Chuyên đề: Hệ quang học đồng trục

Chủ đề 2: Hệ quang học đồng trục I Bài tốn lí thuyết Bài 1: Gương cầu Gương cầu phần mặt cầu phản xạ ánh sáng Có hai loại gương cầu: gương cầu lõm mặt phản xạ hướng tâm mặt cầu(hình 1), gương cầu lồi mặt phản xạ hướng phía ngồi (hình 2) Các gương cầu thường có dạng chỏm cầu Đỉnh O chỏm cầu gọi đỉnh gương Tâm C bán kính R chỏm cầu gọi tâm bán kính gương Đường thẳng nối đỉnh O tâm C gọi trục gương Đường thẳng qua tâm C, mà không qua đỉnh O, gọi trục phụ gương Các mặt phẳng qua trục gọi tiết diện gương Góc  trục trục phụ qua mép gương gọi góc mở gương Hình Trong tốn ta xét phản xạ ánh sáng tia sáng nằm tiết diện để thỏa mãn gần điều kiện tương điểm(ảnh điểm sáng điểm)thì tia sáng phải nghiêng so với trục (hay góc mở  gương phải O góc nhỏ) Xét điểm sáng A nằm trục gương cầu lõm, phía với tâm C (hình 3) Một tia sáng từ A tạo với trục góc  , cắt trục A’ sau phản xạ gương I Tia sáng từ A dọc theo trục chính, phản xạ đỉnh O, truyền ngược lại theo phương tia tới Như A’ ảnh thật A O CC C Hình Sử dụng kí hiệu QP để biểu diễn độ dài đại số đoạn thẳng nối hai điểm Q,P bất kì( QP  từ Q tới P chiều dương quy ước ngược lại) a Chứng rằng: 1   ' OA OA OC A B C A ’ Hình I O Công thức gọi công thức gương cầu xác định vị trí ảnh cho gương b.Chứng minh rằng: 1   ' CA CA CO Dịch chuyển điểm A trục Khi điểm A dần tới điểm FV điểm ảnh A’ xa dần vô cực, OFA  fV gọi tiêu cự vật Còn điểm A xa dần vơ cực điểm ảnh A’ dần tới vị trí giới hạn FA , OFA  f A gọi tiêu cự ảnh Chứng minh rằng: a FV �FA �F Như gương cầu có tiêu điểm F b fV  f A  f  OC f gọi tiêu cự gương cầu 3a Chứng minh ảnh vật sáng, thẳng nhỏ AB vng góc với trục A ’B’ vng góc với trục (hình 4) I B A A ’ B Hình’ C ' ' 3b Gọi AB; A B độ dài đại số vật ảnh Chứng minh độ phóng đại ảnh tính theo cơng thức: A' B ' OA' CA' FO FA' k     AB OA CA FA FO Có hai điểm thỏa mãn điều kiện tương điểm hoàn toàn(mọi tia sáng xuất phát từ điểm sáng phản xạ gương qua nó) Tìm hai điểm Giải: Phần I: 1a i A B C I i A ’ Hình O O ^ ^ ' Ta có: ICO    i; IA O    2i Vì góc  ,i nhỏ nên: tan     (1) OI OA OI OC ^ OI tan IA'O    2i  OA' ^ tan ICO    i  i Từ (2) (3) suy ra: OI OA'  OI OC Thay (1),(4) vào (2) rút gọn ta được: 1   ' OA OA OC 1   ' OC  CA OC  CA OC 1b.Từ (5) ta có: Quy đồng, nhân chéo rút gọn ta : 1   CA CA' CO Dễ thấy 3b Dễ thấy ' ' ' ' 3b Vì ABO ~ A B O ABC ~ A B C nên: A' B ' OA' CA' k   AB OA CA Ta có: 1 OA' OF FO OF  OA' FA'    � k     �  OA OA' OC OF OA OF  OA FA OF FO Vậy: k A' B ' OA' CA' FO FA'     AB OA CA FA FO Hai điểm thỏa mãn điều kiện tương điểm hoàn toàn đỉnh O tâm C (2) (3) (4) (5) Bài 2: Lưỡng chất phẳng Bản mặt song song Lưỡng chất phẳng tập hợp gồm hai môi trường suốt, chiết suất khác nhau, ngăn cách mặt phẳng Để thỏa mãn gần điều kiện tương điểm (ảnh điểm sáng điểm) chùm tia sáng chiếu tới lưỡng chất phải chùm tia sáng hẹp Trong toán ta xét chùm ta sáng hẹp xuất phát từ điểm sáng A1, rọi gần vuông góc với mặt phân cách P hai mơi trường có chiết suất n1 n2 (hình vẽ) Sử dụng kí hiệu AB để biểu diễn độ dài đại số đoạn thẳng nối hai điểm A,B bất kì( AB  từ AA2tới B A1 chiều dương quy ước ngược lại) R I i1 [n1 ] S P R0 [n2 ] Để tìm ảnh A1 cho lưỡng chất phẳng, từ A1 ta vẽ hai tia sáng: tia sáng thứ A1S, vng góc với mặt P S, qua mặt P không bị lệch, tia A1I tới mặt P góc i1 nhỏ, cho tia khúc xạ IR Hai tia khúc xạ qua mặt phân cách P cắt A2.Vậy A2 ảnh A1 qua lưỡng chất phẳng a Chứng minh rằng: n1 n  0 SA1 SA2 Có nhận xét tính chất vật ảnh tạo lưỡng chất phẳng b Một vật sáng nhỏ, phẳng A1B1 song song với mặt P qua lưỡng chất phẳng cho ảnh A2B2 song song với mặt P (A1,A2 nằm đường thẳng vng góc với mặt P) Chứng minh vật ảnh có chiều cao Có nhận xét tính chất vật ảnh Bản mặt song song lớp môi trường A suốt, giới hạn hai mặt phẳng song song i1 [n1 Ta xét mặt song song làm vật I1 ] P liệu có chiết suất n2 đặt mơi trường [n2 suốt, đồng chất có chiết suất n1 Bản mặt ] song song có bề dày d ngăn cách với môi trường hai mặt phẳng P1 P2 (hình I2 P vẽ) A’ d Tia sáng AI1 tới điểm I1 mặt P1, góc tới i1, khúc xạ theo I1I2 tới điểm I2 mặt P2 lại ló ngồi, theo I2A’ a Chứng minh hai tia sáng AI I2A’ song song với Tìm khoảng cách hai tia theo d,n1,n2,i1 b Cho mặt song song tịnh tiến mà ngun phương vng góc với mặt Chứng minh tia sáng ló khỏi mặt song song cố định c Một vật sáng nhỏ, phẳng A1B1 song song với hai mặt P1,P2 mặt song song cho ảnh A2B2 song song với hai mặt P1,P2 (A1,A2 nằm đường thẳng vng góc với hai mặt P1,P2) � 1� A1 A2  d � 1 � n� � i Chứng minh trường n n2 n1 chiết suất tỉ đối chất làm mặt song song môi A2 ii Chứng minh vật ảnh có chiều cao Có nhận xét tính chất vật ảnh Giải: A1 1a [n1 ] i1 I P S i2 [n2 ] SI SI ; tan i2  sin i2  SA1 SA2 R R0 tan i1  sin i1  n1 sin i1  n2 sin i2 � n1 n  0 SA1 SA2 Ta thấy: SA1 ; SA2 dấu với tức vật ảnh qua lưỡng chất phẳng trái tính chất 1b Dễ thấy 2a B2 B1 A A2 A1 i2 I [n1 ] P R i1 S i1 P i2 P R0 [n2 I1] I2 [n1 ] [n2 ] d P A’ Ta có:   I1 I sin(i1  i2 )  d sin(i1  i2 )  d (sin i1  cos i1.tan i2 ) cos i2 n1 sin i1  n2 sin i2 � tan i2  n1 sin i1 n22  n12 sin i1 � n sin i1 cos i1 �  d � sin i1  � n22  n12 sin i1 � 2b � � � � c i B1 B2 I1 i1 i2 I2 H K R I I1 K � I K  I1 K tan i2 A2I KH � I KS1 HK tan i1 S2 [n2 ]sin i2 tan i2 n1 [n1 � HK  I1 K  I K  P2 I1K R0 P1 tan i1 sin i1 n2 ] A1 � n1 � � 1� � A1 A2  I1 H  I1 K  HK  I1 K �  � I1 K � 1 � � n� � n2 � � 1� � A1 A2  d � 1 � � n� ii Dễ thấy vật ảnh,cùng chiều, độ cao Vật ảnh trái tính chất Bài 3: Lưỡng chất cầu- thấu kính mỏng Phần I: Lưỡng chất cầu tập hợp hai môi trường suốt, ngăn cách bỏi phần (hoặc tồn bộ)mặt cầu Trong tốn ta xét mặt cầu bán kính R, tâm C, ngăn cách hai mơi trường suốt có chiết suất n1 , n2 khác Quy ước chiều truyền ánh sáng chiều dương sử dụng kí hiệu AB để biểu diễn độ dài đại số đoạn thẳng nối hai điểm A,B bất kì( AB  AB  từ A tới B chiều dương quy ước ngược lại) I Trục xx’ qua C cắt mặt cầu điểm S gọi trục lưỡng chất cầu S gọi x x’ A S đỉnh lưỡng chất cầu điểm A C A n n sáng môi trường chiết suất n1 nằm trục Xét tia sáng Hì2nh vẽ xuất phát từ A1 đến gặp mặt cầu điểm I cho tia khúc xạ cắt trục tai điểm A2 hình vẽ 1.Chứng minh rằng: n1 CA1 n2 CA2  IA1 IA2 Công thức gọi công thức lưỡng chất cầu Cặp điểm A1 A2 gọi tương điểm hoàn toàn tia sáng xuất phát từ A1 đến gặp mặt cầu qua A2 Tìm cặp điểm Các tia sáng xuất phát từ A1 nghiêng góc nhỏ so với trục chính(gọi tia bàng trục)tới gặp mặt cầu cho tia khúc xạ gần cắt điểm A2 Trường hợp A2 gọi ảnh tương điểm gần A1 tạo lưỡng chất cầu độ nhỏ Người ta nói lưỡng chất cầu độ nhỏ có tính tương điểm gần đúng, điểm sáng trục gửi tới lưỡng chất tia bàng trục a Chứng minh rằng: n1 n n n   SA1 SA2 SC Công thức gọi cơng thức liên hợp lưỡng chất cầu có độ nhỏ b Chứng minh rằng: n1 n n n   CA2 CA1 CS c Dịch chuyển điểm A1 trục Khi điểm A1 dần tới điểm F1 điểm ảnh A2 xa dần vô cực, SF1  f1 gọi tiêu cự vật Cịn điểm A1 xa dần vơ cực điểm ảnh A2 dần tới vị trí giới hạn F2, SF2  f gọi tiêu cự ảnh Chứng minh f2   n2 SC n SC f1  n1  n2 n1  n2 d1 Chứng minh điều kiện tương điểm thỏa mãn ảnh I vật sáng, thẳng nhỏ A1B1 B1 vng góc với trục A2B2 x vng góc với trục (hình A1 u1 S vẽ 2) [n1] y1  A1B1 ; y2  A2 B2 Gọi độ dài đại số vật ảnh C [n2] Hình vẽ A2 B2 x’ u2 Chứng minh độ phóng đại ảnh tính theo cơng thức: k A2 B2 y2 CA2 n1 SA2    A1 B1 y1 CA1 n2 SA1 d2 Xét tia sáng A1I làm với trục góc u1 nhỏ, tia liên hợp IA2 làm với trục góc u2 nhỏ(hình vẽ 2) Chứng minh : n1 y1u1  n2 y2u2 Công thức gọi công thức La – grăng – Hem-hơn Phần II: Thấu kính mỏng Thấu kính mơi trường suốt giới hạn hai mặt cong, thường mặt cầu: hai mặt phẳng Xét thấu kính giới hạn mặt cầu 1 có tâm C1, bán kính R1 mặt cầu  có tâm C2, bán kính R2 Đường thẳng thẳng xx’ nối hai tâm C1 C2 gọi trục thấu kính Trục cắt hai mặt cầu 1 ,  O1 O2 gọi đỉnh mặt cầu Thấu kính gọi thấu kính mỏng O1O2  R1 , R2 , C1C2 (hình 1) Trong tốn ta xét thấu kính mỏng có chiết suất n1 đặt mơi trường có chiết suất n2 A C O O O O O [n1 [n2 ]1 ] Hình CO 11 Quy ước chiều truyền ánh sáng chiều dương sử dụng kí hiệu QP để biểu diễn độ dài đại số đoạn thẳng nối hai điểm Q,P bất kì( QP  QP  từ Q tới P chiều dương quy ước ngược lại) n1 n2 gọi chiết suất tỉ đối của chất làm thấu kính mơi Đặt trường Vì thấu kính mỏng nên ta coi O1 �O2 �O Gọi A’ ảnh tương điểm gần n điểm A nằm trục Dùng công thức lưỡng chất cầu độ nhỏ chứng minh rằng: A ’ � 1 1 �   (n  1) �   � OA OA' � O1C1 O2C2 � Dịch chuyển điểm A trục Khi điểm A dần tới điểm F điểm ảnh A’ xa dần vơ cực, OF  f gọi tiêu cự vật Còn điểm A xa dần vô ' ' cực điểm ảnh A’của dần tới vị trí giới hạn F, OF  f gọi tiêu cự ảnh f  Chứng minh rằng: � 1 � (n  1) �   � � O1C1 O2C2 �và: f'  � 1 � (n  1) �   � � O1C1 O2C2 � Ta thấy f  f  tức tiêu điểm vật F tiêu điểm ảnh F’ đối xứng với qua O ' Vật nhỏ, phẳng AB vng góc vng góc với trục cho ảnh A’B’ (hình 2) ' ' ' Gọi y  AB; y  A B độ dài đại số vật ảnh Chứng minh độ phóng đại ảnh tính theo cơng thức: k A' B' y ' OA'   y OA AB B A C O O O O O CO 11 A’ B’ Hình Khi đặt thấu kính mỏng lồi mơi trường đồng nhất, khoảng cách từ tâm O thấu kính tới tiêu điểm hai phía Nếu mơi trường hai phía thấu kính có chiết suất n1 n2, phía thấu kính có tiêu điểm F F Gọi f = OF f’ = OF’ a Đặt vật sáng phẳng nhỏ AB vng góc với trục (A nằm trục chính, cách thấu kính đoạn d) thu ảnh thật A’B’ cách thấu kính đoạn d ’ Lập công thức liên hệ d, d’, f, f’ b Chiếu tia sáng tới O tạo với trục góc nhỏ 1 Tìm góc  tạo tia ló trục theo n1,n2 1 i1 I i2 c Tìm hệ thức liên hệ f1, f2, n1, n2 x A S A C n n1 Hì2nh vẽ A x’ (trích đề thi HSG quốc gia năm 2008) Giải: a Sơ đồ tạo ảnh: A L d1 d1’ A1 G d2 d2’ A2 L d3 d3’ A3 Ta có: d1'  d1 f d f � d  d 2'  l  d1'  l  d1  f d1  f d3  l  d 2'  2l  d3'  d1 f (2l  f )d1  2lf  d1  f d1  f d3 f (2l  f ) d1  2lf  f d3  f 2(l  f )d1  (2l  f ) f - Vị trí tiêu điểm: d1 � �� d3'  2l  f f 2(l  f ) (1) Vị trí tâm đỉnh gương xác định từ điều kiện: lf � d11  (2l  f )d1  2lf � l f d  d1 � f  d1 � � 2(l  f ) d1  (2l  f ) f d12  f � ' Một hai vị trí đỉnh gương gương cầu tương đương(đỉnh gương cầu phải nằm phía sau thấu kính theo đường truyền ánh sáng tới quang hệ ' b Ta xét dấu d3 biểu thức (1) ' + Nếu d3  :tiêu điểm thật, gương cầu tương đương gương cầu lõm TH1: l  f � d11  d12 nên d11 xác định vị trí tâm gương, cịn d12 xác định vị trí đỉnh gương l f , d11 ln âm nên d11 xác định vị trí đỉnh gương, cịn d12 xác định TH2: vị trí tâm gương ' + Nếu d3  :tiêu điểm ảo, gương cầu tương đương gương cầu lồi 0l f ; d11 âm nên d11 xác định vị trí đỉnh gương, cịn d 12 xác định vị trí tâm gương Bài 11: Cho quang hệ gồm hai thấu kính mỏng L1 L2 giống có tiêu cự f đặt đồng trục Trên hình vẽ O O2 quang tâm hai thấu kính, F’2 tiêu điểm ảnh thấu kính L Một điểm sáng S đặt tiêu điểm thấu kính L1 L2 L1 Tìm khoảng cách hai thấu kính cho mặt song song đồng chất, chiết suất n, đặt vùng S O1 O2 F’2 theo phương vuông góc với quang trục ảnh S qua hệ vị trí Đặt khoảng hệ hai thấu kính L1 L2 mặt song song vng góc với quang trục để tạo thành quang hệ mới(hình vẽ) Bản mặt song song có bề dày h, chiết suất n thay đổi theo quy luật n = n0 + ky (n0 k số, k>0), với trục 0y vng góc với quang trục cắt quang trục hệ thấu kính Bỏ qua thay đổi chiết suất dọc theo đường truyền tia sáng mặt song song O2 O1 S F2’ Hình y L1 L2 O2 O1 S F2’ y O h Hình a Xác định vị trí ảnh S qua quang hệ b Từ vị trí đồng trục, quay thấu kính L góc  nhỏ, cho trục L2 nằm mặt phẳng chứa Oy O 2(hình vẽ) Xác định vị trí ảnh (trích đề thi HSG quốc gia năm 2011) Giải: L2 L1 Gọi bề dày mặt e S’ - Khi đặt mặt O2 F2’ ảnh S ’ dịch chuyển đến vị trí S Ta có: L1 S O2 O1 S1 Hình F2’ L2 S’ O2 O1 Hình F2’ � 1� � 1� F2' S '  e �  �� O2 S '  O2 F2'  F2' S '  f  e � 1 � � n� � n� - Khi mặt đặt S O1 Sơ đồ tạo ảnh: Ta có:S Bản mặt S1 O1 S2 O2 S’ � 1� � 1� SS1  e �  �� S1O1  f  e � 1 � � n� � n� Cơng thức cho thấu kính L1: � � � 1� f  e� 1 � � �f O2 S1 f f � n� � �  O1S2   f O2 S1  f � 1� � 1� e � 1 � e � 1 � � n� � n� Cơng thức cho thấu kính L2: � � � 1� f  e� 1 � � �f O2 S f f � n� � �  O2 S2   f ' O2 S  f � 1� � 1� e� 1 � e� 1 � � n� � n� ' Vậy khoảng cách hai thấu kính là: l  O1S2  O2 S2  f 2a Chùm sáng sau qua L1 cho chùm tia ló song song với trục chiếu tới vng góc với mặt Vì tốn bỏ qua chiết suất dọc theo đường truyền tia sáng mặt song song nên ta coi tia sáng truyền mặt vng góc với mặt (điều giả sử có bề dày h mặt nhỏ) Xét chùm tia hẹp chiếu đến mặt giới hạn hai tia có độ cao y y+dy, tia ló khỏi mặt nghiêng góc  Theo ngun lí Fermat ta có: n y  dy AB  n y CD  DE � n y  dy h  n y h  dy.sin  � (n y  dy  n y )h  dy.sin  � kh.dy  dy.sin  � sin   kh Vì sin  không phụ thuộc vào y nên chùm sang qua mặt chùm song song lệch so với quang trục góc  Vì chùm tia qua thấu kính L2 hội tụ điểm S’’ nằm tiêu diện cách tiêu điểm là: S '' F2'  f tan   khf  k h2 Ta thấy góc  góc nhỏ nên suy kh  nên làm gần S '' F2'  khf 2b Điểm ảnh S’’ nằm giao điểm tia sáng O 2S’’ qua quang tâm tiêu diện ảnh thấu kính L2 Khi trục thấu kính L2 lệch góc  nhỏ, tiêu diện ảnh L2 quay góc  Vậy S’’’ nằm O2S’’ cách O2 đoạn: y+dy A y C B O2 S '''  f cos(   ) h E h D h Bài 12:Kính thiên văn hệ quang học đồng trục gồm vật kính thấu kính hội tụ L1, tiêu cự f1 thị kính thấu kính hội tụ L2, tiêu cự f2(f2