Dạng 4 sử dụng tính liên tục chứng minh có nghiệm

CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Phương pháp: Cho phương trình f  x   , để chứng minh phương trình có k nghiệm  a, b  , ta thực theo bước sau: B-íc 1: Chọn số a  T1 T2  Tk 1  b chia đoạn  a, b  thành k khoảng thoả mãn :  f (a) f (T1 )     f (T ) f (b)   k 1 B-íc 2: Kết luận số nghiệm phương trình đoạn  a, b  BÀI TẬP MẪU Dạng 1: Phương trình khơng chứa tham số Bài Chứng minh phương trình x5  x   có nghiệm khoảng  1;1  Hướng dẫn Xét hàm số f  x   x5  x  liên tục Ta có: f  1  f    3.1  3  Vậy phương trình có nghiệm khoảng  1;1  Bài Chứng minh phương trình x cos x  x.sin x   có nghiệm thuộc khoảng (0;  ) Hướng dẫn Xét hàm số f  x   x2 cos x  x.sin x  liên tục (0;  )  f 0 1  f   f ( )     Ta có:   f ( )    Vậy phương trình có nghiệm khoảng (0;  ) Bài Chứng minh phương trình x3  x   có nghiệm âm lớn 1 Hướng dẫn Xét hàm số f  x   x3  x  liên tục Ta có: f  1  f    1.1  1  Vậy, phương trình có nghiệm khoảng  1;0  , có nghiệm âm lớn 1 Bài Chứng minh phương trình x   x  có ba nghiệm phân biệt thuộc  7;9  Hướng dẫn Đặt t   x Khi đó, phương trình có dạng: 2t  6t   HDedu - Page Xét hàm số f  t   2t  6t  liên tục Ta có: f  2   3, f    1, f    3, f    , suy ra:  f  2  f    3  , phương trình có nghiệm t1   2;  , đó: t1   x  x1   t13  x1   1;9   f   f    3  , phương trình có nghiệm t2   0;1  , đó: t2   x  x2   t23  x2   0;   f   f    15  , phương trình có nghiệm t3   1;  , đó: t3   x  x3   t33  x3   7;0  Vậy, phương trình có ba nghiệm khoảng  7;9  Bài Chứng minh phương trình x3  10 x   có nghiệm âm Hướng dẫn Xét hàm số f  x   x3  10 x  , ta có f  1  ; f    7 ; f  3  17 nên f  1 f    7  f   f  3  119  Mặt khác: f  x   x3  10 x  hàm đa thức nên liên tục  1;0  0;3 Suy ra, phương trình x3  10 x   có nghiệm x0   1;0  x1   0;3 Vậy phương trình x3  10 x   có hai nghiệm Bài Chứng minh phương trình x3  x   có nghiệm khoảng  1;  Hướng dẫn Đặt f  x   x3  x  + Ta có f  1  11 , f    nên f  1 f    + Hàm số f  x   x3  x  liên tục nên liên tục  1;  Vậy phương trình x3  x   có nghiệm khoảng  1;  nên phương trình có nghiệm khoảng  1;  Bài Chứng minh phương trình x  x  x   có nghiệm khoảng  1;1 HDedu - Page Hướng dẫn Đặt f  x   x  x  x  + Hàm số f  x   x  x  x  liên tục nên liên tục  1;0 ,  0;1 + Ta có f  1  , f    3 , f 1  Vì f  1 f    nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng  1;0  Vì f   f 1  nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;1 Mà  1;0   0;1 hai khoảng phân biệt Vậy phương trình x  x  x   có hai nghiệm khoảng  1;1 Bài Chứng minh phương trình x5  5x3  x   có nghiệm Hướng dẫn Đặt f  x   x5  x3  x  + Hàm số f  x   x5  x3  x   x  x  1 x    liên tục + Ta có f  2   1 , 73   105 f    1   0, 32   32 13   45 f   1   0, 32   32 f  1  1  , f 1  1  , f  3  119  3   3 Vì f  2  f     nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng  2;   2  2   3 Vì f    f  1  nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng  2 1 Vì f  1 f    nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng 2     ; 1   1   1;  2  1  1 Vì f   f 1  nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng  ;1 2  2 Vì f 1 f  3  nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng 1;3    Do khoảng  2;   ;   ; 1 ; 2    1 1    1;  ;  ;1 ; 1;3  không giao nên phương trình có 2 2   nghiệm Mà phương trình cho phương trình bậc có khơng q nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Chứng minh phương trình x3  x   có nghiệm x0 thỏa mãn  x0  HDedu - Page Hướng dẫn Xét hàm số f  x   x3  x  , ta có f    1 f 1  nên f   f 1  Mặt khác: f  x   x3  x  hàm đa thức nên liên tục  0;1 3 2 f  x1   f  x2   x1  x1  1   x2  x2  1  x1  x2   x1  x1 x2  x2  1   x1  x2 x1  x2 x1  x2 x  3x   x  x1 x2  x    x1      với x1 , x2 thuộc 2  2 Suy f  x   x3  x  đồng biến nên phương trình x3  x   có nghiệm x0   0;1 Theo bất đẳng thức Côsi:  x03  x0  x04   x02  x02  Bài 10 1   x0  2 Chứng minh phương trình x  x   ln có nghiệm x0  12 Hướng dẫn Chỉ f   f     x0   0;  Mà x04  x0   3x0  x08  12 x0  x0  12 Dấu xảy x0   L  Vậy x0  12 Bài 11 a) Chứng minh phương trình x3  x   có nghiệm khoảng  2;  b) Chứng minh phương trình x5  x   có nghiệm x0  c) Chứng minh phương trình x  x   có nghiệm x0  1;  x0  12 Hướng dẫn a) Tính f  2  , f   , f 1 , f   b) Xét hàm f  x   x5  x  liên tục f 1  2, f    28  f 1 f    ta chứng minh hàm f  x  đồng biến 1;  nên phương trình x5  x   có nghiệm x0  1;  Ta có: x05  x0   2 x0  x010  8x0  x09   x0  c) Tương tự câu b) Bài 12 Chứng minh phương trình    b) cos x  2sin x  có nghiệm khoảng   ;    c) x3  x    có nghiệm dương  HDedu - Page d) x5  x  x   có nghiệm Hướng dẫn b) Xét hàm số y  f  x   cos x  sin x        Xét khoảng   ;  ;  ;   2     c) Xét f   f 1 Bài 13 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) 3x3  x  3x   có nghiệm b) Chứng minh phương trình x5  3x  x3  x  x   có nghiệm khoảng  0;  c) x3  12 x  x   có nghiệm khoảng  1;0  ,  0;1 ,  2;  Hướng dẫn: f  x   có nghiệm đoạn  a; b   f  a  f  b   a) khoảng  0;1 b)  0;  c)  1;0  ,  0;1 ,  2;  BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Chứng minh phương trình x  3x  5x   ln có nghiệm khoảng  1;  Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x5  3x   Bài b) x  x3  3x  x   Chứng minh rằng: a) x4  x  x   có hai nghiệm thuộc khoảng  1;1  b) x5  x  x   có nghiệm thuộc  0;5  c) x  3x   có hai nghiệm thuộc  3;1  d) x3  3x   có nghiệm thuộc  1;3  Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a x3  2x   ĐS: f  x  liên tục R f   f  3  b x  x3   ĐS: f   f 1  c x  x2  x   ĐS: f  1 f    d x  x  x  10  ĐS: f   f  5  HDedu - Page e x  x  x   ĐS: f  3 f    f cos x  x   ĐS: f   f  3  g x  3x   ĐS: f  2  f    h x  x   ĐS: f   f 1  i x  x3  3x  x   ĐS: f  2  f    Chứng minh phương trình: Bài a x3  3x2   có nghiệm khoảng  1;3 ĐS: f  1  0, f    0, f    0; f  3  b x3  6x   có nghiệm khoảng  2;  ĐS: f  2   0, f    0, f 1  0; f    c x3  3x   có nghiệm khoảng  3;1 ĐS: f  3  0, f  2   0, f    0; f 1  d x3  3x2   có ba nghiệm khoảng  1;3 ĐS: f  1  0, f  2   0, f 1  0; f  3  e x2  3x   có nghiệm khoảng  3;1 ĐS: f  3  0,, f    0; f 1  f x5  5x  4x   có nghiệm khoảng  0;5  ĐS: f    0, f 1 /   0, f 1  0; f    Chứng minh phương trình x3  3x2   có nghiệm x0  Bài  4;2  HD: Chỉ f 1 f    x03  3x02   x02  x02  x02   4 x06  x03   x03   16 x03  x03   x0  Dạng 2: Phương trình có tham số: Bài Chứng minh phương trình m  x  1  x    x   có nghiệm khoảng 1;2  Hướng dẫn Đặt f  x   m  x  1  x    x  + Ta có f 1  1 , f    nên f 1 f    HDedu - Page nên liên tục 1;2 + Hàm số f  x   m  x  1  x    x  liên tục Vậy phương trình m  x  1  x    x   có nghiệm khoảng 1;2  Bài Chứng minh phương trình m2 x  2mx3  3x   có nghiệm khoảng  0;1 Hướng dẫn Đặt f  x   m x  2mx3  3x   f    1 + Ta có:  nên f   f 1  2  f 1  m  2m    m  1   0, m hàm số nên liên tục  0;1 + Hàm số f  x   m x  2mx3  3x  liên tục Vậy phương trình m2 x  2mx3  3x   có nghiệm khoảng  0;1 suy phương trình có nghiệm khoảng  0;1 Bài Chứng minh phương trình 1  m  x5  x   ln có nghiệm Hướng dẫn Đặt f  x   1  m  x  3x  + Hàm số f  x   1  m  x  3x  liên tục nên hàm số liên tục  1;0 +Ta có: f    1 f  1  m   0, m nên f   f  1  Vậy phương trình 1  m  x5  x   có nghiệm khoảng  1;0  nên phương trình ln có nghiệm Bài   Chứng minh phương trình: m2  m  x  x   ln có nghiệm Hướng dẫn Đặt f  x    m  m  1 x  x  + Hàm số f  x    m  m  1 x  x  liên tục nên hàm số liên tục  0;1 + Ta có f    2 1  f 1  m  m    m     0, m 2  Nên f   f 1  HDedu - Page   Vậy phương trình m2  m  x  x   có nghiệm khoảng  0;1 nên phương trình ln có nghiệm Bài   Chứng minh phương trình m2  x  2m2 x  x  m   ln có nghiệm Hướng dẫn Đặt f  x    m  1 x3  2m x  x  m  + Hàm số f  x    m  1 x3  2m x  x  m  liên tục + Ta có: f  x   m  x  x  1  x3  x  f  3  44m2  14  0; m f    m   0, m f 1  2 f    m   0; m Vì f  3 f    nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng  3;0  Vì f   f 1  nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;1 Vì f 1 f    nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng 1;2    Vậy phương trình m2  x  2m2 x  x  m   có nghiệm khoảng  3;  , mà phương trình cho bậc nên phương trình có nghiệm Bài Chứng minh phương trình 1   a ln có nghiệm khoảng sin x cos x    ;   với 2  a Hướng dẫn Xét hàm số f   1     a liên tục khoảng  ;   sin x cos x 2     để f  x1   lim    a    nên tồn x1 gần   sin x cos x  x   lim    a    nên tồn x1 gần  để f  x2    sin x cos x  x     Suy f  x1  f  x2   nên phương trình f  x   ln có nghiệm khoảng  ;   2  HDedu - Page Bài Cho phương trình x  mx   m  1 x   a) Giải phương trình với m  b) Chứng minh với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn Đặt t  x , t  , ta t  mt   m  1 t   a) x  1 b) Xét hàm f  t   t  mt   m  1 t  liên tục Ta có: f    2  lim f  t     c  cho f  c   t  Suy ra: f   f  c   0,   có nghiệm t1   0, c   x  t1 Vậy, với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài Chứng minh với m phương trình:   x   mx  m  ln có nghiệm lớn Hướng dẫn Đặt t  x  , điều kiện t  Khi phương trình có dạng: f  t   t  mt  t  Xét hàm số y  f  t  liên tục  0;   Ta có: f    1  lim f  t    , tồn c  để f  c   t  Suy ra: f   f  c   Vậy phương trình f  t   ln có nghiệm t0   0; c  , đó: x   t0  t02   Vậy với m phương trình ln có nghiệm lớn Bài Cho a, b, c ba số dương phân biệt Chứng minh phương trình: a  x  b  x  c   b  x  a  x  c   c  x  b  x  a   ln có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c đặt: f  x   a  x  b  x  c   b  x  a  x  c   c  x  b  x  a  Ta có: f  b   hệ số x f  x  a  b  c  HDedu - Page 10 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  b  x2 Bài 10 Chứng minh với m phương trình x3  mx   ln có nghiệm dương Hướng dẫn Xét hàm số f  x   x3  mx  liên tục R Ta có : f  0   lim f  x    , tồn c  để f  c   , x  suy : f   f  c   Vậy phương trình f  x   ln có nghiệm thuộc  0, c   phương trình ln có nghiệm dương Tổng qt: Chứng minh phương trình: x3  ax  bx  c  ln có nghiệm Xét hàm số f  x   x3  ax2  bx  c liên tục Nhận xét rằng: lim f  x    , tồn x1 để f  x1   , x  lim f  x    , tồn x2 để f  x2   , x  suy f  x1  f  x2   Vậy phương trình f  x   ln có nghiệm BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Chứng minh rằng: 1) Phương trình  x    mx  m  ln có nghiệm lớn 2)   m2   x    x2  x   ln có nghiệm 3)  m2  m   x  x5   ln có nghiệm 4) m  x  4  x  3   x   x    ln có nghiệm Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) cos x  m.cos x   HD: f  4 b) m  cos x    2sin x  c) 1  m cos x sin x  f  3         HD: f   f 4         HD: f   f   2 HDedu - Page 11 d)  m  1 x3  x   ln ln có nghiệm HD: Xét f   f 1 Bài Chứng minh rằng: a) Nếu m  3  3m2  m   x3   3m   x   m   x   có nghiệm thuộc  1;1  b) ax3  bx2  cx  d  0,  a   ln có nghiệm (HD: xét a  a  dùng ý phần mẫu để giải) Dạng 3: Phương trình cho mối liên hệ tham số BÀI TẬP MẪU Bài Cho số a , b , c thỏa mãn 12a  15b  20c  Chứng minh phương trình ax2  bx  c  ln có nghiệm thuộc  0;   5 Hướng dẫn Xét hàm số f  x   ax  bx  c + Hàm số f  x   ax  bx  c liên tục   + Ta có f    a  b  c nên f    12a  15b  c 5   25 f    c nên Do 16 75 75 5 f  0  c 4 75   f    f    12a  15b  20c  5 Suy f   , f   trái dấu hai 5 4 Vậy phương trình ax  bx  c  ln có nghiệm thuộc 0;   5 Bài Chứng minh ax  bx3  cx  dx  e  ln có nghiệm với a.e  Hướng dẫn Xét a   e  Ta có f    e  lim f  x     tồn số x1 để f  x1   Suy f   f  x1    phương trình ln x  có nghiệm x0   0; x1  Tương tự trường hợp a  HDedu - Page 12 Bài Cho số a , b , c thỏa mãn 5a  4b  6c  Chứng minh phương trình ax  bx  c  ln có nghiệm Hướng dẫn Xét hàm số f  x   ax  bx  c + Hàm số f  x   ax  bx  c liên tục a b + Ta có f    c , f    4a  2b  c , f      c 2 Do f    f    f    5a  4b  6c    Suy tồn hai giá trị p , q cho f  p  f  q   Vậy phương trình ax  bx  c  ln có nghiệm Bài Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c Chứng minh phương trình  x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a   ln có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn Xét hàm số f  x    x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a  tam thức bậc hai có hệ số A  nên phương trình f  x   có nhiều hai nghiệm Ta có: f  a   0; f  b   0; f  c   Vậy f  a  f  b   f  b  f  c   Mặt khác f  x  hàm đa thức nên liên tục  a; b  b; c  Suy ra, phương trình f  x   có nghiệm x1   a; b  x2   b; c  Vậy phương trình ln có hai nghiệm Bài Cho phương trình ax  bx  c   a   thỏa mãn 2a  6b  19c  Chứng minh phương  1 trình có nghiệm  0;   3 Hướng dẫn Xét hàm số f  x   ax  bx  c  a   liên tục 1 Tính f    c; f     a  3b  9c  3 HDedu - Page 13 1 f    18 f    3 1 1 Suy f   , f   trái dấu f    f    3 3  1 Vậy phương trình ax  bx  c   a   có nghiệm  0;   3 Bài Cho phương trình ax  bx  c   a   thỏa mãn a b c    (Với m  ) m  m 1 m Chứng minh phương trình có nghiệm  0;1 Hướng dẫn Xét hàm số f  x   ax  bx  c liên tục + Khi c  , ta có ax  bx   Nếu a  từ giả thiết a b c    suy b  , phương trình có vô số nghiệm m  m 1 m nên phương trình có nghiệm khoảng  0;1  Nếu a  , ta có ax  bx  c   x  ax  b   x    x   b  m    0;1 a m2  c  m 1   Khi c  , ta có f    c f    m   m  m  2  m 1  Suy phương trình f  x   có nghiệm khoảng  0;    0;1  Bài m2 Cho phương trình a tan x  b tan x  c  thỏa mãn 2a  3b  6c  Chứng minh phương   trình có nghiệm khoảng  k ;    k  , k   Hướng dẫn a tan x  b tan x  c  (1) 2a  3b  6c   Đặt t  tan x với x   k ;     k   t   0;1 , ta có: at  bt  c  (2)   Trường hợp 1: Nếu c  at  bt  + a  b  … HDedu - Page 14 t  b 2 + a    , từ phương trình at  bt    t  a  … c 2  Trường hợp 2: Nếu c  , ta có f    c f     12c  9c        Phương trình (2) có nghiệm  0;    0;1 nên phương trình 1 có nghiệm khoảng       k ;  k  , k    BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Chứng minh rằng: ax  bx  c  ln có nghiệm với 2a  3b  6c  c2 HD: f   f     3 Bài Chứng minh phương trình: p  x  a  x  c   q  x  b  x  d   ln có nghiệm, biết a  b  c  d , p q hai số thực HDedu - Page 15 ... 1 Bài 13 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) 3x3  x  3x   có nghiệm b) Chứng minh phương trình x5  3x  x3  x  x   có nghiệm khoảng  0;  c) x3  12 x  x   có nghiệm khoảng...  x   x3  x  liên tục Ta có: f  1  f    1.1  1  Vậy, phương trình có nghiệm khoảng  1;0  , có nghiệm âm lớn 1 Bài Chứng minh phương trình x   x  có ba nghiệm phân biệt...  Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x5  3x   Bài b) x  x3  3x  x   Chứng minh rằng: a) x4  x  x   có hai nghiệm thuộc khoảng  1;1  b) x5  x  x   có nghiệm thuộc