Thuật Toán Giải Bài Toán Phân Thức Tuyến Tính Với Hệ Số Khoảng Ở Hàm Mục Tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THU HẰNG THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TỐN PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ KHOẢNG Ở HÀM MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THU HẰNG THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ KHOẢNG Ở HÀM MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Vũ Thiệu THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Danh mục hình vẽ ii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính 1.2 Tính chất nghiệm toán 1.3 Minh họa hình học 1.3.1 Nghiệm tối ưu 10 1.3.2 Nhiều nghiệm tối ưu 11 1.3.3 Nghiệm tối ưu hữu hạn vô cực 12 1.3.4 Nghiệm tối ưu tiệm cận 13 1.3.5 Bài tốn vơ nghiệm 13 1.4 Biến đổi toán tuyến tính tương đương 14 Qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu 18 2.1 Nội dung toán 18 2.2 Thuật toán đưa qui hoạch tuyến tính 21 2.3 Thuật toán dùng phép tính khoảng 25 2.3.1 Phép tính khoảng 25 2.3.2 Qui hoạch phân tuyến tính khoảng 28 2.4 Ví dụ minh họa 31 Kết luận 38 i Tài liệu tham khảo 39 ii Danh mục hình vẽ Hình 1.1 Phân bổ cơng suất phát sóng tối ưu Hình 1.2 Năm tập mức R2 với γ1 > > γ2 > γ3 > γ4 Hình 1.3 Nghiệm tối ưu đạt x∗ Hình 1.4 Nhiều nghiệm tối ưu: xopt ∈ [x∗ , x∗∗ ] Hình 1.5 Nghiệm tối ưu hữu hạn vơ cực Hình 1.6 Nghiệm tối ưu tiệm cận ( f ∗ hữu hạn, khơng đạt được) Hình 1.7 Bài tốn vơ nghiệm ( f (x) ց −∞) Hình 1.8 Tập ràng buộc tốn Ví dụ 1.1 Hình 2.1 Tập ràng buộc X tốn Ví dụ 2.1 Hình 2.2 Tập ràng buộc X tốn Ví dụ 2.2 Hình 2.3 Tập ràng buộc X tốn Ví dụ 2.4 Lời mở đầu Qui hoạch phân tuyến tính (LFP) tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm phân thức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính afin) với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Qui hoạch phân tuyến tính trường hợp riêng qui hoạch phân thức phi tuyến, thường dùng để mơ hình hóa tốn thực tế với hay nhiều mục tiêu (chẳng hạn lợi nhuận / chi phí, sản phẩm / số lao động, ) ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khác kỹ thuật, kinh tế, tài chính, Một toán qui hoạch phân thức tuyến tính nhiều người quan tâm nghiên cứu tốn phân thức tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu (không cố định trước) Bài tốn có dạng: f (x) = p(x) [a1 , b1 ] x1 + + [an , bn ] xn + [a0 , b0 ] = → q(x) [c1 , d1 ] x1 + + [cn , dn ] xn + [c0 , d0 ] với điều kiện Ax < b, x ≥ 0, (A ∈ Rm×n , b ∈ Rm ) Mơ hình tốn linh hoạt dễ áp dụng Có số tài liệu ([4], [5] [6] năm 2012, 2013) đề cập tới phương pháp giải toán Đáng ý hai phương pháp nêu [4] [6] Vì chúng tơi chọn đề tài luận văn: "Thuật tốn giải tốn phân thức tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu" nhằm mục đích tìm hiểu trình bày ý tưởng, phương pháp thuật toán giải mơ hình tốn nêu hai tài liệu tham khảo gần [4, 6] Cả hai phương pháp khác nhau, mở rộng phát triển thuật tốn giải qui hoạch phân tuyến tính có Vì trước hết cần tìm hiểu qua tốn qui hoạch phân tuyến tính số tính chất nghiệm tối ưu tốn phân tuyến tính Sau tìm hiểu trình bày cách tiếp cận riêng [4] [6] Về đại thể phương pháp [4] nêu cách đưa toán ban đầu qui hoạch tuyến tính, phương pháp [6] dựa phép tính khoảng tìm cách đưa tốn xét toán với hàm mục tiêu khoảng Đây đề tài qui hoạch phân tuyến tính, nhiều người quan tâm tìm hiểu, nghiên cứu Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [6] Kết cần đạt được: hiểu trình bày tốn qui hoạch phân tuyến tính, tính chất nghiệm tối ưu tốn, mơ hình tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu số thuật tốn xử lý mơ hình Đóng góp luận văn tổng hợp giới thiệu có chọn lọc hai thuật toán giải toán qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu Luận văn viết hai chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" đề cập tới toán tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính với ràng buộc tuyến tính Nêu số ví dụ thực tế có mơ hình tốn học qui hoạch phân tuyến tính (bài tốn sản xuất) qui hoạch phân tuyến tính suy rộng (bài tốn tăng trưởng kinh tế Von Neumann toán phân bổ tối ưu cơng suất phát sóng) Tiếp nêu tính chất nghiệm tốn thơng qua minh họa hình học nghiệm tối ưu toán qui hoạch phân tuyến tính Cuối chương trình bày phép biến đối Charnes - Cooper đưa tốn qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính tương đương, mà khơng cần giả thiết tập ràng buộc tốn phân tuyến tính bị chặn Chương "Qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu" giới thiệu cách tiếp cận đưa [4, 6] tìm nghiệm tối ưu cho tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi khoảng Thuật toán giải [4] dùng phép biến đổi Charnes - Cooper thuật toán giải [6] dựa phép tính khoảng Cuối chương nêu số ví dụ minh hoạ cho thuật tốn giải trình bày Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Thu Hằng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương đề cập tới toán tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính afin) với ràng buộc tuyến tính Các toán gọi qui hoạch phân tuyến tính Phần đầu trình bày nội dung ý nghĩa tốn, tiếp nêu tính chất minh họa hình học nghiệm tối ưu tốn Cuối chương giới thiệu cách đưa toán qui hoạch tuyến tính tương đương Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính Một cách tổng qt phát biểu tốn sau Cho tập lồi C ⊆ Rn hàm f , g, hi : Rn → R(i = 1, , m) Xét toán tối ưu với hàm mục tiêu phân thức (tỉ số hai hàm số), ký hiệu toán (FP): (FP) inf x∈X f (x) , g(x) X = x ∈ C : hi (x) ≤ 0, i = 1, , m Ta phân biệt loại toán sau: • Khi f , g hi hàm afin (FP) gọi tốn qui hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Program) • Khi f g hàm toàn phương hi hàm afin (FP) gọi tốn qui hoạch phân thức tồn phương (Quadratic Fractional Program) • Khi f ≥ hàm lồi, g > hàm lõm hi hàm lồi (FP) gọi toán qui hoạch phân thức lồi (Convex Fractional Program) Trong toán (FP) xét hàm phân thức Tuy nhiên, nhiều ứng dụng ta xét nhiều hàm phân thức Chẳng hạn, • Qui hoạch phân thức suy rộng (Generalized Fractional Program): λ ∗ = max x∈X 1≤i≤k fi (x) (gi > ∀i) gi (x) • Qui hoạch tổng hàm phân thức (Sum-of-ratios Program): k λ ∗ = ∑ x∈X i=1 fi (x) (gi > ∀i) gi (x) • Qui hoạch phân thức đa mục tiêu (Multi-Objective Fractional Program): λ ∗ = x∈X f1 (x) fk (x) , , (gi > ∀i) g1 (x) gk (x) Luận văn chủ yếu tập trung xét toán qui hoạch phân tuyến tính: (LFP) p(x) pT x + α : Ax ≤ b, x ≥ 0, f (x) = = q(x) qT x + β (1.1) p, q ∈ Rn , α , β ∈ R, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm Ký hiệu X = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0, x ≥ 0} Tương tự, xét tốn tìm cực đại: max{ f (x) : x ∈ X} Khi cần ta dùng qui ước a/0 = +∞ a > a/0 = −∞ a ≤ Qui hoạch tuyến tính trường hợp riêng qui hoạch phân tuyến tính q = β = Trong [2] phân tích số trường hợp riêng khác cho phép đưa tốn qui hoạch phân tuyến tính tốn tuyến tính thích hợp 25 Thay ràng buộc đẳng thức hai bất đẳng thức tương đương ta    (a0 + (b0 − a0 )λ0 )y0 + (a1 + (b1 − a1 )λ1 )y1 + + (an + (bn − an )λn )yn → min,     c y + c y + + c y ≤ 1, d y + d y + + d y ≥ 0 1 n n 0 1 n n   −by0 + A1 y1 + + An yn ≤ 0, y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥     0 ≤ λ ≤ 1, k = 0, 1, , n k Cuối cùng, cho λk = ta đến tốn qui hoạch tuyến tính (các biến yk , k = 0, 1, , n)    a0 y0 + a1 y1 + + an yn → min,       c y + c1 y1 + + cn yn ≤ 1,   0 d0 y0 + d1 y1 + + dn yn ≥ 1,      −by0 + A1 y1 + + An yn ≤ 0,     y ≥ 0, y ≥ 0, , y ≥ 0 n • Tóm lại, thuật tốn lập giải qui hoạch tuyến tính Giả sử nhận lời giải tối ưu y∗ = (y∗0, y∗1 , , y∗n )T , y∗0 > Khi đó, lời giải tối ưu toán qui hoạch phân tuyến tính ban đầu x∗ = (x∗1 , , x∗n )T với x∗k = y∗k /y∗0 ∀k = 1, , n 2.3 2.3.1 Thuật tốn dùng phép tính khoảng Phép tính khoảng Ký hiệu I tập hợp tất khoảng đóng bị chặn R Giả sử A, B ∈ I Ta viết A = aL , aU , B = bL , bU Ta có phép tốn sau I: (i) A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B} = aL + bL aU + bU ∈ I; 26 (ii) −A = {−a|a ∈ A} = −aU , −aL ∈ I; (iii) kA = {ka|a ∈ A} = kaU , kaL k < 0, k ∈ R ta có A − B = A + (−B) = aL − bU , aU − bL ′ Định nghĩa 2.1 Nếu A = aL , aU B = bL , bU khoảng số thực đóng bị chặn, ta định nghĩa phép nhân A với B sau: AB = [min(S), max(S)] , S = {aL bL , aU bU , aU bL , aL bU } Chẳng hạn A B khoảng dương (tức ≤ aL ≤ aU ≤ bL ≤ bU ) AB = aL bL , aU bU ≤ aL ≤ aU bL < < bU AB = aU bL , aU bU Có số cách khác để định nghĩa phép chia khoảng D Ratz (1996) đưa định nghĩa tỉ số hai khoảng sau Định nghĩa 2.2 Cho A = aL , aU B = bL , bU khoảng thực Ta định nghĩa A/B = {z ∈ R| ∃a ∈ A, b ∈ B cho b = 0, z = a/b} Ta nhận thấy tỉ số hai khoảng tập hợp không khoảng Chẳng hạn, {1}/{x| x ≤ 1} = {x| x < 0} ∪ {x| ≤ x} Ratz chứng minh kết sau 27 Định lý 2.2 Giả sử A = aL , aU B = bL , bU hai khoảng số thực khác rỗng bị chặn Khi đó, ∈ / bL , bU A/B = aL , aU 1 , bL bU Có thể kiểm tra lại tính chất sau phép tính khoảng Định lý 2.3 Nếu A B khoảng thực bị chặn khác rỗng A + B, A − B AB khoảng thực bị chặn khác rỗng Hơn nữa, ∈ /B A/B khoảng số thực bị chặn khác rỗng Định nghĩa 2.3 Hàm f : Rn → I gọi hàm giá trị khoảng (interval valued function) hay gọi tắt hàm khoảng (vì x ∈ Rn , f (x) khoảng đóng R) Giống khoảng, ta ký hiệu hàm khoảng f f (x) = f L (x), f U (x) , với x ∈ Rn , f L (x), f U (x) hàm khoảng f L (x) ≤ f U (x) Định lý 2.4 Giả sử f hàm khoảng xác định Rn Khi f liên tục c ∈ Rn f L f U liên tục c Sau khái niệm vi phân yếu Định nghĩa 2.4 Cho X tập mở R Hàm khoảng f : X → I với f (x) = f L (x), f U (x) gọi khả vi yếu x0 hàm giá trị thực f L f U khả vi theo nghĩa thông thường x0 Định nghĩa 2.5 Ta nhắc lại hàm phân tuyến tính có dạng F(x) = cT x + α , dT x + β x = (x1 , , xn )T ∈ Rn , c = (c1 , , cn )T ∈ Rn , d = (d1 , , dn )T ∈ Rn , α β ∈ R (Cũng xem α β ∈ R khoảng [α , α ] [β , β ] Định nghĩa 2.6 Để giải thích ý nghĩa tối ưu hóa hàm khoảng ta cần khái niệm thứ tự phận I Giả sử A = AL , AU B = BL , BU hai khoảng số thực đóng bị chặn (A, B ∈ I), ta nói A B 28 aL ≤ bL aU ≤ bU Ta viết A ≺ B A B A = B Nói cách khác, A ≺ B  aL < bL aU ≤ bU 2.3.2  aL ≤ bL aU < bU  aL < bL aU < bU Qui hoạch phân tuyến tính khoảng Ta xét tốn qui hoạch phân tuyến tính sau đây: cT x + α : Ax = B, x ≥ dT x + β (2.30) Ta giả thiết c = (c1 , cn)T d = (d1 , , dn )T với c j , d j ∈ I, j = 1, , n Ký hiệu ciL di L cận khoảng c j d j tương ứng (tức cL = (c1 L , , cnL ) d L = (d1 L , , dn L ), ci L di L số thực với j = 1, , n) Ta định nghĩa cU dU theo cách tương tự Cũng vậy, α = α L , α U β = β L , β U Khi tốn (2.30) viết lại thành: f (x) = p(x) : Ax = b, x ≥ , q(x) (2.31) p(x) q(x) hàm tuyến tính khoảng: p(x) = pL (x), pU (x) = cL (x) + α L , cU (x) + α U q(x) = qL (x), qU (x) = d L (x) + β L , dU (x) + β U Chẳng hạn, pL (x) = cL x + α L qU (x) = dU x + β U Cuối cùng, từ (2.31) ta có cL x + α L , cU x + α U f (x) = L , [d x + β L , dU x + β U ] (2.32) Để thiết lập tốn qui hoạch phân tuyến tính khoảng, ta cần xét loại toán qui hoạch phân tuyến tính khác sau: min{ f (x) = f L (x), f U (x) : Ax = b, x ≥ 0}, (2.33) 29 f L f U hàm phân thức tuyến tính (như Định nghĩa 2.5) Cũng vậy, ta có tốn qui hoạch phân tuyến tính khoảng dạng (2.32): cL x + α L , cU x + α U , f (x) = L [d x + β L , dU x + β U ] (2.34) Định lý 2.5 Với số giả thiết định, đưa toán qui hoạch phân tuyến tính khoảng dạng (2.34) tốn qui hoạch phân tuyến tính khoảng dạng (2.33) Chứng minh Hàm mục tiêu (2.34) tỉ số hai hàm khoảng p(x) q(x) Để đưa (2.34) dạng (2.33) ta giả sử ∈ / q(x) với điểm x chấp nhận được, ta có < qL (x) < qU (x) qL (x) < qU(x) < với điểm chấp nhận x Theo Định lý 2.1, mẫu số khác nên ta viết lại hàm mục tiêu (2.34) dạng f (x) = cL x + α L , cU x + α U 1 , dU x + β U d L x + β L Xét hai trường hợp: • Trường hợp : < qL (x) ≤ qU (x) Có hai khả năng: (i) ≤ pL (x) ≤ pU (x) Sử dụng Định nghĩa 2.1 ta có cLx + α L cU x + α U f (x) = U , d x + β U d Lx + β L (2.35) (ii) pL (x) < < pU (x) Sử dụng Định nghĩa 2.1 ta có f (x) = cLx + α L cU x + α U , d Lx + β L d Lx + β L • Trường hợp : qL (x) ≤ qU(x) < Có hai khả năng: (2.36) 30 (i) ≤ pL (x) ≤ pU (x) Sử dụng Định nghĩa 2.1 ta có f (x) = cL x + α L cL x + α L , d Lx + β L d Lx + β L (2.37) (ii) pL (x) < < pU (x) Sử dụng Định nghĩa 2.1 ta có cL x + α L cL x + α L f (x) = L , d x + β L dU x + β U (2.38) (Lưu ý trường hợp pL (x) ≤ pU (x) < dễ dàng suy từ trường hợp xét đây, trường hợp kéo theo −pL (x) ≤ −pU (x) ≥ 0) Bây theo Định lý 2.2 trường hợp xét trên, hàm mục tiêu (2.32) viết lại sau min{ f (x) = f L (x), f U (x) : Ax = b, x ≥ 0}, (2.39) hàm mục tiêu hàm khoảng, f L (x), f U (x) hàm phân tuyến tính (tương ứng với trường hợp (2.35) − (2.38)) Định lý chứng minh Có thể giải thích tốn cực tiểu (2.39) sau Định nghĩa 2.7 Giả sử x∗ nghiệm chấp nhận tốn (2.39) Ta nói x∗ nghiệm khơng bị vượt trội (nondominated solution) tốn (2.39) không tồn nghiệm chấp nhận x cho f (x) ≺ f (x∗ ) Trong trường hợp ta nói f (x∗ ) giá trị mục tiêu không bị vượt trội (nondominated objective value) f Bây ta xét toán tối ưu sau tương ứng với toán (2.39) min{g(x) = f L (x) + f U (x) : Ax = b, x ≥ 0}, Để giải toán (2.39), ta sử dụng định lý sau (xem [6]) (2.40) 31 Định lý 2.6 Nếu x∗ nghiệm tối ưu tốn (40) x∗ nghiệm khơng bị trội tốn (2.39) Ví dụ minh họa cách tiếp cận nêu trình bày mục sau (Ví dụ 2.2 Ví dụ 2.4) Ví dụ 2.4 giới thiệu nội dung ứng dụng toán qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu 2.4 Ví dụ minh họa Để minh họa thuật tốn trình bày ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.1 Giải qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng mục tiêu: p0 + p1 x1 + p2 x2 x,p,q q0 + q1 x1 + q2 x2 với điều kiện    −2x1 + x2 ≤ 2, x1 + 3x2 ≤ 13, x1 + x2 ≤ 9,     x ≥ 0, x ≥ 0,   −3 ≤ p0 ≤ 3, −1 ≤ p1 ≤ 2, ≤ p2 ≤ 4,     6 ≤ q ≤ 8, ≤ q ≤ 3, −1 ≤ q ≤ 2 Tập ràng buộc X tốn vẽ Hình 2.1 Trước hết ta biến đổi toán tốn qui hoạch tuyến tính:    −3y0 − y1 + y2 → min,     6y + y − y ≤ 1, 8y + 3y + 2y ≥ 1, 2   −2y0 − 2y1 + y2 ≤ 0, −13y0 + y1 + 3y2 ≤ 0, −9y0 + y1 + y2 ≤ 0,     y ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ 0 Lời giải tối ưu toán y∗0 = 2/30; y∗1 = 3/5; y∗2 = với giá trị mục tiêu tối ưu = −0, 32 x2 (1, 4) (7, 2) (0, 2) X x1 (0, 0) (9, 0) Hình 2.1 Tập ràng buộc X tốn Ví dụ 2.1 Từ suy lời giải tối ưu toán ban đầu x1 ∗ = y1 ∗ y2 ∗ ∗ = 9, x = = y0 ∗ y0 ∗ với giá trị mục tiêu tối ưu fopt = (−3 − × × 4) /(6+1×9) = −12/15 = −0, Để kiểm chứng cho lời giải tối ưu trên, lấy pk , qk khoảng biến thiên cho giải toán, ta thấy lời giải tối ưu nhận không tốt lời giải tối ưu nhận Chẳng hạn, xét toán: x∈X −2 + x1 + 3x2 + 2x1 + x2 với điều kiện  −2x + x ≤ 2, x + 3x ≤ 13, x + x ≤ 9, 2 x ≥ 0, x ≥ 33 Đưa toán qui hoạch tuyến tính tương đương (Charnes - Cooper):    −2y0 + y1 + 3y2 → min,     8y + 2y + y = 1,   −2y0 − 2y1 + y2 ≤ 0, −13y0 + y1 + 3y2 ≤ 0, −9y0 + y1 + y2 ≤ 0,     y ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ 0 Giải tốn tuyến tính ta nhân lời giải tối ưu: y0 ∗ = 0, 125; y1 ∗ = 0, y2 ∗ = Từ suy lời giải tối ưu tốn phân tuyến tính cần giải x1 ∗ = y2 ∗ y1 ∗ ∗ = 0, x = = y0 ∗ y0 ∗ Với giá trị mục tiêu tối ưu = (−2 + × + × 0)/(8 + × + × 0) = −0, 25 > −0, Ví dụ 2.2 Giải toán tối ưu sau f (x) = x1 ,x2 [7x1 + x2 , 7x1 + x2 + 3] [3x1 + 4x2 + 12, 3x1 + 4x2 + 36] với điều kiện    x1 + x2 ≤     4x − 9x ≤   2x1 + 4x2 ≥     x ≥ 0, x ≥ 34 x2 X (0, 0) x1 Hình 2.2 Tập ràng buộc X tốn Ví dụ 2.2 Ta thấy p(x) = pL (x), pU (x) = [7x1 + x2 , 7x1 + x2 + 3] , q(x) = qL (x), qU (x) = [3x1 + 4x2 + 12, 3x1 + 4x2 + 36] Do x1, x2 ≥ nên ta có < qL (x) ≤ qU (x) < pL (x) ≤ pU (x), ta áp dụng Trường hợp 1(i) nêu chứng minh Định lý 2.4 Ta đến toán tối ưu sau f (x) = 7x1 + x2 7x1 + x2 + , → 3x1 + 4x2 + 12 3x1 + 4x2 + 36 với kiện: x1 + x2 ≤ 7; 4x1 − 9x2 ≤ 3; x1 + 2x2 ≥ 1, 5; x1 ≥ 0, x2 ≥ Để nhận nghiệm khơng bị trội tốn trên, ta áp dụng Định lý 2.5 giải qui hoạch phân tuyến tính sau g(x) = 7x1 + x2 + 7x1 + x2 + → 3x1 + 4x2 + 12 3x1 + 4x2 + 36 35 với điều kiện    x1 + x2 ≤     4x − 9x ≤   x1 + 2x2 ≥ 1,     x ≥ 0, x ≥ Nghiệm tối ưu toán x1∗ = 0, x1 ∗ = 0, 75 với giá trị mục tiêu tối ưu: g(x∗ ) = [0, 0192; 0, 0962] Ví dụ 2.3 Xét tốn tối ưu sau đây: = x1 ,x2 ,x3 f (x) = [1, 2]x1 + [3, 7]x2 + [ 23 , 52 ]x3 + [ 27 , 4] [ 21 , 1]x1 + [ 34 , 1]x2 + [ 78 , 2]x3 + [ 21 , 1] với điều kiện    x1 + x2 − x3 ≤     −2x + 3x + x ≤   x1 + x2 + x3 ≤ 13     x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ Theo Định lý 2.4, ta đưa tốn tốn tối ưu sau x1 + 3x2 + 32 x3 + 27 2x1 + 7x2 + 52 x3 + f (x) = , → x1 + x2 + 2x3 + 12 x1 + 34 x2 + 87 x3 + 21 với kiện x1 + x2 − x3 ≤ 6, −2x1 + 3x2 + x3 ≤ 8, x1 + x2 + x3 ≤ 13, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 36 Áp dụng Định lý 2.5 giải qui hoạch phân tuyến tính: x1 + 3x2 + 32 x3 + 27 2x1 + 7x2 + 25 x3 + +1 g(x) = → x1 + x2 + 2x3 + x + x + x + với điều kiện    x1 + x2 − x3 ≤     −2x + 3x + x ≤   x1 + x2 + x3 ≤ 13     x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ Nghiệm không bị vượt trội (nghiệm tối ưu) toán x∗ = (x1 ∗ , x2 ∗ , x3 ∗ ) = (1, 6667; 0; 11, 3333) với giá trị mục tiêu tối ưu g(x∗ ) = 0, 0454 Ví dụ 2.4 Xét toán thực tế sau: Một hãng cần sản xuất hai loại sản phẩm A1 A2 với lợi nhuận chưa chắn, khoảng [3, 5] [1, 4] triệu đồng đơn vị sản phẩm loại Đồng thời chi phí chưa chắn, khoảng [(1/2), 2] [1, 2] triệu đồng đơn vị sản phẩm tương ứng Giả sử chi phí cố định (không phụ thuộc mức sản xuất) sản phẩm [4, 6] triệu đồng, cộng vào hàm chi phí q trình sản xuất Cũng số tiền cố định tương ứng với [7, 1] triệu cộng vào hàm lợi nhuận Mục tiêu hãng sản xuất làm cực đại lợi nhuận thu tổng chi phí, với điều kiện cơng ty có vật tư đầu vào cho sản xuất giả sử lượng vật tư cần cho sản xuất đơn vị sản phẩm tương ứng [1, 3] kg khả cung cấp vật tư 30 kg Cũng giả thiết thêm hai lần sản phẩm A2 lớn sản phẩm A1 nhiều đơn vị Ký hiệu x1 x2 số đơn vị sản phẩm A1 A2 cần sản xuất, dó tốn đặt có mơ tả tốn học sau: max f (x) = x1 ,x2 [3, 5]x1 + [1, 4]x2 + [7, 11] [ 21 , 2]x1 + [1, 2]x2 + [4, 6] 37 x2 (0, 10) (0, 6) (0, 3) X (0, 0) x1 (10, 0) (20, 0) (30, 0) Hình 2.3 Tập ràng buộc X tốn Ví dụ 2.4 với điều kiện    x + 3x2 ≤ 30   −x1 + 2x2 ≤    x ≥ 0, x ≥ Nghiệm tối ưu toán x1 ∗ = 30, x2 ∗ = với giá trị mục tiêu: f (x∗ ) = 97 161 , ≈ [1, 4697; 8, 4737] 66 19 Kết luận chương giới thiệu mô hình tốn phân tuyến tính mở rộng, hệ số tử số mẫu số hàm mục tiêu khơng cố định sẵn mà thay đổi khoảng cho trước, trình bày hai thuật toán nêu tài liệu tham khảo [4] [6] giải toán Thuật toán [4] dựa phép biến đổi Charnes - Cooper, đưa giải qui hoạch phân tuyến tính Thuật tốn [6] dùng phép tính khoảng Cuối chương nêu ví dụ minh họa thuật tốn trình bày 38 Kết luận Qui hoạch phân tuyến tính mở rộng trực tiếp qui hoạch tuyến tính cơng cụ hữu ích lập kế hoạch sản xuất, tài dịch vụ y tế, thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng Luận văn trình bày vấn đề sau: Kiến thức chuẩn bị toán qui hoạch phân tuyến tính, minh hoạ hình học tính chất nghiệm tối ưu toán Nêu phép biến đổi Charnes-Cooper đưa tốn qui hoạch tuyến tính tương đương cách giải qui hoạch phân tuyến tính dựa phép biến đổi Thuật toán giải lớp tốn qui hoạch phân tuyến tính mở rộng, với hệ số khoảng hàm mục tiêu Thuật toán đưa giải qui hoạch tuyến tính với biến hai ràng buộc nhiều so với toán ban đầu Thuật toán giải qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu, cách dùng phép tính khoảng Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu tốn qui hoạch phân tuyến tính qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu Các toán liên quan chặt chẽ với qui hoạch tuyến tính, lý thuyết lẫn thuật tốn giải Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu mơ hình thuật tốn giải khác tốn qui hoạch phân tuyến tính 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Bajalinov E B (2003), Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software Kluwer Academic Publishers [3] Bazara M S., Sherali H D and Shetty C M (2006), Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition A John Willey and Sons, Inc., Publication [4] Borza M., Rambely A.S and Saraj M (2012), "Solving Linear Fractional Programming Problems with Interval Coefficients in the Objective Function" Applied Mathematical Sciences, 6(69), pp 3443 - 3452 [5] Borza M., Rambely A.S and Saraj M (2013), "Mixed 0-1 Linear Programming for an Absolute Value Linear Fractional Programming with Interval Coefficients in the Objective Function" Applied Mathematical Sciences, 7(73), pp 3641 - 3653 [6] Effati S and Pakdaman M (2012), "Solving the Interval-Valued Linear Frac-tional Programming Problem" American Journal of Computational Mathe-matics, 2, pp 51-55 ... hoạch phân tuyến tính mở rộng, với hệ số khoảng hàm mục tiêu Thuật toán đưa giải qui hoạch tuyến tính với biến hai ràng buộc nhiều so với toán ban đầu Thuật toán giải qui hoạch phân tuyến tính với. .. hai thuật tốn giải tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu Luận văn viết hai chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" đề cập tới toán tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính với. .. với hệ số khoảng hàm mục tiêu, cách dùng phép tính khoảng Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu tốn qui hoạch phân tuyến tính qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu Các toán