5 chủ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán lê văn hưng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS Ths: LÊ VĂN HƯNG LUYỆN TẬP SÂU VÀ CĨ CHỦ ĐÍCH CHỦ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀ 50 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MƠN TỐN A E F H I O D B C K CẬP NHẬT - CHỌN LỌC - BÁM SÁT NỘI DUNG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT THÀNH PHỐ HÀ NỘI √ Bám sát đề thi √ Phương pháp tư hay √ Đầy đủ lý thuyết dạng tập HÀ NỘI, 20 - - 2018 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MỤC LỤC Lời nói đầu Minh họa cấu trúc đề thi vào 10 Hà Nội CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN PHỤ A Lý thuyết Các công thức biến đổi thức Cách xác định nhanh điều kiện biểu thức Các bước rút gọn biểu thức B Các dạng tập phương pháp giải Các toán rút gọn thức chứa số Dạng Tính giá trị cuả biểu thức A x = x0 11 Dạng Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức 12 Dạng So sánh biểu thức A với k 13 Dạng Tìm giá trị nguyên để x để biểu A có giá trị ngun 14 Dạng Tìm giá trị x để biểu A có giá trị nguyên 15 Dạng Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức A 16 Dạng Chứng minh biểu thức A luôn âm luôn dương 18 Dạng Chứng minh biểu thức thỏa mãn với điều kiện 19 C Luyện tập tập nhiều ý hỏi D Một số câu rút gọn câu hỏi phụ đề tuyển sinh Hà Nội CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần I: Giải biện luận hệ phương trình A Lý thuyết Hệ phương trình 27 Hệ phương trình khơng 27 Hệ phương trình chứa tham tham số 27 B Các dạng tập phương pháp giải Dạng Giải hệ phương trình 28 Dạng Giải hệ phương trình khơng 29 Dạng Giải hệ phương trình chứa tham tham số 31 C Giới thiệu câu giải hệ phương trình đề thi thức Hà Nội Phần II: Giải toán cách lập hệ phương trình "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội A Lý thuyết Phương pháp chung 36 B Các dạng tập phương pháp giải Dạng Tìm chữ số tự nhiên 36 Dạng Tính tuổi 37 Dạng Hình học 37 Dạng Toán liên quan đến tỉ số phần trăm 38 Dạng Tốn làm chung cơng việc 40 Dạng Bài tốn liên quan đến thay đổi tích 44 Dạng Toán chuyển động 45 C Bài tập trắc nghiệm D Một số câu giải tốn cách lập hệ phương trình đề thức Hà Nội CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - ĐƯỜNG THẲNG - PARABOL A Lý thuyết Hàm số y = ax + b (a = 0) 55 Hàm số y = ax2 (a = 0) 55 Phương trình bậc hai ẩn 56 Hệ thức vi - ét ứng dụng 56 Phương trình quy phương trình bậc hai 57 Giải tốn cách lập phương trình 57 B Các dạng tập phương pháp giải Dạng Tính giá trị hàm số y = f (x) = ax2 x = x0 58 Dạng Xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số 58 Dạng Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) = ax2 (a = 0) 59 Dạng Xác định tham số 59 Dạng Tìm tọa độ giao điểm parabol đường thẳng 59 Dạng Xác định hệ số a, b, c phương trình bậc hai 59 Dạng Giải phương trình bậc hai 59 Dạng Giải biện luận phương trình bậc hai 59 Dạng Giải hệ phương trình hai ẩn gồm ẩn 59 Dạng 10 Giải hệ phương trình có hai ẩn số 60 Dạng 11 Hệ thức vi - ét ứng dụng 60 Dạng 12 Giải biện luận phương trình trùng phương 62 "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dạng 13 Giải số phương trình, hệ phương trình 62 Dạng 14 Giải toán cách lập phương trình 62 Tổng hợp giải tốn cách lập hệ phương trình phương trình Dạng 15 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc 67 Dạng 16 Tìm điểm cố định đường thẳng phụ thuộc tham số 68 Dạng 17 Tìm tham số m cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến 68 C Luyện tập tổng hợp D Giới thiệu số câu phương trình bậc hai đề tuyển sinh Hà Nội CHỦ ĐỀ IV: HÌNH HỌC A Kiến thức cần nhớ lớp 74 B Kiến thức cần nhớ lớp 75 C Kiến thức lớp 76 D Các dạng 86 E Phương tích giải tốn khó 93 F Kĩ thuật tư dạng hay hỏi 104 G Một số đề thi thức Hà Nội 103 H Các hình học để luyện tập phản xạ theo mơ hình 108 CHỦ ĐỀ V: BÀI TOÁN MIN - MAX, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A Lý thuyết Bất đẳng thức Cô - si 113 Một số bổ đề thường dùng 113 Giải phương trình chứa thức 114 B Các dạng tập phương pháp giải Bài toán Min - Max Dạng Kĩ thuật chọn điểm rơi 114 Dạng Kĩ thuật khai thác giả thiết 116 Dạng Kĩ thuật Cô - si ngược dấu 117 Giải phương trình chứa thức Dạng Sử dụng biến đổi đại số 120 Dạng Đặt ẩn phụ 121 Dạng Đánh giá 123 C Luyện tập sâu có chủ đích ĐỀ MINH HỌA "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Luyện tập 10 đề thầy Lê Văn Hưng sưu tầm biên soạn 130 Luyện tập 30 đề thầy LÊ ĐỨC THUẬN chủ biên 140 Luyện tập 10 đề thi thử không chuyên đề chuyên 170 Tài liệu liên tục chỉnh sửa cập nhật "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội LỜI NÓI ĐẦU Với mong muốn tổng hợp nội dung hay bám sát theo đề thi tuyển sinh vào 10 mơn tốn THPT, giải tất tốn lớp cho em học sinh, tơi sưu tầm biên soạn tài liệu để giúp em học sinh khối có nhìn tổng quan nội dung cần học Tài liệu siêu tầm nhiều nguồn, nhiều sách với trân trọng thầy "LÊ ĐỨC THUẬN", , đề thi trường nước viết lại với ý tưởng Tài liệu tổng hợp có phân chủ đề trọng tâm có sở lý thuyết, phân dạng tập rõ ràng cụ thể, có ví dụ mẫu minh họa với cách giải theo mơ hình tư Đặc biệt 50 đề luyện tập giúp em nâng cao kĩ tốc độ làm Dù cố gắng kiểm soát nội dung viết tài liệu tránh sai sót mong nhận góp ý chân thành bạn đọc Tài liệu cập nhật chỉnh sửa để trở nên hay Xin chân thành cảm ơn!!! Ý tưởng & biên soạn LÊ VĂN HƯNG "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MINH HỌA CẤU TRÚC ĐỀ THI VÀO 10 HÀ NỘI DỰA TRÊN ĐỀ TUYỂN SINH Bài I (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức (1,0 điểm) b) Tìm giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện (0,5 điểm) c) Bài toán phụ (0,5 điểm) Bài II (2,0 điểm) Giải toán cách lập hệ phương trình phương trình Bài III (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình bậc hai ẩn (1,0 điểm) 2) (1,0 điểm) a) Bài toán đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai (0,5 điểm) b) Bài tốn đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai (0,5 điểm) Bài IV (3,5 điểm) Hình học tổng hợp 1) Chứng minh tứ giác nội tiếp (hoặc chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn) (1,0 điểm) 2) Tam giác đồng dạng, , hệ thức lượng tam giác (1,0 điểm) 3) Câu hỏi vận dụng (1,0 điểm) 4) Câu hỏi vận dụng cao (0,5 điểm) Chú ý: Chứng minh phần có hình vẽ phần có điểm Bài V (0,5 điểm) Vận dụng cao 1) Bài toán Min - Max (bất đẳng thức) 2) Giải phương trình chứa thức 3) Giải hệ phương trình nâng cao "Dạy học tốn học, khơng phải toán học" Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC BÀI TOÁN PHỤ A LÝ THUYẾT CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC   √ A A ≥ A2 =| A |= −A A < √ √ √ AB = √ A B (với A ≥ 0; B ≥ 0) A A (với A ≥ 0; B > 0) =√ B √ √B A2 B =| A | B (với B ≥ 0) √ √ A B = A2 B (với A ≥ 0; B ≥ 0) √ √ A B = − A2 B (với A < 0; B ≥ 0) √ A = AB (với A.B ≥ 0; B = 0) B |B √| A A B √ = (với B > 0) B B √ C A∓B C √ = (với A ≥ A = B ) A − B2 A±B √ √ C A ∓ B C √ = (với A ≥ 0; B ≥ 0; A = B) 10 √ A−B A± B √ √ 11 A = A3 = A XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC √ √ • A ⇒ ĐKXĐ: A ≥ Ví dụ: x − 2018 ⇒ ĐKXĐ: x ≥ 2018 x+2 A ⇒ ĐKXĐ: B = Ví dụ: ⇒ ĐKXĐ: x = • B x−3 A x+2 • √ ⇒ ĐKXĐ: B > Ví dụ: √ ⇒ ĐKXĐ: x > x−3 B  √ √ x ≥ A x ⇒ ĐKXĐ: ⇔ x > • √ ⇒ ĐKXĐ: A ≥ 0; B > Ví dụ: √ x > x−3 B     A ≤ x − ≤         B   √ x > a x>2 • Cho a > ta có x2 > a ⇔  √ Ví dụ: x > ⇒  x ta có x2 < a ⇔ − a < x < a Ví dụ: x2 < ⇔ −2 < x < Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối • Dạng tổng quát 1: |A(x)| = k ⇔ A(x) = ±k với k số • Dạng tổng quát 2: |A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = ±B(x) • Dạng tổng quát 3: |A(x)| = B(x) Trường hợp 1: Nếu A(x) ≥ phương trình trở thành A(x) = B(x) Trường hợp 2: Nếu A(x) < phương trình trở thành A(x) = −B(x) Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối • Dạng tổng quát 1: |f (x)| < g(x) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x) Đặc biệt với số k > |f (x)| <  k ⇔ −k < f (x) < k • Dạng tổng quát 2: |A(x)| > g(x) ⇔  f (x) > g(x) f (x) < −g(x)  f (x) > k Đặc biệt với số k > |f (x)| > k ⇔  f (x) < −k • Dạng tổng quát 3: +) |f (x)| < |g(x)| ⇔ [f (x)]2 < [g(x)]2 +) |f (x)| > |g(x)| ⇔ [f (x)]2 > [g(x)]2 Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô - si cho hai số a, b không âm ta có: √ a + b ≥ ab Dấu ” = ” xảy ⇔ a = b Chú ý: Với hai số a, b ta ln có: a2 + b2 ≥ 2ab Dấu ” = ” xảy ⇔ a = b Ví dụ: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + x Hướng dẫn Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cơ - si ta có A = x + Dấu ” = ” xảy x = ⇔ x = x 1 ≥ x = x x Vậy Amin = ⇔ x = 1 Ví dụ: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x + x Hướng dẫn "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Cách giải sai: Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cơ - si ta có B = x + Dấu ” = ” xảy x = ⇔ x = (khơng thỏa mãn x ≥ 2) x TS 10 - Hà Nội 1 ≥ x = x x Vậy Bmin = ⇔ x = Gợi ý cách giải đúng: Dự đoán Bmin  nx = 1 x đạt x = Ta có B = nx + + x − nx Dấu ” = ” xảy  x=2 x x 3x + + Áp dụng bất đẳng thức Cô - si + ≥ 4 x x x x Dấu ” = ” xảy ⇔ = ⇔ x = (vì x ≥ 2) x Vậy Bmin = ⇔ x = 2 Ví dụ: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = x + x Do ta có A = x = x Hướng dẫn 8x = + x 10 Dấu ” = ” xảy x = 3 x + 12 Với x ≥ Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = √ x+2 Tương tự ta có C = x + x + x ≥ Hướng dẫn √ 16 Gợi ý: D = ( x + 2) + √ − ≥ Dấu ” = ” xảy x = x+2 Các bước rút gọn biểu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia tử mẫu cho cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân số tối giản thành việc rút gọn √ ta hồn√ x+2 x−2 x+1 √ √ Ví dụ: Rút gọn biểu thức A = − √ − x+1 x−1 x+2 x+1 x Hướng dẫn  x > Điều kiện: x = √ √ √ √ x+2 x−2 x+1 x(1 − x) √ √ A= √ − √ √ + ( √x + 1)2 √ ( x − 1)( √x + 1) √ x x √ ( x + 2)( x − 1) ( x − 2)( x + 1) x+1+ x−x √ √ √ A= √ − √ ( x + 1)√2 ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x √ √ x+ x−2 x− x−2 x+1 √ √ √ A= √ − √ 2 ( x + 1) ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 28 Bài I (2, điểm) √ √ 2x + x + x x+1 √ √ B = −√ với x ≥ Cho hai biểu thức A = x+2 x+1 x x+1 x+1 √ √ 1) Rút gọn A tìm A x = 19 + 8 + 19 − 2) Rút gọn M = A.B Tìm x để M > 3) Tìm số hữu tỉ x để M số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Theo kế hoạch, tổ công nhân phải làm số sản phẩm thời gian định Nếu ngày họ làm sản phẩm so với dự định hồn thành kế hoạch trước thời hạn ngày Nếu ngày họ làm sản phẩm so với dự định hồn thành kế hoạch chậm thời hạn ngày Tính thời gian số sản phẩm phải làm theo kế hoạch Bài III (2, điểm)  2x + my = 1) Giải hệ phương trình mx + 2y = a) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm (x; y) điểm M (x; y) ln chạy đường thẳng cố định √ b) Tìm m để điểm M thuộc đường trịn tâm O gốc tọa độ bán kính 2) Cho phương trình bậc hai x2 − 2mx + 2m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cung dương Bài IV (3, điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi D trung điểm BC Lấy điểm M đoạn thẳng AD KẺ M N vuông góc với AB N , M P vng góc với AC P Kẻ N H vng góc với DP H 1) Chứng minh điểm A, N , M , H, P nằm đường tròn 2) Chứng minh DM.DA = DH.DP 3) Chứng minh ba điểm B, M , H thẳng hàng 4) Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng HN đạt giá trị√lớn 2x + 2x − + √ Bài V (0, điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + 2x − + "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 167 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 29 Bài I (2, điểm) Cho hai biểu thức A = √ −√ x+3 x √ : x−2 √ với x > 0, x = x+3 x 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A √ = x+3 3) Đặt B = A √ Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên x+2 Bài II (2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một người xe đạp từ điểm A đến địa điểm B cách 30 km Khi từ B A, người chọn đường khác dễ dài đường cũ km Vì vận tốc lúc lớn vận tốc lúc km/giờ nên thời gian thời gian 20 phút Tính vận tốc lúc Bài III (2, điểm) 1) Cho ba đường thẳng: d1 : y = x + 1, d2 : y = 2x − 1, d3 : y = (m2 + 1)x − m2 + m − Tìm m để ba đường thẳng đồng quy 2) Cho phương trình x2 − 2(m + 3)x + m2 + = (với m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Khi đó, xét dấu hai nghiệm Bài IV (3, điểm) Cho đường trịn (O) có dây cung AB cố định Gọi K điểm cung nhỏ AB kẻ đường kính IK cắt AB N Lấy điểm M cung lớn AB, M K cắt AB tịa D Hai đường thẳng IM AB cắt C 1) Chứng minh M N KC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh IM.IC = IN.KI 3) Gọi E giao điểm hai đường thẳng ID CK, chứng minh E thuộc (O) N C phân giác góc M N E 4) Xác định vị trí điểm M cung lớn AB để tích DM.DK đạt giá trị lớn Bài V (0, điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc a2 = bc Chứng √ minh a = |a| ≥ "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 168 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 30 Bài I (2, điểm) √ √ x−1 x − 15 B = √ + Cho biểu thức A = √ x+1 x − 5√ 25 − x 1) Tính giá trị biểu thức A x = − 2 √ x+1 với x ≥ 0, x = 25 :√ x−5 2) Rút gọn B 3) Đặt P = A + B Tìm x để P đạt giá trị nguyên Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Hai địa điểm A B cách 120 km Một ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc không đổi Trên quãng đường từ B A, vận tốc ô tô tăng thêm 20 km/giờ nên thời gian rút ngắn so với thời gian 18 phút Hỏi vận tốc ô tô lúc từ A đến B Bài III (2, điểm) √ 1) Giải phương trình 3x − − 3x − = 2) Cho parabpl (P ): y = x2 đường thẳng d: y = mx + 2 a) Tìm tọa độ giao điểm d (P ) m = √ b) Chứng minh d cắt (P ) hai điểm phân biệt với m |x1 − x2 | ≥ với x1 , x2 hoành độ giao điểm Bài IV (3, điểm) Cho đường tròn (O) điểm M (O) Vẽ tiếp tuyến M A tới (O) (A tiếp điểm) Gọi E trung điểm đoạn AM điểm I, H theo thứ tự hình chiếu E A xuống OM Qua M vẽ cát tuyến M BC tới (O) (M A < M C tia M C hai tia M O, M A) 1) Chứng minh tam giác M BH M OC đồng giác Từ suy tứ giác BCOH nội tiếp 2) Chứng minh AHB = AHC 3) Vẽ tiếp tuyến IK tới (O) Chứng minh tam giác M KH vuông 4) Cho biết BC = BM D trung điểm đoạn M C Chứng minh M C tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ODH Bài V (0, điểm) Cho số x, y, z không âm x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức M= x2 + 4xy + y + y + 4yz + z + √ z + 4zx + x2 "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" 169 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MỘT SỐ ĐỀ ĐỀ THI THỬ NĂM 2018 ĐỀ 1: (TRƯỜNG THCS THỰC NGHIỆM - HÀ NỘI NĂM 2018) Bài I (2, điểm) √ √ √ x−1 x x−1 x x+1 √ + √ − √ Q = √ với x > 0; x = Cho biểu thức P = x− x x+ x x x+1 a) Tính giá trị Q x = 25 b) Rút gọn biểu thức A = P.Q √ c) Tìm giá trị x để A x < Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một ô tô di chuyển từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến B sớm dự định Nếu vận tốc giảm 4km/h đến B chậm dự định Tính khảng cách AB, vận tốc thời gian dự định ô tố Bài III (2, điểm) √ +2 y−3=7 x+2 a) Giải hệ phương trình √   − y − = −7 x + (m + 1)x − y = b) Cho hệ phương trình  mx + y = m    Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện 2x + y > Bài IV (3, điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tịn tâm O bán kính R Đường cao AD, BE cắt H Kéo dài BE cắt đường tròn (O) F a) Chứng minh tứ giác CHDE tứ giác nội tiếp b) Kéo dài AD cắt (O) N Chứng minh ∆AHF cân C điểm cung N F c) Gọi M trung điểm AB Chứng minh M E tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CDE √ d) Cho điểm B, C cố định BC = R Hãy xác định vị trí điểm A (O; R) để DH.DA lớn Bài V (0, điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Tìm giá trị x z y lớn biểu thức P = √ + +√ x2 + z2 + y2 + Hướng dẫn Bài V (2, điểm) Ta có √ x = x2 + Tương tự: x2 x x = ≤ (x + y)(x + z) (x + y) (x + z) y y y ≤ + y+z z+y y2 + x x + x+y x+z (áp dụng si mẫu) "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 170 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H z z + y+z z+x +3 x x y y z z ⇒P ≤ + + + + + x+y x+z y+z z+y y+z z+x Dấu ” = ” xảy ⇔ x = y = z = √ z z2 ≤ TS 10 - Hà Nội = = 2 "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 171 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 2: SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN 2018 Bài I (2, điểm) √ √ √ x x+3 x √ + + với x ≥ 0; x = Q = − √ Cho biểu thức P = √ x+2 2− x x−4 x+2 1) Tính giá trị Q x = 100 2) Rút gọn biểu thức A = P.Q 3) Tìm giá trị nhỏ √ A Bài II (2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam nữ) tham gia buổi lao động trồng Các bạn nam trồng 30 cây, bạn nữ trồng 36 Mỗi bạn nam trồng số bạn nữ trồng số Tính số học sinh nam số học sinh nữ nhóm, biết bạn nam trồng nhiều bạn nữ Bài III (2, điểm)  x  x + + = y y 1) Giải hệ phương trình x   x+ + =3 y y 1 2) Cho parapol (P ): y = mx − m2 + m + đường thẳng (d): y = x2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B (d) (P ) b) Tìm giá trị m để (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho |x1 − x2 | = Bài IV (3, điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với đường tròn ( A, B tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AC ( C không trùng với A B ) Từ điểm C kẻ CD vng góc với AB, CE vng góc với M A, CF vng góc với M B (D ∈ AB, E ∈ M A, F ∈ M B) Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: 1) Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn 2) Hai tam giác CDE CF D đồng dạng 3) Tia đối CD tia phân giác góc ECF 4) Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB Bài V (0, điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị 1 1 nhỏ biểu thức P = + + + 2 a +b +c ab bc ca Hướng dẫn Bài II (2, điểm) Gọi số học sinh nam x (x ∈ N ∗ ; x < 15) ⇒ Số học sinh nữ 15 − x 30 36 Mỗi bạn nam trồng (cây), bạn nữ trồng (cây) x 15 − x "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" 172 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Vì bạn nam trồng nhiều bạn nữ nên ta có phương trình: 36 30 − = x 15 − x Giải phương trình được: x1 = 75 (loại); x2 = (nhận) Vậy nhóm có học sinh nam học sinh nữ "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 173 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 3: TRƯỜNG THPT THĂNG LONG 2018 Bài I (2, điểm) √ √ √ x3 − x + 2x − 2x − x − √ √ B = với x ≥ 0; x = Cho biểu thức A = x−2 x+2 √ 1) Tính giá trị A x = − 2) Tính giá trị x để B = A + 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = B − A Bài II (2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một tơ dự định từ A đến B khoảng thời gian xác định Nếu chạy với vận tốc 35 km/giờ đến B chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/giờ đến B sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc ban đầu Bài III (2, điểm)  2y x+3   + =8 y−2 1) Giải hệ phương trình 3y x+3  2 + = 13 y−2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d1 ): y = −mx + m + (d2 ): y = x−1− m m với m tham số khác a) Chứng minh (d1 ) (d2 ) vuông góc với với giá trị tham số m = b) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d1 ) qua Chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường cố định Bài IV (3, điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R Điểm A thuộc đường trịn, BC đường kính (A = B, A = C) Vẽ AH vng góc với BC H Gọi E, M trung điểm AB, AH P giao điểm OE với tiếp tuyến A đường tròn (O; R) 1) Chứng minh rằng: AB = BH.BC 2) Chứng minh: P B tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh ba điểm P , M , Q thẳng hàng 4) Gọi Q giao điểm đường thẳng P A với tiếp tuyến C đường tròn (O) Khi A thay đổi đường trịn (O) Tìm giá trị nhỏ tổng OP + OQ Bài V (0, điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x ≤ 1, y ≤ 1, z ≤ x + y + z = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = x2 + y + z "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" 174 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 4: TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HÀ NỘI - Amsterdam 25/03/2018 Bài I (2, điểm) √ √ 8x x − 8x x + 2x + 1 x−2 √ B = √ − √ : với x > 0; x = ; x = Cho biểu thức A = 2x − 2+ x 2x − x√ x + x √ 2−1 1) Chứng minh x = + 2 A = 2) Rút gọn biểu thức B x−2 A = √ 3) Tìm giá trị x để biểu thức B x Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một phịng họp có 180 ghế chia thành dãy có số ghế dãy Nếu kê thêm cho dãy ghế bớt dãy số ghế phịng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số ghế phòng họp chia thành dãy Bài III (2, điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P ): y = x2 đường thẳng (d): y = (m − 2)x + với m tham số 1) Chứng minh m thay đổi (d) ln cắt (P ) hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung 2) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm A, B (d) (P ) với x1 < < x2 Xét điểm A(x1 ); x21 ), B(x2 ; x22 ), C(x1 ; 0), D(x2 ; 0) Tìm tất giá trị m để hai tam giác AOC BOD có diện tích Bài IV (3, điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = R Trên đoạn OA lấy điểm I (I = A O) Từ I Vẽ tia Ix vng góc với AB cắt (O; R) C Lấy điểm E tùy ý cung nhỏ BC (E = B C) Nối AE cắt CI F Gọi D giao điểm tia BC với tiếp tuyến A (O; R) 1) Chứng minh rằng: BEF I tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: AE.AF = CB.CD 3) Tia BE cắt tia CI K Giả sử I F trung điểm AO BC Chứng minh ∆AIF ∼ ∆KIB từ tính độ dài đoạn IK theo R 4) Khi I trung điểm OA E chạy cung nhỏ BC Tìm vị trí điểm E để biểu thức EB + EC đạt giá trị lớn Bài V (0, điểm) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ Chứng minh: 1 4ab 4bc 4ca + + + + + ≥ 2a − 2b − 2c − 1 + ab + bc + ca "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 175 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 5: THPT Nguyễn Tất Thành - 2018 Bài I (2, điểm) √ √ √ √ x x+3 x+2 x+2 √ + √ : √ + Cho biểu thức A = − √ x+1 x−2 3− x x−5 x+6 1) Tìm điều kiện xác định A rút gọn A √ 18 2) Tìm giá trị x biết A = x − Bài II (1, điểm) Cho phương trình (m − 1)x2 − 2mx + m − = ẩn x Tìm m để phương trình √ có nghiệm x = − Tìm nghiệm lại Bài III (1, điểm) Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P ) đường thẳng d có phương trình y = mx−1 Tìm m để (d) (P ): 1) Cắt hai điểm phân biệt 2) Tiếp xúc 3) Không có điểm chung Bài IV (1,5 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Trong phòng họp ghế xếp theo hàng số ghế hàng Nếu kê bớt hai hàng hàng bớt hai ghế tổng số ghế phịng họp giảm 80 ghế so với ban đầu Nếu xếp thêm hàng hàng xếp thêm hai ghế tổng số ghế phịng họp tăng thêm 68 ghế so với ban đầu Tính số hàng ghế số ghế phịng họp lúc ban đầu Bài V (3, điểm) CHo đường tròn (O; R) Qua điểm A cố định nằm ngồi đường trịn kẻ đường thẳng d vng góc với OA Từ điểm B đường thẳng d (B không trùng với A), kẻ tiếp tuyến BA BC với (O; R) (D, C tiếp điểm) Dây CD cắt OB N , cắt OA P 1) Chứng minh tứ giác OCBD BN P A tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: OA.OP = OB.ON = R2 3) Cho CBO = 300 R = 6cm Tính diện tích tứ giác BCOD diện tích hình giới hạn cung nhỏ DC dây DC 4) Gọi E giao điểm đường thẳng AO với đường tròn (O) ((O) nằm A E) Khi B di chuyển đường thẳng d chứng minh trọng taam G tam giác ACE thuộc đường tròn cố định Bài VI (1, điểm) 1) Cho a, b, c số thực dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức S= √ √ √ a2 + 4ab + b2 + b2 + 4bc + c2 + c2 + 4ca + a2 √ 2) Giải phương trình: x3 + = 2(x2 − x + 6) "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 176 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Tốn T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 - Hà Nội ĐỀ 6: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng đợt 1) Bài I (3, điểm) 1) Giải phương trình x2 + + √ x2 + x + = 2x + √ 3x + 2) Giải hệ phương trình   x2 + 4y = 5x + 10y + 4x2 y + 8y x = 27 Bài II (3, điểm) 1) Tìm tất ước số nguyên dương phân biệt số n = (420)4 2) Với a, b, c > min(ab, bc, ca ≥ 1) Chứng minh rằng: 2 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≤ 1+ a+b 2 1+ b+c 2 1+ c+a 2 Bài III (3, điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O với BA > BC Phân giác ngồi góc ABC cắt đường thẳng qua A song song với BC P 1) Chứng minh AP = AB 2) Tiếp tuyến qua A (O) cắt P B Q BP cắt (O) M khác B Chứng minh rằng: M A2 = M Q.M P 3) Gọi R đối xứng với Q qua AC Chứng minh góc AP R = CP B Bài IV (1, điểm) Giả sử số ngun dương n có tính chất: có tồn cách xếp a1 , a2 , , a2 n 2n số 1, 1, 2, 2, , n, n cho với k = 1, 2, , n tồn k số xếp hai số k Chứng minh n2 + n chia hết cho "Dạy học tốn học, khơng phải toán học" 177 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 7: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng đợt 1) Bài I (3, điểm) 1) Giải hệ phương trình   xy(x + y) = y + y + = 7x3 + x 2) Với a, b, c số thực bất kỳ, chứng minh bất biểu thức Q= c b a c b a + + a−b c−b b−c a−c c−a b−a nhận giá trị nguyên Bài II (3, điểm) 1) Xét số nguyên tố n1 < n2 < n3 < < n31 Giả sử n41 + n42 + + n431 chia hết cho 30 Chứng minh dãy số tồn số nguyên tố liên tiếp 2) Với x, y, z số thực thỏa mãn x3 + y + z − 3xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y + z Bài III (3, điểm) Cho tam giác nhọn ABC P điểm nằm tam giác D, E, F hình chiếu P lên BC, CA, AB (I) đường tròn ngoại tiếp ∆DEF 1) Giả sử (I) cắt AB K khác F Trung trực DE cắt DK G Chứng minh G nằm đường thẳng d cố định P thay đổi 2) Lấy J thuộc d cho IJ//BP Chứng minh IJ BC cắt đường tròn (I) Bài IV (1, điểm) Chứng minh với hợp số n > không tồn cách xếp a1 , a2 , an số 1, 2, n cho số a1 , a1 a2 , a1 a2 a3 , a1 a2 an có số dư đơi phân biệt chia cho n "Dạy học tốn học, khơng phải toán học" 178 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 8: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 03 - 03 - 2018 Bài I (3, điểm) 1) Giải phương trình √ √ x2 + 8x + + x2 − = 2x + 2) Giải hệ phương trình  x2 − y + = 4x + 2y  x2 + xy + y = Bài II (3, điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 − 2xy − x + y + = 2) Với só thực dương a, thỏa mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= √ b a +√ 4−a − b2 Bài III (3, điểm) Cho tam giác nhọn ABC với E, F lượt hình chiếu vng góc B C lên cạnh CA, AB Gọi M , N Q trung điểm đoạn thẳng BE, CF , CA AB Đường thẳng M N cắ CA, AB K, L KC LF = KE LB 2) Chứng minh tâm ngoại tiếp tam giác AKL nằm đường thẳng P Q 1) Chứng minh Bài IV (1, điểm) Cho nguyên dương, số có ước nguyên tố 2, 3, Chứng minh số tồn hai số mà tích chúng bình phương số nguyên "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" 179 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 9: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 07 - 04 - 2018 (Toán chung đợt 3) Bài I (3, điểm) 1) Giải phương trình √ √ √ x + 2(x + 2x + 1) = x + + x 2x + 2) Giải hệ phương trình   x3 + 2xy = x3 + 3x = 4y Bài II (3, điểm) 1) Tìm tất số nguyên tố cho 2p2 + số nguyên tố 2) Cho số a, b thỏa mãn a2 − b2 = Tìm giá trị nhỏ P = 2a − b Bài III (3, điểm) Cho tam giác nhọn ABC có BAC Gọi O H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 1) Chứng minh BCHO tứ giác nội tiếp √ 2) Chứng minh BH − HC = 3HO Bài IV (1, điểm) Xếp 2018 bóng đánh số từ đến 2018 lên đường tròn Với hai bóng xếp kề nhau, ta tính hiệu hai số ghi hai bóng (lấy số lớn trừ số bé) Gọi S tổng tất hiệu Tìm giá trị nhỏ S "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 180 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 10: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 08 - 04 - 2018 (Toán chuyên đợt 3) Bài I (3, điểm) 1) Giải phương trình √ √ √ x + + − x − + 3x − x2 = 3x − 2) Giải hệ phương trình   x3 − 9y = 18 xy(x − y) = Bài II (3, điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương m (m > 1) cho tồn số nguyên n để n2 +2 (n+1)2 +2 chia hết cho m 2) Cho số a, b, c thỏa mãn ≤ a, b, c ≤ Chứng minh a+b+c> √ a+ √ √ b+ c Bài III (3, điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AB với AD > BC Gọi (ω) đường tròn qua C tiếp xúc với AB O Gọi E giao điểm đường thẳng OD (ω) (E khác O) I giao điểm đường phân giác COD đường thẳng BD 1) Chứng minh BCIF tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp ∆OCE Bài IV (1, điểm) Xét tập S = {1, 2, 3, , 9, 10, 11} Chứng minh với cách chia tập S thành hai tập ln tồn ba phần tử a, b, c thuộc tập cho a + b = c "KIẾN THỨC CỦA CHÚNG TA CHÍNH LÀ CÁI MIỆNG GIẾNG MIỆNG GIẾNG CÀNG TO THÌ ĐÀO GIẾNG ĐƯỢC CÀNG SÂU" —– CHÚC CÁC EM ÔN THI TỐT —– TÀI LIỆU SẼ LUÔN ĐƯỢC CẬP NHẬT VÀ CHỈNH SỬA ĐỂ PHÙ HỢP VỚI CÁC NĂM —– TO BE CONTINUED —– "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 181 ... mức 10 phần trăm 100 20 y Cả hai tổ làm 910 sản phẩm ta có: 100 10 20 10 20 x y x+ x + y+ y = 910 ⇔ x+ y = 910 − 800 ⇔ + = 110 ⇔ x + 2y = 1100 100 100 100 100 10 (2)    x + y = 800 x = 50 0... phương trình: t + 10 = + t ⇒ t = 252 0 (lít) 50 4 50 4 50 4 3. 252 0 = 15 (lít/p) Sức chảy vịi A là: 50 4 4. 252 0 Sức chảy vòi B là: = 20 (lít/p) 50 4 5. 252 0 Sức chảy vịi C là: = 25 (lít/p) 50 4 Ví dụ 6: Hai... trăm Tính số học sinh dự thi trường Hướng dẫn Gọi số học sinh dự thi trường A B x, y (x, y ∈ N∗ , x, y < 800) 100 (1) ta có: x + y = 420 84 10 Nhờ tăng suất, tổ I làm vượt mức 10 phần trăm x,