)( k + ) ( k ∈ ) ⇒ P= 16 ( k − 1) k ( k + 1)( k + ) + 2.384 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 24 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 21 Website:tailieumontoan.com Từ suy P chia hết cho 384 1.17 A = ( n − 5n3 + 6n ) − ( 5n3 − 25n + 30n ) + ( 4n − 20n + 24 ) + 48 A= ( n − )( n − 3)( n − )( n − 1) + 48 ⇒ A chia hết cho 24 ( ) ( ) ( 1.18 P = + + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + + 32020 + 32021 + 32022 + 32023 ) ⇒ P = 40 + 34 40 + + 32020.40 chia hết cho 40 1.19 a) Nếu n = 5k n chia hết cho n 5k ± n + chia hết cho Nếu = Nếu = n 5k ± n + chia hết cho b) Xét tương tự câu a) 1.20 a) Xét ba số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + A = ( n − 1) + n3 + ( n + 1) = ( n3 − n ) + 9n chia hết cho 3 ( b) a − b3 = ( a − b ) a + ab + b ) chia hết cho 27 Mặt khác a, b lẻ nên a + ab + b lẻ, a − b chia hết cho 27 = 128 1.21 Gọi a, b số nguyên mà a + b chia hết cho a =7 k ± r , b =7l ± s với k , l , r , s só nguyên r , s ∈ {0;1; 2;3} a + b2 = ( k ± r ) + ( 7l ± s ) 2 = 49 ( k + l ) + 14 ( ± kr ± ls ) + ( r + s ) với r , s ∈ {0;1; 4;9} Do a + b chia hết r + s chia hết cho Từ suy r= s= ( ) 1.22 A = ( n − ) + ( n − 1) + n + ( n + 1) + ( n + ) = n + 2 2 Chứng minh n + không chia hết cho với n ∈ Từ suy A khơng chia hết cho 25 1.23 Nếu n = 3k A = 36 k + 33k + 53 = ( 27 3k ( − 1) + ( 27 k − 1) + 55 không chia hết cho 13 ) ( ) n 3k + A= 36 k + + 33k +1 + 53 Nếu = = 273k − + 27 k − + 65 chia hết cho 13 ( ) ( ) n 3k + A= 36 k + + 33k + + 53= 81 273k − + 27 k − + 143 chia hết cho 13 Nếu = Vậy số tự nhiên n khơng chia hết cho A chia hết cho 13 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 22 Website:tailieumontoan.com ( x − 5)( x + m + 1) + = ( x + b − 1)( x + c ) 1.24 Với x ta có f ( x) = f ( ) = ( b + )( c + ) = Giả sử b + ≤ c + ta có: b + = ⇒ b =c =−3 ⇒ f ( x ) =( x − )( x − 3) , m = −3 c + = Với b + =−2 ⇒ b =c =−6 ⇒ f ( x ) =( x − )( x − ) ⇒ m =−9 c + =−1 Với ( ) ( ) 1.25 = A n1940 n80 + n 40= + n1940 n 40 + − n 40 = n1940 ( n10 + n5 + 1)( n10 − n5 + 1)( n 20 − n10 + 1)( n 40 − n 20 + 1) A chia hết cho n10 + n5 + 4400 x3 + 9213 x + x 1.26 P ( x ) = Đặt Q ( x ) = 4400 x3 + 9213 x + x Chứng minh Q ( x ) chia hết cho với x ∈ Từ suy P ( x ) ∈ x ∈ ( 2n + ) 1.27 a) P = + 11 ⇔ P − ( 2n + 1) = 11 Nếu P 121 P 11 ⇒ ( 2n + ) 11 ⇒ ( 2n + ) 11 ⇒ ( 2n + ) 121 ⇒ 11 121 , vơ lí b) Q = ( n + 10 )( n + 3) + 21 chia hết n + 10 n + chia hết cho không chia hết Do ( n + 10 ) − ( n + 3) = cho Cả hai trường hợp ta có Q khơng chia hết cho 49 1.28 a) Chú ý 8k − chia hết cho (8 Nếu n = 3k A = 8k + = k − 1) + không chia hết cho Tương tự: = n 3k + = n 3k + 2n + khơng chia hết cho b) B = 9n + = 32 n + = B= ( 2k + 1) (3 ) n n + Do 3n số lẻ nên đặt 3= 2k + ta có + 1= 4k + 4k + không chia hết cho Vậy B không chia hết cho Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 23 Website:tailieumontoan.com 1.29 a) Dễ dàng chứng minh với = n 3k , = n 3k ± P khơng chia hết cho , P khơng chia hết cho b) Số Q tạo thành có 21 chữ số , chữ số 2,3, ,9 có mặt 20 lần nên tổng chữ số 901 Từ suy Q khơng chia hết Q không chia hết cho 39 1.30 a) A = 27 n3 + 108n + 144n + 15 = ( 3n + ) − 49 ⇔ 49 = ( 3n + ) − A 3 Nếu A 343 A mà 49 nên ( 3n + ) ⇒ ( 3n + ) ⇒ ( 3n + ) 343 ⇒ 49 343 ⇒ Vơ lí Vậy A không chia hết cho 343 ( 2n + 1) b) B − 75 = Nếu B 125 ( 2n + 1) ⇒ ( 2n + 1) 125 ⇒ 75 125 ⇒ Vơ lí ( 1.31 = P 4a c − a + b + c − 2a 2b + 2a c − 2b c ) = ( a + b + c )( a − b + c )( c + b − c )( b + c − a ) > 1.32 a) ( c − d ) ( a + b ) − ( a − b ) 2 − a ( a + b ) − ( a − b ) 2 = ( a + b ) − ( a − b ) ( c − d ) − a = 4ab ( a + c − d )( c − d − a ) ( b) a + b + c )( x + y2 ) 1.33 a) ab ( a + b ) + abc + ca ( c + a ) + abc − bc ( b + c ) + abc = ab ( a + b + c ) + ca ( a + b + c ) − bc ( a + b + c ) = b) Để ý z − x = ( a + b + c )( ab − bc + ca ) ( z − y ) + ( y − x ) Do ta có: x y ( y − x ) + y z ( z − y ) − z x ( z − y ) + ( y − x ) = ( y − x ) ( x2 y − z x2 ) + ( z − y ) ( y z − z x2 ) = ( y − x )( x − z )( y − z )( zy + yz + xz ) ( )( ) 1.34 a) A = a + 12a + 11 a + 12a + 35 + 128 Đặt t =a + 12a + 23 A =( t − 12 )( t + 12 ) + 128 =t − 16 = ( t + )( t − ) ⇒ A = ( a + 3)( a + ) ( a + 12a + 19 ) ( ) b) B= a ( a − 1) a − a + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 24 Website:tailieumontoan.com ( ) ( ) 1.35 a ) a ( b + c ) + a b + 2bc + c + bc ( b + c ) = ( b + c ) a + ab + ac + bc = ( a + b )( a + c )( b + c ) 1.42 Do số nguyên tố lớn có dạng 4k 4k + nên số 4k + 4k '+ 3= ( k '+ 1) − 1= 4k − (với k= k '+ ) 1.43 Ta có x= y + ⇒ x số lẻ y2 ( x + 1)( x − 1) = mà ( x + 1)( x − 1) chia hết y ⇒ y Vậy= = y 2, x 1.44 a) Giả sử p = a + b = c − d với a, b, c , d số nguyên tố p > Khi a b khơng lẻ khơng chẵn nên phải có số , giả sử b = Tương tự ta có d = ⇒ c − = p = a + Từ dễ dàng tìm p = b) p nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Mặt khác ( p − 1) p ( p + 1) chia hết cho ⇒ p − chia hết cho Do ( p − 1)( p + 1) tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho Do p − chia hết cho 24 Tương tự, q − chia hết cho 24 ⇒ p2 − q2= (p − 1) − ( q − 1) chia chia hết cho 24 1.45 Dễ thấy a + b > , a + b + c số lẻ ⇒ a , b , c số lẻ ⇒ a, b, c số nguyên tố lẻ Một ba số a, b, c phải chia hết cho ngược lại a , b , c chia cho dư nên a + b + c , vô lí Do đó= 83 a 3,= b 5,= c a + b + c = 1.46 Giả sử 13n + 27 = m3 ⇔ 13 ( n + ) = ( m − 1) ( m2 + m + 1) Do n + số nguyên tố khác 13 nên ta có trường hợp: Nếu m − = 13 ⇒ m = 14 ⇒ n = 209 Nếu m + m + = 13 ⇒ m = ⇒ n = 1.47 Nếu n = A = số ngun tố Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 Website:tailieumontoan.com ( (n ) ) 668 Nếu n ≥ Do a m − b m (a − b) nên n 2004= −1 Mà n3 − = − 1668 ( n3 − 1) ( n − 1) ( n + n + 1) ⇒ n 2004 − 1 ( n + n + 1) = A n ( n 2004 − 1) + n ( n 2004 − 1) + n + n + chia hết cho n + n + Vậy n = A số nguyên tố 1.48 Nếu n = A = khơng số phương Nếu n = A = 25 số phương Nếu n ≥ A= 4n + 4n3 + 4= ( 2n A > 4n + n + + 4n3 − 8n − 4= n ( 2n + n ) + − n < ( 2n + n ) ; 2 + n − 2) Do A số phương nên 4A số phương Vậy = A ( *) ( 2n + n − 1) ⇔ 3n + 2n += ( *) vô nghiệm Vậy n = n + n3 + số phương 2 1.49 Giả sử n + 20= p ; n − 39= q ( p, q ∈ ) p−q = = p 30 ⇔ p + q 59 = = q 29 Khi p − q = 59 ⇔ ( p − q )( p + q ) = 59 ⇔ Do n + 20= 900 ⇒ n= 880 thỏa mãn 1.50 ap + bc = a ( a + b + c ) + bc = ( a + b )( a + c ) Tương tự bp + ac = ( a + b )( b + c ) ; cp + ab = ( a + c )( b + c ) A =( a + b )( b + c )( c + a ) 1.51 A = ( n + 3) (n + 2n + ) Nếu n + =0 ⇒ n =−3 A = Nếu n + ≠ , để A số phương n + 2n + = a với a ∈ , ( n + 1) − a =−1 ⇔ ( n + + a )( a + − a ) =−1 Từ ta có n = −1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 26 Website:tailieumontoan.com Vậy n = −3 n = −1 A số phương = A n2 ( n ∈ ) 1.52 Số phương có dạng Nếu n = 3k A n 3k ± A chia cho dư Nếu = Vậy số phương chia cho dư Tương tự, số phương chia cho dư 0,1 Vậy ta có hệ : Số tự nhiên có dạng 3k + 5k + 5k + khơng số phương 1.53 Gọi số nguyên liên tiếp x − 1, x , x + Tổng bình phương ba số A = ( x − 1) + x + ( x + 1) 2 Ba số nguyên liên tiếp có số chia hết cho , hai số lại có dạng 3k ± nên A chia cho dư Mà số phương chia hết cho chia cho dư , nên khơng có dạng 3k + , khơng tồn ba số nguyên liên tiếp mà tổng bình phương chúng số phương 1.54 Đặt n + 18n + 2020 = k ( k ∈ ) ⇔ k − ( n + )= 1939 ⇔ ( k + n + )( k − n − 9= ) 1939 Vậy n = 126 n = 960 thỏa mãn đề 1.55 Gọi số cần tìm là= n mab = 100m + ab ( m số có hay nhiều chữ số ; a , b chữ số, b ≠ ) m k (k ∈ ) = Theo đề ta có m số phương nên Vậy = n 100k + ab > (10k ) ⇒ n ≥ 10k + ( k ∈ ) Mặt khác : 99 ≥ ab = n − 100k ≥ (10k + 1) − 100k = 20k + ⇒ k ≤ ⇒ n ≥ 41 2 n= 100k + ab ≤ 100.42 + 99 = 1699 Do 412 ≤ n ≤ 1699 < 422 , = 1681 n 41 = ( ) 1.56.= A p8 = (p n n − 1 + 23 ( p ) − 1 + 40 − 1) P + 23 ( p − 1) Q + 40 = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 (p − 1) ( p + 1) P + 23Q + 40 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 Website:tailieumontoan.com Do p số nguyên tố lớn nên = p 5k ± 5k ± Khi p − chia hết A chia hết cho 1.57 Giả sử ( 21n + ) d (14n + 3) d ⇒ 3 (14n + 3) − ( 21n + ) d hay 1 d , d = abc = 100a + 10b + c = n − (1) 1.58 Ta có : cba = 100c + 10b + a = n − 4n + ( ) Từ (1) , ( ) ta có : 99 ( a − c ) = 4n − ⇒ 4n − 5 99 ( 3) Mặt khác: 100 ≤ n − ≤ 999 ⇒ 101 ≤ n ≤ 1000 ⇒ 11 ≤ n ≤ 31 ⇒ 39 ≤ 4n − ≤ 119 ( ) Từ ( 3) ( ) ta có n = 26 1.59 a 3b + ab3 + 2a 2b + 2a + 2b + = ⇔ ab ( a + b ) + ( a + b ) + = ⇒ a 2b ( a + b ) + 2ab ( a + b ) + ab = ⇔ a 2b ( a + b ) + 2ab ( a + b ) + =1 − ab ⇔ ab ( a + b ) + 1 =1 − ab 2 Do − ab bình phương số hữu tỉ ( ) 1.60 a) Vì an= n + 2n + − ( n + 1) không chia hết ( n + 1) không chia hết cho 2 b 5k ± b =5k ± ( k ∈ ) Với số b ∈ mà b khơng chia hết cho = Do b chia cho dư dư , ( n + 1) chia dư dư , Nếu , ak khơng chia hết cho , ak có dạng : = 5m + 2, ak = 5q + ⇒ + ak = ( m + q + 1) b) an = ( n + 1) + 10 , n lẻ nên n + số chẵn Đặt n += 2k , a= 12k + 10 số chẵn n Nếu an số phương chẵn an ⇒ 10 , vơ lí Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website:tailieumontoan.com Vậy khơng tồn n lẻ để an số phương 1.61 abc − bda= 650 ⇔ 99a − 90b − 10d + c= 650 10 (10a − 9b − d ) + ( c − a )= 650 ⇒ c − a 10 ⇒ a= c Từ ta có 10a − 9b − d = 65 ⇒ 9b = 10a − d − 65 ≤ 25 ⇒ b ≤ Nếu b = ⇒ 10a = 65 + d 10 ⇒ d = 5, a = c = Nếu b =1 ⇒ 10a =74 + d 10 ⇒ d =6, a =c =8 Nếu b = ⇒ 10a = 83 + d 10 ⇒ d = , a = c = Trong ba số 9297 ,8186, 7075 có số 9297 chia hết cho ( 1.62 Ta có 307512 = 307 ) 128 có chữ số hàng đơn vị n 4k + Do 113n có chữ số hàng đơn vị = Vậy P có chữ số hàng đơn vị n =4k + 1, k ∈ 1.63 Với n ∈ , dễ dàng chứng minh 4n + ≤ n + n + < 4n + Do 4n + ≤ n + n + ≤ 4n + 4n + nên n + n + 1= 4n + Dễ dàng chứng minh 4n + 1= 1.64 Dễ thấy k1 + k2 + + kn ≥ , đó: n [ k1 + k2 + + kn ] + n ( n − 1) ≤ k1 + k2 + + kn k + k + + kn + ( n − 1) n n = k1 + k2 + + kn 1.65 Với n ∈ N * , dễ dàng chứng minh: n + 3n < n ( n + 1)( n + )( n + 3) < n + 3n + , n ( n + 1)( n + )( n + 3) =n + 3n Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 29 A= Website:tailieumontoan.com (1 + 22 + + n ) + (1 + + + n ) = 1.66 Đặt a = n − Mặt khác a ≤ n − ⇒ a3 − a + ⇒ a3 + n ( n + 1)( n + ) 3n ( n + 1) + 1 + , n ≥ nên a ≥ 27 1 1 + < a +1 ⇒ a − ≤ n − a a + 3a + 3 Vậy a < n + a < ( a + 1) ⇒ n + a không biểu diễn dạng lập phương số nguyên 1.67 Giả sử 4n + < 4n + , tồn số tự nhiên m cho: 4n + < m ≤ 4n + ⇒ 4n + < 4n + + ≤ m ≤ 4n + ⇒ 4n + < m ≤ 4n + ⇒ m = 4n + ⇒ vơ lý số phương chẵn phải chia hết cho 4n + Vậy 4n + 1= Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... chia hết cho BCNN hay P chia hết cho 30 1.2 abcde 41 nên 10 = abcde 1.3 a) Do abc 37 nên 10.abc= ( (99999a + bcdea ) 41 Mà 99999a 41, bcdea 41 (1000 a + 100 b+ 10c ) 37 ⇒ 999a +... ngun lí Đirichlet, có hai số có số dư, giả sử abc = = 1000abc += def (1000k + l ) + 1001r chia hết k + r , def = 7l + r Ta có abcdef cho 1.7 Bốn số a, b, c, d tồn hai số chia cho có số dư Vậy... − n ( n ∈ ) Chứng minh P chia hết cho 30 1.2 Chứng minh số tự nhiên có chữ số abcde chia hết cho 41 số bcdea chia hết cho 41 1.3 a) Chứng minh số tự nhiên có ba chữ số abc chia hết cho 37 số