Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 101 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
101
Dung lượng
2,83 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC VÀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức vi-et Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng tốn hệ phương trình thường kì thi gần Chuyên đề gồm phần: Chủ đề 1: Phương trình bậc hai Chủ đề 2: Ứng dụng hệ thức Vi-et Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề phương trình bậc ứng dụng hệ thức vi et giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề Phƣơng trình bậc hai ẩn Kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Dạng Giải phương trình bậc hai ẩn Dạng Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Dạng Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ phương trình bậc hai Dạng Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm chung 10 Dạng Chứng minh hệ c{c phương trình bậc có phương trình 13 có nghiệm Dạng Ứng dụng phương trình bậc hai chứng minh bất đẳng thức tìm GTNN GTLN Chủ đề Khai thác ứng dụng định lý Vi-ét 17 A Kiến thức cần nhớ 17 B Các ứng dụng định lý vi-et 17 Dạng 1: Giải phương trình bậc cách tính nhẩm nghiệm 17 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình 18 Dạng Tìm hia số biết tổng tích 22 Dạng Phân tích tam thức tam thức bậc hai thành nhân tử 24 Dạng Tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm 25 thứ hai Dạng X{c định tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ điều 26 kiện cho trước Dạng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm hai nghiệm 30 liên quan đến hai nghiệm phương trình cho Dạng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai, khơng 32 phụ thuộc vào tham số Dạng Chứng minh hệ thức liên hệ nghiệm phương trình bậc hai, 34 hai nghiệm phương trình bậc Dạng 10 Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai, so sách nghiệm 37 phương trình bậc hai với số cho trước Dạng 11 Nghiệm chung hai hay nhiều phương trình, hai phương trình Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 41 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com tương đương Dạng 12 Ứng dụng hệ thức vi-et toán số học 44 Dạng 13 Ứng dụng hệ thức vi-et giải phương trình, hệ phương trình 46 Dạng 14 Ứng dụng hệ thức vi-ét chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm 51 GTLN GTNN Dạng 15 Vận dụng định lý vi-et vào toán hàm số 54 Dạng 16 Ứng dụng địng lý Vi-ét tốn hình học 57 Bài tập rèn luyện tổng hợp 60 Hƣớng dẫn giải 68 Bài tập khơng lời giải 98 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A/ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NHỚ 1/ Định nghĩa: Phương trình bậc ẩn l| phương trình có dạng: ax bx c x l| ẩn, a, b, c l| c{c hệ số cho trước v| a ≠ 2/ Giải phƣơng trình bậc 2.1 Phương trình bậc khuyết: - Với c = phương trình có dạng: x0 ax bx x ax c (a ≠ 0) x c a - Với b = phương trình có dạng: ax c x c a * Điều kiện để phương trình có nghiệm l|: c0 c 0 (a v| c tr{i dấu) a ac Với điều kiện ta có: * x c a 2.2 Giải phương trình bậc hai ẩn đầy đủ công thức nghiệm Phương trình bậc ẩn: ax bx c a 1 Xét biệt số: b2 4ac +) Nếu phương trình (1) vơ nghiệm +) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép: x1 x2 b 2a +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt x1 b b ; x2 2a 2a Trường hợp: b 2b ' ta có: ' b '2 ac Khi đó: +) Nếu ' phương trình (1) vơ nghiệm +) Nếu ' phương trình (1) có nghiệm kép: x1 x2 b' a +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt x1 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp b ' ' b ' ' ; x2 a a TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2.3 Trường hợp đặc biệt nhẩm nhanh nghiệm: Phương trình bậc ẩn: ax bx c a 0 c - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 1; x2 a c - Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x1 1; x2 a B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Giải phƣơng trình bậc hai ẩn Thí dụ Giải phương trình: mx2 2(m 3) x m (m tham số) (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để tập nghiệm phương trình có phần tử Hƣớng dẫn giải a) Với m = ta có: x2 x Ta có: ' 22 3 Do đó: x1 2 2 ; x2 2 2 Khi m = phương trình có nghiệm l|: x1 2 ; x2 2 b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm ph}n biệt l|: m0 a0 m0 0m 2 ' m 3 m m 2m Vậy điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt l|: m c) Để phương trình (1) có phần tử (1) có nghiệp kép l| phương trình bậc Với m = phương trình có dạng: x x Với m ≠ (1) l| phương trình bậc 2, có nghiệm kép khi: ' m 3 m m 2m m Vậy m = m Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp (thỏa mãn m ≠ 0) tập nghiệm phương trình (1) có phần tử TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Tìm điều kiện để phƣơng trình bậc hai có nghiệm Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai l| ≥ m| ta lại có: = b2 – 4ac nên ac < > Do với nhiều trường hợp phức tạp ta cần xét ac < để chứng minh phương trình ln có nghiệm Thí dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm với a, b: a 1 x2 a b x b 1 1 (Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) Hƣớng dẫn giải - Với a = -1 phương trình (1) trở th|nh: 2 b 1 x b 1 b 1 x b 1 +) Nếu b ≠ phương trình (1) có nghiệm: x = 0,5 +) Nếu b = phương trình có vơ số nghiệm - Với a ≠ -1 phương trình (1) l| phương trình bậc có: ' a b a 1 b 1 a 2ab b ab a b a ab b a b 2 a b a b a b 1 4 1 a b a b 1 2 Do với a ≠ -1 phương trình (1) ln có nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm với a, b Thí dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm với m: x2 3m2 5m 1 x m2 4m 5 1 (Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) Hƣớng dẫn giải Ta có: ac m2 4m m2 4m m Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Do phương trình ln có nghiệm Nhận xét: - Nếu ac ≤ v| a ≠ ≥ kết luận phương trình ax2 bx c có nghiệm nghiệm - Nếu ac ≤ chưa thể kết luận phương trình có nghiệm, chẳng hạn với phương trình m2 x mx có ac = - m2 ≤ với m = phương trình có dạng 0x = (vô nghiệm) Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ phƣơng trình bậc hai Thí dụ Cho phương trình x2 2mx m Tìm m ngun để phương trình có hai nghiệm ngun (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013) Hƣớng dẫn giải Ta có: ' m2 m 4 m2 m Để phương trình có nghiệm ngun ' phải l| số phương Do đó: m2 m k k Z 4m 4m 16 4k 2m 1 4k 15 2m 2k 2m 2k 15 Do k2 lớn nên không ảnh hưởng tới gi{ trị cần tìm m ta giả sử k ≥ 0, ta có: (2m – + 2k) ≥ (2m – – 2k) Vì ta có c{c trường hợp sau: 2m 2k 1 m ) 2m 2k 15 k 2m 2k 3 m ) 2m 2k k 2m 2k 5 m ) 2m 2k k 2 2m 2k 15 m 3 ) 2m 2k k 4 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thử lại c{c gi{ trị m = -3, m = 0, m = 1, m = v|o phương trình ta thấy thỏa điều kiện b|i to{n Vậy m = -3, m = 0, m = 1, m = phương trình có nghiệm nguyên Cách khác: ta vận dụng lý vi-ét sau: Gọi x1 , x2 (x1 x2 ) l| hai nghiệm ngun phương trình Ta có: x1 x2 2m; x1 x2 m Suy x1 x2 x1 x2 2( x1 x2 ) x1 x2 15 (2 x1 1)(2 x2 1) 15 2 x1 1 x1 m4 TH1: 2 x2 15 x2 2 x1 5 x1 2 m0 TH2: 2 x2 x2 2 x1 15 x1 7 m 3 TH3: 2 x2 x2 2 x1 3 x1 1 m 1 TH4: 2 x2 x2 Thử lại m = 0, m = 1, m = -3,m = thỏa mãn điều kiện b|i to{n Thí dụ Tìm c{c số ngun n để phương trình sau có c{c nghiệm v| số nguyên: x2 n x 2n 1 (Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) Hƣớng dẫn giải Ta có: n 4.2n 16 8n n2 8n n2 16 Để phương trình có nghiệm ngun phải l| số phương Do đó: n 16 k k Z n k 16 n k n k 16 Ta thấy (n + k) – (n – k) = 2k nên (n + k) (n – k) phải chẵn lẻ Do tích l| 16 nên l| chẵn Mặt kh{c (n + k) ≥ (n – k) đó: n+k n–k -2 -4 -8 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com n -3 Thử lại c{ gi{ trị n = - 3, 0, ta thấy thỏa điều kiện phương trình có nghiệm ngun Vậy n = - 3, 0, l| c{c gi{ trị cần tìm Thí dụ Cho phương trình a(a + 3)x2 - 2x - (a + 1)(a + 2) = (a l| tham số, ngun) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ b) X{c định a để phương trình có c{c nghiệm nguyên (Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2011-2012) Hƣớng dẫn giải a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ: - Với a(a+3) = hay a = a = -3: Phương trình trở thành: -2x -2 = có nghiệm x = -1 - Với a(a+3) hay a a -3 phương trình cho l| phương trình bậc hai a(a 3) x x (a 1)(a 2) a 3a x x 1 a 3a a 3a x 1 x 1 x 1 x 1 a 3a x 1 Nên phương trình cho có nghiệm: x1 1 x2 (a 1)(a 2) 1 a(a 3) a(a 3) Vì a nguyên nên suy phương trình cho ln có nghiệm hữu tỷ Cách khác: Nếu thí sinh tính ' (a 3a 1)2 0, a Vì a nguyên nên ' a 3a số ngun Vậy phương trình cho ln có nghiệm hữu tỷ b) X{c định a để nghiệm phương trình nghiệm nguyên: - Nếu a = a = -3: phương trình có nghiệm ngun x = -1 - Nếu a 0, a -3 phương trình cho l| phương trình bậc 2, ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 86 Website:tailieumontoan.com 2x 2x 3x m Khi phương trình có hai nghiệm 3x m x2 x x x2 x 2x x2 x x2 2x 2m 2m Để phương trình cho có bốn nghiệm ph}n biệt phương trình phải có hai nghiệm ph}n biệt v| c{c nghiệm hai phương trình phải kh{c + Phương trình x x + Phương trình x 2x 2m 2m 8m có hai nghiệm ph}n biệt có hai nghiệm ph}n biệt 8m m m Kết hợp hai kết ta hai phương trình có hai nghiệm ph}n biệt m + Gọi x l| nghiệm chung hai phương trình x Khi ta có Suy 4m x 02 x0 x 02 2x 2m 4m 3x 0 2m 2m 4m x 02 x0 16m x 2m 6m 4m x 2m x0 x 02 m 0; Do để hai phương trình khơng có nghiệm chung m Vậy với m x 2m 2x 2m 0 0; phương trình cho có bốn nghiệm ph}n biệt Câu 36 ' Phương trình cho có nghiệm v| Theo định lí Vi – et ta có x1 x2 x 1.x 2 m m m m2 m Do x l| nghiệm phương trình ta x12 m x1 m2 hay ta Theo đề ta có x12 Kết hợp với x12 2mx1 2x1 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 4x1 x12 2mx1 2x 2mx1 m2 2x1 m2 4x1 2x1 m2 suy x12 2mx1 4x1 2x ta 2x 2 x1 x2 m2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 87 Website:tailieumontoan.com Kết hợp với hệ thức Vi – et ta m m2 m2 4m m 2 Kết hợp với điều kiện có nghiệm phương trình ta m 2 l| gi{ trị cần tìm Câu 37 a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x 1; x với số thực m Tính gi{c trị biểu thức S Đặt y x1 m x2 m x1 m , phương trình trở th|nh y x Do ta x m x m x m x m m Dễ thấy x2 5y 2m y m với m nên phương trình ln có hai nghiệm ph}n biệt Phương trình có hai nghiệm x 1; x tương ứng với phương trình y 2 y2 nghiệm l| y1 S x1 m x2 x nên x1 Do x1 m x12 x1 m m; x 2x 2 m 4m 5y có hai Khi ta có Kết hợp với điều kiện m 2m y12 x12 2x x2 x , tìm m cho x b) Biết x1 2; m Ta có x 2m m 2 2m y1 m m y2 22 32 m 38 m m 2 ta m y22 m 12 8m m 2;6 l| gi{ trị cần tìm Câu 38 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x 1; x Chứng minh x1 x2 Ta có ' m 2m 4m m2 2m 2m 4m m2 2m Phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x 1; x v| ' m2 2m Khi theo hệ thức Vi – et ta có x1 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp m x2 2m 1 ; x1x m 2m 2 4m m TÀI LIỆU TỐN HỌC 88 Website:tailieumontoan.com m Ta có m 1 x1 nên x2 m b) Giả sử hai nghiệm x 1; x kh{c 0, chứng minh rằng: Vì m Do 1 m m 1 x1 x2 x1 x2 x2 1 x1 x2 x1 x2 2m 4m x1x 1 Mặt kh{c ta có x 1x 2 Suy x1 x 12 1 nên ta 2 1 x 22 x 1x 2 x 1x Vậy ta có 1 x1 x2 2 m x1 2m 4m x 1x x2 Câu 39 ' m2 2m m 1 Ta có nên phương trình ln có hai nghiệm với m x1 x2 2m Theo định lý Vi et ta có: x x 2m 2 x1 x2 P x1 x1 x2 x2 2m P P x1 x2 x1 x2 x1 x2 2m 4m 4m 11 4m 4m 2m 1 P 4m 1 Vậy giá trị nhỏ P -1 đạt m = 0,5 Câu 40 Phương trình: (m 1)x 2(2m 3)x 5m 25 (3) Có ' (2m 3) (m 1)(5)(m 5) 9m2 42m 34 (3m 7) 15 (3) có nghiệm hữu tỉ với m ' phương, suy ra: (3m 7)2 15 n (n ) (3m – – n)(3m – + n) = 15 (m, n ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp (4) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 89 Website:tailieumontoan.com Phương trình (4) tương đương với hệ phương trình: 3m n 15 (4.1), 3m n 1 3m n 1 (4.2), 3m n 15 3m n 5 (4.3), 3m n 3 3m n 3m n 15 3m n 3m n 3m n 3 (4.4) 3m n 5 3m n 15 3m n (4.5), 3m n 3m n (4.6) (4.7), (4.8) Giải hệ trên, suy hệ phương trình (3) có nghiệm hữu tỉ khi: m = m = Câu 41 a) Để phương trình cho có nghiệm phân biệt 2m 1 m2 1 4m2 4m 4m2 4m m Vậy m 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 b) Với phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 2m Theo hệ thức Vi-et ta có: x1 x2 m m x1 x2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2m 1 m 1 4m x1 x2 2m x1 2m 4m 2m ) x1 x2 m 4m 3 2m m 16m 8m 12 6m m 9m 22m 13 m 1 9m 13 m 1(tm) m m 13 (tm) m 13 Vậy m 1; m 13 thỏa mãn điều kiện tốn Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Câu 42 Phương trình ho|nh độ giao điểm hai đồ thị là: x x m x x m 0(*) Hai đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt * có hai nghiệm phân biệt 4m m Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (*) Khi ta có: y1 x1 m, y2 x2 m x1 x2 x1 x2 m Áp dụng hệ thức Vi ét ta có: Theo đề ta có: x1 x2 y1 y2 162 8 x1 x2 x1 m x2 m 162 8 x1 x2 x1 x2 162 8 x1 x2 81 3 x x x x2 x1 x2 x1 x2 +) Với x1 x2 x2 x2 x1 x2 m 1 1 (tm) 2 +)Với x1 x2 x2 x2 x1 x2 m Vậy m 1 1 x1 2 1 1 x1 2 1 1 (tm) 2 thỏa mãn điều kiện toán Câu 43 Cho đa thức f ( x) x3 x2 (1 m) x m 1) Khi m , ph}n tích đa thức f ( x) th|nh nh}n tử f x x3 x x f ( x) ( x 1)( x 1)( x 2) 2) Tìm tất c{c gi{ trị tham số m để phương trình f ( x) có ba nghiệm ph}n biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 x22 x32 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com x Ph}n tích phương trình ( x 1)( x x m) x x m (*) Phương trình f ( x) có nghiệm ph}n biệt Phương trình (*) có hai nghiệm ph}n biệt kh{c m m 4m m Lúc đó: x1 1, x2 x3 1; x2 x3 m Điều kiện: x12 x22 x32 x2 x3 x2 x3 m Vậy m 1, m Câu 44 a) Tìm tất số thực m… Ta có: 2m 3 3m 1 4m2 m Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 2m x1 x2 3m Theo định lý Vi-et, ta có: Theo đề ta có: x12 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 2m 3 3m 1 m 1 4m 3m m Vậy giá trị cần tìm là: m 1; m b) Tìm tất số nguyên…… Để phương trình có nghiệm ngun 4m2 phải số phương Khi đó: 4m2 k k 4m2 k 2m k 2m k 2m; k 2m U (5) 1;5; 1; 5 Ta có bảng sau: k 2m k 2m m 1 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 1 5 5 1 5 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 92 Website:tailieumontoan.com Vậy giá trị cần tìm là: m 1; m 1 Câu 45 Ta có: ' m 1 2m m2 4m m x 2 Suy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 x2 m 1 x1 x2 2m Áp dụng định lý Vi-et ta có: Theo đề ta có: 2 2 x1 x2 x14 x24 x1 x2 x1 x2 A 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 2 2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 m 12 2m 2m 2 2 2m 4m 8m 4m 12 2m (m 3) 2 2 2 4m 12m 16 2m 6m 2 2 2m m3 m m A m 2m 6m 2m 6m m 3 m3 Ta có: 2m2 6m 2m(m 3) Ta thấy: 2m m 3 m 3 m 2m2 6m 8 m 3 m 2m2 6m 8 m 3 m 3 hay m 3 U (8) m 3 1; 2; 4; 8 Ta có bảng giá trị x 3 -8 -4 -2 -1 x -5 -1 11 Kết hợp với điều kiện m ta có giá trị thỏa mãn tốn: m5; 1;1;2;4;5;7;11 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 93 Website:tailieumontoan.com Câu 46 Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 2m m x1 x2 m Áp dụng định lý Vi ét ta có: x1 x2 2m Phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn x1 x2 m Vậy m thỏa mãn yêu cầu toán Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu m Câu 47 Phương trình (1) có nghiệm kép 4(3m 11) 12m 44 m 15 b 1 có nghiệm kép x1 x2 2a 15 Vậy với m phương trình (1) có nghiệm kép, nghiệm kép x 15 a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt m Gọi hai nghiệm phân biệt phương trình l| x1; x2 , theo định lý Vi-et ta có: Khi phương trình (1) trở thành x x (2) x1 x2 x1 x2 3m 11(3) Theo giả thiết ta lại có 2017 x1 2018x2 2019, kết hợp: x1 x2 x1 x2 x x2 x 1 2017 x1 2018 x2 2019 x2 2017 1 x2 2018 x2 2019 x2 Thay vào (3) ta có: 2 3m 11 m (tm) 2 Thử lại : với m=3 ta có phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Vậy m thỏa mãn u cầu tốn Câu 48 a) Có nghiệm dƣơng phân biệt Ta có: Để phương trình cho có hai nghiệm dương thì: 4(m 1) 4m2 8m m 2m S 2(m 1) P m m m Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 94 Website:tailieumontoan.com b) Có hai nghiệm phân biệt…… x1 x2 m 1 (2) x1 x2 m Áp dụng định lý Vi-et ta có: (1) Mặt khác : x1 m x2 3m x12 2mx1 m x2 3m x12 2(m 1) x1 x1 m x2 3m x12 x1 x2 x1 x1 m2 x2 3m x1 x2 x1 x2 x1 x2 3m x1 x2 3m (3) x1 x2 2(m 1) x m 2 x1 x2 3m x2 m Từ (1) (3) ta có: Thay vào (2) ta có: m 2 m m2 2m m (tm) Vậy m Câu 49 Để phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 a 4b x1 x2 a (1) (2) x1 x2 b Áp dụng định lý Vi-et ta có: Theo đề ta có: x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 35 x1 x2 x1 x2 x1 x2 35 x1 x2 (3) x1 x2 5 x1 x2 x1 x2 35 x1 x2 x1 x2 (4) Thế (1) (2) v|o (4) ta được: a b a b b a (*) Bình phương hai vế (3) ta được: x1 x2 52 x1 x2 x1 x2 25 a 4b 25 a b 6 a 4a 28 25 a a 1 b 6 Vạy a; b 1; 6 ; 1; 6 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com Câu 50 a) Chứng tỏ phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt với gi{ trị m Ta có ac m2 1 nên phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt tr{i dấu với gi{ trị m b) Giả sử x1 , x2 l| hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x1 x2 thỏa mãn x1 x2 Do phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt tr{i dấu v| x1 x2 Suy x1 , x2 x1 x1 , x2 x2 x1 x2 x1 x2 2m m Câu 51 Phương trình có nghiệm nguyên m4 4m l| số phương + Với m , m (loại) + Với m 22 (thỏa mãn) + Với m 2m(m 2) 2m2 4m (2m2 4m 5) 4m m4 2m2 m4 m2 1 m2 2 khơng phương Vậy m l| gi{ trị cần tìm Câu 52 ax 2bx c Ta có: ax 2bx c bx 2cx a cx 2ax b * bx 2cx a cx 2ax b (1) (2) (3) 1 4b 4ac b ac 4c 4ba c ab 2 4a 4bc a bc 1 a b c ab ac bc a b a c b c 2 1 Luôn tôn biểu thức * ln có nghiệm với a, b, c Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Câu 53 Ta có : Phương trình ban đầu tương đương với x x 1 x x a x a x 1 a 1 Ta có: a a x1 a x1 x3 x2 x1 x3 a 1 a x a (Theo định lý Viet) Thay vào biểu thức A ta được: P 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 P a 1 1 a 1 a 111 a 1 a 1 P9 Từ ta có điều phải chứng minh a) Đặt Qn x1n x3n n Qo n Q1 x1 x3 Qn x1n x3n x1 x3 x1n1 x3n1 x1 x3 x1n x3n 2Qn1 aQn Theo nguyên lý Quy nạp Q số chẵn với số tự nhiên n Suy : Sn Qn số lẻ Ta có điều phải chứng minh Câu 54 Để phương trình có nghiệm ' 25 m4 m 4 x1 x2 x1 x2 m Áp dụng định lý Vi-et ta có: x1 x2 x1 x2 m Khi theo đề ta có: Khi theo đề ta có: x1 x2 x1 x2 2019 số nguyên * Kết luận: Vậy phương trình (1) ln có nghiệm Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 97 Website:tailieumontoan.com x1 x2 x1 x2 m 4 2019 m m U (3) 2019 2019 m m m m 1 m Vậy giá trị m thỏa mãn m 5, m Câu 55 Ta có: (b2 c2 a ) x2 4bcx (b2 c a ) (1) Vì a, b, c l| độ d|i ba cạnh tam gi{c nên: a, b, c 0; b c a 0; a b c 0; a c b (2) Xét trường hợp: + TH1: b2 c a Phương trình (1) trở th|nh: 4bcx x (do b, c 0) Phương trình (1) có nghiệm + TH2: b2 c a Phương trình (1) l| phương trình bậc hai Xét ' (2bc)2 (b2 c a )2 (2bc b c a )(2bc b c a ) 2 b c a a b c a b c b c a a b c a c b Kết hợp với (2) ' Phương trình (1) có nghiệm Câu 56 a 2b 5c b a 5c 2 a 10ac 25c a 6ac 25c a 3c 16c b 4ac 4ac 0a; b; c 4 2 Phương trình ax2 bx c ln có nghiệm Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 98 Website:tailieumontoan.com D BÀI TẬP TỰ LUYỆN KHƠNG LỜI GIẢI Cho phương trình x m 1 x 3m a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm ph}n biệt x1 , x2 với m b) Tính A x13 x23 x1 x2 theo m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 5 x2 x1 d) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 khơng phụ thuộc v|o m e) Tìm GTNN biểu thức: x12 x22 x1 x2 f) Lập phương trình bậc hai nhận x1 1 , x2 l|m nghiệm x2 x1 g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương, hai nghiệm tr{i dấu h) Tìm m để phương trình có nghiệm ba lần nghiệm i) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 3x2 2) Giải phương trình : 1 x 5 x HD: Đặt y x xy yz zx 3) Giả sử x, y, z thỏa mãn điều kiện 2 x y z 4 Chứng minh rằng: x, y, z 3 4) Giả sử x1 , x2 l| nghiệm phương trình x2 x Chứng minh x15 x25 l| số nguyên 5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x y a Parabol (P) : y ax ( a l| tham số dương ) a) Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm ph}n biệt A v| B Chứng minh A v| B nằm bên phải trục tung b) Gọi xA , xB l| ho|nh độ A v| B tìm GTNN biểu thức: T xA xB xA xB x y 6) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y m HD: Đặt x = -y Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 99 Website:tailieumontoan.com 7) Gọi x1 , x2 l| nghiệm phương trình x2 2009 x x3 , x4 l| nghiệm phương trình x2 2010 x Tính gi{ trị biểu thức: A x1 x3 x2 x3 x1 x4 x2 x4 8) Cho hình thang vng ABCD ( A D 900 ) có đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC Biết AB = 12, CD = 25 Tính AB, BC, BD 9) Cho phương trình bậc hai: x2 2(m 1) x m2 m a) Tìm tất c{c gi{ trị tham số m để phương trình có hai nghiệm ph}n biệt }m b) Tìm tất c{c gi{ trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 10) Cho phương trình: x2 2m 3 x m2 3m Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 x y xy a 11) Cho hệ phương trình: 2 x y xy 3a a) Giải hệ phương trình với a b) Định a để phương trình có nghiệm 12) Cho phương trình: m 2 x2 m x m m m a) Với gi{ trị n|o m phương trình có nghiệm kép b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m c) Tính theo m biểu thức A 1 x1 x2 d) Tìm m để A = 13) Cho phương trình: x2 mx ( m l| tham số ) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiêm ph}n biệt với m b) Tìm GTLN biểu thức A x1 x2 x12 x22 c) Tìm c{c gi{ trị m cho hai nghiệm phương trình l| số nguyên 14) Cho phương trình: x 2m2 x 2m2 m 1 a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm ph}n biệt b) Giả sử x1 , x2 l| nghiệm phương trình cho v| x1 x2 chứng minh x1 x2 x x1 x2 x2 15) ( Đề thi HSG huyện lớp năm học 2008-2009): Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 100 Website:tailieumontoan.com x2 y xy x y 16) Cho h|m số y x có đồ thị l| Parabol (P) v| h|m số y m 1 x m có đị thị l| đường thẳng (d m ) ( m l| tham số ) a) Chứng minh m = m = hai đị thị (P) v| (d m ) có điểm chung b) Với gi{ trị n|o m (d m ) cắt (P) hai điểm ph}n biệt có ho|nh độ x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 x1 x2 xy x y 1005 17) GiảI hệ phương trình: x y y x 2006 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... trước Dạng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm hai nghiệm 30 liên quan đến hai nghiệm phương trình cho Dạng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai, khơng 32 phụ thuộc vào tham... bậc hai, 34 hai nghiệm phương trình bậc Dạng 10 Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai, so sách nghiệm 37 phương trình bậc hai với số cho trước Dạng 11 Nghiệm chung hai hay nhiều phương trình, hai. .. 4 VII LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN KHI BIẾT HAI NGHIỆM CỦA NÓ HOẶC HAI NGHIỆM CÓ LIÊN QUAN TỚI HAI NGHIỆM CỦA MỘT PHƢƠNG TRÌNH ĐÃ CHO 1) Phƣơng pháp: Để lập phương trình bậc hai