2 PT, BPT mũ

Mũ - Lơgarit Nâng Cao PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A – LÝ THUYẾT CHUNG I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Với a > 0, a ≠ 1: Phương trình mũ bản: b > ax = b ⇔   x = log a b Một số phương pháp giải phương trình mũ Với a > 0, a ≠ 1: a) Đưa số: Chú ý: Trong trường hợp số có chứa ẩn số thì: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) a M = a N ⇔ (a − 1)( M − N ) = a f (x) = bg(x) ⇔ f (x) = ( log a b ) g(x) b) Logarit hố: c) Đặt ẩn phụ: • Dạng 1: t = a f ( x ) , t > , P(t) đa thức theo t P(a f ( x ) ) = ⇔   P(t ) = • Dạng 2: α a f ( x ) + β (ab) f ( x ) + γ b f ( x ) = a Chia vế cho b f ( x ) , đặt ẩn phụ t =   b f ( x) • Dạng 3: a f ( x ) + b f ( x ) = m , với ab = Đặt t = a f ( x ) ⇒ b f ( x ) = t d) Sử dụng tính đơn điệu hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) • Đốn nhận x0 nghiệm (1) • Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến f(x) g(x) để kết luận x0 nghiệm nhất:  f ( x) đồng biến g ( x) nghịch biến (hoặc đồng biến nghiêm ngặt)  f ( x) đơn điệu g ( x) = c số  • Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) f (u ) = f (v) ⇔ u = v e) Đưa phương trình phương trình đặc biệt A = • Phương trình tích A B = ⇔  B = A = • Phương trình A + B2 = ⇔  B = f) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)  f ( x) ≥ M Nếu ta chứng minh được:   g ( x) ≤ M 27  f ( x) = M (1) ⇔   g ( x) = M Mũ - Lôgarit Nâng Cao II BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ • Khi giải bất phương trình mũ ta cần ý tính đơn điệu hàm số mũ a f ( x) > a g ( x)  a >   f ( x) > g ( x) ⇔  0 < a <    f ( x) < g ( x) • Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình mũ: – Đưa số – Đặt ẩn phụ – … Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: a M > a N ⇔ (a − 1)( M − N ) > 28 Mũ - Lôgarit Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 1: Số nghiệm thực phân biệt phương trình A Câu 2: Câu 3: C D có hai nghiệm x1 , x2 x1 < x2 , chọn phát biểu đúng? C x1 + x2 = log 54 D x1 + x2 = log 54 Phương trình 33+3 x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103 có tổng nghiệm là? B C D Phương trình 32 x + x ( 3x + 1) − 4.3x − = có tất nghiệm không âm? B C x x x D x x Tìm số nghiệm phương trình + + + + 2016 + 2017 = 2016 − x B 2016 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x hai nghiệm bằng? A Câu 7: −5 x + = B x1 − x2 = log A Câu 6: x + x + 24 A x1 − x2 = log A Câu 5: 4x B Phương trình x −3 = 3x A Câu 4: x+ C 2017 +4 B =2 ( D ) + 2( x + ) − x x +1 C −2 +3 + Khi đó, tổng D Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm phương trình x −1 + x.sin ( x −1 + y − 1) + = x + 2.sin ( x −1 + y − 1) Mệnh đề sau đúng? A < x0 < Câu 8: C −2 < x0 < D −5 < x0 < −2 Với giá trị tham số m phương trình ( m + 1)16 x − ( 2m − 3) x + 6m + = có hai nghiệm trái dấu? A −4 < m < −1 Câu 9: B x0 > B Không tồn m C −1 < m < D −1 < m < − Với giá trị tham số m phương trình x − m.2 x +1 + 2m = có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = ? A m = B m = C m = D m = Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 3x = mx + có hai nghiệm phân biệt? A m > 29 m > B  m ≠ ln C m ≥ D Không tồn m Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 11: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình thực ( ) B 5 5; +∞ A 0;5  x+2 − x C ( 0; +∞ ) − 5m = có nghiệm D 0;5  x Câu 12: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình m + e = e x + có nghiệm thực: A < m ≤ e B ≤ m < e C < m < D −1 < m < Câu 13: Tìm m để bất phương trình m.9 x − (2m + 1).6 x + m.4 x ≤ nghiệm với x ∈ ( 0;1) A ≤ m ≤ B m ≤ C m ≥ Câu 14: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − D m ≤ = m có hai nghiệm phân log3 ( x + 1) biệt A −1 < m ≠ B m > −1 Câu 15: Có giá trị thực tham số m để phương trình m.3x nghiệm thực phân biệt A D −1 < m < C Không tồn m B 2 −3 x + 2 + 34− x = 36−3 x + m có C D Câu 16: Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để phương trình x + ( − m ) x − m = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) A [3; ] B [ 2; 4] C ( 2; ) Câu 17: Tìm tập hợp tất tham số m cho phương trình x bốn nghiệm phân biệt − x +1 B ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) C [ 2; +∞ ) A ( −∞;1) Câu 18: Tìm giá trị m để phương trình: A D ( 3; ) 3+ ( Câu 20: Phương trình + A m > 30 x x + mx + − 52 x + mx + B m < D m > = m (1) có nghiệm khi: B m ∈ ( −∞;5] A m ∈ ( −∞;5 ) Câu 21: Cho phương trình 5x ) + (2 − ) C m < C m ∈ ( 2; +∞ ) D m ∈ [ 2; +∞ ) − x − 2mx = Tìm m để phương trình vơ nghiệm? C Khơng có m m > D  m < Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 22: Cho phương trình: m x phân biệt −5 x + + 21− x = 2.26 −5 x + m (1) Tìm m để phương trình có nghiệm 1  A m ∈ ( 0; ) \  ;   256  1  B m ∈ ( 0; ) \  ;   256  1  C m ∈ ( 0; ) \  ;   256  1  D m ∈ ( 0; ) \  ;   256  ( Câu 23: Tìm tất giá trị m để phương trình − ) x2 ( +m 7+3 ) x2 = 2x −1 có hai nghiệm phân biệt A m < 16 B ≤ m < Câu 24: Cho phương trình 91+ trình có nghiệm A ≤ m ≤ 64 1− x 16 − (m + 2).31+ 1− x C − 1 1, b > Biết phương trình a xb x −1 { 10} D (1;3) ∪ { 10} = có hai nghiệm phân biện x1 , x2 Tìm  xx  giá trị nhỏ biểu thức S =   − ( x1 + x2 )  x1 + x2  A B 3 C 3 D Câu 27: Cho số nguyên dương a,b lớn Biết phương trình a x +1 = b x có hai nghiệm phân x biệt x1 , x2 phương trình b x −1 = ( 9a ) có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn ( x1 + x2 )( x3 + x4 ) < Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 12 B 46 S = 3a + 2b C 44 D 22 Câu 28: Xét số nguyên dương a,b cho phương trình a x − b.2 x + 50 = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình x − b.3x + 50a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x3 + x4 > x1 + x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + 3b A 49 B 51 C 78 Câu 29: Cho phương trình: x 2017 + x 2016 + + x − = (1) 31 D 81 Mũ - Lôgarit Nâng Cao x 2018 + x 2017 + + x − = ( ) Biết phương trình (1),(2) có nghiệm a b Mệnh đề sau A a.eb = b.ea B a.eb > b.ea C a.eb < b.e a D a.ea < b.eb II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 30: Bất phương trình 2.5 x + + 5.2 x + ≤ 133 10 x có tập nghiệm S = [ a; b ] b − 2a A B 10 Câu 31: Tập nghiệm bất phương trình: 3x A ≤ x D 16 C 12 + x −1 −1 + ≤ 3x + B ≤ x ≤ x −1 C ≤ x ≤ Câu 32: Tập nghiệm bất phương trình: 81.9 x − + 3x + x − 32 x +1 D ≤ x ≤ ≥ là: A S = [1; +∞ ) ∪ {0} B S = [1; +∞ ) C S = [ 0; +∞ ) D S = [ 2; +∞ ) ∪ {0} Câu 33: Tất giá trị m để bất phương trình (3m + 1)12 x + (2 − m)6 x + 3x < có nghiệm ∀x > là: A ( −2; +∞ ) 1  C  −∞; −  3  B (−∞; −2] 2 Câu 34: Số giá trị nguyên dương để bất phương trình 3cos x + 2sin x ≥ m.3sin A C B 1  D  −2; −  3  x có nghiệm D Câu 35: Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình sau có tập nghiệm ( −∞;0] : A m ≤ − 32 ( ) + (3 + ) B m ≤ m2 x +1 + ( 2m + 1) − x x ⇒ x + 1 x ≥ , dấu xẩy x = + ≥ , 4x x dấu xẩy x = suy - Nếu x < ⇒ − x − x+ 4x x + x + 24 > 4, ∀x > x+ 1 1 ≥1⇒ x + ≤ −1 ⇒ x ≤ , dấu xẩy x = − 4x 4x 2 x + x x 1 x − − ≥ ⇒ + ≤ −1 ⇒ ≤ , dấu xẩy x = x x Suy x+ 4x x + x + 24 < 1, ∀x < Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bình luận: Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương a + b ≥ ab , dấu “=” xảy a = b Câu 2: Phương trình x −3 = 3x −5 x + có hai nghiệm x1 , x2 x1 < x2 , chọn phát biểu đúng? A x1 − x2 = log B x1 − x2 = log C x1 + x2 = log 54 D x1 + x2 = log 54 Hướng dẫn giải: Logarit hóa hai vế phương trình (theo số 2) ta được: ( 3) ⇔ log 2 x −3 = log 3x −5 x + ⇔ ( x − 3) log 2 = ( x − x + ) log ⇔ ( x − 3) − ( x − )( x − 3) log = x = x − = x =  ⇔ ( x − 3) 1 − ( x − ) log 3 = ⇔  ⇔ ⇔  1 − ( x − ) log ( x − ) log =  x − = log  x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔  x = log +  x = log + log  x = log 18 Câu 3: Phương trình 33+3 x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103 có tổng nghiệm là? A B Hướng dẫn giải: 33+3 x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103 ( ) 33 C D Mũ - Lôgarit Nâng Cao ( ) ⇔ 27.33 x + Đặt t = 3x + 27 81  + 81.3x + x = 103 ⇔ 27  33 x + x 3x 3    x 1  + 81  + x  = 10    ( 7′ ) Côsi ≥ 3x x = x 3 1 1 1  ⇒ t =  3x + x  = 33 x + 3.32 x x + 3.3x x + x ⇔ 33 x + x = t − 3t  3 3  Khi đó: ( ' ) ⇔ 27 ( t − 3t ) + 81t = 103 ⇔ t = Với t = 10 10 ⇒ 3x + x = 3 103 10 ⇔t= >2 27 (N) ( 7′′ ) Đặt y = 3x > Khi đó: ( 7′′ ) ⇔ y + y = 10 = ⇔ y − 10 y + = ⇔  y = y  (N) (N) Với y = ⇒ 3x = ⇔ x = Với y = Câu 4: 1 ⇒ 3x = ⇔ x = −1 3 Phương trình 32 x + x ( 3x + 1) − 4.3x − = có tất nghiệm không âm? A B C D Hướng dẫn giải: 32 x + x ( 3x + 1) − 4.3x − = ⇔ ( 32 x − 1) + x ( 3x + 1) − ( 4.3x + ) = ⇔ ( 3x − 1)( 3x + 1) + ( x − ) ( 3x + 1) = ⇔ ( 3x + x − )( 3x + 1) = ⇔ 3x + x − = Xét hàm số f ( x ) = 3x + x − , ta có : f (1) = f ' ( x ) = 3x ln + > 0; ∀x ∈ ℝ Do hàm số f ( x ) đồng biến ℝ Vậy nghiệm phương trình x = BÌNH LUẬN x Có thể đặt t = > sau tính delta theo x Câu 5: Tìm số nghiệm phương trình x + 3x + x + + 2016 x + 2017 x = 2016 − x A B 2016 C 2017 D Hướng dẫn giải: Chọn A Xét phương trình x + 3x + x + + 2016 x + 2017 x = 2016 − x (*) có: Vế trái (*): x + 3x + x + + 2016 x + 2017 x = f ( x) hàm số đồng biến R Vế phải (*): 2016 − x = g ( x) hàm số nghịch biến R 34 Mũ - Lôgarit Nâng Cao Khi phương trình (*) có khơng q nghiệm Mà f (0) = 2016 = g (0) nên suy (*) có nghiệm x = Câu 6: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x hai nghiệm bằng? A +4 =2 ( ) x +1 + ( x2 + ) − 2x C −2 B 2 +3 + Khi đó, tổng D Hướng dẫn giải: 2x +4 =2 ( ) x +1 Đặt t = x +1 + ( x2 + ) − 2x +3 + ⇔ 8.2 x +1 =2 ( ) x +1 + 4.2 ( ) x +1 − 4.2 x +1 +1 ( t ≥ ) , phương trình tương đương với 8t = t + 4t − 4t + ⇔ t − 6t − = ⇔ t = + 10 (vì t ≥ ) Từ suy  + 10  x1 = log 2 2 x +1 = + 10 ⇔    x = − log + 10  2 Vậy tổng hai nghiệm Câu 7: Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm phương trình x −1 + x.sin ( x −1 + y − 1) + = x + 2.sin ( x −1 + y − 1) Mệnh đề sau đúng? A < x0 < B x0 > C −2 < x0 < Hướng dẫn gải: Phương trình ↔ 4x + x.sin ( x −1 + y − 1) + = x + 2.sin ( x −1 + y − 1) ↔ ( x − ) + ( x − ) sin ( x −1 + y − 1) + = ↔ ( x − ) + 2sin ( x −1 + y − 1)  + − 4sin ( x −1 + y − 1) = ↔ ( x − ) + 2sin ( x −1 + y − 1)  + cos ( x −1 + y − 1) = ( x − ) + 2sin ( x −1 + y − 1) =  ↔ x −1 cos ( + y − 1) = (1) ( 2) (1) sin ( x −1 + y − 1) =  → x = ( loại )  Phương trình ( ) ↔ (1) sin ( x −1 + y − 1) = −1  → x = ↔ x =  Chọn C 35 D −5 < x0 < −2 Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 8: Với giá trị tham số m phương trình ( m + 1)16 x − ( 2m − 3) x + 6m + = có hai nghiệm trái dấu? A −4 < m < −1 B Không tồn m C −1 < m < D −1 < m < − Hướng dẫn giải: Đặt x = t > Phương trình cho trở thành: ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = (*) f (t ) Yêu cầu toán ⇔ ( *) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn < t1 < < t2 m + ≠ m + ≠   ⇔ ( m + 1) f (1) < ⇔ ( m + 1)( 3m + 12 ) < ⇔ −4 < m < −1   ( m + 1)( 6m + ) > ( m + 1)( 6m + ) > Bình luận: t = x ⇔ x = log t Tìm mối quan hệ nghiệm biến cũ mới,  nên < t1 < < t2 0 < t < ⇒ log t < phương trình có hai nghiệm trái dấu Câu 9: Với giá trị tham số m phương trình x − m.2 x+1 + 2m = có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = ? A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải: Ta có: x − m.2 x +1 + 2m = ⇔ ( x ) − 2m.2 x + 2m = ( *) Phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn x có: ∆ ' = ( − m ) − 2m = m − 2m m ≥ Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m − 2m ≥ ⇔ m ( m − ) ≥ ⇔  m ≤ Áp dụng định lý Vi-ét ta có: x1.2 x2 = 2m ⇔ x1 + x2 = 2m Do x1 + x2 = ⇔ 23 = 2m ⇔ m = Thử lại ta m = thỏa mãn Chọn A Bình luận: Do phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn x > có nghiệm x < (vơ lí) nên giải tham số m = phải thử lại Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 3x = mx + có hai nghiệm phân biệt? 36 Mũ - Lôgarit Nâng Cao m > B  m ≠ ln A m > C m ≥ D Không tồn m Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: Số nghiệm phương trình 3x = mx + phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị hàm số y = 3x đường thẳng y = mx + y = x.ln + y = 3x Ta thấy y = mx + qua điểm cố định ( 0; 1) nên +Nếu m = : phương trình có nghiệm + Nếu m < : y = mx + hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y = 3x điểm + Nếu m > :Để thỏa mãn ycbt đường thẳng y = mx + phải khác tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 3x điểm ( 0; 1) , tức m ≠ ln m > Vậy  m ≠ ln Câu 11: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình thực ( A 0;5  ) B 5 5; +∞ C ( 0; +∞ ) x +2 − x − 5m = có nghiệm D 0;5  Hướng dẫn giải: Chọn A Điều kiện m > x+2 − x − 5m = ⇒ x + − x = + log m (1) ( x ≥ −2 ) Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = x + − x ( x ≥ −2 ) với đường thẳng y = + log5 m Xét hàm số y = x + − x ( x ≥ −2 ) Ta có y′ = − 1; y′ = ⇒ x = − x+2 37 || Mũ - Lơgarit Nâng Cao Bảng biến thiên Để phương trình ban đầu có nghiệm thực + log5 m ≤ ⇒ < m ≤ 5 x Câu 12: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình m + e = e x + có nghiệm thực: A < m ≤ e B ≤ m < e C < m < D −1 < m < Hướng dẫn giải: Chọn C (e ) t − ( t + 1) Biến đổi phương trình dạng m = x + − e x Đặt t = e x ;(t > 0) ta xét hàm số y = t + − t ( 0; +∞ ) y'= t ( t + 1) − t = t ( t + 1) 3 = (t ) − ( t + 1) t ( t + 1) 3 < (∀t > 0) Bảng biến thiên Vậy điều kiện cần tìm < m < Câu 13: Tìm m để bất phương trình m.9 x − (2m + 1).6 x + m.4 x ≤ nghiệm với x ∈ ( 0;1) A ≤ m ≤ Hướng dẫn giải: Chọn B 38 B m ≤ C m ≥ D m ≤ Mũ - Lôgarit Nâng Cao x x 9 3 Ta có m.9 − ( 2m + 1) + m.4 ≤ ⇔ m   − ( 2m + 1)   + m ≤ 4 2 x x x x 3 Đặt t =   Vì x ∈ ( 0;1) nên < t < 2 Khi bất phương trình trở thành m.t − ( 2m + 1) t + m ≤ ⇔ m ≤ Đặt f ( t ) = t ( t − 1) Ta có f ′ ( t ) = t ( t − 1) −t − ( t − 1) , f ′ ( t ) = ⇔ t = −1 Bảng biến thiên t f ′ (t ) −1 + − − +∞ f (t ) Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ lim f ( t ) = t→ Câu 14: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − = m có hai nghiệm phân log3 ( x + 1) biệt A −1 < m ≠ B m > −1 C Không tồn m D −1 < m < Hướng dẫn giải: Chọn B x +1 >  x > −1 Điều kiện:  ⇔ x +1 ≠ x ≠ Xét hàm số f ( x) = x − 2 ; f ′( x) = 1+ > 0, ∀x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( : +∞ ) log3 ( x + 1) ( x + 1) ln 3.log 32 ( x + 1) Bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên suy phương trình x − m > −1 39 + = m có hai nghiệm phân biệt log3 ( x + 1) Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 15: Có giá trị thực tham số m để phương trình m.3x nghiệm thực phân biệt A B 2 −3 x + 2 + 34− x = 36−3 x + m có C D Hướng dẫn giải: Chọn A 3x −3 x + = u ⇒ u.v = 36−3 x Khi phương trình trở thành Đặt  4− x =v 3 mu + v = uv + m ⇔ m ( u − 1) − v ( u − 1) = ⇔ ( u − 1)( m − v ) = 2 x = 3 x −3 x+2 =  x − 3x + = u =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 32− x = m ( m > ) − x = log m  v = m   x = − log m   Để phương trình có ba nghiệm x = − log m có nghiệm khác 1; Tức − log m = ⇔ m = 81 Chọn A Câu 16: Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để phương trình x + ( − m ) x − m = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) A [3; ] B [ 2; ] C ( 2; ) D ( 3; ) Chọn C Ta có: x + ( − m ) x − m = (1) ⇔ x + 3.2 x =m 2x + x + 3.2 x xác định ℝ , có 2x +1 12 x.ln + x.ln + 3.2 x.ln f ′( x) = > 0, ∀x ∈ ℝ nên hàm số f ( x ) đồng biến ℝ ( x + 1) Xét hàm số f ( x ) = Suy < x < ⇔ f ( ) < f ( x ) < f (1) ⇔ < f ( x ) < f ( ) = 2, f (1) = Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) m ∈ ( 2; ) Câu 17: Tìm tập hợp tất tham số m cho phương trình x bốn nghiệm phân biệt B ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) C [ 2; +∞ ) A ( −∞;1) Hướng dẫn giải: Đặt t = 2( x −1) ( t ≥ 1) Phương trình có dạng: t − 2mt + 3m − = (*) Phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn 40 − x +1 − m.2 x −2 x +2 + 3m − = có D ( 2; +∞ ) Mũ - Lôgarit Nâng Cao  m − 3m + >  m − 3m + >  m − 3m + >  ⇔ ⇔ ⇔ m − ≥ ⇔m>2 2  x1,2 = m ± m − 3m + >  m − 3m + < m −  m − 3m + < m − 2m +  Chọn D Bình luận: Trong đề u cầu phương trình có nghiệm phân biệt nên ta cần ý t ≥ ta nhận giá trị x Từ phương trình (*) lập m ứng dụng hàm số để biện luận số nghiệm phương trình thỏa đề Câu 18: Tìm giá trị m để phương trình: A 3x + + − 3x = m có nghiệm phân biệt: 3+ ) 3 1 Chọn A Câu 26: Cho số thực a > 1, b > Biết phương trình a xb x −1 = có hai nghiệm phân biện x1 , x2 Tìm  xx  giá trị nhỏ biểu thức S =   − ( x1 + x2 )  x1 + x2  B 3 A C 3 D Hướng dẫn giải: Chọn C  x1 + x2 = − log b a Ta có x − + x logb a = ⇒  x1 x2 = −1  Khi Câu 27: Cho số nguyên dương a,b lớn Biết phương trình a x +1 = b x có hai nghiệm phân x biệt x1 , x2 phương trình b x −1 = ( 9a ) có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn ( x1 + x2 )( x3 + x4 ) < Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 12 B 46 C 44 Hướng dẫn giải: Chọn B Với a x +1 = b x , lấy logarit số a hai vế ta được: x + = x log a b ⇔ x − x log a b + = Phương trình có hai nghiệm phân biệt, ∆ = ( log a b ) − > ⇔ log a b > ⇔ b > a 45 S = 3a + 2b D 22 Mũ - Lôgarit Nâng Cao Tương tự b x −1 = ( 9a ) ⇔ x − = x logb ( 9a ) ⇒ ∆ = ( log b ( 9a ) ) + > x Khi theo Vi-ét ta có  x1 + x2 = log a b ⇒ log a b logb ( 9a ) < ⇔ log a ( 9a ) < ⇔ 9a < a3 ⇒ a ≥  x x a + = log ( ) b  Vì b > 16 ⇒ S > 3.4 + 2.17 = 46 Câu 28: Xét số nguyên dương a,b cho phương trình a x − b.2 x + 50 = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình x − b.3x + 50a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x3 + x4 > x1 + x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + 3b A 49 B 51 C 78 D 81 Hướng dẫn giải: Chọn D  ∆1 > 0; S1 > 0; P1 > ⇔ b − 200a > Ta có  ∆ > 0; S2 > 0; P2 > 50 50  x1 + x2 = x1.2 x2 = ⇔ x1 + x2 = log  Khi  a a 3x3 + x4 = x3 x4 = 50a ⇔ x3 + x4 = log ( 50a )  Vì  50  x3 + x4 > x1 + x2 ⇔ log ( 50a ) > log   ⇒ a ≥ ⇒ b > 200a > 600 ⇒ b ≥ 25 ⇒ S = 2a + 3b ≥ 81  a  Câu 29: Cho phương trình: x 2017 + x 2016 + + x − = (1) x 2018 + x 2017 + + x − = ( ) Biết phương trình (1),(2) có nghiệm a b Mệnh đề sau A a.eb = b.ea B a.eb > b.ea C a.eb < b.e a D a.ea < b.eb Hướng dẫn giải: Chọn C Xét hàm số f ( x ) = x 2017 + x 2016 + + x − nửa khoảng [ 0; +∞ ) ta có: f ( x ) = 2017 x 2016 + 2016 x 2015 + + > 0, ∀x ≥ nên hàm số đồng biến nửa khoảng [0; +∞ ) Mặt khác f ( ) f (1) = −2016 < ⇒ f ( x ) = có nghiệm a ∈ ( 0;1) 46 Mũ - Lôgarit Nâng Cao Chứng minh tương tự với hàm số g ( x ) = x 2018 + x 2017 + + x − g ( x ) = có nghiệm dương b ∈ ( 0;1) Ta có g ( a ) = a 2018 + f ( a ) = a 2018 > = g ( b ) ⇒ a > b ⇒ a.ea > b.eb  eb e a Để so sánh a.eb b.e a ta xét hiệu a.eb − b.ea = ab  − b a Trong h ( x ) = Vậy a.eb > b.ea 47   = ab ( h ( b ) − h ( a ) ) >  ex e x x − e x , < x < , ta có h ' ( x ) = < ⇒ h ( a ) < h (b) x x2 Mũ - Lôgarit Nâng Cao II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 30: Bất phương trình 2.5 x + + 5.2 x + ≤ 133 10 x có tập nghiệm S = [ a; b ] b − 2a A B 10 D 16 C 12 Hướng dẫn giải: Ta có: 2.5 x + + 5.2 x + ≤ 133 10 x ⇔ 50.5 x + 20.2 x ≤ 133 10 x chia hai vế bất phương trình x x  2 20.2 x 133 10 x 2 50 20 cho ta được: 50 + x ≤ ⇔ +  (1)   ≤ 133  x 5 5  5 x x  2 25 Đặt t =   , (t ≥ 0) phương trình (1) trở thành: 20t − 133t + 50 ≤ ⇔ ≤ t ≤  5 x x −4  2 25 2 2 2 Khi ta có: ≤  ⇔   ≤   ≤   ⇔ −4 ≤ x ≤ nên a = −4, b =  ≤   5 5 5 Vậy b − 2a = 10 Bình luận α 2α 2α Phương pháp giải bất phương trình dạng ma + n ( ab ) + pb > : chia vế bất 2α 2α phương trình cho a b Câu 31: Tập nghiệm bất phương trình: 3x A ≤ x + x −1 −1 + ≤ 3x + B ≤ x ≤ x −1 C ≤ x ≤ Hướng dẫn giải: ĐK: x ≥ Ta có: 3x ( 2 + x −1 −1 )( ⇔ 3x − 3 + ≤ 3x + x −1 x −1 ⇔ 3x + x −1 + − 3.3x − 3.3 x − ≤ ) −3 ≤ +với x = , thỏa mãn; +Với x > 1:⇔ x −1 ≤ ⇔ x −1 ≤ ⇔ 1≤ x ≤ Chọn B Câu 32: Tập nghiệm bất phương trình: 81.9 x− + 3x + − 32 x +1 ≥ là: A S = [1; +∞ ) ∪ {0} B S = [1; +∞ ) C S = [ 0; +∞ ) D S = [ 2; +∞ ) ∪ {0} Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x ≥ BPT ⇔ 81 48 x 9x + 3x.3 x − 3.32 81 x ≥0 D ≤ x ≤ Mũ - Lôgarit Nâng Cao ⇔ 32 x + 3x.3 x − 2.32 ⇔ 3x − x ⇒ 3x ≥ x ( x ( ≥ ⇔ 3x − ≥ 3x + 2.3 x x )(3 x > 0, ∀x ≥ + 2.3 x )≥0 )  x ≥1 x ≥ ⇔ x≥ x ⇔ ⇔ x =  x ≤ Vậy tập nghiệm cảu BPT S = [1; +∞ ) ∪ {0} Chọn A Câu 33: Tất giá trị m để bất phương trình (3m + 1)12 x + (2 − m)6 x + 3x < có nghiệm ∀x > là: A ( −2; +∞ ) 1  C  −∞; −  3  B (−∞; −2] 1  D  −2; −  3  Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt x = t Do x > ⇒ t > Khi ta có: (3m + 1) t + (2 − m) t + < 0, ∀ t > ⇔ (3 t − t) m < − t − 2t − ∀ t > ⇔ m < −t − 2t − ∀t >1 3t − t −t − 2t − 7t + 6t − tr n +∞ ê 1; f ⇒ '(t) = > ∀t ∈ (1; +∞) ( ) 3t − t (3 t − t)2 Xét hàm số f (t ) = BBT t f'(t) + +∞ − f(t) −2 Do m ≤ lim+ f (t) = −2 thỏa mãn yêu cầu tốn t →1 Bình luận Sử dụng + m ≥ f ( x ) ∀x ∈ D ⇔ m ≥ maxf ( x ) ∀x ∈ D + m ≤ f ( x ) ∀x ∈ D ⇔ m ≤ minf ( x ) ∀x ∈ D 2 Câu 34: Số giá trị nguyên dương để bất phương trình 3cos x + 2sin x ≥ m.3sin A Hướng dẫn giải: Chọn A 49 B C x có nghiệm D Mũ - Lôgarit Nâng Cao Đặt sin x = t ( ≤ t ≤ 1) cos2 x sin x +2 sin x ≥ m.3 (1−t ) ⇔3 t 3  2 + ≥ ⇔ t + 2t ≥ m.3t ⇔ +  ≥ m ( 3t )   t t t 2 Đặt: y = t +   ( ≤ t ≤ 1) 3 t t  2 1 y′ =   ln +   ln < ⇒ Hàm số nghịch biến  3 9 t _ f'(t) f(t) Dựa vào bảng biến thiên suy m ≤ phương trình có nghiệm Suy giá trị ngun dương cần tìm m = Câu 35: Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình sau có tập nghiệm ( −∞; 0] : ( ) + (3 + ) B m ≤ m2 x +1 + ( 2m + 1) − A m ≤ − x x , ta được:       2m + ( 2m + 1) + t < ⇔ f ( t ) = t + 2mt + 2m + < ( ) t BPT (1) nghiệm ∀x ≤ nên BPT (2) có nghiệm < t ≤ , suy Phương trình f ( t ) = có nghiệm t1 , t2 thỏa t1 ≤ < < t2  2m + ≤ m ≤ −0,5 −1  f ( ) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ vaayj m < thỏa Ycbt  4m + < m < −0,5  f (1) < Chọn D 50 ... bằng? A +4 =2 ( ) x +1 + ( x2 + ) − 2x C ? ?2 B 2 +3 + Khi đó, tổng D Hướng dẫn giải: 2x +4 =2 ( ) x +1 Đặt t = x +1 + ( x2 + ) − 2x +3 + ⇔ 8 .2 x +1 =2 ( ) x +1 + 4 .2 ( ) x +1 − 4 .2 x +1 +1 (... trình lại dạng: m2x −5 x + ⇔ m2 x ⇔ m2 42 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm 2 + 21 − x = 2. 26 −5 x + m −5 x + x −5 x + + 21 − x = x 1− x +2 =2 − x + +1− x x −5 x + +m 1− x 2 +m Mũ - Lôgarit Nâng... x + + 20 16 x + 20 17 x = 20 16 − x A B 20 16 C 20 17 D Hướng dẫn giải: Chọn A Xét phương trình x + 3x + x + + 20 16 x + 20 17 x = 20 16 − x (*) có: Vế trái (*): x + 3x + x + + 20 16 x + 20 17 x