Biến dạng của phạm trù Monoid và tựa đa phức Yetter

Chúng tôi giới thiệu đến độc giả trong nước chủ đề về lí thuyết biến dạng đại số của Murray Gerstenhaber được phát triển từ những năm 1960. Đây là chủ đề đang được nghiên cứu rất mạnh ̣trong hı̀nh học đại số.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 17, Số (2020): 1125-1136 ISSN: 1859-3100 Vol 17, No (2020): 1125-1136 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu * BIẾN DẠNG CỦA PHẠM TRÙ MONOID VÀ TỰA ĐA PHỨC YETTER Nguyễn Ngọc Ái Vân1, Đinh Văn Hồng2* Trường Đại học Cơng nghệ Thơng tin, ĐHQG-HCM, Việt Nam Trường Đại học Sư phạm Kỹ Thuật Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam * Tác giả liên hệ: Đinh Văn Hoàng – Email: hoangdv@hcmute.edu.vn Ngày nhận bài: 26-12-2019; ngày nhận sửa: 17-3-2020, ngày chấp nhận đăng: 24-6-2020 TĨM TẮT Chúng tơi giới thiệu đến đọc giả nước chủ đề về lí thuyết biến dạng đại số Murray Gerstenhaber phát triển từ năm 1960 Đây là chủ đề được nghiên cứu rấ t mạnh hı̀nh học đại số Ngồi chúng tơi áp dụng lí thuyết việc nghiên cứu biến dạng bậc phạm trù monoid đạt kết mới việc nghiên cứu thành phần bậc thấp (bậc 1, và 3) đồng cấu vi phân tựa phức Yetter Trong Shrestha (2010), tác giả đã đưa công thức các thành phầ n bậc 1, và cho đồ ng cấ u vi phân dãy tiền đa phức của Yetter Công thức của Shrestha chưa hoàn chı̉nh Ở bài báo chúng xây dựng công thức hoàn chı̉nh cho thành phầ n bậc 1, và này Hơn nữa, chúng chứng minh rằ ng xây dựng mà chúng tơi đưa là hợp lí Từ khóa: biến dạng đại số; đại số đồng điều Giới thiệu Lí thuyết biến dạng đa tạp vi phân, lược đồ đại số đặt móng nghiên cứu cơng trình Kodaira và Spencer (1958) Gerstenhaber (1964) phát triển lí thuyết biến dạng cho đại số trường k Kể từ lí thuyết biến dạng nghiên cứu mạnh mẽ nhiều lĩnh vực tốn học Ngày nay, lí thuyết biến dạng trở thành lĩnh vực nghiên cứu nằm giao thoa Đại số, Hình học, Tơ pơ Vật lí tốn Có thể kể qua số nghiên cứu lí thuyết biến dạng bậc năm gần sau: • Biến dạng nửa bó đại số nghiên cứu Gerstenhaber, Schack (1983; 1988); • Biến dạng đại số Lie đồng cấu Lie nghiên cứu Nijenhuis, Richardson (1967); • Biến dạng đa tạp Poisson, biến dạng lượng tử hóa nghiên cứu Shoikhet (2010); Konsevich (2003); • Biến dạng phạm trù giao hoán nghiên cứu Lowen, van den Bergh (2006; 2008); • Biến dạng phạm trù tuyến tính, phạm trù momoidal nghiên cứu Yetter (2009); Shrestha (2010); Yetter, Shrestha (2014) Cite this article as: Nguyen Ngoc Ai Van, & Dinh Van Hoang (2020) Deformation of monoidal category and yetter multi pre-complex Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 17(6), 1125-1136 1125 Tập 17, Số (2020): 1125-1136 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Bài báo gồm hai mục đích Đầu tiên giới thiệu lí thuyết biến dạng đại số khởi xướng từ năm 1960 nghiên cứu mạnh mẽ giới Kế đến tập trung vào nghiên cứu mở rộng số kết toán biến dạng phạm trù monoid khởi xướng Yetter, Shrestha (2010) Bài toán biến dạng phạm trù monoid Yetter Shrestha nghiên cứu dựa việc khái quát lí thuyết biến dạng đại số Gerstenhaber (1964) để áp dụng cho trường hợp phạm trù monoid Trong lí thuyết biến dạng đại số A, ta có kết sau: Định lí 1.1 Cho A đại số trường k Khi • Các biến dạng bậc A tương ứng 1: với nhóm đối đồng điều Hochschild bậc hai; • Các biến dạng bậc cao A kiểm soát cấu trúc đại số Lie phân bậc dãy phức Hochschild thơng qua phương trình Mauer-Cartan Do ta thấy, toàn biến dạng đại số A kiểm soát dãy phức Hochschild Trong nghiên cứu biến dạng phạm trù monoid, Yetter Shrestha cố gắng xây dựng dãy đa phức để kiểm soát biến dạng phạm trù monoid tương tự trường hợp biến dạng đại số A Yetter dự đoán đề xuất dãy đa phức thu dãy đa phức hồn chỉnh việc xây dựng đồng cấu vi phân dãy đa phức vô phức tạp Trong Shrestha (2010), Shrestha giới thiệu dãy đa phức Yetter, dự đoán đồng cấu vi phân cho đối dây chuyền bậc thấp (bậc 1,2,3) Trong báo này, chúng tơi hồn chỉnh đồng cấu vi phân đưa chứng minh cho hợp lí việc cách xây dựng chúng tơi thơng qua Định lí 4.4 Trong kế hoạch nghiên cứu tiếp theo, áp dụng kĩ thuật việc xây dựng đa phức mà đạt Dinh Van, Lowen (2018) để xây dựng toàn đồng cấu vi phân cho dãy đa phức Yetter Biến dạng đại số Trong phần giới thiệu sơ lược kết quan trọng lí thuyết biến dạng đại số Gerstenhaber, chứng minh chi tiết tìm thấy Gerstenhaber, M (1964) Định nghĩa 2.1 Cho A đại số trường k Một biến dạng A k-đại số  A t  A k k t với phép nhân F a, b   i  fi a, b t i f phép nhân A fi  Homk  A  A, A , a, b  A Phép nhân mở rộng tuyến tính từ phần tử A lên thành phép nhân A t Vì A t với phép nhân F lập thành k-đại số nên ta có     F a, F b, c  F F a, b , c , a, b, c  A Khai triển đẳng thức này, với n = 0,1, 2, 3, , ta thu (2.1)  Fi a, Fj b, c  Fi Fj a, b , c  i jn i , j 0     1126 Nguyễn Ngọc Ái Vân tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM   Biến dạng bậc đại số A biến dạng At  A  At t  với phép nhân F a, b  ab  f1 a, b t , a, b  A Trong trường hợp ta thường viết A    A  A thay cho At Định nghĩa 2.2           Hai biến dạng A  t , F A t , G đại số A gọi tương đương t , F  A t , G , tồn đẳng cấu k-đại số nhau, ta viết A    t , F  A t , G có dạng  a  a  1 a t  2 a t  ; a  A ,  : A    i  Homk (A, A) Định nghĩa 2.3 Đối đồng điều Hochschild đại số A với hệ số A-mơđun hai phía M đối đồng điều dãy phức Hochschild:  M  C1  A, M   C  A, M          đó, C n  A, M   Homk An , M không gian hàm k-tuyến tính từ An vào M,  A, M   C  A, M  định nghĩa sau:  f a   a   a f a   a    1 f a   a a   a  đồng cấu vi phân  : C n 1 n n 1 n n i 1 i i i 1 n  1 f a1   an 1  an n   n Kí hiệu nhóm đối đồng điều Hochschild thứ n A H Hoch  A, M   H n C  A, M  Giả sử F    i 0 fi t biến dạng đại số A Giả sử f n thành phần khác đầu i tiên F sau f , f n gọi thành phần vơ bé F Từ phương trình (2.1) ta có phương trình af n b, c  f n ab, c  f n a, bc  f n a, b c  0, a, b, c  A Vì f n  C  A, A phương trình viết lại   f n   Từ suy f n  Z  A, A Điều cho ta mối liên hệ biến dạng đại số đối đồng điều Hochschild Định lí 2.4 Cho F   i0 fi t i biến dạng đại số A Khi thành phần vơ bé F 2-đối chu trình dãy phức Hochschild C  A, A Hệ 2.5 Cho (A, μ) đại số trường k, μ phép nhân A Khi đó, đại số  A   A  A ,        biến dạng đại số A  1 chu trình dãy phức Hochschild C  A, A 1127 2-đối Tập 17, Số (2020): 1125-1136 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM   '  Cho A  ,     1   A  ,     1  biến dạng đại số A Giả      ( A ,     1 )  ( A ,     1' ) , gọi   0  1 đẳng cấu chúng      Khai triển đẳng thức đẳng cấu   a ,  b    a, b , a, b  A ta thu ab  1' a, b  a1 b  1 a b  ab  1 ab  1 a, b , a, b  A Hay nói cách khác    1  1' , nghĩa các đối chu trình 1 , 1'  C  A, A nằm lớp đồng điều Do ta kết luận hai biến dạng đại số  A ,           '  A  ,     1'  đại số A đẳng cấu 1 1 trùng    nhóm đối đồng điều Hochschild H (C  A, A) Ta phát biểu định lí sau lí thuyết biến dạng đại số Định lí 2.6 Cho A đại số trường k Khi (1) Các biến dạng bậc A tương ứng 1: với nhóm đối đong điều Hochschild bậc hai H (C  A, A) (2) Các biến dạng bậc cao A kiểm soát cấu trúc đại số Lie phân bậc dãy phức Hochschild C  A, A thơng qua phương trình Mauer-Cartan Biến dạng phạm trù k-tuyến tính Trong mục này, chúng tơi giới thiệu lí thuyết biến dạng cho phạm trù k- tuyến tính, kết đạt hồn tồn tương tự lí thuyết biến dạng cho đại số trường k Việc chứng minh kết mục hoàn toàn tương tự chứng minh cho trường hợp biến dạng đại số trường k Định nghĩa 3.1 Phạm trù M gọi phạm trù k-tuyến tính với vật A, B M tập cấu xạ M(A, B) có cấu trúc khơng gian véctơ trường k, nữa, tính chất sau phải thỏa mãn: • Với cấu xạ f , g  M  A, B h, l  M B, C  h   f  g   h  f  h  g h  l   g  h  g  l  g Ví dụ 3.2 Phạm trù không gian véctơ trường k phạm trù k-tuyến tính Định nghĩa 3.3 Dãy phức Hochschild C M  ,  phạm trù k-tuyến tính M định nghĩa sau C n M     A0 , A1 , , An ObM     Homk M  An 1 , An    M  A0 , A1  , M  A0 , An  đó, Ob(M) tập vật phạm trù M, đồng cấu vi phân δ định nghĩa tương tự đồng cấu vi phân dãy phức Hochschild cho đại số 1128 Nguyễn Ngọc Ái Vân tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Định nghĩa 3.4     có: vật Ob M Biến dạng phạm trù tuyến tính M phạm trù tuyến tính M vật Ob(M) M, tập cấu xạ  A, B  M A, B  k  t   M A, B  t  , phép hợp nối cấu xạ o xác M     k       định sau: • Với cấu xạ f  M  A, B , g  M B, C   g  f   Fi  g , f  t n n0 F0  , Fn  C M  với n  Việc nghiên cứu biến dạng phạm trù k-tuyến tính hoàn toàn tương tự việc nghiên cứu biến dạng k-đại số nên ta có kết sau Định lí 3.5 Cho M phạm trù k-tuyến tính, (1) Các biến dạng bậc M tương ứng 1:1 với nhóm đối đồng điều bậc hai H C M    (2) Các biến dạng bậc cao M kiểm soát cấu trúc đại số Lie phân bậc dãy phức Hochschild C M  thơng qua phương trình Mauer- Cartan Tiền phức Yetter cho phạm trù monoid Trong mục giới thiệu định nghĩa phạm trù monoid k-tuyến tính Để tạo tiền đề cho việc nghiên cứu biến dạng phạm trù monoid, giới thiệu dãy đa phức Yetter, dãy đa phức xây dựng đồng cấu vi phân d0, d1, d2 cho đối dây chuyền bậc thấp (bậc 1,2,3) Hơn nữa, thơng qua Định lí 4.4 chúng tơi chứng minh tính hợp lí xây dựng chúng tơi Các kết đạt tổng quát hoàn chỉnh kết Shrestha, T (2010) Định nghĩa 4.1 Phạm trù k-tuyến tính D gọi phạm trù monoid k-tuyến tính trang bị hàm tử  : D  D  D , vật kí hiệu I, đẳng cấu chuyển đổi tự nhiên hàm tử  : 1D   1D  ,  : I  1D ,  : I   1D cho biểu đồ ngũ giác sau giao hoán 1129 Tập 17, Số (2020): 1125-1136 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Ví dụ 4.2 Phạm trù không gian véctơ trường k với phép k-tenxơ tạo thành phạm trù monoid k-tuyến tính Cho phạm trù monoid D, ,  ,  ,   , ta định nghĩa thành phần thứ (p, q) tựa đa phức Yetter sau C p ,q D :    Ai Ob D p i 1, , q    A , A   Homk D p  A0 , A1    D p Aq 1 , Aq , D p p q • D p tích Đề-các p lần D; • Vật Ai  Ob D p có dạng Ai  A1,i , A2,i , , Ap ,i với Ai , j vật D;   • p    A   A ;    A A  A    A0  A1,0  A2,0 •  p Aq  A0,q   3,0 p  2, q  p ,0 p 1, q p ,q Kể từ ta viết tắt C p ,q thay cho C p ,q D Với i  1, , p ,     Ai  A1,i , A2,i , , Ap ,i  Ob D p , phần tử D p  A0 , A1   D p  A1 , A2    D p Aq 1 , Aq   biểu diễn ma trận  p chứa cấu xạ D gồm p cột q dòng, ai , j ij1, , 1, , q   cấu xạ , j  D Ai , j 1 , Ai , j sau ai , j i 1, , p   j 1, ,q    a1,q       a1,2     a1,1    A1,q  A2,q a2,q  a p ,q    A1,2 A2,2  A1,1 a2,2  A2,1  A1,0 a2,1  A2,0 a p ,2 a p ,1 Ap ,q       Ap ,2     Ap ,1     Ap ,0  Tập hợp ma trận kí hiệu M p ,q D  fn f1 Xét dãy hữu hạn cấu xạ B1   C1 , , Bn   Cn  phạm trù D Giả sử f1  f   f n tích tenxơ theo thứ tự định, vật nguồn vật đích tích tenxơ khơng thiết phải n Bi i 1, ,n n Ci i 1, ,n , nên ta cần hợp nối cấu xạ với cấu xạ sinh từ phép chuyển đổi đẳng cấu tự nhiên ω để cấu xạ từ n Bi i 1, ,n tới n Ci i 1, ,n , ta kí hiệu cấu xạ sinh  f1 , , f n  1130 Nguyễn Ngọc Ái Vân tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM f3 f1 f2 Ví dụ 4.3 Xét cấu xạ B1   C1 , B2   C2 , B3   C3 phạm trù monoid D Khi vật nguồn vật đích C  C   C B  B   B 3 f B  B   B  f   f ta hợp nối cấu xạ với  C1 ,C2 ,C3 để cấu xạ từ  f , f , f  Vì ω phép   f1  f  f3    f1   f  f3    B , B , B đến C1  C2   C3 , ta kí hiệu hợp nối chuyển đổi tự nhiên nên ta có  C1 ,C2 ,C3 3 Tiếp theo xây dựng thành phần d ,d ,d ,d đồng cấu vi phân d cho đối dây chuyền bậc thấp C p ,q , p  q  1, 2,3 Và chứng tỏ tính hợp lí xây dựng d d   d d   d d    chúng  cách chứng minh nghĩa biểu đồ sau giao hoán cho trường hợp p  q  p  q  Thành phần d d xây dựng cho đối dây chuyền bậc sau Xây dựng thành phần d : C p ,q  C p ,q 1 Cho ai , j   M p ,q 1 , định nghĩa      q 1    j q d  ai , j  : a*,1   00 ai , j     1  0j ai , j    1  0q ai , j   a*,q    j 1     Xây dựng thành phần d : C p ,q  C p 1,q Cho ai , j   M p 1,q , định nghĩa   ai , j  : 1 p q d      p 1 i a   0 a    1   i, j     1,*   i 1    1 a    1 q  i  i, j          0 a   a  q  i, j  *, q     Tiếp theo xây dựng thành phần d : C  C cho đối dây chuyền bậc p ,q thấp C , p  q  1, 2,3 Việc mở rộng d cho đối dây chuyền bậc  p  2, q 1 p ,q  nghiên cứu công bố báo • Cho   C1,1 vật A, B, C  D Ta định nghĩa   d  A, B, C     A, B ,C • Cho   C , vật A, B, C , D  D Ta định nghĩa 2,1     d  A, B, C , D    A, B ,C ,1D   1A ,  B ,C , D • Cho C 1,2 , vật A, A1 , B, B1 , C , C1  D , f  D  A, A1  , g  D B, B1  , h  D C , C1  Ta định nghĩa    f  g h,  d  f , g , h    A, B ,C , f   g  h   1131 A1 , B1 ,C1 ) cấu xạ Tập 17, Số (2020): 1125-1136 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM • Cho   C1,3 , vật A, A1 , A2 , B, B1 , B2 , C , C1 , C2  D , cấu xạ f , f1 , g , g1 , h, h1 D sau: Ta định nghĩa d     f , f , g , g , h, h     f  g h,  A1 , B1 ,C1  1 A2 , B2 ,C2  , f   g  h , f1   g1  h1  , f1   g1  h1   f  g h,  f  g  h ,  A , B ,C Định lí 4.4 Cho   C p ,q Khi ta có d d   d d   d d   , với p  q  2,3 hay nói cách khác, ta có biểu đồ sau giao hoán Chứng minh Ta cần chứng minh định lí cho tất cặp giá trị (2,0), (1,1), (3,0), (2,1), (1, 2) (p, q) Ở đây, ta trình bày chứng minh cho trường hợp (p = 1, q = 2), việc chứng minh cho trường hợp khác thực tương tự Ta chứng minh biểu đồ sau giao hoán: Xét   C1,2 Với vật A, A1 , A2 , B, B1 , B2 , C , C1 , C2  D , cấu xạ f , f1 , g , g1 , h, h1 D sau: 1132 Nguyễn Ngọc Ái Vân tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Ta chứng minh d d   f , f1  ,  g , g1  , h, h1   d d   d d    f , f , g , g , h, h   1  f , f , g , g , h, h  1 1 cách thực tính tốn sau: • Bước d d   f , f1  ,  g , g1  , h, h1        f , f1   d  g , g1  , h, h1   d   f , f1    g , g1  , h, h1  d   f , f1  ,  g , g1   h, h1   d   f , f1  ,  g , g1   h, h1     f , f1    g , g1  , h, h1     f , f1    g , g1   h, h1     f  g   h,  f1  g1   h1   f   g  h , f1   g1  h1        • Bước d d        f , f , g , g , h, h  1        d   A, B ,C , f   g  h , f1   g1  h1   d   f  g   h,  A1 , B1 ,C1 , f1   g1  h1   d   f  g   h,  f1  g1   h1 ,  A2 , B2 ,C2   f   g  h , f1   g1  h1     A, B ,C , f   g  h  f1   g1  h1    A, B ,C , f   g  h  f1   g1  h1    f  g   h    A1 , B1 ,C1 , f1   g1  h1                  g h f g h ,   f  g   h,       f g h f           f  g   h   f  g   h ,     f  g   h,  f  g   h   A1 , B1 ,C1 • Bước d d  1 1 1 A2 , B2 ,C2 1 1 A2 , B2 ,C2  f , f , g , g , h, h  1   f  g   h  d  f1 , g1 , h1   d  ff1 , gg1 , hh1   d  f , g , h  f1   g1  h1    f  g   h    A1 , B1 ,C1 , f1   g1  h1     f1  g1   h1 ,  A2 , B2 ,C2     A, B ,C , ff1   gg1  hh1    ff1   gg1 , hh1  ,  A2 , B2 ,C2     A, B ,C , f   g  h    f  g   h,  A1 , B1 ,C1   f1   g1  h1              Cộng vế đầu vế cuối bước 1, 2, ta thu điều cần chứng minh Biến dạng phạm trù monoid tiền phức Yetter Trong mục này, nghiên cứu biến dạng bậc phạm trù monoid, chứng minh biến dạng tương ứng với nhóm đối đồng điều bậc dãy đa phức Yetter mà xây dựng mục Định nghĩa 5.1 Cho D, ,  ,  ,   phạm trù monoid k-tuyến tính Khi biến dạng D    ,  ,  ,  ,  xác định sau: phạm trù monoid k-tuyến tính D  (1) Các vật D  A, B  D A, B  k[[t ]]  D[[t ]] D     k vật D, tập cấu (2) Phép hợp nối cấu xạ: f g   n0  n  f , g  t n ,   f , g   f  g g  (3) Phép tenxơ: f   n0  n  f , g  t n ,   f , g   f  g 1133 xạ Tập 17, Số (2020): 1125-1136 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM (4) Toán tử kết hợp:    n0  n t n ,    Định nghĩa 5.2 Cho D, ,  ,  ,   phạm trù monoid k-tuyến tính Khi biến dạng bậc    ,  ,  ,  ,  xác định sau: D phạm trù monoid k-tuyến tính D  D vật D, tập cấu xạ  X , Y  D X , Y  k   D X , Y  D X , Y  ,   D     k      (2) Phép hợp nối cấu xạ: f g    f , g   1  f , g  ,   f , g   f  g (1) Các vật  g   f , g   f , g  ,  f , g  f  g (3) Phép tenxơ: f   0  1  0  (4) Toán tử kết hợp:     1 ,        ,       ,   ,       ,       Giả sử D 1    biến dạng phạm trù monoid D,  , ,   ,  ,  ,  Trước tiên ta có 1  C1,2 D ,   C 2,1 D , 1  C 3,0 D Dựa vào tính chất phạm trù monoid ta thiết lập phương trình biểu đạt mối liên hệ 1 ,  1 , qua ta chứng tỏ 1 ,  , 1  đối chu trình, điều thể qua biểu đồ sau Ta bắt đầu qua bước sau: (1) Tính kết hợp phép hợp nối cấu xạ ab c  a bc     với a, b, c cấu xạ hợp nối D Do ta có 1 a, b c  1 ab, c  1 a, bc  a 1 b, c hay nói cách khác   d 1 a, b, c  (2) Tính giao hốn phép hợp nối phép tenxơ phạm trù monoid D nghĩa a  f   b  g   a  b   f  g  : A  B  X  Y 1134 Nguyễn Ngọc Ái Vân tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM  ta có Do phạm trù D ab  f g   a f   b g  Khai triển đẳng thức ta có 1 a, b  fg   ab, fg   ab  1  f , g    a, g  b  g  1 a  f , b  g   a  f  b, g  dẫn đến đẳng thức d  b  g , a  f   d 1 b  g , a  f   (3) Tính tự nhiên phép chuyển đổi  Với  A, B ,C : A  B  C  A  B  C       X  Y  Z  , ta có biểu đồ giao hoán với cấu xạ  A  B  C  k f  a nghĩa         a f   k   XYZ  ABC  a f k       Khai triển đẳng thức ta có d 1 a, f , k   d  a, f , k   d 1 a, f , k    (4) Đẳng thức biểu thị biểu đồ ngũ giác giao hoán phạm trù D  1          A, B ,C 1E   A, BC , E    A  B ,C , E    AB ,C , E  A, B ,CE Khai triển rút gọn đẳng thức ta thu d 1  A, B, C , E   d   A, B, C , E   d 1  A, B, C , E   Ta tóm tắt kết tính tốn thành định lí tương quan biến dạng bậc phạm trù monoid D đối dây chuyền bậc tiền phức Yetter sau Định lí 5.3 Với đối dây chuyền 1 ,  , 1   C1,2  C 2,1  C 3,0  D ,       ,  ,      ,       biến dạng bậc phạm trù monoid D ,  , , ,  ,  ,    ,  1 , 1  đối chu trình tựa phức Yetter, nghĩa d 1   d 1   d    d 1   d    d 1   d 1   d    d 1   1135 Tập 17, Số (2020): 1125-1136 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn khơng có xung đột quyền lợi  Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Công nghệ Thông tin – ĐHQG-HCM khuôn khổ Đề tài mã số D1-2018-13 TÀI LIỆU THAM KHẢO Dinh, V H., & Lowen, W (2018) On the gerstenhaber-schack complex for prestacks Advances in Mathematics, 330, 173-228 Gerstenhaber, M (1964) On the deformation of rings and algebras Ann of Math (2), 79, 59-103 Gerstenhaber, M., & Schack, S D (1983) On the deformation of algebra morphisms and diagrams Trans Amer Math Soc., 279, 1-50 Gerstenhaber, M., & Schack, S D (1988) The cohomology of presheaves of algebras I Presheaves over a partially ordered set Trans Amer Math Soc., 310, 135-165 Kontsevich, M (2003) Deformation quantazation of poisson manifolds Letter of Mathematical Physics, 66, 157-216 Kodaira, K., & Spencer, D (1958) On deformations of complex analytic structures I & II Ann of Math., 67, 328-466 Lowen, W (2008) Algebroid prestacks and deformations of ringed spaces Trans Amer Math Soc., 360, 1631-1660 Lowen, W., & Van den Bergh, M (2006) Deformation theory of abelian categories Trans Amer Math Soc., 358, 5441-5483 Nijenhuis, A., & Richardson, R (1967) Deformations of homomorphisms of lie groups and lie algebras Bull Amer Math Soc., 73, 175-179 Shoikhet, B (2010) Koszul duality in deformation quantization and tamarkin's approach to Kontsevich formality Advances in Mathematics, 224, 731-771 Shrestha, T (2010) Algebraic deformation of a monoidal category PhD Thesis, Kansas University Retrieved from http://krex.k-state.edu/dspace/handle/2097/6393 Shrestha, T., & Yetter, D (2014) On deformations of pasting diagram (2) Theory Appl Categ., 29, 569-608 Yetter, D (2009) On deformations of pasting diagrams Theory Appl Categ., 22, 24-53 DEFORMATION OF MONOIDAL CATEGORY AND YETTER MULTI PRE-COMPLEX Nguyen Ngoc Ai Van1, Dinh Van Hoang2* Vietnam National University Ho Chi Minh City, University of Information Technology, Vietnam HCMC University of Technology and Education, Vietnam * Corresponding author: Dinh Van Hoang – Email: hoangdv@hcmute.edu.vn Received: December 26, 2019; Revised: March 17, 2020; Accepted: June 24, 2020 ABSTRACT We introduce the topic of algebraic deformation theory developed by Murray Gerstenhaber in 1960’s to the Vietnamese audiences in this paper Currently, this topic is studied very extensively in the field of algebraic geometry On the other hand, we applied this theory to study the first order deformations of linear monoidal categories and found a new result in completing components in low degrees (degree 1, and 3) of the differential map in the Yetter multi pre-complex Shrestha (2010) introduced a formula for components in low degrees (degree 1, and 3) of the differential map in the Yetter multi pre-complex His formula was not fully completed In this paper, we offer a completed formula for these components of low degrees with nice explanations Keyworks: Homological algebra; algebraic deformation 1136 ... chứng minh Biến dạng phạm trù monoid tiền phức Yetter Trong mục này, nghiên cứu biến dạng bậc phạm trù monoid, chứng minh biến dạng tương ứng với nhóm đối đồng điều bậc dãy đa phức Yetter mà xây... thấy, tồn biến dạng đại số A kiểm soát dãy phức Hochschild Trong nghiên cứu biến dạng phạm trù monoid, Yetter Shrestha cố gắng xây dựng dãy đa phức để kiểm soát biến dạng phạm trù monoid tương... Trong mục giới thiệu định nghĩa phạm trù monoid k-tuyến tính Để tạo tiền đề cho việc nghiên cứu biến dạng phạm trù monoid, giới thiệu dãy đa phức Yetter, dãy đa phức xây dựng đồng cấu vi phân