SKKN một số phương pháp xét chiều biến thiên của hàn số dành cho học sinh lớp 10

Mục lục Số tt Nội dung A Mở đầu I Lý chọn đề tài Trang 2 II Mục đích B Nội dung I Cơ sở lý luận Các giai đoạn của việc hình kỹ giải bai tâp toán Các kỹ giải bai tâp toán II kỹỹ̃ thuật xét chiều biến thiên củủ̉a hàm số Đa thức hoáá 10 Dùng điểm rơi bất đẳng thức để tìì̀m khoảủ̉ng đơn điệệ̣u 11 Sử dụng phương phááp tiếp cận giới hạệ̣n đạệ̣o hàm 12 Một số tập tham khảủ̉o 12 13 Chú giảủ̉i 13 14 Tài liệệ̣u tham khảủ̉o 13 15 C Kết luận 14 A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Toán học có vị tri cực kỳ quan trong đời sống, các trương học vì nó có khả to lơn, góp phân thực hiện muc tiêu đao tạo “lam chủ tri thưc khoa hoc va công nghệ hiện đại, có tư sáng tạo, có kỹ thực hanh giỏi, có tác phong công nghiệp, có tinh tổ chưc va kỹ thuât Toán hoc trương trung hoc phổ thông còn la môn hoc tương đôi khó đôi vơi hoc sinh Đê các em tiêp cân được vơi kiên thưc thương phải thông qua các bai tâp, các dạng bai tâp cu thê la môt những nguồn đê hình kiên thưc cho hoc sinh Giải bai tâp toán cũng giup hoc sinh tìm kiêm những kiên thưc va kỹ mơi Thông qua các bai tâp toán, các dạng toán hoc sinh sẽ được hình củng cô kiên thưc, kỹ giải toán, rèn luyện phát triên tư sááng tạo Do vai trò của toán hoc đơi sông, khoa hoc va công nghệ hiện đại, các kiên thưc va phương pháp toán hoc la công cu thiêt yêu giup hoc sinh hoc tâp các môn hoc khác, giup hoc sinh hoạt đông có hiệu quả moi lĩnh vực Tuy nhiên vơi thơi gian lơp không nhiêu ma các em lại phải lam quen vơi nhiêu dạng bai tâp toán hoc khác thì la vân đê không đơn giản La môt giáo viên hiện dạy toán trương trung hoc phổ thông thây hoc sinh thương gặp những vân đê sau: Không nắm được các dạng bai tâp, chưa định hương được cách giải, lung tung trình bay lơi giải, hoc xong quên các dạng bai tâp Nhìn chung kỹ giải bai tâp toán các em còn non yêu Trong chương trình toán lớp 10, phương phááp hàm số để giảủ̉i cáác toáán cựệ̣c trịệ̣ - toáán chứa tham số…là công cụ hiệệ̣u quảủ̉ Tuy nhiên, học sinh đượệ̣c biết tính biến thiên củủ̉a vài hàm đa thức hoặệ̣c phân thức đơn giảủ̉n: bậc nhất, bậc hai, … ; cáác toáán liên quan đòì̀i hỏủ̉i việệ̣c khảủ̉o sáát số dạệ̣ng hàm phức tạệ̣p mà công cụ đạệ̣o hàm lạệ̣i vượệ̣t quáá tầm tay củủ̉a học sinh lớp 10 Vì khuôn khổ của đê tai ma chi sâu phân “một số phương pháp xét chiềề̀u biến thiên của hàề̀m số dàề̀nh cho họọ̣c sinh lớp 10” II.MỤC ĐÍCH : Toán hoc la môn hoc rât phong phu va đa dạng ma trình đô còn hạn chê, tuổi nghê còn it nên nghiên cưu vơi đê tai vơi muc đich đơn giản la góp phân vao công tác giảng dạy va hoc tâp được tôt Giup các em biêt nhân dạệ̣ng bai tâp đê lam tôt, nâng cao chât lượng dạy – hoc môn toán Qua số toáán đặệ̣c trưng, với cáác kĩỹ̃ thuật sơ cấp “biến khóá thành dễ”, giúp học sinh dần hoàn thiệệ̣n kiến thức hàm số tựệ̣ tin vận dụng phương phááp hàm số B NỘI DUNG I CƠ SỞỞ̉ LÝ LUẬN Sự hình kỹ giải bai tâp toán la môt quá trình diên suôt thơi gian hoc tâp toán hoc Quá trình gồm các giai đoạn sau Cac giai đoạn của việc hình thành kỹ giải bài tập toan: - Giai đoạn 1: Hoc sinh vân dung ly thuyêt đê giải bai tâp toán Khi hoc sinh giải những bai tâp sơ đăng sẽ tạo nên những thao tác cân thiêt đê giải các bai toán đơn giản - Giai đoạn : Hoc sinh vân dung kiên thưc, thao tác đã có được đê giải các bai toán bản - Giai đoạn : Hoc sinh vân dung kiên thưc, kỹ thao tác giải bai tâp bản đê giải các bai tâp mưc đô cao đó la các bai phân hoá vơi sự đa dạng phưc tạp Cac kỹ giải bài tập toan Trong quá trình phát triển tri thưc hoc sinh thì các kỹ cũng mơ rông va phát triên theo II Kĩ thuậọ̣t xét chiềề̀u biến thiên của hàề̀m số Đa thức hố: Bàề̀i tốn 1 Tìì̀m min, max củủ̉a biểu thức: P | a b | | a b | ; ( a b2 a2 b2 GiảỞ̉i: Nếu a 0, b : P = 2 Nếu a 0: b a P a Trong ( ; 1) 1b a b x x a 2x :P x x , với t bR a 2t x , với t x (3; ) 2t 0) P t2 t 5u 2 , với u 2u 1 ) (0; t Hàm số f (u ) 5u 2u (0;1/3) cóá tập giáá trịệ̣ [4/5;1) Vậy P b Trong 1; 5, x :P x2 Hàm số g ( x ) x2 1; cóá tập giáá trịệ̣ [1;5] Vậy P 3, x1; c Trong (2; ) : P 2x 1 x2 2t t2 , với t x (3; ) 2t Thựệ̣c hiệệ̣n tương tựệ̣ trường hợệ̣p a/ ta cũỹ̃ng cóá: P 2, x , b 2a Tổủ̉ng hợệ̣p cáác kết quảủ̉, ta cóá: MaxP = 3, b 0, a MinP = Bàề̀i toán 2 Cho bất phương trìì̀nh ( ẩn x ): mx x x 2x Tìì̀m tất cảủ̉ giáá trịệ̣ củủ̉a tham số m để bất phương trìì̀nh cóá nghiệệ̣m GiảỞ̉i: * mx 5x x2 2x x 2 ( m 1) x (1) 3x x * x không nghiệệ̣m củủ̉a (1) với m, (1) * Đặệ̣t t 1 x , t [ ; ) ; (1) trở thành: m m x x t 2t 3t * Xét hàm số f (t ) 2t 3t [ ; ) ; cóá tập giáá trịệ̣ [ 17 ; ) Kết luận: bất phương trìì̀nh cóá nghiệệ̣m m 17 * Nhận xét: Việc “sáng tác” toán dạng đơn giản, cần lưu ý đến vị trí tham số kết biến đổi cuối x y xy m 2 y m Bàề̀i tốn 3 Cho hệệ̣ phương trìì̀nh : (1) x Tìì̀m m để hệệ̣ cóá nghiệệ̣m ( x; y) thoảủ̉ mãỹ̃n: x 1, y GiảỞ̉i : * Hệệ̣ (1) x y xy m (x y) 2xy S P m Đặệ̣t S x y ; P xy (2) ta cóá hệệ̣ : 2P m m S x 1, y 1( x 1)( y 1) P S x y S S P m S 2P m * Vậy yêu cầu củủ̉a toáán trở thành : Tìì̀m m để hệệ̣ S cóá nghiệệ̣m (S,P) 4P PS10 S S P m P S m P S m S2 2P m S 2( S m ) m 2S S m S2 4P 0S 4( S m ) S P S m 4(S 2S S ) 2S S m PS10 S (S m) S S S 2S10 S S 3;S * Xét hàm số f ( S ) 2S S [0 ;4/3]\{1} ; suy kết quảủ̉ : m * Nhận xét : + Kỹ thuật toán phép biến tham số, đưa đa thức biến + Còn cách thể lời giải tương tự : đặt x X ; y Y với X > 0,Y > Dùng điểm rơi bất đẳng thức để tìề̀m khoảỞ̉ng đơn điệọ̣u: Bàề̀i toán 4 Xét chiều biến thiên củủ̉a hàm số: f ( x ) x x GiảỞ̉i: * Tập xáác địệ̣nh: D ( ; 2) (2; ) 1 ,(bất đẳng thức Cô-si) * Trong khoảủ̉ng (2; ) : f ( x ) x x f ( x ) x Xét chiều biến thiên khoảủ̉ng (2;3) (3; ) : b a f (b ) f ( a ) b a a b a b (b 2)( a 2) b a a b < (b 2)( a 2) Vậy f nghịệ̣ch biến (2;3) đờì̀ng biến (3; ) * Tương tựệ̣, ( ; 2) : f ( x ) x x 1, f ( x ) x Xét chiều biến thiên khoảủ̉ng (1;2) ( ;1) , ta cóá f nghịệ̣ch biến (1;2) đờì̀ng biến ( ;1) Nhận xét: Bài toán tổng quát: f ( x ) Ax B f1 ( x ) Ax B f ( x ) x C C x D ; AC D tính đơn điệu AC < 0, cụ thể: Nếu A C : f đồng biến khoảng xác định Nếu A C : f nghịch biến khoảng xác định Nếu AC : Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có f ( x ) A( x D ) C B AD AC B AD ( f ( x ) AC B AD x D tuỳ theo A,C dương hay âm tuỳ theo x < -D hay x > -D)) dấu đẳng thức tại: x D C A hai ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu Chú ý: nên cho tập dạng f(x) có AC < để học sinh làm quen trước với dạng hàm Bàề̀i tốn 5 Tìì̀m tất cảủ̉ giáá trịệ̣ củủ̉a tham số m để bất phương trìì̀nh x ( m 3) x m (1) hệệ̣ quảủ̉ củủ̉a bất phương trìì̀nh x x (2) GiảỞ̉i: * (2) x * (1) hệệ̣ quảủ̉ củủ̉a (2) khi: x x x m ( x 2); x 0; x thoảủ̉ x 0; ( m 3) x m x m; x 0; * Áp dụng kết quảủ̉ toáán 3, ta cóá chiều biến thiên củủ̉a f ( x ) x 1 x 0; Suy f ( x ) 0;3/ Vậy m 2 kết quảủ̉ củủ̉a toáán Bàề̀i toán 6 Xét chiều biến thiên củủ̉a hàm số : f ( x ) x2 2x x2 2x GiảỞ̉i : * Áp dụng bất đẳng thức :| a | | b | | a b | hay f(x) (1 x ) 12( x 1) 2 22 f (b ) f ( a ) * 213 ; f ( x ) 13 b a 1:A (a c)2 (b d)2 x 10 x 1 x b a (1 b ) (1 a ) b a Với a b a b 2c d A ( b 1) ( a 1) Với a b : A Với a b : a 2(1 a ) & b 2(1 b) ; x a , y b, z a , t b; z x , t y đặệ̣t A z t z 24 x y t y 21 x nên f nghịệ̣ch biến ( ;1/ 3) 1 Tương tựệ̣ với a b 1, ta cóá A > nên f đờì̀ng biến (1/ 3; ) Sử dụng phương pháp tiếp cận giới hạọ̣n vàề̀ đạọ̣o hàề̀m : Bàề̀i toán (Sử dụng lạệ̣i toáán 4) Xét chiều biến thiên củủ̉a hàm số: f(x) x x GiảỞ̉i: * Tập xáác địệ̣nh: D ( ; 2) (2; ) Với a , b D : a b hoặệ̣c a b , xét f (b ) f ( a ) b a * Khi cho b a thìì̀ f (b ) f ( a ) b a (b 2)( a 2) ( a 2)2 Kết quảủ̉ nhận đượệ̣c đạệ̣o hàm tạệ̣i a củủ̉a f, từ cóá thể dần hìì̀nh thành kháái niệệ̣m giới hạệ̣n đạệ̣o hàm, cũỹ̃ng quan hệệ̣ giữỹ̃a chiều biến thiên dấu củủ̉a đạệ̣o hàm cho học sinh chuyên toáán Cho (a 2) a , ta cũỹ̃ng cóá đượệ̣c hai “điểm rơi” nóái phương a phááp Bàề̀i toán Xét chiều biến thiên củủ̉a hàm số: f (x) x x GiảỞ̉i: * Tập xáác địệ̣nh: D;11; Với a , b D : a b hoặệ̣c a b, xét f (b) f (a) b a * Khi cho b a thìì̀ f (b) f (a) (b 1)(a 1) (a 1)2 b a Kết quảủ̉ nhận đượệ̣c đạệ̣o hàm tạệ̣i a củủ̉a f, từ cóá thể dần hìì̀nh thành kháái niệệ̣m giới hạệ̣n đạệ̣o hàm, cũỹ̃ng quan hệệ̣ giữỹ̃a chiều biến thiên dấu củủ̉a đạệ̣o hàm cho học sinh chuyên toáán Cho (a 1) a , ta cũỹ̃ng cóá đượệ̣c hai “điểm rơi” nóái phương a phááp Nhậọ̣n xét: Bài toán tổng quát: f ( x ) Ax B C ;AC x D Với D a b a b D : A( b a) f(b) f(a) b a C ( a b) (b D )( a D) A b a C (b D )( a D) Nếu A C : f đồng biến khoảng xác định Nếu A C : f nghịch biến khoảng xác định 10 f (b ) f ( a ) A Nếu AC : cho b a C a (a D) b a ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu Bàề̀i toán Xét chiều biến thiên củủ̉a hàm số : f ( x ) x D C : ta có hai A 3x2 Giảủ̉i : f (b ) f ( a ) * Với a b , xét A a2 ab b 3( a b) Cho b a , ta cóá A 3a 6a b a Ta cóá hai “điểm rơi” Biến đổủ̉i A ( a 2)( a b) ( b 2)(b a ) 2 * Nếu a b : A > Nếu a b : A > Nếu a b : A < * Vậy f đờì̀ng biến cáác khoảủ̉ng ( ; 0); (2; ) nghịệ̣ch biến khoảủ̉ng (0;2) Nhận xét: Việc “điểm rơi” khơng khó, quan trọng qua việc xét dấu biểu thức f (b ) f ( a ) ba củng cố cho học sinh kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức Có thể dùng bất đẳng thức Cơ – si để tìm điểm rơi: f(x) x3 3x2 x x.(6 x ) 4, x (0;3) , dấu = tạệ̣i x = f ( x ) x 3 x x (3 x ) 0, x (0;3) , dấu = tạệ̣i x = Tổủ̉ng quáát : f ( x ) ax bx cx d , ( a 0) 11 b , biến đổủ̉i hàm số dạệ̣ng Theo phương phááp : Đặệ̣t x t 3a g (t ) at mt n t ( at m) n Dùng bất đẳng thức Cô – si cho at , at m, at 2 at , at m , at m a < 0, hoặệ̣c m a > Suy cáác điểm rơi t m hay x 3a b m ( tờì̀n tạệ̣i am < 0) a 3a Một số tập tham khảo : BT1 Tìm m cho phương trình x x mx x a có nghiệm b có nghiệm BT2 Tìm m cho bất phương trình ( x 1)(5 x ) ( mx x 3) thoả với x thuộc tập xác định BT3 Xét chiều biến thiên hàm số f ( x ) x (1 Áp dụng, giải bất phương trình : 2x x x2 1) x2 ++ BT4 Tim a đê phương trình sau co nghiêm : BT5 Tìm m để hàm số f (x) x2 3x m + + (x 1) x2 + 1- x - a x + = a - x - nghịch biến (-1;1) 2x BT6 Tìm m để hàm số f ( x ) x x m đồng biến (-2;1) x Chú giảỞ̉i 1: Trích từ bááo toáán học t̉ủ̉i trẻ số 254 2: Trích từ toáán nâng cao 10 củủ̉a Phan Huy Khảủ̉i 3: Trích từ toáán sơ cấp củủ̉a Lê Đìì̀nh Thịệ̣nh 4: Trích từ sáách giááo khoa bảủ̉n 12 củủ̉a giááo dục 12 + 2x + < x + +a 5: Trích từ toáán sơ cấp củủ̉a Lê Đìì̀nh Thịệ̣nh 6: Trích từ đề thi tuyển sinh đạệ̣i học năm 1996 củủ̉a giááo dục 7: Trích từ sáách giááo khoa bảủ̉n 12 củủ̉a giááo dục Tàề̀i liệọ̣u tham khảỞ̉o Bááo toáán học tuổủ̉i trẻ Toáán nâng cao 10 (Phan Huy Khảủ̉i) Toáán sơ cấp (Lê Đìì̀nh Thịệ̣nh) Đề thi tuyển sinh đạệ̣i học cao đẳng năm 1996 củủ̉a giááo dục C KẾT LUẬN Phương phááp hàm số cóá hiệệ̣u ứng tốt nhiều toáán đạệ̣i số chương trìì̀nh phởủ̉ thơng, vấn đề tuỳì̀ theo đối tượệ̣ng học sinh cấp lớp mà giááo viên cóá thể vận dụng cáách hiệệ̣u quảủ̉ 13 Cáác phương phááp nêu cóá thể “ cầu kìì̀”,” lằng nhằng” học sinh lớp 12, lạệ̣i cũỹ̃ng thú vịệ̣ học sinh lớp 10 chuyên toáán mà người viết đãỹ̃ giảủ̉ng dạệ̣y thể nghiệệ̣m Hầu hết học sinh đãỹ̃ nắám đượệ̣c cáác “ kĩỹ̃ thuật” trên, biết vận dụng cáách sááng tạệ̣o hiệệ̣u quảủ̉ cáác toáán đạệ̣i số mà lời giảủ̉i quáá phức tạệ̣p biết dùng cáác phương phááp truyền thống, tuý đạệ̣i số Đề tài đãỹ̃ đượệ̣c bảủ̉n thân cáác đờì̀ng nghiệệ̣p đơn vịệ̣ thí điểm cáác em học sinh cóá học lựệ̣c kháá trở lên Kết quảủ̉ thu đượệ̣c khảủ̉ quan, cáác em học tập cáách say mê hứng thú Một số em đãỹ̃ đạệ̣t đượệ̣c nhữỹ̃ng thành tích tốt qua nhữỹ̃ng đợệ̣t thi học sinh giỏủ̉i vừa qua Vìì̀ táác dụng tích cựệ̣c việệ̣c bờì̀i dưỡng học sinh kháá giỏủ̉i nên kính mong hội đờì̀ng khoa học q thầy góáp ý bởủ̉ sung để đề tài ngày hồn thiệệ̣n hơn, cóá ứng dụng rộng quáá trìì̀nh dạệ̣y học trường THPT Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép người khác Xin chân thàề̀nh cảỞ̉m ơn! Xác nhậọ̣n củỞ̉a ThủỞ̉ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Người viết Lê Đìề̀nh HảỞ̉i 14 ... giữỹ̃a chiều biến thiên dấu củủ̉a đạệ̣o hàm cho học sinh chuyên toáán Cho (a 2) a , ta cũỹ̃ng cóá đượệ̣c hai “điểm rơi” nóái phương a phááp Bàề̀i toán Xét chiều biến thiên củủ̉a hàm số: ... sáát số dạệ̣ng hàm phức tạệ̣p mà công cụ đạệ̣o hàm lạệ̣i vượệ̣t quáá tầm tay củủ̉a học sinh lớp 10 Vì khuôn khổ của đê tai ma chi sâu phân ? ?một số phương pháp xét chiềề̀u biến thiên. .. 3a Một số tập tham khảo : BT1 Tìm m cho phương trình x x mx x a có nghiệm b có nghiệm BT2 Tìm m cho bất phương trình ( x 1)(5 x ) ( mx x 3) thoả với x thuộc tập xác định BT3 Xét chiều biến thiên