Phương pháp quy nạp toán học nguyễn hữu điển

, , ˜ ˜ NGUYÊN HUU ÐIÊN , , ´ PHUONG PHAP ´ QUY NAP TOAN HOC , (Tai ´ ban lâ`n thu´, hai) , ´ BAN GIAO ` XUÂT ´ DUC NHA , , `, ban in, cac c Ebook 1.0 cua cuô´n sach ´ nguyên gô´c tu ´ ban tham , , , ´ ban Moi khao, cho y´ kiê´n sai s´ot va` lo` i khuyên tai liên , , , ˜ Hu ˜ u Ðiên ´ gia: Nguyên Tac Ðiên thoai: 0989061951 Email: huudien@vnu.edu.vn Web: http://nhdien.wordpress.com , Chiu ´ nhiêm trach xuâ´t ban: ´ dô ´ Giam ¯ ´c Ngô Trâ`n , , , Tông biên tâp Vu˜ Duong Thuy Biên tâp nôi dung: Ngô Long Hâu , Biên tâp t ´ b an: ,, ` Truong Công Thanh Tr`ınh bay ` b`ıa: Ta Trong Tr´ı , Chê´ ban: , ˜ Hu ˜,u Ðiên Nguên 51 05/796-00 GD − 00 Ma˜ sô´: 8H663M0 , ` ` I NOI ´ ÐÂU LO ,, , ´ râ´t manh ´ hoc ` Môt toan nghiên cu´ u phuong phap dung , , ´ gia thuyê´t la` nguyên ly´ quy nap ´ hoc va` chu´ ng minh cac ,toan C´o ,, , , ´ ´ v´ı du cac ´ môn hoc ` vô sô cac phô thông dung o ,chuong tr`ınh , , , , , ˜ ´ ` dê ´ vê` nguyên ly´ ¯ diên giai va` mô ta Nhung dê ¯ hiêu thâu d¯ao , , ´ dung ´ tao ´ du ` to´,i ky˜ thuât hoc ¯ o c ban ap tâp, sang râ´t ´ıt sach , , ` cung ˜ ´ n´oi riêng vê` vâ´n dê ` liêu d¯a˜ c´o môt sô´ sach Tai ¯` nuo´ c ngoai , , , , ` theo cung ˜ ´ nay, chua dâ ¯ `y d¯u va` râ´t nhiê`u nguo` i, kh´o tiê´p xuc , , ´, ` ` Tôi manh ´ nguyên du dan ¯ o c voi tai liêu thu thâp va` khao sat `˘ ´ ` ´ ly´ quy nap to an h oc theo m oi kh´ ı a c anh v a minh h oa cac , bang , , ` tâp ´ cung câ´p bai , chuong tr`ınh phô thông Ðây la` lo,ai sach , , , ˜ ng phuong phap ´ hoc ` tâp ´ va` thao luân nhu tâp va` giai bai cho cac ,`, , ` ´ ´ ´ ´ ban yêu th´ ı ch to an h oc, c ac thâ y cô gi ao, sinh viên c ac tru o ng su , ,, , ´ ban ` tai ` liêu ´ pham , va` cac o lo´ p hoc sinh gioi lam tiê´p tuc phat , ,, ` ´ kh´ıa canh triên Chuong dâ cua nguyên ly´ quy nap ¯ u xem x´et cac , , , ´ ´ ´ hoc ´ chung ´ toan d¯a˜ không chung Do khuôn khô cua cuô, n sach ,, ´ hoc ˘ k˜e su., tu,o,ng du minh can ¯ ong cua nguyên ly´ quy nap toan va` , , , , , , , , ´ dang tiên dê nguyên ly´ quy nap ¯ ` thu´ tu ; su tuong du ¯ ong cua cac , , , , ´ hoc v.v ´ cac ´ kh´ıa canh toan Chuong hai khao sat ky˜ thuât cua , ˜ chu,o,ng dung `, chu,o,ng ba môi ` Tu ` ´ cac ´ bai ` nguyên ly´ khao sat , , ,, ` ` ´ ´ ´ tâp vê m ôt lo ch u dê ch ı ap d ung phu o ng ph ap quy n ap to an ¯ , , , , ˜ sô´, H`ınh hoc, hoc nhu: Sô´ hoc, Day Ða thu´ c, Tô ho p, Liên phân sô´ , ´˘ c`on nhiê`u bai ` liêu ´ ` Tai tham khao c´o han chung va` ,chac ,, , , ,´ ˘ c´o sai s´ot thê hiên tâp hay chua n´oi toi,, hoac y´ ,tuong mong , , , , , ban ¯ i va` bô sung Moi chı: d¯oc cho,y´ kiê´n sua dô liên gui vê` d¯ia , ´ duc, Nha` xuâ´t ban Giao 81 Trâ`n Hung Ðao, Ha` Nôi ´ ˘ Ha` Nôi, th ang n am 2000 , ´ gia Tac , , CHUONG ´ QUY NAP ´ HOC NGUYÊN LY TOAN ˜ va ` quy nap 1.1 Suy diên ´ hoc 1.2 Nguyên l´ y quy nap toan , ` gia thiê´t quy nap 1.3 Giai ¯ an quy nap va , ,, ´ hoc ´ c cua nguyên l´y quy nap 1.4 Hai buo toan 14 ,, ` d` ´ quy nap 1.5 Khi nao ung phuong phap 19 ` 1.6 Bai tâp 22 ˜ va ` quy nap 1.1 Suy diên , ´ niêm ˘ thu.,c tê´ la` suy Ðê minh hoa hai khai râ´t hay gap ˜ va` quy nap, ˜ diên biê´t: ta lâ´y câu ca dao Viêt Nam cung ¨Sô´ cô c´o me c´o cha Me cô d¯an ` ba` cha cô d¯an ` ông , ´ ` Sô cô c´o vo c´o chông , Sinh dâ ˘ gai th` trai.ă `u l`ong chang , , ´ cua ông thâ`y b´oi, ta d¯a˜ biê´t thâ`y b´oi chı Ðây la` câu ¯ an ´ m`o thôi, nhu,ng ông thâ`y b´oi câu ca dao ` râ´t khôn ¯ an , ` ´ ˘ la` dung mụt dinh luụn luụn dung ăai cung co me, khang co chaă , , , , ` d´ ´ dung ` cung ˜ ´ Tu cho nguo` i dê d¯ung luôn, ¯o du` ap ¯ ´n b´oi cu thê nao , , , , , ` khang ˜ ´ ˘ ˘ ngh˜ıa la` khang d¯inh riêng cung d¯ung Buo´ c suy luân tu , ˜,ng khang ´ dung ˘ d¯inh d¯inh cho nhu chung ap riêng biêt goi la` ph´ep , , , ˜ Ph´ep suy diên ˜ o v´ı du la` d¯ung ´ suy diên vo´ i hai câu dâ ¯ `u, ˜ va` quy nap 1.1 Suy diên , ,, , ´ hoc ` nhung c´o thê sai o hai câu sau Trong toan râ´t hay dung ph´ep , , ˜ ´ ´ d¯a˜ cho ˘ suy diên, chang han, g´oc cua môt nêu hai tam giac , , , 0 ` ´ ˘ la` 30 va` 70 , th` diờ dinh sau dung: ă Goc thu´ ba cua ¯ u khang , ,, ´ da cho la` 800 ă Mờnh ` ăTụng cac g´oc tam giac dê ¯ ` chung o dây ¯ la: , la` 180 ă cua môt tam giac ,, , Bây gio` ta d¯oc lai chuyên cuo` i dân gian Viêt nam: , , , ăBụn ụng thõ`y boi ru di ¯ xem voi To´ i chô˜ voi d¯u´ ng, bô´n ` so`, tân ` Vê` to´,i cho.,, thâ`y b´oi chen vao, tay, xem voi n´o thê´ nao bô´n thâ`y hop b`ınh phâm ,, ´ , Thâ`y so` du v`oi voi n´oi: ¯ o c cai , , , , , ,, , ` ´˘ t´e chı giô´ng d¯ıa cu c lo´ n Tôi so` vao - Tuong voi la lam, ,, n´o uô´n cong nguo` i lai , ´ chân, vôi ˜ Thâ`y ôm phai cai cai: , , ´ `,a tay cai ` vu ´ côt - Voi chı hêt côt nhu cai nha` Tôi ôm vao ´ cai , ´˘ phai cai ´ tai voi, chê: Thâ`y nam , , , ´ ´ bac ´ chı n´oi m`o Con voi thât - Cac quat tu a nhu cai to , ´, tuong , , ,, ´ phai cai ´ duôi Thâ`y tum voi, cuo` i khây: ¯ , ´ n´oi sai ca Tôi d¯a˜ tum ´ n´o tay, th`ı d¯ung ´ - Ba bac la` môt , , ´ chôi xê d¯ai cai ˜ ô`n ao ` môt Không chiu ai, bô´n thâ`y to tiê´ng cai goc , cho ă , , , ˜ ông thâ`y b´oi dê ` ˘ Môi khang d¯inh riêng cua m`ınh dê ¯ `u dung ¯ , , , ,, `, khang ´ phat ´ biêu khang ˘ ˘ d¯inh chung Buo´ c suy luân tu d¯inh ¯ an, , , , , , ´ biêu khang ` ˘ riêng tiê´n to´ i phat d¯inh chung du o c g oi l a ph´ e p quy ¯ ,, ´ hoc Chuong Nguyên ly´ quy nap toan , ,, , ˘ nap d¯inh chung o dây d la` ăcon võt o la` voiă Nhu vây Khang , , ´ ` ` ´ biêu khang ˘ ˘ c´o môt ông thây b´oi dê d¯inh chung sai Chac ¯ u phat , , ´ ` ´ ` d´ ´ ´ ´ quy ˘ th`ı s˜e d¯ung ˘ ông nao mat Ta thây rang phuong phap ¯o sang , , , ,, ´ ´ ´ quy nap nap ¯ a dê ¯ n kêt qua nhân sai Phuong phap c´o thê du d¯inh ,, ` , ´ ´ ´ ´ hoc rât hay du ¯ o c dung nghiên cuu khoa hoc, nhât la` toan , , , , , ´ ´ ´ quy nap ` dây Nhu vây ta phai hiêu phuong phap thê nao ¯ chung , , , , ´ ` ´ dung ` dê ´ ˘ va` ap thê nao dê d¯inh d¯ung ¯ nhân ¯ o c mênh ¯ khang du ´ hoc 1.2 Nguyên l´ y quy nap toan , , ,, ´˘ gon ´ hoc ˘ Ðê ngan d¯inh toan ta ky´ hiêu môt khang la` P( x ), o ,, ,, , dây mênh dê ¯ x la` môt ¯ a vê` dang `ă biờn sụ Nguo` i ta thuo` ng du ,´ ` d´ ´ ` Voi moi o), P( x )ă Trong cuụn sach x (trong môt tâp S nao , , , ˜ ng sô´ tu nhiên , S la` tâp ´ sô´ tu nhiên (bao ta lâ´y x = n la` nhu cac ,, , , ` bô cac ´ sô´ nguyên duong) Ta su dung gô`m toan môt t´ınh châ´t râ´t , , , , , , , quan cua tâp sô´ tu nhiên, thuo` ng nguo` i ta công nhân nhu ,, , , môt ¯ ` (du ¯ o c goi ¯ ` thu´ tu ) tiên dê la` tiên dê , , ˜ tâp ˜ cua Tiên dê ´ rông nhu˜ ,ng sô´ tu , nhiên c´o ¯ `: Trong môi ho p khac , ,, môt phâ`n tu nho nhâ´t , ˜ sô´ tu., nhiên n u´,ng vo´,i môt ˘ Cho môi khang d¯inh P(n) V´ı du, , , ,, , ,´ , ´ ´ ˘ voi ta cho tuong u´ ng vo i khang dinh P(1): ăsụ la` mụt sụ leă, ,, , , ` ´ ´ ˘ sô cho tuong tu´ ng vo´ i P(2): ă sụ la` mụt Bang sụ ,chană; ,, , nhu võy khang ˘ d¯inh riêng phuong phap ta tao chung day ´ hoc P(1), P(2), , P(n), Nguyên ly´ quy nap toan cho ta môt , , ,, , ´ ´ kiêm tra khang ´ ˘ ˘ sai voi moi phuong phap d¯inh P(n) d¯ung hoac n , , , ´ hoc Nguyên ly´ quy nap l´ı sau: ¯ o c thê hiên toan du qua d¯inh Trong , , , ´ ` n´oi dê ´ sô´ sach ¯ ´n sô´ tu nhiên, ta hiêu d´ ¯o la` sô´ tu nhiên khac ´ hoc 1.2 Nguyên ly´ quy nap toan ,, Ðinh ly´ 1.1 Cho n0 la` môt dê ¯` sô´ nguyên duong va` P(n) la` mênh , , c´o ngh˜ıa vo´ i moi sô´ tu nhiên n ≥ n0 Nê´u A) P(n0 ) la` d¯ung ´ va` ˜ sô´ tu , nhiên B) Nê´u P(k ) d¯ung, ´ th`ı P(k + 1) cung ˜ d¯ung ´ vo´,i môi k ≥ n0 , , d´ dê ´ vo´,i moi ¯o mênh ¯ ` P(n) d¯ung sô´ tu nhiên n ≥ n0 , , , , `˘ phan chu´,ng Gia su,, ngu,o.,c Chu´ ng minh Ta s˜e chu´ ng minh bang , , ´ ˘ lai, dê d¯inh P(n) Ðinh l´ı 1.1 không d¯ung vo´ i ¯ ` khang mênh , , ` d´ môt ¯o Ngh˜ıa la` tô`n tai sô´ tu nhiên n ≥ n0 nao môt sô´ tu ,nhiên , ´ m ≥ n0 , ma` P(m) không d¯ung Ta lâ´y sô´ tu nhiên m nho nhâ´t ,, , ´ ` thu.,c hiên ma` P(m) không d¯ung (diê du ¯ `u ¯ o c tiên dê ¯ ` thu´ , , , `, d´ ˘ tu ) Theo diê ta c´o bâ´t d¯ang thu´ c m > n0 , tu ¯ `u kiên ¯o suy A), , , , , , ´ ´ ` bât d¯ang ` a lâp ´ chon ˘ m − ≥ n0 Tu thu´ c vu va` cach sô tu nhiên , ,, ´ m suy P(m − 1) la` d¯ung, nhung n´o không k´eo theo du ¯ o c P(m) , ´ ` trai ´ vo´,i gia thiê´t d¯ung cho sô´ tiê´p theo m = (m − 1) + Ðiê`u B) , ,, , ´ , `, mênh ´ tu ˘ Xuâ´t phat dê d¯inh vo´ i cac truo` ng ho p riêng, ¯ ` khang , , , , , ´ ˘ c´o thê nây sinh gia thiê´t mênh ˘ chang han sô´ 1, 2, hoac nhu cac , , , , , , ` ´ ´ ´ ´ ´ dê d ung v o i m oi sô t u nhiên Sau d´ o dê ch u ng minh gi a thiê t cua ¯ ¯ ¯ ¯ , , , , ` a xây du ng nguo` i ta ly´ luân ´ ta vu theo nguyên ly´ quy nap toan ,, , , , , ´ chu´ ng minh nhu vây hoc ´ quy Phuong phap goi la` phuong phap ,, ´ ` gô`m hai bu,o´,c, nap ´ hoc d¯inh ,l´ı phuong phap toan Theo , , , ˘ thu´ nhâ´t ta kiêm tra khang d¯inh môt t´ınh châ´t vo´ i n = n0 , goi , , , `˘ ˜ k ≥ n0 , P ( k ) la` Bu,o´,c co, so,; sau d´ nê´u vo´ i môi ¯o chu´ ng minh rang , ˜ t´ınh châ´t d¯a˜ biê´t, th`ı suy P(k + 1) cung ˜ thoa man c´o t´ınh châ´t , , , â´y, goi la` Buo´ c quy nap la` P(n) c´o t´ınh châ´t d¯a˜ cho vo´ i Kê´t luân , ´ ´ hoc ´ moi chu´ ng minh theo quy nap n ≥ n0 Cach toan la` tranh ❏ ,, ´ hoc Chuong Nguyên ly´ quy nap toan , , , , ,, ´ ˘ dê cho ta phai kiêm tra vô han khang d¯inh cua mênh ¯ ` buo´ c cac , ` 1.3 Giai an quy n ap v a gi a thiê´t quy nap ¯ ,, ,, ´ ´ quy nap ´ hoc Phuong phap dung ¯ o c ap toan râ´t hay du , ´ ´ hoc, ´ nganh ` ´ nghiên cuu va` t`ım t`oi toan khoa hoc khac cac , , , , , ` ´ ap ´ dung ´ quy nap Ðê hiêu cach phuong phap ¯ y d¯u, ta xem cho dâ , ´ x´et môt ¯ nhu môt sụ v du sau dõy phep ăsuy luõn co lyă ma` G ` Polya da dờ câp , , V´ı du 1.1 Cho tru,o´,c môt ˜ t`ım tông cac ´ sô´ tu , sô´ tu nhiên n Hay nhiên 1, 2, , n , , , , Lo` i giai Ta ky´ hiêu Sn la` tông phai t`ım, ngh˜ıa la` Sn = + + · · · + n (1.1) , , , ´˘ gon Ta hy vong la` t`ım công thu´ c ngan ¯ t´ınh tông trên, công dê , , , ,, , ´ ta t´ınh nhanh, gon thu´ c d´ hon la` phai thu c hiên ¯o giup lâ`n luo t , ´ ph´ep công ˜ cac tông Ta cung biê´t dây nê´u ¯ la` câ´p sô´ công, , , ` th`ı ta c´o thê c´o công thu´ c t´ınh ban , d¯oc d¯a˜ biê´t vê` câ´p sô´ nay, , ,, ´ dung tông Nhung o dây nguyên ¯ ta muô´n minh hoa qua´ tr`ınh ap , , ˜ ng diê ´ hoc ly´ quy nap ta bo ¯ `u d¯a˜ biê´t vê` câ´p sô´ công toan nên nhu , , qua, coi nhu chua biê´t , , , , `, d¯ang ` sô´ tu., nhiên ˘ Ta t´ınh tông Sn tu thu´ c (1.1) vo´ i môt vai , , ´˘ dâ `, Nhu ˜,ng kê´t qua t´ınh toan ´ cac ´ ˘ liên tiê´p, chang han ¯ `u tu bat , ,`, , ´ ` bang truong ho p riêng ta xêp vao n Sn 1 3 10 15 21 , , ,, ˘ Muc chung (khang d¯inh chung), ¯ıch cua ta la` t`ım du ¯ o c quy luât d´ , , , ,, ,´ , , ˜ sô´ tu nhiên o hang ` voi bang trên, môi bang cho tuong , ,, , , ` tâp 240 Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai , , , `˘ ˜ a1 , a2 , phai chu´ ng minh gio´ i han tô`n tai day Ta chu´ y´ rang , , ´ ho,n ta s˜e ˘ ˘ Ch´ınh xac tang, suy chı c`on kiêm tra n´o la` bi chan , , , ˘ chu´ ng minh bâ´t d¯ang thu´ c √ an < + c, (n = 1, 2, 3, ) , , , , √ √ , ˜ a1 c < + c Gia su, bâ´t d¯ang ˘ Thât vây, vo´,i n = (1) thoa man , ˜ vo´,i n nao ` d´ thu´ c (1) thoa man ¯o Khi d´ ¯o √ √ √ an+1 = c + an < c + (1 + c) < + c ❏ , ,, , , ` go i y ` tâp 12.6 L`oi giai va ´ bai chuong , , `˘ ´ Dê˜ dang ` 6.17 Go i y: chu´ ng minh bang quy nap theo n , , , `, môt ´ Tu ` ´ ˘ 6.18 Go i y: sô´ doan thang c´o thê tao da ¯ giac , , , , , , ´ ´ va` chı phai nho hon tông cac ¯ an lo´ n nhâ´t chung ¯ an c`on lai , , ,, ,, ´˘ d¯a˜ du ˜,ng manh n du ´ Nhu 6.19 Go i y: ¯ o c tô ¯ o` ng tr`on cat , ,, , , son theo gia thiê´t quy nap ¯ o` ng tr`on thu´ n + , Ta v˜e ,thêm môt du , `˘ du,o`,ng tr`on thu´, ` tâ´t ca cac ´ manh nam , d´ ¯o ta dô ¯ i mau , , , ˘ phang ˘ n + Nhu vây phai t`ım ta c´o mat , , ´ Tông cac ´ sô´ la` 2.3n 6.20 Go i y: , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp 12.7 L`oi giai va chuong , , `˘ `,i giai: Ta chu´,ng minh bang 7.17 Lo quy nap theo n Vo´ i n = ´ mênh dê v`ı ¯ ` d¯ung, a a a a a = − = (− ) − (− ) x ( x + 1) x x+1 x+1 x , ,, , , ` tâp 12.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , , ,, ˜ da Cho n > Ta biêu diên ¯ thu´ c P( x ) duo´ i dang 241 P( x ) = c + ( x + n) P1 ( x ), , , , , ,, `˘ o dây sô´, c`on bâc ¯ c la` hang cua P1 ( x ) nho hon n − Theo gia thiê´t quy nap P1 ( x ) = x ( x + 1) ( x + n − 1)( R1 ( x + 1) − R1 ( x )) , ,, ˜,u ty nao ` hu ` d´ o dây ¯ R1 ( x ) la` môt ¯o va` d´ ¯o ham P( x ) = x ( x + 1) ( x + n)( R( x + 1) − R( x )) ,, o dây ¯ c R ( x ) = R1 ( x ) − n x ( x + 1) ,( x + n − 1) , ´ y: ´ Nê´u bâc ˘ Chu d¯inh la` không ¯ `u khang cua, P( x ) la` n, diê ´ ˜ xem phan v´ı du sau d¯ung, ta hay P ( x ) = x ( x + 1) ( x + n − 1) ❏ , `˘ `,i giai: Chu´,ng minh bang 7.18 Lo quy nap Nê´u n = 0, theo n , , ` ˘ ˘ P( x ) = a môt sô´ va` d´ ¯o P( x ) = a.P0 ( x ) Gia thiê´t khang hang , , , , , n ´ d¯inh vo´ i tâ´t ca da ¯ thu´ c bâc d¯ung nho hon n va` P( x ) = an x + · · · , , ˘ bn = n!an Ða thu´,c P( x ) − bn Pn ( x ) s˜e c´o bâc Ta d¯at không lo´ n hon , n − va` c´o ngh˜ıa la` theo gia thiê´t quy nap c´o sô´ b0 , b1 , , bn−1 cho P( x ) − bn Pn ( x ) = bn−1 Pn−1 + · · · + b0 P0 ( x ) , , , ´ ˘ Suy khang d¯inh d¯ung cho ca da ¯ thu´ c P( x ) ❏ , , , `,i giai: 1) Vo´,i n = d¯ang ˘ 7.19 Lo thu´ c c´o dang u1 x = 3 , x +x −x u1 x + u2 x − x , ` ´ ˘ la` x = ˘ hoac , d¯ang thu´ c d¯ung x2 + x − x +x−1 , ,, , , ` tâp Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai 242 , , , ´ , `˘ ` d´ ˘ 2) Chu´ ng minh rang d¯ang thu´ c d¯ung vo´ i sô´ n nao ¯o Ta s˜e , , , , ˜ ´ ˘ thu´ c cung chu´ ng minh d¯ang d¯ung cho n + Thât ¯ i vây, ta biê´n dô n +1 Fn+1 ( x ) = ∑ uin = Fn (x) + un+1 xn+1 i =1 u n x n +2 + u n +1 x n +1 − x + u n +1 x n +1 x2 + x − , , ,, ` công thu´,c un+2 = un + un+1 ta nhân Biê´n dô ¯ i du a vao ¯ o c du = Fn+1 ( x ) = u n +1 x n +3 + u n +2 x n +2 − x , ( x + x − = 0) x2 + x − , , ´ Tiê´n hanh ` 7.20 Go i y: nhu 7.16 , , ´ Tiê´n hanh ` 7.21 Go i y: nhu 7.16 , `˘ `,i giai: Chu´,ng minh bang 7.22 Lo quy nap theo n 1) n = 0, Khi d´ ¯o P( x ) = a0 Nê´u |1 − a0 | < va` | a − a0 | < , Khi d´ ¯o | a − 1| = | a − a0 + a0 − 1| ≤ | a − a0 | + | a0 − 1| < 2, nhung ˜ dê ´ a ≥ dân ¯ ´n vô ly! , ,, , , ´ 2) Gia su mênh dê vo´ i k ≤ n − Ta x´et da ¯ ` d¯ung ¯ thu´ c P ( x + 1) − P ( x ) a−1 , , `˘ ` Dê˜ dang thâ´y rang Q( x ) la` da ¯ thu´ c bâc n − Theo gia thiê´t quy nap tô`n tai sô´ i (0 ≤ i ≤ n − 1) cho Q( x ) = P ( i + 1) − P ( i ) | a−1 | ai+1 − P(i + 1) − + P(i )| | ai+1 − P(i + 1)| | − P(i )| = ≤ + a−1 a−1 a−1 ≤ | − Q(i )| = | − , ,, , , ` tâp 12.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 243 , , , ,, ´ sô´ hang C´o ´ıt nhâ´t môt không nho hon Gia su d´ ¯o la` cac , a−1 , , biêu thu´ c thu´ nhâ´t, th`ı v`ı ≥ a ≥ 3, | ai+1 − P(i + 1)| ≥ a−1 ≥ , , , ,, , , , Tuong tu , nê´u biêu thu´ c thu´ hai không nho hon , th`ı | − P(i )| ≥ ❏ , 1 `,i giai: 1) Vo´,i n = Khi d´ 7.23 Lo ¯o P1 ( x ) + P1 ( ) = x + va` x x , , ,, ˘ bâ´t d¯ang thu´ c nhân ¯ o c c´o dang du ≥ 2, ( x > 0) (12.5) x , , ,, ,, ,, , ˘ V`ı x > 0, nên bâ´t d¯ang thu´ c vua`˘ nhân ¯ o c tuong du ¯ ong vo´ i du ´ ( x − 1)2 ≥ va` suy mênh dê ¯ ` d¯ung 1 , Vo´ i n = ta c´o P2 ( x ) + P2 ( ) = ( x2 + 1) + ( + 1) = x2 + x x , 1 , `˘ + Câ`n phai chu´ ng minh rang P2 ( x ) + P2 ( ) ≥ + + (1 + x x , , , 2 ` (12.5) Gia su, ` suy tu ˘ la` x + ≥ 2; diê (−1) ) = hoac ¯ `u x , , , ` ´ ´ ´ ˘ thu´ c sau d¯ung mênh dê d ung v o i n Ta c´o bâ´t d¯ang ¯ ¯ x+ 1 Pn ( x ) + Pn ( ) ≥ n + + (1 + (−1)n ) x , , , , ´ , ˘ thu´ c d¯ung cho n + Ta s˜e chu´ ng minh truo´ c tiên bâ´t d¯ang 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) ≥ n + + (1 + (−1)n+2 ) x , , , ˜ d¯ang ˘ Chu´ y´ Pn thoa man thu´ c Pn+2 ( x ) = x n+2 + Pn ( x ) Suy 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) = [ Pn ( x ) + Pn ( )] + [ x n+2 + n+2 ] x x x 244 , ,, , , ` tâp Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai , , , `, cac ´ d¯ang ´ ˘ ˘ Theo (*) bâ´t d¯ang thu´ c sau d¯ung x n+2 + n+2 ≥ Tu x , , , , ` ˘ thu´ c va` bâ´t d¯ang thu´ c sau cung va` gia thiê´t quy nap ta c´o: 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) ≥ n + + (1 + (−1)n ) + x = (n + 2) + + (1 + (−1)n+2 ) n n + ` ˘ Ta chu´ y´ rang (−1) = (−1) Theo nguyên ly´ quy nap mênh , , , , ` ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ dê voi moi voi n = 1) va` d¯ung voi moi ¯ d¯ung sô le n (v`ı n´o d¯ung , , , , , ˜ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˘ (v`ı n´o d¯ung ˘ n chan voi n = 2) Nhu vây thuc d¯ung voi bât dang moi n ≥ ❏ , ,, , , ` go i y ` tâp 12.8 L`oi giai va ´ bai chuong , , `,i giai: 1) vo´,i n = khang ´ ˘ 8.19 Lo d¯inh d¯ung, v`ı cos x − cos2 x cos x (1 − cos x ) cos x − cos 2x − = = = cos x x x x sin2 sin2 sin2 2 2) Cho (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − cos x + cos 2x + · · · + k cos kx = x sin2 Khi d´ ¯o cos x + cos 2x + · · · + k cos kx + (k + 1) cos(k + 1) x = (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − + (k + 1) cos(k + 1) x x sin2 (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − 2(1 − cos x )(k + 1) cos(k + 1) x = + x x sin2 sin2 2 (k + 2) cos(k + 1) x + (k + 1) cos kx 2(k + 1) cos x cos(k + 1) x + = − x x sin2 sin2 2 = , ,, , , ` tâp 12.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 245 (k + 2) cos(k + 1) x + (k + 1) cos kx − x sin2 (k + 1)[cos(k + 2) x + cos kx ] + − x sin2 (k + 2) cos(k + 1) x − (k + 1) cos(k + 2) x − = x sin2 = ❏ , , `,i giai: 1) Vo´,i n = khang ´ ˘ 8.20 Lo d¯inh d¯ung, v`ı π π + i = 2 (cos + i sin ) 4 , ,, , , ´ 2) Gia su d¯ung vo´ i n = k, tu´ c la` k (1 + i )k = 2 (cos kπ kπ + i sin ) 4 Khi d´ ¯o kπ kπ π π + i sin ).2 (cos + i sin ) 4 4 k +1 ( k + 1) π ( k + 1) π 2 (cos + i sin ) 4 k (1 + i )k+1 = 2 (cos ❏ , , , `,i giai: Vo´,i n = d¯ang ´ ˘ 8.21 Lo thu´ c d¯ung: a1 b1 + a2 b2 = , a2 (b1 + b2 ) − ( a2 − a1 )b1 = a2 B2 − ( a2 − a1 ) B1 Ta s˜e chu´ ng minh , , , ´ ` d´ ˜ ´ ˘ nê´u khang d¯inh d¯ung vo´ i n nao d¯ung vo´ i n + ¯o, th`ı n´o cung Ta c´o n +1 n µ =1 µ =1 ∑ a µ bµ = ∑ a µ bµ + a n + bn + n −1 = [ an Bn − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ ] + an+1 bn+1 µ =1 (12.6) , ,, , , ` tâp Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai 246 ,, , Nhung bn+1 = Bn+1 − Bn o dây an Bn + an+1 bn+1 = an Bn + ¯ , , ,, ´ ´ ` kêt qua cuôi cung ` an+1 ( Bn+1 − Bn ) Tu va` (12.6) ta nhân ¯ o c du n −1 n +1 ∑ aµ bµ = an+1 bn+1 − ( an+1 − an ) Bn − µ =1 ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ µ =1 n = a n + bn + − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ µ =1 , , `˘ `,i giai: Ta chu´,ng minh bang 8.22 Lo quy nap theo k Vo´ i k = , `˘ ` bang tông m = (12.7) 1− m+1 m+1 ,, ,´ Voi k = ta t´ınh du ¯ o c 2.1 m 1− + = (12.8) m + (m + 1)(m + 2) m+2 , , , , , `˘ `, d¯ang ˘ Tu thu´ c (12.7) va` (12.8) du ¯ a dê ¯ ´n giai thiê´t tông (12.6) bang m , `˘ Ta s˜e chu´ ng minh rang m+k ( k + 1) k (k + 1)k 2.1 k+1 + − · · · + (−1)k+1 1− n + (m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2) (m + k + 1) m = (12.9) m+k+1 , ` Ta du d¯inh ngh˜ıa sau ¯ a vao  ˘ i < 0, hoac ˘ i > k; nê´u hoac 0, Qi ( k ) = k ( k − ) ( k − i + 1) (−1)i , nê´u ≤ i ≤ k ( m + 1) ( m + i ) , Khi d´ ¯o (12.9) c´o thê viê´t k +1 k +1 i ∑ Qi (k + 1) = ∑ [Qi (k) − m + i Qi−1 (k)] = i =0 i =0 = k +1 k +1 i =0 i =0 i ∑ Q i ( k ) − ∑ m + i Q i −1 ( k ) = , ,, , , ` tâp 12.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong = k k i =0 i =0 i+1 ∑ Qi ( k ) − ∑ m + i + Qi ( k ) k = 247 m ∑ m + i + Qi ( k ) i =0 k = m m ∑ m + i + 1.m + k + i =0 m+k+1 Qi ( k ) m = k m m+k+1 Qi ( k ) ∑ m + k + i =0 m + i + = k m m+k+1+i−i Qi ( k ) ∑ m + k + i =0 m+i+1 = k k m k−i [ ∑ Qi ( k ) + ∑ Qi (k )] m + k + i =0 m+i+1 i =0 = k k m m [ ∑ Qi (k) − ∑ Qi+1 (k)] = m + k + i =0 m+k+1 i =0 ❏ , ,, , , ` go i y ` tâp 12.9 L`oi giai va ´ bai chuong , , , ,, ` ,, ´ a) ap ´ dung ˘ thu´ c o bai 9.4 ta nhân 9.11 Go i y: d¯ang ¯ o c du P2i P q2i − 2i−2 = −(−1)2i−1 , Q2i Q2i−2 Q2i Q2i−2 P2i P `, d´ tu > 2i−2 (i = 1, 2, ) ¯o c´o Q2i Q2i−2 ,, , , b) tuong tu nhu phâ`n a) , ,, P1 P3 `,i giai: a) Day ˜ ` tâp 9.12 Lo , , hôi tu, boi v`ı theo bai Q1 Q3 , , , , ˜ giam, mat ´ sô´ hang ˘ khac ˘ th`ı day cua n´o dê ¯ `u duong Ta d¯at 248 , ,, , , ` tâp Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai , , P0 P2 P2i+1 `˘ ˜ ˜ day , , cung hôi tu; dê ω = lim Ta s˜e chı rang ¯ Q0 Q2 i →∞ Q2i +1 , , , ,, ˘ phai, v`ı ta d¯a˜ biê´t chu´ ng minh du ¯ o c diê ¯ `u d´ ¯o câ`n chı n´o bi chan , ` `, (9.13) ta c´o ˜ tang ˘ nhu bai tâp Thât n´o d¯a˜ la` day vây, tu P2i+1 Q2i − P2i Q2i+1 = (−1)2i = 1, `, dây tu ¯ P2i+1 P P Q − P2i Q2i+1 − 2i = 2i+1 2i = > (12.10) Q2i+1 Q2i Q2i Q2i+1 Q2i Q2i+1 , , , , P ˜ phân sô´ xâ´p xı vo´,i chı sô´ le ˘ α = limi→∞ 2i Bo,i v`ı day Ta d¯at Q2i , P2m , , ˜˘ th`ı ω ≤ ω Mat ´ ˘ khac < trôi hon phân sô´ vo´ i chı sô´ chan, Q2m , P2n+1 ˘ ω , (m = 0, 1, ) va` ω < , (n = 0, 1, ) Suy bâ´t d¯ang Q2n+1 , thu´ c P P2m < ω ≤ ω < 2n+1 Q2m Q2n+1 , , `˘ ˜ tâ´t ca sô´ tu., nhiên m, n Ta s˜e chu´,ng minh rang thoa man ω = , , , ,, P2i+1 P2i ` ta phai kê´t luân ω Ðê d¯at − c´o thê tro ¯ıch muc d´ Q Q2i 2i +1 , , , , ´ ` ` day ˜ Q0 , Q1 , rât nho i d¯u lo´ n Theo bai ¯ n di ¯ , , , ` (12.10) ta nhân ˘ tang suy Qn ≥ n, (n = 0, 1, ) Khi d´ ¯o tu ¯ o c du P2i+1 P 1 0< − 2i = ≤ , Q2i+1 Q2i Q2i Q2i+1 2i (2i + 1) `, dây tu ¯ P P P2i+1 P lim ( − 2i ) = lim 2i+1 − lim 2i = ω − ω = Q2i i →∞ Q2i +1 i →∞ Q2i +1 i →∞ Q2i , , Pn Ta ky´ hiêu ω gia´ tri chung cua ω va` ω c´o thê viê´t ω = nlim →∞ Qn , , ` la` gia´ tri cua liên phân sô´ Ta da Theo d¯inh ngh˜ıa gio´ i han ¯ ,, , , ´ phâ`n tu nguyên la` hôi chu´ ng minh xong moi liên phân sô´ vo´ i cac tu ❏ , ,, , , ` tâp 12.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 249 , ´ Theo bai ` liên phân sô´ d¯a˜ cho la` hôi 9.13 Go i y: tu, ta c´o , ´ thê viêt ω = (1, 1, ) = (1, ω ) = + , ω , ,, `˘ Ta thâ´y rang ω la` nghi cua phuong tr`ınh ω − ω − = V`ı √ êm 1+ ω > 0, th`ı ω = , , `,i giai: Tu `, nhu ˜,ng t´ınh châ´t cua liên phân sô´ ta nhân 9.14 Lo ,, du ¯ o c ω− Pi P ω + Pi−1 P Qi Pi−1 − Qi−1 Pi = i i +1 − i = Qi Q i ω i +1 + Q i −1 Qi Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) va` theo (9.13) ta c´o δi = |ω − Pi |= Qi Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) (12.11) V`ı ω i +1 > q i +1 , (12.12) `, dây th`ı Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) > Qi ( Qi qi+1 + Qi−1 ) = Qi Qi+1 tu ¯ ´ Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) = Q i ( Q i ( ω i +1 − q i +1 ) + ˘ khac δi < mat Q i Q i +1 , , ,, ` ˘ Qi qi+1 + Qi−1 ) va` dung bâ´t d¯ang thu´ c (12.12 ) ta nhân ¯ o c du Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) < Qi ( Qi + ( Qi qi+1 + Qi−1 )) = Qi ( Qi + Qi+1 ) ,, `, dây Tu ¯ va` (12.11) ta t`ım du ¯ o c δi > Q i ( Q i + Q i +1 ) ❏ , ` TAI LIÊU THAM KHAO [1] Phu,o,ng phap ´ Ðirichlê va` u´,ng dung, , , ˜ ˜ u Ðiên, NXB KHKT, 1999 Nguyên Hu , [2] Phu,o,ng phap ´ sô´ phu´,c va` h`ınh hoc phang, ˘ , ˜ Hu ˜,u Ðiên, NXB ÐHQG, 2000 Nguyên [3] Metod matematiqeskonj u indukcii, I S Sominskinj u, Moskva, 1961 [4] Matematiqeska indukci , L Petruxev, Sofi , 1983 [5] Problem-Solving through problems, Loren C Larson, Springer-Verlag, 1983 [6] Cac ´ dê ´ cac ´ nu,o´,c, ¯ ` thi vô d¯ich toan , X.V Cônhiagin, G.A Tônôian, I.F Sarugin, NXB GD, 1996 [7] Ph´ep quy nap h`ınh hoc, L.I Golovina, I.M Yaglom NXB GD, 1997 250 NÔI DUNG `,i noi ´ dâ Lo ¯ `u ,, ´ hoc Chuong Nguyên ly´ quy nap toan ˜ va` quy nap 1.1 Suy diên 4 ´ hoc 1.2 Nguyên ly´ quy nap toan , 1.3 Giai ¯ an quy nap va` gia thiê´t quy nap , ´, , ´ hoc 1.4 Hai buoc cua nguyên ly´ quy nap toan 14 , , ` dung ` ´ quy nap 1.5 Khi nao phuong phap 19 ` tâp 1.6 Bai 22 ,, ,, ` ´ quy nap ´ hoc Chuong Ky˜ thuât phuong phap dung toan 23 ´ hoc 2.1 Môt nguyên ly´ quy nap sô´ dang toan 23 ´ hoc 2.2 Mênh dê ¯ ` nguyên ly´ quy nap toan ,, ,, , 2.3 Buo´ c quy nap ¯ o c xây du ng P(k) du ,, ,, , 2.4 Buo´ c quy nap ¯ o c xây du ng P(k + 1) du ´ hoc 2.5 Quy nap toan va` ph´ep truy hô`i , ´ hoc ´ hoa´ 2.6 Quy nap toan va` tông quat 31 ` tâp 2.7 Bai , ,, ´,c tông quat ´ Chuong T`ım công thu 3.1 Câ´p sô´ công va` câ´p sô´ nhân , , ´ 3.2 T´ınh tông va` sô´ hang tông quat ,, 3.3 Phuong tr`ınh truy hô`i tuyê´n t´ınh 251 36 40 43 51 55 57 57 66 71 252 NÔI DUNG , , ˜,ng luy `,a cung ˜ thu ` ´ sô´ tu., nhiên bâc 3.4 Tông cua nhu cac ` tâp 3.5 Bai ,, Chuong Sô´ hoc 4.1 Ph´ep chia hê´t 84 87 89 89 ´ Euclide 94 4.2 Thuât toan , 4.3 Sô´ phu´ c 99 ˜,ng v´ı du khac ´ 105 4.4 Nhu ` tâp 4.5 Bai ,, ˜ sô´ Chuong Day ˜ sô´ tu., nhiên 5.1 Day , ˜ trôi 5.2 Day hon , , , ˜,ng bâ´t d¯ang ˘ 5.3 Nhu thu´ c nôi tiê´ng , ˜ 5.4 Day ¯ n di ¯ 5.5 Sô´ e 108 110 110 117 121 128 131 ˜ sô´ Fibonacci 5.6 Day 134 ` tâp 5.7 Bai ,, Chuong H`ınh hoc 139 140 ´ hoc 6.1 V´ı du quy nap toan cho h`ınh hoc 140 ` tâp 6.2 Bai ,, ´,c Chuong Ða thu , `,a sô´ 7.1 Phân t´ıch da ¯ thu´ c thu 154 ´ ´ sô´ 7.2 Nguyên ly´ so sanh cac , , ` cua da 7.3 Ðao ¯ thu´ c ham , 7.4 Ða thu´ c Chebychev 156 156 160 169 172 NÔI DUNG 253 ` tâp 7.5 Baii , , , ,, ´,c ˘ Chuong Tô ho p va` d¯ang thu , , , 8.1 Môt sô´ công thu´ c tô ho p , , ˘ 8.2 Môt thu´ c sô´ d¯ang 174 ` tâp 8.3 Bai ,, Chuong Liên phân sô´ 176 176 186 193 194 ´ niêm 9.1 Khai liên phân sô´ , ˜,u ty ` 9.2 Phân t´ıch sô´ hu liên phân sô´ , 9.3 Phân sô´ xâ´p xı 198 9.4 Liên phân sô´ vô han 203 9.5 V´ı du 204 ` tâp 9.6 Bai ,, Chuong 10 Môt ¯ ` thi vô d¯ich sô´ dê , ,, , ` tâp Chuong 11 Bai tu giai , ,, `,i giai va` go.,i y´ bai ` tâp Chuong 12 Lo , , , , , ` tâp 12.1 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.2 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.3 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.4 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.5 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.6 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 210 194 196 212 226 231 231 233 236 236 237 240 240 244 247 254 , ` ´ Thu c hanh t´ınh toan Muc luc 250 , , ´ QUY NAP ´ HOC PHUONG PHAP TOAN Ma˜ sô´: 8H663M0 , , In 3.000 ban (21TK), khơ 14, × 20, cm Tai Công ty In Ba ´ ´ Ð`ınh, Thanh H´oa Sô in: 127; Sô XB 05/796-00 , , ´ ˘ 2000 In xong va` nôp nam luu chiêu thang ... ´ QUY NAP ´ HOC NGUYÊN LY TOAN ˜ va ` quy nap 1.1 Suy diên ´ hoc 1.2 Nguyên l´ y quy nap toan , ` gia thiê´t quy nap 1.3 Giai ¯ an quy nap va , ,, ´ hoc ´ c cua nguyên l´y quy. .. THUÂT DUNG PHUONG PHAP ´ HOC QUY NAP TOAN ´ hoc 2.1 Môt nguyên l´ y quy nap sô´ dang toan ´ hoc 2.2 Mênh dê ¯ ` nguyên l´y quy nap toan ,, ,, , ´ c quy nap 2.3 Buo du o c xây d u... c quy nap ngh˜ıa tin hoc d¯inh nguo` i ta , , ,, ,, ngh˜ıa kiêu nhu la` thuo` ng goi d¯inh la` Buo´ c hô`i quy va` goi ,, `˘ d¯inh ngh˜ıa theo hô`i quy Ta thâ´y rang d¯inh ngh˜ıa hô`i quy