Công thức toán ôn Cao học

Công thức toán ôn Cao học

GIỚI HẠN 1. Các giới hạn cơ bản cần nhớ 1 sin lim 0 = → x x x xarctgx xx xx ~ ~arcsin ~sin 0 sin lim = ∞→ x x x 0:.~1lim 0 →=>= → xkhixtgx x tgx x 1 )1ln( lim 0 = + → x x x xx ~)1ln( +⇒ 1 1 lim 0 = − → x e x x xe x ~1 −⇒ α α = −+ → x x x 1)1( lim 0 α α xx ~1)1( −+ xx e lnlog = [ ] )( ln )( lim )(lim )( 0 x U x V exU xV xx = → Bảng vô cùng bé tương đương Nếu Z(x)  0 ta có : 2 ~cos1 2 z z − z ~ sin z ~ tgz ~ arcsinz ~ arctgz zz a z z a ~)1ln(; ln ~)1(log ++ zeaza zz ~1;ln~1 −− n z z n ~1)1( 1 −+ n z Z n ~11 −+ Khử dạng vô định: Bằng cách lấy ln NN lnln α α = ∞∞ ∞ 1,;0;0 00 Quy tắc lopitan: khử dạng vô định ∞ ∞ ; 0 0 L xg xf xg xf axax === →→ )(' )(' )( )( limlim Chú ý: ( ) u u u 2 ' ' − = Sử dụng: ( ) eZ e u Z z u u =+ =       + → ∞→ 1 0 1 1 1 lim lim Tiệm cận ngang 0 )(lim yxf x = ∞→ y = y 0 là tiệm cận đứng Tiệm cận xiên y = ax+b ; )( lim x xf a x ∞→ = [ ] bxxf x =− ∞→ a)(lim Y’’<0 hàm lồi Y’’>0 hàm lõm 1.Bảng tích phân cơ bản ( ) 1 1 1 1 ax b ax b dx c , a α + α +   + = + α ≠ −  ÷ α +   ∫ 1dx ln ax b c ax b a = + + + ∫ 1 ax b ax b m dx m c a ln m + + = + ∫ 2 2 1dx x arctg c a a a x = + + ∫ 2 2 1 2 dx a x ln c a a x a x + = + − − ∫ c ax ax a ax dx + + − = − ∫ ln 2 1 22 caxx ax dx +±+= ± ∫ 22 22 ln 2 2 dx x arcsin c a a x = + − ∫ 2 2 2 2 2 2 2 x a x a x a x dx arcsin c a − − = + + ∫ c t t tt a xa +       − + + + − − ==+ ∫ sin1 sin1 ln sin1 1 sin1 1 4 2 22 ( ) 2 2 ax ax e a sin bx b cos bx e sin bx dx c a b − = + + ∫ ( ) 2 2 ax ax e a cos bx b sin bx e cos bx dx c a b + = + + ∫ 2 2 x x arcsin dx x arcsin a x c a a = + − + ∫ 2 2 x x arccos dx x arccos a x c a a = − − + ∫ ( ) 2 2 2 x x a arctg dx x arctg ln a x c a a = − + + ∫ ( ) 1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a + = + + ∫ Đổi biến số ∫ =⇒− taxdxxxaf sin);( 22       ≤≤− 22 ππ t ∫ =⇒− t a xdxxaxf sin );( 22       ≤≤− 22 ππ t ∫ =⇒+ atgtxdxxaxf );( 22       ≤≤− 22 ππ t ∫ =⇒ − + taxdx xa xa xf 2cos),( ∫ −+=⇒ −− tabax dxxbaxxf 2 sin)( ))((,( Phương pháp tích phân từng phần ∫∫ −= vduuvudv ∫ )(xR |log a x |arctgx dx (phân thức h tỷ) |arcsinx Đặt: (log a x ; arctgx; arcsinx ) = u dv = R(x).dx ∫ )(xP n |a x |cosbx dx (đa thức) Đặt P n = u (a x ; cosbx)dx = dv Tích phân biểu thức lượng giác ∫ dxxxR )cos,(sin Phương pháp chung: đặt t= tg(x/2)  x/2 = arctg t  x=2arctg t  dx= 2dt/1+t 2 sint = 2t/1+t 2 cost= 1-t 2 /1+t 2 Một số trường hợp đặc biệt a) R(-sinx, cosx) = -R(sinx,cosx) Đặt t= cosx b) R(sinx, -cosx) = -R(sinx,cosx) Đặt t = sinx c) R(-sinx, -cosx) = R(sinx,cosx) Đặt t=tgx(cotgx) d) ∫ xdxx nm cossin Nếu m lẻ  (a) Nếu n lẻ  (b) Nếu { m,n chẵn  (c) m.n<0 Nếu m,n chẵn dương thì hạ bậc sin2x = 2sinxcosx sin 2 x= (1-cos2x)/ 2 cos 2 x= (1+cos2x)/2 Tích phân của hàm ∫ − = a a dxxfI )( hàm lẻ I=0 Hàm chẵn ∫ = a dxxfI 0 )(2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 )(' )( xqyy p x =+ Có nghiệm TQ.       ∫ + ∫ − = ∫ + dx dx p x dx p x y e q e x ) )( ( )( )( ε Phương trình vi phân cấp 2 constqp yqpyy = =++ , 0)(''' Phương trình đặt trưng K 2 + pK + q = 0 (*) pP 4 2 −=∆ ; qp −=∆ 2 '' ; (p’ = p/2) 1.>0thì (*) có 2 nghiệm phân biệt k 1 k 2  NTQ: xk eC xk eCy 2 2 1 1 += 2.  =0 thì (*) có nghiệm kép k 1 =k 2 =-p/2 = -p’  NTQ: kx xeC kx eCy 2 1 += 3. <0 thì (*) có nghiệm là số phức βα iiP iP x ±=∆±−= ∆±− = |'|' 2 || 2,1 |'|,' ∆=−= βα P NTQ: )sincos( 21 xCxC x ey ββ α += Chuỗi số Định lý điều kiện cần (dùng cho Mọi chuỗi) Nếu chuỗi số ∑ ∞ = 0n n a hội tụ thì ta có 0 lim = ∞→ a n n nếu không tồn tại a n n lim ∞→ hoặc 0 lim ≠ ∞→ a n n thì chuỗi phân kỳ CHUỖI SỐ DƯƠNG ∑ ∞ = 1n n U Định lý so sánh 1 Nếu chuỗi số ∑ ∞ = 1n n U (1) ; ∑ ∞ = 0n n V (2) có a) Nếu 1 ;0 nnVU nn >∀≤< thì Nếu (2) hội tụ thì (1) ∑ ∞ = 0n n U hội tụ Nếu (1) phân kỳ thì (2) ∑ ∞ = 0n n V phân kỳ b) Nếu k V U n n n = ∞→ lim ; k≠0 , ≠ thì (1) và (2) cùng hội tụ, cùng phân kỳ Định lý so sánh 2 Nếu n→ VCB U n ~ kV n (n→) chuỗi số ∑ ∞ = 1 . n n qk hội tụ |q| <1 phân kỳ |q|  1 chuỗi số ∑ ∞ = 1 1 n n α hội tụ  >1 phân kỳ   1 tiêu chuẩn dalambe - cosi ∑ ∞ = 1n n U có U n >0  n0 n n U U n D 1 lim + ∞→ = Nếu D hoặc C <1 thì chuỗi hội tụ n n n U C lim = ∞→ Nếu D hoặc C > 1 thì chuỗi phân kỳ Nếu D hoặc C = 1 chưa KL tìm C 1 ,C 2 c, Điều kiện cần 0 lim ≠ ∞→ n chuỗi phân kỳ. CHUỖI ĐAN DẤU ∑ ∞ = − − 1 1 )1( n n n U a, Nếu ∑ ∞ = 1n = ∑ ∞ = 1n n U hội tụ  (1) Chuỗi hội tụ tuyệt đối Nếu phân kỳ theo D và C (1) phân kỳ. hoặc 0lim ≠ ∞→ n U n b, Nếu ∑ ∞ = 1n phân kỳ trong các trường hợp còn lại sử dung Leibnitz Xét U n > U n+1  nn 0  chuỗi hội tụ và limU n =0 Chuỗi luỹ thừa ∑ ∞ = 1n n n xa (1) B1.tìm bán kính hội tụ ρ 1 = R Với n n x n n x a a a 1 limlim + ∞→∞→ == ρ Nếu +∞= ρ thì r = 0  MHT : x = 0 Nếu 0 = ρ thì MHT là x ∀ . Nếu +∞<< ρ 0  KHT: -r < x< r Tại x = -r  (1) ∑ ∞ = − 1 )( n n n ra là chuỗi số (dương hoặc đan dấu) x =r  (1) ∑ ∞ = 1 )( n n n ra là chuỗi số dương (chủ yếu so sánh ∑ ∞ = 1 . n n qk và ∑ ∞ = 1 1 n n α ) 1 ≥ q chuỗi phân kỳ Hội tụ khi 1 > α phân kỳ khi 1 ≤ α đan dấu : - nếu chuỗi dương ht  chuỗi đan dấu ht - xét L và điều kiện cần Vi phân hàm 2 biến Hàm ( ) yxZ , ta có Vi phân cấp 1 dyyZdxxZdz )(')(' += vi phân cấp 2 222 ),('')(''2)(''),( dyyyZdxdyxyZdxxyZyxzd ++= . |log a x |arctgx dx (phân thức h tỷ) |arcsinx Đặt: (log a x ; arctgx; arcsinx ) = u dv = R(x).dx ∫ )(xP n |a x |cosbx dx (đa thức) Đặt P n = u (a x ; cosbx)dx. n |a x |cosbx dx (đa thức) Đặt P n = u (a x ; cosbx)dx = dv Tích phân biểu thức lượng giác ∫ dxxxR )cos,(sin Phương pháp chung: đặt t= tg(x/2)  x/2 =