Kiến thức về phép biến hình

4.1 Kiến thức phép biến hình 4.1.1 Đại cương phép biến hình a Khái niệm “hình” - “Hình” tập hợp điểm - Tồn thể khơng gian hay toàn th ể mặt phẳng, đường th ẳng, m ột n ửa đường thẳng,…cũng hình  Có thể sử dụng khái niệm (giao, hợp hình) kí hi ệu ( …),… lí thuyết tập hợp lập luận trình bày chứng minh Việc “hình” đặc trưng “vị trí, hình d ạng s ố đo” đ ược xem “tập hợp điểm” bước tiến dài l ịch s phát tri ển toán học phép biến hình Sự dịch chuyển phần “phép biến hình” từ cuối lớp 10 sang đầu lớp 11 sau học “phương pháp tọa độ mặt phẳng” Phương pháp Descartes Fermat đem lại thay đ ổi quan trọng quan niệm hình, cho phép chuy ển t cách nhìn hình tổng thể vào cách nhìn t ừng ểm Nói m ột cách cụ thể hơn, việc thiết lập mối liên hệ giải tích điểm với tọa độ tất yếu dẫn đến chỗ phải hiểu hình tập hợp điểm.” - (Lê Thị Hồi Châu, 2004) Kí hiệu: tập hợp điểm đường thẳng , tập h ợp ểm c m ặt phẳng , tập hợp điểm không gian b Khái niệm phép biến hình  Định nghĩa phép biến hình : Cho tập hợp điểm, song ánh từ vào phép biến hình - Với điểm M thuộc , M’ = (M) gọi ảnh (hay ểm tương ứng hay hình biến đổi) M qua phép bi ến hình M đ ược g ọi t ạo ảnh hay hình nguyên M’ - Khi , tương ứng ta có phép bi ến hình đ ường th ẳng, mặt phẳng hay không gian  Cụ thể hơn, ta có định nghĩa phép biến hình mặt phẳng: Một phép biến hình mặt phẳng : quy tắc đ ể v ới ểm M thuộc , ta tìm điểm M’ = (M) hoàn toàn xác định, th ỏa mãn hai điều kiện: i) Nếu M N thuộc , M N (M), (N) thuộc (M) (N) ii) Với M’ thuộc , tồn M thuộc cho (M) = M’  Nếu hình , = = hình, đ ược g ọi ảnh c hình qua phép biến hình  Hai phép biến hình gọi tương đương n ếu v ới m ọi M thuộc ta có , ta viết = c Thí dụ phép biến hình 1) Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh ti ến, phép quay, phép vị tự phép biến hình 2) Phép đồng Id phép biến hình 3) Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng a b cắt O nh ưng khơng vng góc P điểm có hình chi ếu vng góc xu ống a O Với điểm M thuộc b, dựng đường tròn (POM) cắt lại a C, sau dựng đường trịn tâm C qua M cắt lại b N Hỏi, ánh x bi ến đ ổi M thành N có phải phép biến hình đường thẳng b hay khơng? Nếu phải, gọi tên phép biến hình P N' a Q C N b I M O a ∠CN'O =∠CNO =∠CMN =1800 - ∠CMO =∠CPO Suy N' thuoä c đườ ng trò n (CPO) Khi , vớ i N thuộ c b, điể m M xá c định được, làgiao điể m củ a b vàđườ ng trò n (N'PO) đóf làtoà n nh -rõrà ng f làđơn nh đóf làphé p biế n hình b gọi (a, b) =α, Q làhình chiế u củ a P lê n b Ta cóOQ =PO sinα Theo định lí sin: CN' =sinα CP =CM Vớ i CI =CO sinα ; IM =CM - CI =sin2α (CP2 -CO2) =PO2sin2α Suy MN =2QO ⇒ N =T (M) 2QO 4) Gọi A0, B0, C0 trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC P điểm nằm mặt phẳng chứa tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ đối xứng P qua A0, B0, C0 a Chứng tỏ AA’, BB’ CC’ đồng quy điểm Q b Ánh xạ : P Q từ mặt phẳng (ABC) vào có ph ải m ột phép biến hình? Nếu phải, gọi tên phép biến hình đó? P A C0 G A0 B Q C' B0 B' A' a AA', BB', CC' từ ng cặ p là2 đườ ng ché o củ a3 hình bình hà nh ABA'B'; BCB'C', ACA'C' nê n ng đồ ng quy Q b rõrà ng f làđơn nh vớ i Q mặ t phẳ ng, gọi A', B', C' làđố i C xứ ng củ a A, B, C qua Q đóC'C0, B'B0, A'A0 cắ t mộ t điể m P, đóf làtoà n nh Nê nf làphé p biế n hình ta cóAA 0, PQ là2 trung tuyế n củ a tam giá c APA' cắ t trọng tâ m G, đóG cốđịnh Ta có -1 GQ =- GP nê n f làphé p vịtựtâ m G tỉ số 2 d Các phần tử bất biến phép biến hình - Điểm M gọi điểm bất động (đi ểm bất biến hay ểm kép) qua - phép biến hình (M) = M Phép biến hình đồng phép biến hình mà m ọi ểm không gian (hay mặt phẳng, hay đường thẳng) bất động Hình gọi hình bất biến () = Khi đó, ểm thu ộc điểm kép ta có hình bất biến điểm, ểm biến thành điểm khác ta có hình bất biến tồn th ể H A A bấ t biế n từ ng điể m H A B bấ t biế n n thể ? Tìm bất biến phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự, phép tịnh tiến Vấn đề xếp tính chất bất biến phép biến hình dẫn đến khái niệm nhóm phép biến hình Nhà tốn học Klein (Đ ức, 1849 – 1925) nghiên cứu cách hệ thống mối quan h ệ gi ữa hình học với lý thuyết nhóm Ơng phân loại tính ch ất hình h ọc theo phép biến hình bảo tồn tính chất Với cơng trình ơng, hình học đặc trưng b ởi b ất bi ến c kiểu phép biến hình xác định e Phép biến hình đảo ngược tích phép biến hình  Vì phép biến hình từ tập hợp ểm vào m ột song ánh nên tồn phép biến hình đảo ngược : M’ = (M) M =  Phép biến hình tập hợp điểm gọi đối hợp điểm M trùng với ảnh điểm tương ứng M’ = (M) Hay  Giả sử , hai phép biến hình tập điểm , - Với điểm M T, tồn M1 M’ thuộc T cho M1 = (M) M’ = (M1) Khi ánh xạ : biến M thành M’ song ánh phép biến hình Ta gọi tích c hai phép bi ến hìnhvà , viết = Và M’ = (M) = (M) = , với M thuộc T Tích hai phép biến hình kết việc th ực hi ện liên ti ếp hai phép biến hình, thứ , thứ hai ? Tích phép tịnh tiến, phép đối xứng trục Tương tự cho tích n phép biến hình tập điểm T: ,,…  Tính chất tích phép biến hình Tính kết hợp Nói chung, khơng có tính giao hốn Phần tử trung hịa phép đồng - Tích hai phép biến hình đảo ngược phép đồng - Phép biến hình đảo ngược tích hai phép biến hình - - -  Nhóm phép biến hình - f Tập phép biến hình khơng gian hay mặt phẳng, có cấu trúc nhóm phép tốn tích phép biến hình (có tính ch ất k ết h ợp) khi: i) ii) Phép đồng thuộc iii) Với thuộc , tồn thuộc cho Phép dời hình (đẳng cự) Định nghĩa phép dời hình Cho tập hợp điểm, tập toàn đường thẳng (mặt ph ẳng hay không gian)  Định nghĩa: - - Một phép biến hình gọi phép d ời hình n ếu v ới hai điểm M, N ảnh M’ = (M), N’ = (N) c chúng, ta ln có M’N’ = MN Hay ngắn gọn: phép dời hình phép bi ến hình bảo tồn kho ảng cách hai điểm nên cịn gọi phép biến hình đẳng cự Các phép dời hình: phép đồng nhất, phép biến hình đảo ngược m ột phép dời hình, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh ti ến, phép quay a Tính chất phép dời hình  Định lí Phép dời hình bảo tồn thẳng hàng c ba ểm th ứ tự chúng đường thẳng chứa ba điểm ? Cách chứng minh?  Hệ Phép dời hình biến đường thẳng thành đường      thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành m ột đoạn thẳng Hệ Phép dời hình biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, bi ến đường trịn thành đường trịn có bán kính Các phép dời hình khơng gian có tính chất tương tự Định lí Phép dời hình khơng gian bảo toàn đồng ph ẳng bốn điểm Hệ Phép dời hình khơng gian biến mặt phẳng thành mặt phẳng, biến nửa mặt phẳng thành m ột nửa mặt phẳng, biến đường thẳng thành đường thẳng Phép dời hình khơng gian bảo tồn tương quan liên thuộc ểm, đường thẳng mặt phẳng Hệ Phép dời hình khơng gian biến góc nhị di ện thành góc nhị diện nó, biến góc tam di ện thành m ột góc tam diện có góc phẳng đỉnh tương ứng nhau, nh ị diện tương ứng (do , góc tam diện ảnh đối xứng với nó), biến tứ diện thành tứ diện có cạnh tương ứng nhau, mặt tương ứng nhau, nhị di ện tương ứng nhau, tam diện tương ứng hoạc đối xứng (và biến tứ diện thành tứ di ện ho ặc đ ối xứng với tùy theo tứ diện ảnh hướng hay khác hướng với tự diện tạo ảnh), biến mặt cầu thành mặt cầu nó, biến đường trịn thành đường trịn  Định lí Một phép dời hình phẳng có ba ểm b ất đ ộng không - - thẳng hàng phép đồng Một phép d ời hình khơng gian có bốn điểm bất động khơng đồng phẳng phép bi ến hình đồng Chứng minh: Với biến A thành A, B thành B, C thành C Khi bi ến đường th ẳng AB, BC, CA Theo định lí 1, ta có ểm đường th ẳng AB, BC, CA điểm bất động Và ểm thu ộc mặt ph ẳng ABC đ ều bất động phép đồng Với Theo chứng minh trên, với điểm A, B, C, D bất động ta có m ọi ểm thuộc mặt phẳng (ABC), (BCD), bất động suy ểm không gian bất động phép đồng  Hệ Một phép dời hình phẳng khác phép đồng có khơng q điểm bất động Chứng minh: theo định lí có ểm bất động theo đ ịnh lí có vơ số điểm bất động  Hệ Một phép đẳng cự không gian không ph ải phép đồng khơng có điểm bất động có ểm bất động có đường thẳng mà điểm bất động có mặt phẳng mà điểm thuộc bất động  Ví dụ chứng minh mệnh đề sau 1) Một phép đẳng cự phẳng có hai điểm bất động P, Q m ọi điểm đường thẳng PQ điểm bất động phép đẳng c ự phép đối xứng trục, trục đường thẳng PQ Chứng minh: biến P, Q thành P,Q; biến M thành M’ ta có PM = PM’, QM = QM’, suy PQ trung trực MM’ phép đối xứng trục PQ 2) Phép đẳng cự mặt phẳng có điểm bất động O phép quay xung quanh tâm O góc (sai khác 2k) Chứng minh biến O thành O, M thành M’ suy OM’ = OM, gọi = (OM, OM’) Khi ta có = Một số phép dời hình phẳng thí dụ A Phép tịnh tiến 1) Định nghĩa tính chất  Phép tịnh tiến theo véc tơ phép bi ến hình bi ến M thành M’ cho = Kí hiệu  Khi véc tơ khơng - - - khơng có điểm kép, khơng đối hợp khác Mọi đường thẳng có phương bất động tồn thể qua Phép biến hình đảo ngược Tích hai phép tịnh tiến Tích hai phép đối xứng trục có trục song song a b m ột phép t ịnh tiến theo véc tơ có phương vng góc với đường thẳng đ ộ l ớn g ấp hai lần độ lớn véc tơ (vng góc với hai đường thẳng) phép t ịnh ti ến biến a thành b Mọi phép tịnh tiến phân tích thành tích hai phép đ ối x ứng trục có trục vng góc với véc tơ tịnh tiến trục thứ hai suy từ trục thứ qua phép tịnh tiến theo véc tơ , vô số cách Phép tịnh tiến phép dời hình có góc dời hình Mọi phép biến hình mặt phẳng biến véc tơ thành m ột véc tơ phép tịnh tiến Mọi phép dời hình có góc dời hình phép tịnh ti ến ... ngắn gọn: phép dời hình phép bi ến hình bảo tồn kho ảng cách hai điểm nên cịn gọi phép biến hình đẳng cự Các phép dời hình: phép đồng nhất, phép biến hình đảo ngược m ột phép dời hình, phép đối... ất hình h ọc theo phép biến hình bảo tồn tính chất Với cơng trình ơng, hình học đặc trưng b ởi b ất bi ến c kiểu phép biến hình xác định e Phép biến hình đảo ngược tích phép biến hình  Vì phép. .. tích phép biến hình Tính kết hợp Nói chung, khơng có tính giao hốn Phần tử trung hịa phép đồng - Tích hai phép biến hình đảo ngược phép đồng - Phép biến hình đảo ngược tích hai phép biến hình