Đề thi học sinh giỏi toán 11 năm học 2018 2019 sở GD đt hà tĩnh

( s inx − cosx )( sin x − 3) − sin x − cos2 x + Câu Xét phương trình: 2sin x − = (1) π  x ≠ + k 2π   ĐK sin x ≠ ⇔ (k , l ∈ Z )  x ≠ 3π + l 2π  Khi phương trình (1) ⇔ ( s inx − cosx )( sin x − 3) − sin x − cos2 x + = ⇔ ( s inx − cosx )( sin x − 3) − 2sin x.cosx + 2sin x = ⇔ ( s inx − cosx )( sin x − 3) + 2sin x(s inx − cosx) = (2) s inx − cosx = ⇔ ( s inx − cosx )( sin x + 2sin x − ) = ⇔  sin x + sin x − = (3) π π 5π + k 2π (k ∈ ℤ) PT (2) ⇔ sin( x − ) = ⇔ x = + kπ , đối chiếu điều kiện ta có x = 4 sin2x =1 PT (3) ⇔ sin2x +2sin x = ⇔  (vn) sin x = 5π Vậy x = + k 2π (k ∈ ℤ) 5π x ∈ (−2018π ; 2019π ) ⇔ −2018π < + k 2π < 2019π ⇔ −2018 < + 2k < 2019 4 Do k ∈ ℤ nên k ∈ { − 1009, − 1008, ,1008} suy có 2018 nghiệm ( x + x + − x + x + + mx ) Nếu m = −3 lim ( x + x + − x + x + + mx ) = lim ( ( x + x + − x) − ( x + x + + x) ) 2x + Ta có lim ( x + x + − x ) = lim ( x + x + 1) + x ( x + x + 1) Câu 1b Tính lim 3 2 x →−∞ 3 2 x →−∞ 3 2 x →−∞ 3 x →−∞ lim x →−∞ ( x →−∞ ) x + x + + x = lim Suy lim x →−∞ ( 2 2x + x2 + x + − x x + x + − x + x + + mx = Nếu m < −3 lim ( x →−∞ ( x →−∞ = 2 + x2 −1 ) 3 x + x + − x + x + + mx ) ) = lim ( x3 + x + − x) − ( x + x + + x) + (m + 3) x = +∞ x →−∞ Nếu m > −3 lim ( x →−∞ ( x + x + − x + x + + mx ) ) = lim ( x3 + x + − x) − ( x + x + + x) + (m + 3) x = −∞ x →−∞ Câu 2a Theo giả thiết ta có Cn2 = Cn1 + 4d ; Cn3 = Cn1 + 14d  ⇔ 7(Cn2 − Cn1 ) = 2(Cn3 − Cn1 ) ⇔ 2Cn3 − 7Cn2 + 5Cn1 = Cn2 − Cn1 Cn3 − Cn1 = 14 =  n = 11 n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2 −7 + 5n = ⇔ 2n − 27 n + 55 = ⇔   n = ( L)  Với n = 11 , thử lại thỏa mãn cấp số cộng 2 2 Ta cần chứng minh ( C23 ) + ( C232 ) + ( C234 ) + + ( C2322 ) = 12 C4623 2 2 Ta chứng minh toán tổng quát ( Cn0 ) + ( Cn2 ) + ( Cn4 ) + + ( Cnn −1 ) = C2nn với n lẻ 2n n n n n n n −1 Xét khai triển (1 + x) = (1 + x) ( x + 1) = ( Cn + Cn x + + Cn x )( Cn x + Cn x + + Cnn ) Đồng hệ số x n đẳng thức ta có (C ) + (C ) + (C ) + (C ) n n 2 n n + ( Cnn ) = C2nn n −1 n +1 Do n lẻ Cn0 = Cnn ; Cn1 = Cnn −1 ; Cn = Cn ; nên (C ) + (C ) + (C ) + (C ) n n 2 n n (1) ( + ( Cnn ) = ( Cn0 ) + ( Cn2 ) + ( Cn4 ) + + ( Cnn −1 ) 2 2 ) 2 2 Thay vào (1) ta có ( Cn0 ) + ( Cn2 ) + ( Cn4 ) + + ( Cnn −1 ) = C2nn (đpcm Câu 2b Kiến muốn đến B bắt buộc phải qua D Gọi m số cách từ A đến D Gọi n số cách từ D đến B Gọi k số cách từ D đến B mà không qua C A D G C E I F H K B Ta có số cách từ A đến B mn ; số cách từ A đến B mà không qua C mk mk k Ta có xác suất mà kiến đến B p = = mn n Các cách từ D đến B mà có qua C là: DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy số cách từ D đến B có mà khơng qua C Vì tính đối xứng lưới ô vuông 2x2 nên số cách từ D đến B mà không qua C k Suy k = 3, n = Do p = = n Câu 3a Vì SA = SC nên SO ⊥ AC S Vì SB = SD nên SO ⊥ BD Do SO ⊥ ( ABCD) P Trong tam giác SAC kẻ M MH ⊥ AC ( H ∈ AC )  MH SO  MH ⊥ ( ABCD) C Theo giả thiết MNH = 600 D I H A N O K B Ta có: HQ = a a; QN = D A 2 2 B Suy NH = N Q C a 13 Do MH = NH tan 600 = Ta có S ∆SMB = O H  3a   a  13a NH = HQ + QN =   +   = 16   2 a 39 a 39 , suy SO = MH = 1 39a a 43 + a2 = S ∆SAB = SK AB ; SK = SO + KO = 4 a 43 Suy S ∆SMB = SK AB = Câu 3b Gọi P trung điểm SD, ta có tứ giác MPCN hình bình hành suy MN//CP Gọi α góc đường thẳng MN mặt phẳng (SBD), ta thấy α góc đường thẳng CP mặt phẳng (SBD) Kẻ CI ⊥ BD  CI ⊥ ( SBD)  α = CPI Tam giác BCD vng C có CI đường cao, suy 1 1 2a = + = + =  CI = 2 CI CB CD a 4a 4a Ta có CP = MN = NH = sin α = a 13 CI = CP 65 u1 =  2un Câu 4a Xét dãy:  u = , n ≥1  n +1 5un + +  Bằng quy nạp ta chứng minh un > ∀n Ta có un +1 = 2un = 5un + + ( ) 5un + − ⇔ 5un +1 + = 5un + ⇔ 25un2+1 + 20un +1 + = 20un + ⇔ un2+1 = (un − un +1 ) S n = u12 + u22 + u32 + + un2 = u12 + (u1 − un ) = − un (1) 5 Ta chứng minh (un ) dãy giảm 2( − 1) < u1 , giả sử uk > uk +1 , thay vào công thức xác định dãy ta thấy uk +1 > uk + Vậy (un ) dãy giảm, mà un > ∀n suy tồn giới hạn lim un = l (l ≥ 0) Thật có u2 = Từ đẳng thức un +1 = ( )  l = 2( 5un + − ) ⇔ 5l + = 5l + − ⇔ 25l + 20l + = 20l + ⇔ l = Thay vào (1) ta có lim S n = 5l + Câu 4b P = sin A + sin B + 12 sin C Ta có ( sin A + sin B ) ≤ 2(sin A + sin B ) = cos  sin A + sin B ≤ cos  P ≤ cos C A− B C cos ≤ cos 2 C   C C sin C ≤ 2  cos + sin C  + 24 2     C C 3   Ta lại có  cos + sin C  ≤  cos + sin C  = + cos C + - cos 2C 2 2     C 3 1 = -  cos C −  ≤ suy cos + sin C ≤ 2 3 2 3 Do P ≤ = 44 3  A = B   C  C = arccos sin C ⇔  có “ = ” cos = 2   A = B  cos C = ... = 5π Vậy x = + k 2π (k ∈ ℤ) 5π x ∈ (? ?2018? ? ; 2019? ? ) ⇔ ? ?2018? ? < + k 2π < 2019? ? ⇔ ? ?2018 < + 2k < 2019 4 Do k ∈ ℤ nên k ∈ { − 1009, − 1008, ,1008} suy có 2018 nghiệm ( x + x + − x + x + + mx )... x = −∞ x →−∞ Câu 2a Theo giả thi? ??t ta có Cn2 = Cn1 + 4d ; Cn3 = Cn1 + 14d  ⇔ 7(Cn2 − Cn1 ) = 2(Cn3 − Cn1 ) ⇔ 2Cn3 − 7Cn2 + 5Cn1 = Cn2 − Cn1 Cn3 − Cn1 = 14 =  n = 11 n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)... 14 =  n = 11 n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2 −7 + 5n = ⇔ 2n − 27 n + 55 = ⇔   n = ( L)  Với n = 11 , thử lại thỏa mãn cấp số cộng 2 2 Ta cần chứng minh ( C23 ) + ( C232 ) + ( C234 ) + + ( C2322