Dùng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn hàm sô A. Kiến thức cơ bản 1. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số a. [ ] 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x = b. [ ] 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x ì = ì c. ( ) 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ; lim ( ) 0 ( ) lim ( ) x x x x x x x x f x f x g x g x g x = d. 0 sin lim 1 x x x = 2. Đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 x : 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x = 3. áp dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn hàm số: B1. Đa giới hạn cần tìm về dạng: 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x B2. Xét hàm số ( )y f x= : Tính 0 0 ( ); '( ); '( )f x f x f x B3. Kết luận: giới hạn cần tìm của hàm số là 0 '( )f x B. Các dạng toán thờng gặp I. Dạng I: Mẫu số có sẵn biểu thức 0 x x 1. Tìm các giới hạn sau: 3 4 7 9 1 lim 7 x x x A x + + = - Xét hàm số 3 4 ( ) 9 1f x x x= + + , ta có f(7) = 0 và 3 2 3 4 1 1 5 '( ) '(7) 96 4 ( 9) 3 ( 1) f x f x x = = + + - Khi đó ta có: 7 ( ) (7) 5 lim '(7) 7 96 x f x f A f x = = = 3 0 1 1 lim x x x B x + = - Xét hàm số 3 ( ) 1 1 ;f x x x= + ta có f(0) = 0 và f(0) = 5/6 nên B = 5/6 3 (2 1) 3 9 lim 1 x x x x C x + + = - Xét hàm số 3 ( ) (2 1) 3 9f x x x x= + + ta có: 13 13 (1) 0; '(1) 3 3 f f C= = ⇒ = 2 3 4 2 ( 3 9) 1 2 3 lim 2 x x x x x D x → + − − − − = − - XÐt hµm sè 2 3 4 ( ) ( 3 9) 1 2 3f x x x x x= + − − + − ta cã: 41 41 (2) 0; '(2) 6 6 f f D= = ⇒ = 7 1 6 5 lim 1 x x x E x → − + = − - XÐt hµm sè 7 ( ) 6 5f x x x= − + , ta cã (1) 0; '(1) 1 1f f E= = ⇒ = 4 1 15 2 lim 1 x x x F x → + − = − - XÐt hµm sè 4 63 63 ( ) 15 2 ; (1) 0; '(1) 32 32 f x x x f f F= + − = = − ⇒ = − 2 3 3 1 (2 1) 3 2 9 lim 1 x x x x x G x → − + − + − = − - XÐt hµm sè 2 3 3 15 15 ( ) (2 1) 3 2 9; '(1) 4 4 f x x x x x f G= − + − + − = ⇒ = 3 0 2 1 8 lim x x x H x → + − − = - XÐt hµm sè 3 13 13 ( ) 2 1 8 ; '(0) 12 12 f x x x f H= + − − = ⇒ = 5 4 1 2 1 2 7 lim '(1) 1 10 x x x I I f x → − + − = ⇒ = = − 2. T×m c¸c giíi h¹n sau: 1 0 2 4 lim x x x A x + → − + = - XÐt hµm sè 1 1 2 ln 2 1 1 ( ) 2 4 '( ) '(0) ln 2 4 2 1 2 4 x x f x x f x f x x + + × = − + ⇒ = − ⇒ = − + + 2 0 2 1 lim x x e x B x − → − + = - XÐt hµm sè 2 2 1 ( ) 2 1 '( ) 2 '(0) 1 2 1 x x f x e x f x xe f x − − = − + ⇒ = − − ⇒ = − + sin 3 sin 2 0 lim x x x e e C x → − = - XÐt hµm sè sin 3 sin 2 sin 3 sin 2 ( ) '( ) 3cos3 2cos2 '( ) 1 x x x x f x e e f x xe xe f x= − ⇒ = − ⇒ = 3 5 2 3 2 lim 2 x x x e e D x − − → − = − - XÐt hµm sè 3 5 2 3 ( ) '(2) 2 x x e f x e e f − − = − ⇒ = 1 3 2 log (5 1) 2 lim 2 x x x E x − → − − = − - XÐt hµm sè 1 3 5 ( ) log (5 1) 2 '(2) ln 2 9ln 3 x f x x f − = − − ⇒ = − 1. 3 0 1 1 lim x x x x → + − − 2. 2 0 2 1 lim x x e x x − → − + 3. 4 2 2 ( 1) 7 2 2 lim 4 x x x x x → − + − + − 4. 3 0 1 cos lim 1 cos 2 x x x x x π → + − + − 5. 2 2 0 cos3 lim x x e x x → − 6. 34 7 9 1 lim 7 x x x x → + − + − 7. 1 0 2 4 lim x x x x + → − + 8. 3 1 (2 1) 3 9 lim 1 x x x x x → − + + − − 9. 2 3 4 2 ( 3 9) 1 2 3 lim 2 x x x x x x → + − − − − − 10. 3 3 0 1 1 lim 1 cos x x x x x → + + − + − 11. 7 1 6 5 lim 1 x x x x → − + − 12. 4 1 15 2 lim 1 x x x x → + − − 13. sin 3 sin 2 0 lim x x x e e x → − 14. 3 5 2 3 2 lim 2 x x x e e x − − → − − 15. 1 3 2 log (5 1) 2 lim 2 x x x x − → − − − 16. 2 2 0 1 3 1 lim 1 cos 2 x x x x → + − + − 17. 3 2 2 0 3 1 2 1 lim 1 cos x x x x → − + + − 18. 2 3 2 0 1 cos3 lim 3 1 cos3 x x x x x → + − − + 19. 2 2 3 2 2 5 3 lim 2 2 4 x x x x x − → + − − − + 20. 2 2 2 2 0 ln( 1) 2 1 cos 2 lim 1 x x x x x e x → + + + − − + 21. 3 4 2 0 3 1 1 lim 1 cos3 x x x x → + − + − 22. 2 0 2 1 lim 1 cos x x x e x → + − − 23. 2 2 0 cos 4 3 1 lim cos 2 x x x x x e − → − + − 24. 2 2 3 2 2 0 2 ( 1) 3 1 3 lim cos3 log ( 2) x x x x x x → + − + − + 25. 2 2 0 cos lim x x e x x → − 26. 2 1 2 4 1 2 log (3 1) lim 1 x x x x − → − − − 27. 2 2 4 2 0 9 ( 3) cos 3 lim 3 x x x x x x → + − + + 28. 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + 29. 2 0 1 1 cos3 lim 1 cos3 x x x x → − + × − 30. 2 0 2 cos3 lim x x x x → − 31. 2 2 4 2 0 cos lim 4 x x e x x x π − → − + 32. 2 2 0 ( 1)cos 2 lim 1 cos5 x x e x x x → − + − 33. 2 1 2 sin 0 lim(1 ) x x x → + 34. 1 (5 4) 1 3sin 3 cos 2 2 lim 1 x x x x x x π π → − + − + × − 35. 1 1 1 lim( 3 1 1) x x x − → + − 36. 0 lim cot 2 cot( ) 2 x x x π → × − 37. 1 lim ( 3 1 2) cot x x x π → + − 38. 1 0 lim(cos 2sin 3 ) x x x x → + II. D¹ng II: MÉu sè cha cã s½n 0 x x− - Chia c¶ tö vµ mÉu cña ph©n sè cho 0 x x− . Khi kh«ng chia ®îc, t×m c¸ch t¸ch ra c¸c giíi h¹n ®· biÕt. 1. T×m c¸c giíi h¹n sau: 4 2 2 ( 1) 7 2 2 lim 4 x x x x A x → − + − + = − 4 1 2 2 ( 1) 7 2 2 1 1 lim lim 2 2 4 x x x x x A x x → → − + − + = × = − + XÐt hµm sè 4 ( ) ( 1) 7 2 2f x x x x= − + − + , ta cã: 63 (2) 0; '( ) 32 f f x= = Suy ra A = 63/128. 3 3 0 1 1 lim 1 cos x x x B x x → + + − = + − 3 1 3 0 2 1 1 5 / 6 5 0 lim 1/ 3 2 1 cos 0 x x x L x L x x x → + + − − = = = = + − − 3 0 1 cos lim 1 cos 2 x x x C x x π → + − = + − 3 0 1 cos 1 / 2 3 lim 1/ 3 2 1 cos 2 x x x x x x x π → + − = = = + − 3 5 2 3 2 (2 3) 2 lim 15 2 x x x x D x x → + − − + = − − 3 5 2 3 2 (2 3) 2 4 2 lim 15 2 65 2 x x x x x x x x → + − − + − = = − − − − 2 2 2 2 2 1 0 0 2 2 1 3 1 1 3 1 lim lim 1 cos2 1 cos2 x x x x x x L x E x x L x → → + − + + − + = = = − − §Æt 2 t x= ; ta cã: 1 0 0 1 3 1 2 lim lim 1 1 3 1 t t t t L t t t → → + − + − = = = − + + + MÆt kh¸c: 2 2 2 0 2sin lim 2 x x L x → = = . Tõ ®ã suy ra E = -1/2 2 23 2 2 3 2 1 0 0 2 2 3 1 2 1 3 1 2 1 lim lim 1 cos 1 cos x x x x x x L x F x x L x → → − + + − + + = = = − − §Æt 2 t x= ; ta cã: 3 1 0 3 1 2 1 lim 2 t t t L t → − + + = = (XÐt hµm sè 3 ( ) 3 1 2 1f t t t= − + + ) MÆt kh¸c ta cã: 2 2 2 0 2sin 1 2 lim 2 4 2 x x L x → = = ÷ . Suy ra F = 4. 2 2 2 1 2 23 3 0 0 2 2 1 cos3 1 cos3 lim lim 3 1 cos3 3 1 cos3 x x x x x x L x G L x x x x x → → + − + − = = = − + − + Ta cã: 2 2 1 2 2 2 2 0 0 3 2sin 1 1 cos3 1 1 1 9 2 lim lim 5 2 2 3 4 1 1 2 9 x x x x x L x x x x → → ÷ + − − ÷ = − = − = + = ÷ ÷ ÷ + + × ÷ ÷ 2 2 2 2 0 1 1 cos3 1 9 7 lim 1 2 2 x x x L x x → + − − = − = − = − ÷ ÷ Suy ra G = -10/7 Bµi tËp 1: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: 1. 4 3 1 1 lim 1 x x x → − − 2. 3 3 1 2 1 1 2 lim 2 1 x x x x x → − + − − + 3. sin 2 sin 3 3 0 lim 1 1 x x x e e x x → − + + − 4. 2 2 2 3 0 1 lim ln( 1) x x e x x − → − + + 5. 3 1 2 (2 1) 3 2 lim log (3 1) 2 1 x x x x x x → − − − − − − 6. 2 2 2 2 0 ln( 1) 2 1 cos 2 lim 1 x x x x x e x → + + + − − + 7. 2 2 3 0 3 1 1 lim 1 cos3 x x x x → + − + − 8. 2 2 4 2 0 9 ( 3)cos lim 3 x x x x x x → + − + + Bµi tËp 2: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: 1. 3 0 1 1 lim x x x x → + − − 2. 2 0 2 1 lim x x e x x − → − + 3. 4 2 2 ( 1) 7 2 2 lim 4 x x x x x → − + − + − 4. 3 0 1 cos lim 1 cos 2 x x x x x π → + − + − 5. 2 2 0 cos3 lim x x e x x → − 6. 34 7 9 1 lim 7 x x x x → + − + − 7. 1 0 2 4 lim x x x x + → − + 8. 3 1 (2 1) 3 9 lim 1 x x x x x → − + + − − 9. 2 3 4 2 ( 3 9) 1 2 3 lim 2 x x x x x x → + − − − − − 10. 3 3 0 1 1 lim 1 cos x x x x x → + + − + − 11. 7 1 6 5 lim 1 x x x x → − + − 12. 4 1 15 2 lim 1 x x x x → + − − 13. sin 3 sin 2 0 lim x x x e e x → − 14. 3 5 2 3 2 lim 2 x x x e e x − − → − − 15. 1 3 2 log (5 1) 2 lim 2 x x x x − → − − − 16. 2 2 0 1 3 1 lim 1 cos 2 x x x x → + − + − 17. 3 2 2 0 3 1 2 1 lim 1 cos x x x x → − + + − 18. 2 3 2 0 1 cos3 lim 3 1 cos3 x x x x x → + − − + 19. 2 2 3 2 2 5 3 lim 2 2 4 x x x x x − → + − − − + 20. 2 2 2 2 0 ln( 1) 2 1 cos 2 lim 1 x x x x x e x → + + + − − + 21. 3 4 2 0 3 1 1 lim 1 cos3 x x x x → + − + − 22. 2 0 2 1 lim 1 cos x x x e x → + − − 23. 2 2 0 cos 4 3 1 lim cos 2 x x x x x e − → − + − 24. 2 2 3 2 2 0 2 ( 1) 3 1 3 lim cos3 log ( 2) x x x x x x → + − + − + 25. 2 2 0 cos lim x x e x x → − 26. 2 1 2 4 1 2 log (3 1) lim 1 x x x x − → − − − 27. 2 2 4 2 0 9 ( 3) cos 3 lim 3 x x x x x x → + − + + 28. 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + 29. 2 0 1 1 cos3 lim 1 cos3 x x x x → − + × − 30. 2 0 2 cos3 lim x x x x → − 31. 2 2 4 2 0 cos lim 4 x x e x x x π − → − + 32. 2 2 0 ( 1)cos 2 lim 1 cos5 x x e x x x → − + − 33. 2 1 2 sin 0 lim(1 ) x x x → + 34. 1 (5 4) 1 3sin 3 cos 2 2 lim 1 x x x x x x π π → − + − + × − 35. 1 1 1 lim( 3 1 1) x x x − → + − 36. 0 lim cot 2 cot( ) 2 x x x π → × − 37. 1 lim ( 3 1 2) cot x x x π → + − 38. 1 0 lim(cos 2sin 3 ) x x x x → +