SỞ GDĐT BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG (Đề có 01 trang) ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: Tốn - Lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) Tính giới hạn sau đây: a) lim (x3 − 2x + 1) x→3 x2 − 10x + 16 x→2 x−2 2n2 + n − c) lim 5−n b) lim Câu (2,5 điểm) Cho hàm số y = 2x2 − 3x + có đồ thị parabol (P ) a) Tính đạo hàm y hàm số cho giải phương trình y = b) Viết phương trình tiếp tuyến parabol (P ) điểm có hồnh độ x0 = −1 Câu (3,5 điểm) √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2, đường thẳng SA √ vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a (với a > 0) Gọi M, N điểm thuộc đường thẳng SB, SD cho AM vng góc với SB AN vng góc với SD Gọi I trung điểm đoạn thẳng M N H trung điểm đoạn thẳng SC a) Chứng minh đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (SAD) đường thẳng AN vng góc với mặt phẳng (SCD) b) Gọi góc đường thẳng AC mặt phẳng (SCD) ϕ Tính sin ϕ c) Tính độ dài đoạn thẳng IH theo a Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 7a + b + 3c = Chứng minh phương trình πx ax2 + bx + c = 2020 cos có nghiệm R - - - - - - Hết - - - - - - SỞ GDĐT BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: Tốn - Lớp 11 (Hướng dẫn có 02 trang) Câu Lời giải Điểm 1.a 1,0 lim x3 − 2x + = 33 − 2.3 + = 22 1,0 x→3 1.b 1,0 x − 10x + 16 (x − 2)(x − 8) = lim = lim (x − 8) = −6 x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 lim 1.c 1,0 1,0 lim 2n2 + n − = lim 5−n n2 + n 1 − n n −1 n = lim n · 1 − n n = −∞ −1 n 2+ 2.a 1,0 1,5 Ta có y = 4x − 3, ∀x ∈ R 1,0 Vậy y = ⇔ 4x − = ⇔ x = 0,5 2.b 1,0 Tung độ tiếp điểm y0 = y(−1) = Hệ số góc tiếp tuyến k = y (−1) = −7 0,5 Tiếp tuyến (P ) điểm M0 (−1; 6) có phương trình y = −7(x + 1) + ⇔ y = −7x − 0,5 3.a 1,5 S H I M 1,0 D A B Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥CD Mà ABCD hình chữ nhật nên AD⊥CD Suy CD⊥(SAD) N C Vì CD⊥(SAD) nên CD⊥AN Mặt khác SD⊥AN hai đường thẳng cắt CD, SD nằm mặt phẳng (SCD) Do AN ⊥(SCD) 0,5 3.b 1,0 Hình chiếu vng góc AC (SCD) N C nên (AC, (SCD)) = (AC, N C) = N CA = ϕ √ √ Ta có AC = a2 + (a 2)2 = a Trong tam giác SAD vuông A √ 1 1 a 30 = + = + = ⇒ AN = AN SA2 AD2 3a 2a 6a √ AN 10 Tam giác N CA vuông N nên sin ϕ = sin N CA = = AC 3.c 0,5 0,5 1,0 Vì hai tam giác SAB, SAD vuông A nên M, N điểm đoạn thẳng SB, SD −−→ SM SM.SB −→ SA2 SA2 3a2 Ta có = ⇒ SM = SB = = = = 2 2 2 SB SB SB SA + AB 3a + a 4 −→ −→ SN = ⇒ SN = SD Tương tự SD 5 Do −→ − → −→ −−→ −→ −→ IH = −SI + SH = − (SM + SN ) + SC 2 −→ −→ −→ −→ =− SB + SD + (SA + AC) −→ −→ −→ −→ = − SB − SD + (SA + AC) 10 −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ = − (SA + AB) − (SA + AD) + (SA + AB + AD) 10 −→ −→ −−→ = − SA + AB + AD 40 Do SA, AB, AD đơi vng góc nên 2 2 −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ IH = IH = − SA + AB + AD = − SA + AB + AD 40 40 49 1 3a = SA2 + AB + AD2 = 64 25 16 √ 1600 a Vậy IH = 4 0,5 0,5 1,0 πx Hàm số f (x) = ax2 + bx + c − 2020 cos xác định liên tục R Ta có f (−1) = a − b + c, f (1) = a + b + c, f (3) = 9a + 3b + c Từ 7a + b + 3c = suy 3f (−1) + 2f (1) + f (3) = (7a + b + 3c) = 0,5 + Nếu ba số f (−1), f (1), f (3) có số ta có điều phải chứng minh + Nếu ba số f (−1), f (1), f (3) khác từ 3f (−1) + 2f (1) + f (3) = suy ba số f (−1), f (1), f (3) có hai số trái dấu, tích hai số âm Dẫn tới phương trình f (x) = có nghiệm πx có Vậy với 7a + b + 3c = phương trình ax2 + bx + c = 2020 cos nghiệm [−1; 3] ⊂ R 0,5 ...SỞ GD? ?T BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: Tốn - Lớp 11 (Hướng dẫn có 02 trang) Câu Lời giải Điểm 1.a... 3a = SA2 + AB + AD2 = 64 25 16 √ 1600 a Vậy IH = 4 0,5 0,5 1,0 πx Hàm số f (x) = ax2 + bx + c − 2020 cos xác định liên tục R Ta có f (−1) = a − b + c, f (1) = a + b + c, f (3) = 9a + 3b + c Từ... Dẫn tới phương trình f (x) = có nghiệm πx có Vậy với 7a + b + 3c = phương trình ax2 + bx + c = 2020 cos nghiệm [−1; 3] ⊂ R 0,5