Một số thủ thuật tính tích phân

KÊNH PPT – TIVI – 2020 MỘT SỐ THỦ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ MH-BGD NĂM 2020 VÀ CÁC ĐỀ PHÁT TRIỂN Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc I CÁC PP HAY SỬ DỤNG - PP tự luận - PP Casio - PP chọn hàm đại diện… II BÀI TẬP ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020 Câu [CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm xf  x3   f 1  x2   x10  x6  2x, x   Khi A 17 20 B 13 [CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu A 3 Câu Câu tục  thoả mãn  f  x dx ? 1 17 D 1 3  f  x  dx  2  f  x  dx   f  x  dx B 1 [CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu A 16 liên C Câu f  x số D C  f ( x)dx  B  f ( x)dx C D [CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số f  x  có f  0  f   x   cos x cos 2 x, x   Khi   f  x  dx 1041 A 225 B 208 225 C 242 225 D 149 225 ĐỀ PHÁT TRIỂN Câu [TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HỊA-2020] Cho hàm số Câu Cho hàm số y  f  x  có f  ln 3  f   x   A f  3  x3  x2  , x  1 Tính I   f  x  dx x2  x  x  29 101 43 B I   C I  I  6 f  x  A f  x  có 38 B 76 C ex e 1 x D I  , x   Khi 136 D 52 ln  e f  x  dx bằng: x ln Câu y  f  x Cho hàm số có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f 1  1 xf 1  x   f   x   x  x  2, x   Tính tích phân I   f  x  dx 5 B A Câu C D 2 Cho hàm số y  f ( x) liên tục  thỏa mãn xf ( x )  f (2 x)  3 x  Giá trị  f ( x)dx A Câu 52 25 B 52 C 48 25 D 48 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   x f  x    x  18 x  45 x  11x  1, x   Khi B 64 A 96 Câu 10 Cho hàm số  f   x  3  f  x dx 3 C 192 f  x  có đạo hàm liên tục D 32  0;1 thỏa mãn   x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 Tích phân f     f  x  dx 23 17 13 A B  C D  15 15 15 15 Câu 11 [SỞ HÀ NỘI LẦN – CÂU 31 - 2020] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn  f  x  dx  f 1  Tích phân  xf   x  dx có giá trị A  B C D 1 Câu 12 [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;10  10 thỏa mãn 10  f  x  dx  7,  f  x  dx  Tính P   f  x  dx A P  B P  6 C P  D P  12 Câu 13 [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số y  f ( x ) liên tục tập số thực thỏa mãn f ( x)  (5x  2) f  x  x   50 x3  60 x  23x  1, x  R Giá trị biểu thức  f ( x)dx A C B D Câu 14 [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số f  x  liên tục R thỏa mãn  f  x  dx  Tính tích phân 5 A 15   f 1  3x   9 dx B 27 C 75 D 21 Câu 15 [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 - 2020] Biết  f  x  dx  1  f  x  1 dx  Tính  f  x  dx A B D 4 C Câu 16 [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020] Cho f  x  hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f 1   1 ,  xf   x dx  36 18 Giá trị  f  x dx A  12 B 36 C 12 D  36 Câu 17 Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f  x   f 1  x   x  x , x   0;1 Tính I   f 1  x  dx A I  15 B I  Câu 18 Cho hàm số f ( x) C I   có đạo hàm liên tục f  x   f   x   x  x  2; x   Tích phân A  15 10 B  D I   15 thỏa mãn f (0)   xf ( x)dx C D Câu 19 [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục dương  0; a  , thỏa mãn f  x  f  a  x   1; x   0; a  Tích phân a   f  x dx  ba b, c hai số nguyên c b dương phân số tối giản Khi b  c có giá trị c A B C D  f t dt  , tính I    0 0 sin x f   sin x  dx C I  D I   3 Câu 20 Cho f  x  hàm liên tục  thỏa f 1  A I  B I  Câu 21 Cho hàm số liên tục đoạn  0;1 thỏa điều kiện 1   f  x dx  21   x  1 f  x  dx  Tính I   e f  x  dx x B 2e A e D 4e   1  x  f  x  dx  10 Câu 22 Cho A I  5 C 3e I   cos3 xf  sin x  dx Tính B I  10 C I  10 D I   1 Câu 23 Cho hàm số liên tục đoạn 0;  thỏa điều kiện  3 f 1  f    2020 Tính A    f  3x  dx C D f ( x )dx  16 Câu 24 Cho A I  32 Câu 25 Cho   3x  1 f ( x)dx  2019 B Tính I   f (2 x)dx B I  C I 16 D I  f  x dx  10 Tính tích phân J   f  x  dx A J  B J  10 Câu 26 Giả sử hàm số f  x  liên tục đoạn C J  50 D J   0; 2 thỏa mãn  f  x dx  Tính tích phân  I   f  sin x  cos xdx B 3 A Câu 27 Cho hàm số f  x  thỏa mãn C   x  1 f   x  dx  10 D 6 f 1  f  0  Tính B I  A I  12  f  x  dx C I  Câu 28 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  thỏa mãn D I  8   x  1 f   x  dx  10 , f 1  f  0  12 Tính I   f  x  dx A I  B I    6x Câu 29 Biết A 8x  dx  a ln  b ln  c ln với a,b,c số thực Tính P  a  b  3c  7x  B C D x 2 2 dx  a 24 ; a, b   Mệnh đề sau đúng? b A a  b  B a  b  7 C a  b  15 Câu 31 [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG - CÂU 37 - 2020] Cho x D a  b  x3 dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c số hữu tỉ Tính S  a  b  c  3x  A S  e Câu 32 Cho I   x ln xdx  A D I   x3  Câu 30 Biết C I  B S  C S  a.e  b với a , b , c   Tính T  a  b  c c B C D S  D Câu 33 Biết  x ln  x  1 dx  a.ln b , với a , b   * , b số nguyên tố Tính 6a  7b A 33 B 25 C 42 D 39 1   Câu 34 Cho    dx  a ln  b ln với a , b số nguyên Mệnh đề đúng? x  3x   0 A a  2b  B a  2b  C a  b  2 D a  b  e Câu 35 Cho biết ln x  a dx   b , với a , b số nguyên Giá trị biểu x  1 thức b  log a A -1 B Câu 36 Biết I   C D dx  a ln  b ln  c ln , a , b, c   Tính giá trị T  a  b  c x x B T  A T  C T   D T  Câu 37 Biết  x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b * , b số nguyên tố Tính 3a  4b A 42 Câu 38 Cho B 21 ln x   x  1 dx  B ln  1 ex ex  x A  C D dx  a  b ln  c ln với a , b , c số nguyên Tính T  a  b  c A T  1 Câu 40 Cho biết D 32 a a tối giản Giá trị a  b  c  ln  c  ln với a , b, c   * phân số b b A Câu 39 Biết C 12 B T  x  dx  C T  D T  a 1 với a , b số tự nhiên Giá trị a  b b B C D Hết BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.C 21.C 31.D 2.B 12.C 22.C 32.D 3.D 13.A 23.A 33.D 4.C 14.D 24.B 34.A 5.C 15.A 25.A 35.C 6.C 16.A 26.A 36.A 7.D 17.C 27.D 37.B 8.A 18.B 28.A 38.A 9.A 19.A 29.D 39.B HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020 Câu [CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm số f  x  liên tục  thoả mãn xf  x   f 1  x   x  x  2x, x  Khi 10  f  x dx ? 1 A 17 20 B 13 17 Lời giải D 1 C Chọn B Cách 1: PP tự luận Ta có xf  x3   f 1  x    x10  x  x  x f  x3   xf 1  x    x11  x  x Lấy tích phân hai vế cận từ đến ta được: 1 11  x f  x  dx   x f 1  x  dx     x  x  x dx 0 1  1 1 f  x  d  x3    f 1  x  d 1  x      f  t  dt   f  t  dt    30 20 30 21  1 5 f  t  dt   f  t  dt     f  t  dt     f  t  dt    30 20 60 1 Suy 1  f  x  dx   Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến ta được: 0  x f  x  dx   x f 1  x  dx  1 1 0  x 11  x  x  dx 1  1 17 f  x  d  x3    f 1  x  d 1  x     1 1 24  1 17 1 17 f  t  dt   f  t  dt     f  t  dt   f  t  dt    1 20 24 1 20 24  17 f  t  dt     f  t  dt  1 24  17 17 13 13 f  x  dx    f  x  dx       f  x  dx   1 24 24 12 1 0 1 10.D 20.A 30.A 40.A Cách 2: PP chọn hàm đại diện: Từ đẳng thức xf  x   f 1  x    x10  x  x, x   suy chọn đặt hàm số f  x  hàm số bậc dạng f  x   ax  bx  cx  d Ta có f  x3   ax9  bx  cx  d  xf  x   ax10  bx  cx  dx f 1  x   ax   3a  b  x   3a  2b  c  x  a  b  c  d  f  x3   f 1  x   ax10  bx  ax   3a  b  c  x   3a  2b  c  x  dx  a  b  c  d a  1 b   Đồng thức ta  Suy f  x    x  x  c  d  2 Vậy  f  x dx     x 1 1 Câu  3x      [CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu A 3 13 3  f  x  dx  2  f  x  dx   f  x  dx B 1 C Lời giải D Chọn B Cách 1: PP tự luận b Áp dụng tính chất  a Ta có c b a c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, a  c  b 3 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2   1 Cách 1: PP chọn hàm đại diện Gợi ý: Do cho hai điều kiện nên chọn hàm có hai hệ số chưa biết dạng f  x   ax  b , cách dài tự luận Câu [CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu A 16  f ( x)dx  B  f ( x)dx C Lời giải D Chọn D Cách 1: PP tự luận Ta có  1 f ( x)dx  2 f ( x)dx  2.4  Cách 1: PP chọn hàm đại diện Gợi ý: Do giả thiết cho điều kiện nên chọn hàm có dạng f  x   a , cách dài tự luận Câu [CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số f  x  có f    f   x   cos x cos 2 x, x   Khi   f  x  dx A 1041 225 B 208 225 C 242 225 D 149 225 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận áp dụng tính chất f  x    f   x  dx Ta có f   x   cos x cos2 x  cos x cos x cos x   4  cos x cos x cos x  Do f  x    f   x  dx       dx 4    f ( x)  sin x sin x sin x    C , f (0)  nên C  12 20   I   f ( x)dx  242 225 Cách 2: PP chọn số C  Để tính  u  f  x  du  f   x  dx f  x  dx ta đặt   dv  dx v  x  C Khi      0 f  x  dx   x  C  f  x |    x  C  f   x  dx  f    C   f   C    x  C  f   x  dx Chọn C    Suy    0 f  x  dx     x    f   x  dx   (  x)cosx.cos 2 xdx  242 255 Bài toán tổng quát cho Câu Cho hàm số f  x  có biết f  a  f   x   g  x  , x   b Khi  a b f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a   (1*) - cơng thức tính nhanh a Chứng minh PP chọn số C u  f  x   du  f   x  dx  dv  dx v  x  C Đặt  Khi b  a b b  a f  x  dx   x  C  f ( x)|    x  C  f   x  dx   b  C  f  b    a  C  f  a     x  C  f   x  dx a Chọn C  b b  a   f  x  dx    b  x  f   x  dx   b  a  f  a   Áp dụng cơng thức tính nhanh (1*) cho câu b b  a f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a      x  cos x.cos 2 xdx       a 242 255 HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ PHÁT TRIỂN Câu [TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HỊA-2020] Cho hàm số f  x  có f  3  f  x  x3  x  , x  1 Tính I   f  x  dx x2  x  x  A I   29 B I   101 C I  43 D I  52 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận (chọn số C) u  f  x  du  f   x  dx Đặt   dv  dx v  x  C Khi đó:  3 0 f  x  dx  f  x   x  C |    x  C  f   x  dx  f  3  C   f   C    x  C  f   x  dx Chọn C  x3  x  43 dx  Suy I    x x  x  x 1 Cách 2: PP tính nhanh Cho hàm số f  x  có biết f  a  f   x   g  x  , x   b Khi  a b f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a   (1*) - cơng thức tính nhanh a Áp dụng cơng thức (1*) ta có  0 0  f  x  dx    f  x  dx       x  f   x  dx    3 f  3  3     x  x3  x2  43 dx   2 x  x  x 1 (Chú ý gt cho f  a   f  3  Câu ta cần đổi cận thành cận dưới) Cho hàm số y  f  x  có f  ln   f   x   A 38 B C ex e 1 x , x   Khi 76 D ln8 x ln 136 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận ex f  x  e 1 x , x    f  x    f   x dx  2 d  e x  1 e 1 x  ex   C f  ln     C   C  ln8 ln8  e f  x  dx   e x ln x e x  1dx  ln 76 Cách 2: PP tự luận (chọn số C) u  f  x  du  f   x  dx Đặt    x x dv  e dx v  e  C ln8  Khi ln8 e x f  x  dx  f  x   e x  C |  ln ln  f  ln   e  e ln ln  C   f  ln 3  e ln C x  C  f   x  dx ln ln  e x  C  f   x  dx ln  f  ln   C   f  ln 3  C   ln8  e x  C  f   x  dx ln ln Chọn C  8 suy  ln Câu e x f  x  dx  4     ln  e x  8 ln ex ex   76 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f 1  1 xf 1  x   f   x   x  x  2, x   Tính tích phân I   f  x  dx  e f  x  dx bằng: 2 0  f '  x   x   xf '  x   x  x  3   xf '  x  dx   x  x  3 dx   10 Cách 2: Tự luận Áp dụng công thức tích phân phần, ta có:  xf ( x)dx  xf ( x)   f ( x)dx 0 Từ f  x   f   x   x  x  2; x   Thay x  vào 1 ta f (0)  f (2)   f (2)   f (0)    1 Xét I   f ( x)dx x   t  Đặt x   t  dx  dt , đổi cận:  x   t  0 2 0 Khi I    f (2  t )dt   f (2  t )dt  I   f (2  x )dx 2 2 Do ta có   f ( x)  f (2  x)  dx    x  x   dx   f ( x )dx    f ( x )dx  3 0 0 2 Vậy  xf ( x)dx  xf ( x)   f ( x)dx  2.(1)  0 10  3 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ f  x   f   x   x  x  2; x   * ta dự kiến chọn hàm số f  x   ax  bx  c thay vào đk (*) ta có f  x   f   x   ax  bx  c  a   x   b   x   c  ax  ax  a  2b  2c  2a  1   a   Đồng hệ số ta có 4a  2 4a  2b  2c  b  c   Do f     c  3; b  3 Suy f  x   Vậy 2 0  xf '  x  dx   x  x  3 dx   x  x  3; f '  x   x  10 Câu 19 [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục dương  0; e  , thỏa mãn f  x  f  e  x   1; x   0; e  Tích phân e   f  x dx  dương b phân số tối giản Khi b  c có giá trị c be b, c hai số nguyên c B A C Lời giải D Chọn A Cách 1: PP tính nhanh Bài tốn: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục dương  0; a  , thỏa mãn f  x  f  a  x   1; x   0; a  tích phân a a   f  x dx  Chứng minh: Đặt t  a  x ta có a a a a 1 1 f (t ) 0  f  x dx   a  f  a  t dt  0  f  a  t dt  0 dt  0  f  t dt 1 f (t ) a a a a f  x 1 f  x 1 dx   dx   dx   dx   dx  a 1 f  x 1 f  x 1 f  x 1 f  x 0 0 a  2 a  a   f  x   * e Áp dụng công thức (*) vào tốn ta có e  1 f  x  nguyên dương  eb b   , b, c hai số c c b phân số tối giản  c  2, b   b  c  c Cách 2: PP chọn hàm đại diện Do f  x  f  e  x   1; x   0; e  chọn hàm đại diện f  x   k (là hàm hằng) Ta có f  x  f  e  x   1; x   0; e   k   k  Vậy ta chọn hàm đại diện f  x   e  ab eb e b b phân số  dx      , b, c hai số nguyên dương c 1 f  x c c c tối giản  c  2, b   b  c   Câu 20 Cho f  x  hàm liên tục  thỏa f 1   f  t  dt  , tính I   sin x f   sin x  dx A I  B I  C I  Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận: D I   Đặt sin x  t  dt  cos xdx Đổi cận: x   t  ; x    t  Từ ta có   2 0 I   sin x f   sin x  dx   2sin x.cos x f   sin x  dx   t f   t  dt u  t du  dt Đặt:   dv  f   t  dt v  f  t    1  1 I    t f  t     f  t  dt       0  3   Cách 2: PP chọn hàm đại diện Phân tích có hai giả thiết, ta tìm hàm f  x  thỏa hai điều kiện, chọn f  x   ax  b Khi đó: f 1   a  b  1 1 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx    ax  b  dx  a  xdx+  bdx=  a  b  3 0 0   2  a a  b     Từ 1 ,  2 ta có hệ  1  a  b  b    Ta f  x    4 x  ; f '  x   , f '  sin x   3 3  2 4 Vậy I   sin x f   sin x  dx   sin x dx  3 0 Câu 21 Cho hàm số liên tục đoạn  0;1 thỏa điều kiện 1 0   f  x  dx  21   x  1 f  x  dx  Tính I   e f  x  dx A e x B 2e C 3e Lời giải D 4e Chọn C Cách 1: PP chọn hàm đại diện Nhận xét: Giả thiết có điều kiện cho trước hàm số f  x  cách dựa vào tỷ số   f  x  dx  21   x  1 f  x  dx  , tìm  f  x   21   f  x    x  1  x  1 f  x  1 0 Ta có I   e x f  x  dx  3 e x  x  1 dx  3e Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt f  x   ax  b dựa vào giả thiết tìm hệ số a; b Cách 3: PP chọn hàm đại diện Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân sau: b b  b 2   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx a a  a Dấu xảy f  x   k g  x  ,  x   a; b , k    Đặt g ( x)  x  ; ta có   x  1 f  x  dx  suy Vì  g  x  f  x  dx  ; 0  f  x   dx  21;   x  1 dx    g  x  f  x  dx     f  x  dx.  g  x  dx 1 Dấu xảy f  x   kg  x   f  x   g  x    x  1 1 0 Vậy I   e x f  x  dx  3 e x  x  1 dx  3e   1  x  f  x  dx  10 2 Câu 22 Cho A I  5 Tính I   cos3 xf  sin x  dx B I  10 C I  10 Lời giải D I  Chọn C Cách 1: Tự luận   2 0 I   cos3 xf  sin x  dx   1  sin x  f  sin x  cosxdx Đặt t  sin x  dt  cos xdx x   t  0; x     t 1  Khi I    t f  t dt  10 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Giả thiết cho điều kiện  1  x  f  x  dx  10 nên nghĩ đến chọn f  x   a Ta có 30 2 0 1  x  f  x  dx  10  0 1  x  adx  10  a  10  a  Suy f  x   30   2 30 cos xdx  10 Ta có: I   cos xf  sin x  dx    1 Câu 23 Cho hàm số liên tục đoạn 0;  thỏa điều kiện  3 f 1  f    2020 Tính A   3x  1 f ( x)dx  2019  f  3x  dx B C D Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận Áp dụng tích phân phần tính   3x  1 f ( x)dx  3x 1  310 f  x  dx Ta có 0  3x  1 f ( x)dx  f x 1 0 2019  f 1  f    3 f  x  dx   f  x  dx  Vậy 3 1 1  f 3x  dx   f  t  dt   Cách 2: PP chọn hàm đại diện Giả thiết có điều kiện cho trước   3x  1 f ( x)dx  2019 f 1  f    2020 ta chọn đặt f  x   ax  b  f   x   a 4038 2020  4a Mặt khác f 1  f    2020   a  b   b  2020  b  1 0 Ta có   3x  1 f ( x ) dx  2019  a   x  1 dx  2019  a  Vậy  Câu 24 Cho  1 f  3x  dx    3ax  b  dx  f ( x )dx  16 Tính I   f (2 x)dx A I  32 B I  C I 16 Lời giải Chọn B Cách 1: PP tự luận dt Đặt t  2x  =dx Đổi cận x   t  ; x   t  D I  Khi ta có I   f (2 x) dx  4 f (t ) dt   f ( x )dx 8  2 Cách 2: PP casio Phương pháp casio nhanh: m Nếu có  f  x dx  M n   f  ax  b dx   M ; n  a.  b, m  a.  b a Áp dụng  Câu 25 Cho f  x dx  10 Tính tích phân J   f  x  dx A J  B J  10 C J  50 D J  Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio Phương pháp casio nhanh: m Nếu có  f  x dx  M n   f  ax  b dx   M ; n  a.  b, m  a.  b a Áp dụng Câu 26 Giả sử hàm số f  x  liên tục đoạn  0; 2 thỏa mãn  f  x dx  Tính tích phân  I   f  sin x  cos xdx A Chọn A B 3 C Lời giải D 6 Cách 1: PP casio Câu 27 Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 f 1  f  0  Tính A I  12 B I   f  x  dx D I  8 C I  Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận u  x  du  dx  Khi I   x  1 f  x    f  x  dx dv  f   x  dx v  f  x  Đặt  1 0 Suy 10  f 1  f     f  x  dx   f  x  dx  10   8 Vậy  f  x  dx  8 Cách 2: PP casio Phương pháp casio nhanh: Nếu hàm số f  x  thỏa mãn    ax  b  f   x  dx  K   a  b  f      a  b  f    P   f  x  dx   PK a Áp dụng Câu 28 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 , f 1  f  0  12 Tính I   f  x  dx A I  Chọn A B I   C I  Lời giải D I   Phương pháp casio nhanh: Nếu hàm số f  x  thỏa mãn    ax  b  f   x  dx  K   a  b  f      a  b  f    P   f  x  dx   PK a Áp dụng: Câu 29 Biết  6x 8x  dx  a ln  b ln  c ln với a,b,c số thực Tính P  a  b  3c  7x  2 A B C Lời giải D Chọn D Cách 1: PP tự luận 2 9x  2(3x  2)  (2 x  1)   dx   dx   ln x   ln x    ln  ln  ln Ta có  6x  x  (2 x  1)(3x  2) 3  1 1 Do a  1; b  1; c   P  a  b  3c  Cách 2: PP casio B1: Tính  8x  dx gán cho biến A x2  x  B2: Ta có A  a ln  b ln  c ln  A  ln  2a.3b.5c   e A  a.3b.5c  e nA  na.3nb.5nc với n  * B3 Tính e nA cho e nA số hữu tỉ ( thường n = 1,2,3,4…) Ta có e3 A  200  200.27 1  23.52.33 (1) 27 Mà e3 A  23a.33b.53c (2)  a  a     Từ (1) (2) suy 3b  3  b  1  P  a  b  3c  3c    c   Câu 30 Biết  x3 x2  a 24 ; a, b   Mệnh đề sau đúng? b dx  B a  b  7 A a  b  C a  b  15 Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận Tính I  x3  x 2 2 dx Đặt t  x   t  x   tdt  xdx Đổi cận Suy I   I  x3 x2  2 2 dx   x x x2   t3 2  t   dt    2t |2   2 dx   2  24 Suy ra: a = 4, b = Vậy a + b = Cách 2: PP casio B1: Tính I   B2: A  x3 x2  dx gán cho biến A a 24 a 24 b b A Đặt x  a  b  F  x  B3: Mode (dùng Table) Nhập F  x   Star -9 x 24 A t2  tdt t D a  b  End Step Ta dò F(x) = suy x = Suy ra: a = 4, b = Vậy a + b = Câu 31 [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG - CÂU 37 - 2020] Cho x x3 dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c số hữu tỉ Tính S  a  b  c  3x  A S  B S  C S  Lời giải D S  Chọn D Cách 1: PP tự luận 3 x3 x3   dx  dx  1 x  3x  1  x  1 x  2 1  x   x  dx   ln x   ln x   Ta có  ln  ln  ln  ln  ln  ln  ln Suy a  2; b  1; c  1  S  Cách 2: PP casio Bước 1: Tính tích phân x x3 dx sau gán thành biến A  3x  Nhấn SHIFT STO (-) để Bước 2: Tính phép tốn lũy thừa e kA với k  1, 2, 3, 4,5, số nguyên mục tiêu ta kết máy số hữu tỷ Bước 3: Ta dễ dàng phân tích 12 22.3   22.31.51 5 12  ln(2 2.31.51 )  ln  ln  ln suy a  2, b  1, c  1 từ a  b  c  Chú ý: Quá trình bấm máy nhanh so với tốc độ ghi tự luận nhiều A  ln e Câu 32 Cho I   x ln xdx  a.e  b với a , b , c   Tính T  a  b  c c A B D C Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận  du  x dx u  ln x Ta có:  nên  dv  xdx v  x  a  e e x2  e2   b  ln x   xdx  I   x ln xdx  21 c  1  e Vậy T  a  b  c  Cách 2: PP casio + Thử C=1,2,3,4,5,6 giải hệ tìm a,b nguyên Câu 33 Biết  x ln  x  1 dx  a.ln b , với a , b   * , b số nguyên tố Tính 6a  7b A 33 B 25 Chọn.D Cách 1: PP tự luận Xét I   x ln  x  1 dx   u  ln  x  1 dx  du   Đặt  x 1  dv  xdx  v  x  C 42 Lời giải D 39 2 Ta có: I   x  1 ln  x  1   0 x2 1 dx x 1 2  x2   3ln    x  1 dx  3ln    x   3ln  0 Vậy a  , b   6a  7b  39 Cách 2: PP casio Ta có a.ln b  ln ba Bước Bước A  ln ba  b a  e A Bước Bấm Shift + FACT Vậy a  , b   6a  7b  39 1   Câu 34 Cho    dx  a ln  b ln với a , b số nguyên Mệnh đề đúng? x  3x   0 A a  2b  B a  2b  C a  b  2 Lời giải D a  b  Chọn A Cách 1: PP casio e Câu 35 Cho biết ln x  a dx   b , với a , b số nguyên Giá trị biểu x  thức  log a 2b A -1 B C D Lời giải Chọn C Cách 1: PP casio  A  a Aa :3 b b  3  Solve nghiệm nguyên: A  x:3  log x  Thử từ đáp án Thấy A thỏa mãn phương trình có nghiệm ngun Câu 36 Biết I   dx  a ln  b ln  c ln , a , b, c   Tính giá trị T  a  b  c x x B T  A T  C T   Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio .Ta có: e  Nhập dx  x2  x  e a ln 2 b ln 3 5ln c  a.3b.5c 16  4.31.51  a.3b.5c  a  4; b  1; c  1 15 D T  Câu 37 Biết  x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b* , b số nguyên tố Tính 3a  4b A 42 B 21 C 12 Lời giải D 32 Chọn B Cách 1: PP casio  x ln 1 x  dx  Ta có: e  ba Shift FACT  Vậy a  , b   3a  4b  21 Câu 38 Cho ln x   x  1 dx  a a tối giản Giá trị  ln  c  ln với a , b, c   * phân số b b a  b  c A B C Lời giải D Chọn A Cách 1: PP casio  Chú ý: c=x, a  f  x  , tốn có điều kiện a , b, c   * b  Do a  b  c  ln Câu 39 Biết  1 A T  1 ex e 3 x dx  a  b ln  c ln với a , b , c số nguyên Tính T  a  b  c B T  Chọn B Cách 1: PP casio  A  a  b ln  c ln  e A  a  b.3c C T  Lời giải D T   Suy a  , b  4 , c  nên T  a  b  c  Câu 40 Cho biết x x  dx  A  a 1 với a , b số tự nhiên Giá trị a  b b B C Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio  Với b  x; a  f  x   a  , b   Vậy a  b  5 D