Đề khảo sát chất lượng toán 12 năm học 2019 2020 sở GD đt phú thọ

_ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN TỐN Thời gian làm bài: 90 phút (khơng kể thời gian phát đề) Đề thi khảo sát có: 06 trang - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ -Mà ĐỀ THI: xxx Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ? A y = − x − 3x + B y = − x + 3x + C y = x − x + D y = x − x − 2 Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = công bội q = Giá trị u3 A 32 B 16 C D Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Có cách chọn học sinh nam học sinh nữ để tập văn nghệ? A A112 2x 2x C x ln + C D + x + C + C ln ln Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao 3a Thể tích khối lăng trụ cho A x ln + x + C B A a B 4a C a D 3a Nghiệm phương trình log ( 3x − ) = B x = 12 D x = − C x = Cho khối trụ có chiều cao bán kính đáy Thể tích khối trụ cho B 3 A 8 D 11 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x = −4 C C112 B 30 C  D 24 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x − y + −1 1 − + + + y − Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +  ) B ( −3; +  ) −3 C ( −1;1) D ( − ;1) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;1; − ) , B ( 3; − 4;1) Tọa độ vectơ AB A ( −2;5; − 3) B ( 2;5;3 ) C ( 2; − 5;3) D ( 2;5; − 3) _ _ 10 Phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A y = 11 B y = B 3 a ) B 2a C B 2a D  a D C 4a D a Giá trị nhỏ hàm số y = x − x − đoạn  −1; 2 A −4 15 ( C 6 a Cho khối chóp có diện tích đáy a chiều cao 2a Thể tích khối chóp cho A 14 D x = Với a số thực dương khác 1, log a2 a a A 13 C x = Cho hình nón có độ dài đường sinh 3a bán kính đáy a Diện tích xung quanh hình nón cho A 12 a 12 2x − x −1 B D −3 C Cho f ( x ) hàm số liên tục F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) Biết  f ( x ) dx = F (1) = Giá trị F ( 3) A 16 D Đạo hàm hàm số y = log3 ( x − x + 1) A 17 C −2 B 2x −1 ( x − x + 1) ln B 4x −1 ( x − x + 1) ln C ( x − 1) ln 2x − x +1 D 4x −1 x2 − x + Phần hình phẳng ( H ) gạch chéo hình vẽ giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = x + x hai đường thẳng x = −2; x = 0 Biết  f ( x ) dx = , diện tích hình phẳng ( H ) −2 A 18 B 16 C D 20 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1;1;0 ) B ( 3;5; − ) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB A ( 2; 2; − 1) B ( 2;6; − ) C ( 4; 4; − ) D (1;3; − 1) _ _ 19 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số cho ba điểm phân biệt A Vô số C 20 B D Tập nghiệm bất phương trình x A ( − ; − 1  3; +  ) 21 −2 x  64 B 3; +  ) C ( − ; − 1 D  −1;3 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền a Diện tích xung quanh hình nón cho 2 a A 22 Cho hàm số y = B  a2 C  a D 2 a 2x +1 Tích giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho đoạn  −1;0 x −1 A 23 C − B D Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x − y −1 − + + + + + y −5 Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số A B C D 24 Số nghiệm phương trình log ( x + ) + log ( x − ) = log 25 A B C D Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) A 30 C 60 26 B 45 D 90 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x + 3)( x − 1) Số điểm cực trị hàm số A 27 B C D 1 x    Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = 1 +  với x  ( 0; +  ) \  + k , k   x  cos x  2  A − + tan x + C x2 B ln x + tan x + C C − − tan x + C x2 D ln x − tan x + C _ _ 28 Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AC = a 5, AA = 2a (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối lăng trụ cho A 3a 29 B 3a C 3a 3a D Trong không gian Oxyz , cho vectơ a = ( −2; − 3;1) b = (1;0;1) Cơsin góc hai vectơ a b A − 30 B C − D Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau − x − y − 0 + + + − + + y −4 Số nghiệm phương trình f ( x ) − 11 = A 31 B −4 C D Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, cạnh AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm đoạn OA Góc SC mặt phẳng ( ABCD ) 30 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) A 32 22a 44 B 22a 11 Cho phương trình 16 x − 2.4 x 2 +1 C 22a 11 D 22a 44 + 10 = m ( m tham số) Số giá trị nguyên m   −10;10 để phương trình cho có nghiệm thực phân biệt A 33 B C D Trong không gian Oxyz , cho điểm I ( 2; 4; − 3) Phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxz ) A ( x − ) + ( y − ) + ( z + 3) = B ( x − ) + ( y − ) + ( z + 3) = 29 C ( x − ) + ( y − ) + ( z + 3) = D ( x − ) + ( y − ) + ( z + 3) = 16 2 2 2 2 2 2 _ _ 34 Giả sử n số nguyên dương thỏa mãn 3Cn2 − Cn3 = 24 Hệ số số hạng chứa x12 khai n 2  triển  x x −  x  B −672 x12 A 672 x12 35 D −672 C 672 Cho hàm số f ( x )  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn ( x + 1) f  ( x ) = f ( x) x+2  ln  f ( 0) =   Giá trị f ( 3)   A 36 ( ln − ln 5) B ( ln − ln ) C ( ln − ln 5) D ( ln − ln ) Cho hàm số y = x3 + ( m − ) x + ( m − ) x + Số giá trị nguyên tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng ( − ; +  ) 37 A B C D Cho khối lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H cạnh AC Góc hai mặt phẳng ( BCC B ) ( ABC ) 60 Thể tích khối lăng trụ cho 3a A 38 3a B 3a C a3 D 16 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) , B (1; − 2;5 ) Phương trình mặt cầu qua hai điểm A, B có tâm thuộc trục Oy 39 A x + y + z + y − 22 = B x + y + z − y − 22 = C x + y + z + y − 26 = D x + y + z − y − 26 = 2x −1 Cho hàm số f ( x ) có f (1) = e f  ( x ) = e2 x , x  Khi x A − e 40 B − e2 C − e ln  xf ( x ) dx D − e2 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số g ( x ) = f ( − x + x ) A B C D _ _ 41 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn  x  2021 y − log ( x + y −1 ) = x − y ? A 2020 42 B C 2019 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục D 10 thỏa mãn f ( −1) = 5, f ( −3) = có bảng xét dấu đạo hàm sau x f ( x) − −1 + 0 − + + + − Số giá trị nguyên dương tham số m để phương trình f ( − x ) + x + − x = m có nghiệm khoảng ( 3;5 ) A 16 43 B 17 C D 15  1 thỏa mãn f ( −1) = 1, f  −  = Hàm số  e f  ( x ) có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x )  ln ( − x ) + x + m có nghiệm Cho hàm số y = f ( x ) liên tục 1  với x   −1; −  e  A m  B m  − e C m  − D m  e 44 Cho hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( 0; +  ) thỏa mãn f ( x + 1) + f ( x ) = x + ln ( x + 1) 4x x 2x 17 Biết  f ( x ) dx = a ln − ln b + c với a, b, c  Giá trị a + b + 2c 29 B C D 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm cạnh AB, góc ( SAC ) đáy 45 Gọi M trung điểm A 45 SD Khoảng cách hai đường thẳng AM SC A a 46 Cho B hàm f ( x) a 10 xác định C hàm D a f (1) = Biết 1+ x f − x dx = Giá trị  f ( x ) dx x A B C D 7 Cho hình nón đỉnh S có đáy hình tròn tâm O Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng SAB có diện tích 4a Góc trục SO mặt phẳng ( SAB ) 30 Diện tích xung quanh hình nón cho  x f  ( x ) dx =  ( A 10 a B 10 a 47 số a có đạo ) C 10 a D 10 a _ _ 48 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( e x − ) − 2020 nghịch biến khoảng đây? 49 3  3  A  −1;  B ( −1; ) C ( 0; +  ) D  ;  2  2  Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD )  , với cos  = Thể tích khối chóp cho A 50 a3 B a C 2a D 2a Cho đa giác ( H ) có 30 đỉnh Lấy tùy ý đỉnh ( H ) Xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác tù A 39 140 B 39 58 C 45 58 D 39 280 - HẾT - _ Lời giải đề thi khảo sát tỉnh Phú Thọ Lớp Chun Tốn Khóa 36 ✯❸ Ngày 17 tháng năm 2020 "The Only Way To Learn Mathematics Is To Do Mathematics" — Paul Halmos Tập thể lớp chuyên Tốn khóa 36, trường THPT chun Hùng Vương xin giới thiệu tới bạn đọc quý thầy cô đề thi lời giải mơn Tốn cho kì thi khảo sát khối 12 tỉnh Phú Thọ diễn vài ngày trước Mặc dù tỉnh có thu lại đề nhóm tác giả lượm mạng đề để giải Đồng thời nhóm tác giả muốn xin đề đạt với thầy Sở giáo dục sau thi nên cho bạn học sinh cầm đề nháp để trao đổi, rút kinh nghiệm thêm cho thân để làm tài liệu cho khóa sau Trong tài liệu có lỗi soạn thảo nội dung, tác giả mong muốn trao đổi thêm với bạn đọc Tài liệu thành nhóm tác giả chia sẻ công khai tới cộng đồng, tất hoạt động mua bán hay kinh doanh mà cho phép tác giả trái pháp luật Mục lục Bình luận chung Đề Lời giải chi tiết 11 ➜1 Bình luận chung Đề thi lần sát với cấu trúc đề minh hoạ, câu lý thuyết hay vận dụng tính chất chiếm khoảng 50% đề thi đủ dạng Đây số phù hợp để bạn học sinh trung bình đạt − điểm Đề thi có nhiều câu có độ khó cao nhiều câu để thực phân loại học sinh (điểm - 10) Các mảng kiến thức chủ yếu câu liên quan hàm số, nguyên hàm, tích phân hình học khơng gian Để đạt điểm địi hỏi học sinh phải biết vận dụng tay địi hỏi thêm tính tốn cẩn thận Còn muốn với tới − 10 học sinh gặp khơng khó khăn, bạn học sinh vừa cần cẩn thận câu dễ mà lại phải nhanh ✯ ❸ Email: 10toancutee@gmail.com Facebook: Mười Một Tốn Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 để chiến đấu với câu cịn lại có mức tính tốn nhiều hơn, số học sinh đạt thang điểm khơng nhiều Nhìn chung đề thi đáp ứng loại đối tượng học sinh, giúp phân loại học sinh tốt Mong điểm trung bình tồn tỉnh cao điều đáng mừng ♥ ➜2 Đề thi Kì thi có nhiều mã đề có lẽ thay đổi số liệu, trộn câu Câu Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ A y = −x3 − 3x2 + C y = x4 − 3x2 + B y = −x4 + 3x2 + D y = x3 − 2x2 − Câu Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 = cơng bội q = Giá trị u3 A 32 B 16 C D Câu Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Có cách chọn học sinh nam học sinh nữ để tập văn nghệ ? A A211 C C11 B 30 D 11 Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = 2x + 4x A 2x ln + 2x2 + C 2x B + 2x2 + C ln C 2x ln + C 2x D + C ln Câu Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao 3a Thể tích khối lăng trụ cho A a3 B 4a3 C a D 3a3 Câu Nghiệm phương trình log2 (3x − 8) = A x = −4 B x = 12 C x = D x = −4 √ Câu Cho khối trụ có chiều cao bán kính đáy Thể tích khối trụ cho Lớp chuyên Toán khóa 36 - CHV A 8π Hướng tới kì thi đại học 2020 √ √ B 3π π C D 24π Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x y y −∞ + −1 1 − +∞ + +∞ −∞ −3 Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +∞) B (−3; +∞) C (−1; 1) D (−∞; 1) Câu Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 1; −2), B(3; −4; 1) Tọa độ vectơ −−→ AB A (−2; 5; −3) C (2; −5; 3) B (2; 5; 3) Câu 10 Phương trình tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A y = B y = D (2; 5; −3) 2x − x−1 C x = D x = Câu 11 Cho hình nón có độ dài đường sinh 3a bán kính đáy a Diện tích xung quanh hình nón cho A 12πa2 B 3πa2 C 6πa2 D πa2 √ Câu 12 Với a số thực dương khác 1, loga2 (a a) A B C D Câu 13 Cho khối chóp có diện tích đáy a2 chiều cao 2a Thể tích khối chóp cho A 2a3 B 2a3 C 4a3 D a3 Câu 14 Giá trị nhỏ hàm số y = x4 − 2x2 − khoảng [1; 2] A −4 B C D −3 Câu 15 Cho f (x) hàm số liên tục R F (x) nguyên hàm f (x) Biết f (x)dx = F (1) = 1, giá trị F (3) A C −2 B Câu 16 Đạo hàm hàm số y = log3 (2x2 − x + 1) D Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Lời giải Đáp án đúng: A Ta có cơng thức → − − cos → a, b = → − → − a · b → − = → − a · b −2 · + (−3) · + · −1 √ = √ 2 2 2 + (−3) + · + + (−2)2 − − Trong → a độ dài → a Câu 30 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau √ √ − 6 +∞ x −∞ y − + − + y +∞ +∞ −4 −4 Số nghiệm phương trình 2f (x) − 11 = A B C D Lời giải Đáp án đúng: B Phương trình tương đương với f (x) = 11 = 5, Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy √ Khi x ∈ (−∞; − 6) f (x) nghịch biến √ từ +∞ đến −4 nên phương trình có nghiệm khoảng (−∞; − 6) √ Khi x ∈ [− 6; 0] f (x)√đồng biến từ −4 đến nên phương trình khơng có nghiệm đoạn [− 6; 0] √ Tương tự phương trình khơng có nghiệm đoạn [0; 6] √ Cuối x ∈ [ 6; +∞) f (x) đồng biến chạy từ −4 +∞ nên phương trình có thêm nghiệm Vậy kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm Câu 31 Cho hình √ chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, cạnh AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn thẳng OA Góc SC mặt phẳng (ABCD) 30◦ Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) √ 22a A 44 √ 22a B 11 √ C 22a 11 √ 22a D 44 Lời giải Đáp án đúng: B Ta gọi I trung điểm OA, theo đề ta có SI ⊥ AC Lấy M, N hình chiếu I lên AB SM √ √ Trước tiên ta tính AC = BD = AB + AD2 = 3a 22 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Theo giả thiết ta có (SC, (ABCD)) = (SC, CI) = ∠SCI = 30◦ nên SI = IC ·tan 30◦ = a Nhận thấy IM BC vng góc với AB nên theo định lý Thales ta BC a AI = = √ có IM = BC · AC 2 1 Từ áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SIM ta có = + 2 IN IM SI √ 3a 22 ta tính IN = 44 Suy ta có √ CA 22a d(C, (SAB)) = · d(I, (SAB)) = 4IN = IA 11 Claim 3.11 — Cho mặt phẳng (P ) hai điểm A, B ❼ Nếu AB song song với (P ) hiển nhiên d(A, (P )) = d(B, (P )) ❼ Nếu AB cắt mặt phẳng (P ) S d(A, (P )) SA = d(B, (P )) SB Câu 32 Cho phương trình 16x − · 4x +1 + 10 = m (m tham số) Số giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt A B C D Lời giải Đáp án đúng: A Ta viết lại phương trình ban đầu dạng t2 − 8t + 10 = m, t = 4x Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thực phân biệt phương trình ẩn t có nghiệm t > 1, ngược lại t = có nghiệm x = t < phương trình ẩn x vơ nghiệm 23 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Hướng Xét f (t) = t2 − 8t + 10 − m ta có ∆t = (−8)2 − 4(10 − m) = 24 + 4m > 0, suy m ≥ −5 Kết hợp điều kiện có nghiệm lớn ta có √ √ + 24 + 4m − 24 + 4m >1> 2 Giả bất phương trình ta thu m ≥ Vậy có tổng cộng giá trị m thỏa mãn điều kiện đề Hướng Xét g(t) = t2 − 8t + 10 Ta tính g (t) = 2(t − 4) = ⇐⇒ t = Ta có bảng biến thiên sau x −∞ g (t) g(t) +∞ − +∞ + +∞ −6 Do để phương trình có nghiệm t > m > 3, suy có giá trị thỏa mãn Câu 33 Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; 4; −3) Phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) A (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z + 3)2 = C (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z + 3)2 = B (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z + 3)2 = 29 D (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z + 3)2 = 16 Lời giải Đáp án đúng: D Giả sử mặt cầu thỏa mãn đề có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) điểm S S hình chiếu I lên mặt phẳng (Oxz) S nằm (Oxz) nên yS = Do R = SI = |yI − yS | = (trong R bán kính mặt cầu) Suy phương trình mặt cầu biết tâm I(2; 4; −3) bán kính (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z + 3)2 = 42 = 16 Claim 3.12 — Trong khơng gian Oxyz, lấy điểm I khơng nằm mặt phẳng (Oxz) mặt cầu có tâm (I) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) điểm S S hình chiếu I lên (Oxz) Câu 34 Giả sử n số nguyên dương thỏa mãn 3Cn2 − Cn3 = 24 Hệ số √ n số hạng chứa x12 khai triển x2 x − x A 672x12 B −672x12 C 672 24 D −672 Lớp chuyên Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Lời giải Đáp án đúng: D Trước hết phương trình 3Cn2 −Cn3 = 24 tương đương với 3n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) = − 24 giải ta n = Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có đơn thức chứa x12 có dạng √ k −2 9−k C9k x2 x · x Đồng số mũ x k = 6, thay lại ta có hệ số x12 −672 Câu 35 Cho hàm số f (x) > có đạo hàm liên tục R, thỏa mãn f (x) ln 2 Giá trị f (3) (x + 1)f (x) = f (0) = x+2 1 A (4 ln − ln 5)2 C (4 ln − ln 5)2 B 4(4 ln − ln 5)2 D 2(4 ln − ln 5)2 Lời giải Đáp án đúng: C Ta viết lại giả thiết sau f (x) f (x) = 1 = − (x + 1)(x + 2) x+1 x+2 Suy f (x) = f (x) f (x) dx = 1 − x+1 x+2 dx = ln |x + 1| − ln |x + 2| + C Ta thay x = vào phương trình ta C = ln Sau lại cho x = vào ta thu f (3) = ln − ln + ln = ln − ln 5, suy f (3) = (4 ln − ln 5)2 Câu 36 Cho hàm số y = x3 + (m − 2)x2 + (m − 2)x + Số giá trị nguyên tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; +∞) A B C D Lời giải Đáp án đúng: C Ta lấy đạo hàm hàm số y y = 3x2 + 2(m − 2)x + (m − 2), để hàm số cho đồng biến (−∞; +∞) y ≥ với x ∈ R Mà 3x2 + 2(m − 2)x + (m − 2) phương trình bậc có hệ số cao > nên y ≥ tương đương với ∆x = (m − 5)(m − 2) ≤ Điều tương đương với ≤ m ≤ 5, suy m ∈ {2; 3; 4; 5} m số nguyên 25 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Câu 37 Cho khối lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC tam giác vng A, AB = a, BC = 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H cạnh AC Góc hai mặt phẳng (BCC B ) (ABC) 60◦ Thể tích khối lăng trụ cho √ √ √ √ 3a 3a3 3a3 a3 A B C D 8 16 Lời giải Đáp án đúng: C Lấy I hình chiếu √ H lên cạnh BC Áp dụng định lý Pythago cho tam giác ACB ta tính CB = 3a IH CH AC Lại có ∠CIH = ∠CAB = 90◦ nên CIH ∼ CAB, suy = = = AB CB 2CB √ √ √ a 3 IH = AB · = 4 Ta gọi K trung điểm A C M hình chiếu K lên B C Khi tứ giác IM KH hình bình hành nên KM = IH Lấy N đối xứng với C qua M KM đường trung bình tam giác C A N , kết hợp kiện A N song song có độ dài lần đoạn IH Nhận thấy giả thiết cho H hình chiếu A lên mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (A N IH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Do A N > HI nên ∠HIN góc tù, suy ∠HIN = 180◦ − ((ABC), (BCC B )) = 120◦ ∠A N I = 60◦ Gọi H hình chiếu I lên A N H trung điểm A N A H = IH = 3a N H · tan ∠H N I = IH · tan 60◦ = √ √ 3a 3a 3a3 Từ ta có VABC.A B C = A H · SABC = · = Claim 3.13 — Cho hai mặt phẳng (P ) (Q) có góc tạo hai mặt phẳng α Lấy mặt phẳng (R) vng góc với mặt phẳng (P ) (Q) Kí hiệu d1 giao tuyến (P ), (R) d2 giao tuyến (Q), (R) Khi α ≡ (d1 , d2 ) (mod π) 26 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Câu 38 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(1; −2; 5) Phương trình cho mặt cầu qua hai điểm A, B có tâm thuộc trục Oy A x2 + y + z + 4y − 22 = C x2 + y + z + 4y − 26 = B x2 + y + z − 4y − 22 = D x2 + y + z − 4y − 26 = Lời giải Đáp án đúng: A Ta kí hiệu mặt cầu thỏa mãn đề (S) có tâm I, bán kính R Do I ∈ Oy nên I có tọa độ I(0; a; 0) Vì I tâm mặt cầu nên IA = IB tương đương với 12 + (a − 2)2 + 32 = + (a + 2)2 + 52 , giải √ ta a =√−2 Suy R = IA = 12 + 42 + 32 = 26 nên (S) có phương trình x2 + (y + 2) + z = 26 hay tương đương x2 + y + z + 4y − 22 = Claim 3.14 — Cho hai điểm A(xA ; yA ; zA ) B(xB ; yB ; zB ) khơng gian Khi khoảng cách hai điểm AB = (xA − xB )2 + (yA − yb )2 + (zA − zB )2 Câu 39 Cho hàm số f (x) có f (1) = e2 f (x) = ln Khi 2x − 2x e , ∀x = x2 xf (x)dx A − e2 B − e2 C − e2 D − e2 Lời giải Đáp án đúng: D Ta có f (x)dx = 2x e2x · e − · e2x dx = +C x x x 2x − 2x · e dx = x2 e2x + C x Thay x = 1, ta có f (1) = e2 + C suy C = f (1) − e2 = Suy nên f (x) = ln ln xf (x)dx = 1 e2x dx = e2x 27 ln = 1 ln − e2 e − e2 = 2 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Câu 40 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số g(x) = f (−x2 + x) A B C D Lời giải Đáp án đúng: D f (−x2 +2x) = Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta có f (−x2 + x) = −x2 + x = −2 −x2 + x = nên x ∈ {−1; 0; 1; 2} Từ ta có bảng biến thiên hàm số g(x) Ta có g (x) = (f (−x2 +x)) = (−2x+1)f (−x2 +x) = ⇔ x = x −∞ g (x) g(x) − −1 + 0 − 1/2 + − Từ bảng biến thiên ta suy ba điểm cực tiểu +∞ + −1; ; Nhận xét Đề câu cho hàm số bậc ba thừa cần nhìn hình vẽ đồ thị hàm số đủ điều kiện để giải Nếu có thêm giả thiết mị hàm f (x) = −x3 − 3x2 + từ thay vào g(x) tính tốn cách trực tiếp Câu 41 Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn ≤ x ≤ 2021 2y − log2 (x + 2y−1 ) = 2x − y? A 2020 B C 2019 D 10 Lời giải Đáp án đúng: D Hướng Đặt log2 (x + 2y−1 ) = t (t ≥ 0) Suy x + 2y−1 = 2t hay 2x = 2t+1 − 2y Thay vào giả thiết tốn ta có 2y − t = 2t+1 − 2y − y, tương đương với 2y+1 + y = 2t+1 + t (∗) Xét hàm số g(x) = 2x+1 + x R g (x) = 2x+1 ln + > nên g(x) đồng biến R 28 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Suy từ (∗) ta rút y = t hay log2 (x + 2y−1 ) = y ta có x = 2y−1 Kết hợp điều kiện ≤ x ≤ 2021 có ≤ y − ≤ 10 Từ dễ tìm 10 số nguyên (x; y) thỏa mãn (2i ; i + 1) | i ∈ N, ≤ i ≤ 10 Hướng (Sử dụng máy tính suy luận logic) Trước hết, đề vứt cho ta phương trình có điều kiện ràng buộc ≤ x ≤ 2021 nên ta có sở để coi y làm tham số ta cần máy tính để giải x ❼ Do ≤ x ≤ 2021 nên ta chọn x tham số giải y ta phải bấm máy 2020 trường hợp, rõ ràng khơng có cụ rùa nhanh bạn đâu ❼ Để ý vế trái phương trình có 2y tăng vơ nhanh y tăng để phương trình có nghiệm x ≤ 2021 y bị chặn số a khơng q lớn Nếu y số ngun âm, kết hợp x ≥ ta dễ thấy vế trái nhỏ vế phải Vậy ta việc thử y số tự nhiên ta nhập phương trình vào bấm shift + solve để tìm x Thường máy tính tính số nguyên trước số hữu tỷ, vô tỷ để chắn phương trình bạn có nghiệm ngun hay khơng bạn nhập vào máy tính sau: 2y − log2 (x + 2y−1 ) − (2x − y) + (Intg(x) − x)2 = Trong Intg(x) máy tính hàm phần nguyên nên nghiệm phương trình có số ngun Và với hướng đầu cho ta thấy ta phải bấm máy khoảng 12,13 lần chắn giải hồn tồn tốn Nhận xét Dạng tốn f (A) = f (B) với f (x) hàm số đơn điệu khoảng hay đoạn đó, để suy A = B quen thuộc có ứng dụng nhiều tốn hay từ thi đại học đến thi học sinh giỏi quốc gia Câu 42 Cho hàm số f (x) liên tục R, thỏa mãn f (−1) = 5, f (−3) = có bảng xét dấu đạo hàm sau x −∞ −1 +∞ f (x) + − + + − √ Số giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 3f (2−x)+ x2 + 4−x = m có nghiệm khoảng (3; 5) A 16 B 17 C D 15 Lời giải Đáp án đúng: D √ Ta xét g(x) = 3f (2 − x) + x2 + − x khoảng (3; 5) g (x) = −3f (2 − x) + √ x − +4 x2 Do x ∈ (3; 5) nên − x ∈ (−3; −1), từ dựa vào bảng biến thiên ta có f (2 − x) > x √ − < 0, suy g (x) < với x ∈ (3; 5) x +4 Vậy suy ra√g(5) < g(x) < g(3) Dựa√vào giả thiết f (−1) = f (−3) = ta tính g(5) = 29 − g(3) = 12 + 13 29 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Do f (x) liên tục R nên g(x) liên tục R nên f (x) vét hết giá trị khoảng (g(5); g(3)) x chạy (3; 5) (hệ định lý giá trị trung gian) √ √ Do m số nguyên dương thỏa mãn 29 − < m < 12 + 13 hay ≤ m ≤ 15 nên có 15 giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Câu 43 Cho hàm số y = f (x) liên tục R thỏa mãn f (−1) = 1, f −1 e = Hàm số f (x) có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f (x) < ln(−x) + x2 + m có nghiệm với x ∈ −1; − e A m > B m > − e2 C m ≥ − e2 D m ≥ Lời giải Đáp án đúng: C Bất phương trình tương đương với g(x) < m với g(x) = f (x) − ln(−x) − x2 x ∈ −1; − e 1 Khi g (x) = f (x) − − 2x Dựa vào đồ thị hàm số f (x) > , 2x < với x x x ∈ −1; − Suy g (x) > e 1 1 Từ ta có g(x) < g − =f − − ln − − = − e e e e e 1 − Do f (x) liên tục R nên g(x) liên tục −1; − , suy x → − e e 1 g(x) → − nên m ≥ − e e Nhận xét ❼ Nếu thi tự luận có nhiều bạn trình bày tốn sau "Từ điều kiện toán suy m ≥ max g(x)" x∈(−1;−1/e)) 30 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Đây thực phát biểu liều lĩnh cịn chưa biết hàm số g(x) có max khoảng hay khơng Cụ thể lời giải thấy khơng có giá trị lớn Tuy nhiên tính liên tục hàm số nên g(x) tiến sát lại g − khoảng > tùy ý nên m bắt buộc phải không nhỏ e 1 = − g − e e ❼ Bình thường kiến thức giải tích THPT học sinh hát "mơ hồ" ca sĩ Bùi Anh Tuấn nên giáo dục cho thi trắc nghiệm kiến thức lại bị mai Câu khoảng (0; +∞) thỏa mãn f (x2 + 1) + √ 44 Cho hàm số f (x) liên tục 17 f ( x) 2x + √ = f (x)dx = a ln − ln b + c với a, b, c ∈ R · ln(x + 1) Biết 2x 4x x Giá trị a + b + 2c A 29 B C D 37 Lời giải Đáp án đúng: C Do f (x) liên tục (0; +∞) nên tồn F (x) = f (x)dx, ∀x > Vì x > nên giả thiết tốn tương đương với √ f ( x) 2xf (x + 1) + √ = (2x + 1) · ln(x + 1) x √ √ f ( x) Xét vế trái g(x) = 2xf (x + 1) + √ g(x)dx = F (x2 + 1) + F ( x) + C1 x vế phải h(x) = (2x + 1) ln(x + 1) (2x + 1) ln(x + 1)dx = (x2 + x) ln(x + 1) − h(x)dx = (x2 + x) · = (x2 + x) ln(x + 1) − xdx = (x2 + x) ln(x + 1) − x2 + C2 √ x2 Suy F (x2 + 1) + F ( x) = (x2 + x) ln(x + 1) − + C (∗) Thay x = vào (∗) ta có F (17) + F (2) = 20 ln − + C Thay x = vào (∗) ta có F (2) + F (1) = ln − 17 + C f (x)dx = F (17) − F (1) = 20 ln − ln − Từ ta có Suy a = 20, b = 2, c = −15 nên a + b + 2c = 31 15 dx x+1 Lớp chuyên Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Claim 3.15 — Hàm số f (x) liên tục khoảng hay đoạn tồn nguyên hàm hàm số khoảng hay đoạn nêu Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB, góc (SAC) đáy 45◦ Gọi M trung điểm đoạn thẳng SD Khoảng cách đường thẳng AM SC A a √ a B √ a C 10 √ a D Lời giải Đáp án đúng: D Hướng (Dùng não, tính tốn nhiều) Ta gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) H trung điểm AB Kẻ HK ⊥ AC (K ∈ AC) Khi SK vng góc với AC Ta thấy SK ⊥ AC SK nằm mặt phẳng (SAC); HK ⊥ AC HK nằm mặt phẳng (ABCD) nên suy ((SAC); (ABCD)) = ∠SKH (do ∠SKH góc nhọn ∠SHK = 90◦ ) Từ ta có ∠HKS = 45◦ theo giả thiết đề bài, √ kết hợp AKH ∼ ABC nên a tam giác AKH vuông cân K, suy SH = HK = √ a3 Do vậy, thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = SH · SABCD = 12 VD.AM N M D SADN 1 Ta gọi N trung điểm đoạn CD Khi = · = · = nên VS.ABCD SD SABCD √ a3 ta tính VD.AM N = 96 Nhận thấy M trung điểm SD, N trung điểm CD nên M N SC, suy d(AM ; SC) = d(SC; (AM N )) = d(C; (AM N )) = d(D; (AM N )) Ta lại có √ 3VD.AM N a3 d(D; (AM N )) = = SAM N 32 · SAM N nên ta tính diện tích tam giác AM N 32 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Ta tính độ dài đoạn SB = SA = √ √ 22a 2 SK + KC = √ √ AH + SH = 6a , SC = SD = √ Áp dụng công thức đường trung tuyến cho tam giác SAD ta có AM = √ √ 5a 22a tục cho tam giác ACD AN = M N = SC = 2 22a , tiếp Ta áp dụng công thức Heron cho tam giác AM N ta tính SAM N = √ a Từ suy d(AM ; SC) = Hướng (Kẻ thêm, tính tốn ít) Ta kí hiệu điểm H, K hướng √ 10a2 32 Lấy A đối xứng với A qua N C đối xứng với H qua C Khi dễ thấy A trung điểm C D C trung điểm BA H trung điểm AB nên HC đường trung bình tam giác BAA Xét phép vị tự tâm D tỉ số (SCC ) biến thành (AM N ) nên (AM N ) song song với mặt phẳng (SCC ) Chú ý SH ⊥ (ABCD) nên mặt phẳng (SCC ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên từ suy d(AM ; SC) = d(SC; (AM N )) = d(H; (AM N )) = d(H; AA ) = d(B; HC) = 1 + BH BC √ a = Nhận xét Từ hướng kẻ thêm cho ta thấy đề bị thừa kiện chỗ góc hai mặt phẳng 45◦ Dù điểm S thay đổi nằm √ đường thẳng qua H vng a góc với (ABCD) d(AM ; SC) khơng đổi Claim 3.16 — Cho hai mặt phẳng (P ) (Q) có giao tuyến d Lấy điểm S (P ) khơng nằm d ❼ Gọi H hình chiếu S lên (Q), K hình chiếu H lên d SK vng góc với d ❼ ((P ); (Q)) ≡ (KS; KH) (mod π) 33 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Câu 46 Cho hàm số f √ (x) có đạo hàm xác định R Biết f (1) = √ x + √ f (2 − x)dx = Giá trị f (x)dx x2 f (x)dx = x A B C D Lời giải Đáp án đúng: D √ √ −1 Ta đặt − x = t hay x = − t nên √ dx = dt x Với x = t = 1, với x = t = nên suy √ √ 1+3 x √ f (2 − x)dx = x 1 √ −(1 + x)f (t)dt = √ (1 + x)f (t)dt (7 − 3t)f (t)dt = (7 − 3x) · f (x)dx = (1) Do suy 1 −2 hay 1 x2 f (x) = x2 f (x) − Lại có 2xf (x)dx = 2− 2xf (x)dx = nên 2xf (x)dx = 3xf (x)dx = −3 (2) Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta có 7f (x)dx = nên 0 f (x)dx = Câu 47 Cho hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng SAB có diện tích 4a2 Góc trục SO mặt phẳng (SAB) 30◦ Diện tích xung quanh hình nón cho √ A 10πa2 √ B 10πa2 C √ 10πa2 √ D 10πa2 Lời giải Đáp án đúng: B Do thiết diện SAB tam giác vuông cân S nên SA2 = 4a2 , ta rút √ SA = SB = 2a AB = 4a Gọi H trung điểm AB SH = HA = HB = 2a Ta có (SO; (SAB)) = 30◦ nên suy ∠HSO = 30◦ từ ta có OH = SH = a √ √ Áp dụng định lý Pythago ta tính OB = HB + OH = 5a √ Vậy diện tích xung quang hình nón Sxq = S × l = (OB · π) · SB = 10πa2 34 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Câu 48 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số f (x) hình vẽ Hàm số g(x) = f (ex − 2) − 2020 nghịch biến khoảng đây? A −1; B (−1; 2) C (0; +∞) D ;2 Lời giải Đáp án đúng: A Ta có g (x) = ex · f (ex − 2) nên để g(x) nghịch biến f (ex − 2) ≤ (∗) Dựa vào đồ thị hàm số f (x) hình vẽ ta có (∗) tương đương với ex − ≤ nên x ≤ ln Vậy có đáp án A thỏa mãn Câu 49 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Góc hai mặt phằng (SBC) (SCD) ϕ, với cos ϕ = √ Thể tích khối chóp cho √ a3 A √ 2a3 C √ B a3 D 2a3 Lời giải Đáp án đúng: A Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A trùng với gốc tọa độ O B nằm Ox, D nằm Oy , S nằm Oz (như hình vẽ) 35 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Khơng tính tổng qt, giả sử a = 1, AD = m (m > 0) ta có A(0; 0; 0), S(0; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; m; 0), D(0; m; 0) −→ −→ −→ Suy SB = (1; 0; −1), SC = (1; m; −1), SD = (0; m; −1) −→ −→ −→ −→ −−→ −−−−→ Vì − n− (SBC) = SB; SC = (m; 0; m) n(SCD) = SD; SC = (0; −1; −m) Do α = ((SBC); (SCD)) − −−→ −−−−→ n− (SBC) · n(SCD) cos α = −−−−→ −−−−→ = √ · n n m2 √ =√ m + · 2m (SCD) (SBC) √ Giả phương trình √ với điều kiện m > ta có m =√ 2 Khi VS.ABCD = với a = nên suy VS.ABCD = a 3 Câu 50 Cho đa giác (H) có 30 đỉnh Lấy tùy ý đỉnh (H) Xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác tù A 39 140 B 39 58 C 45 58 D 39 280 Lời giải Đáp án đúng: B Ta kí hiệu đa giác 30 đỉnh A1 A2 A30 đường tròn ngoại tiếp đa giác (O) Xét đỉnh A1 ta chia đôi (O) đường kính A1 A16 , tam giác tù có đỉnh A1 hai đỉnh cịn lại phải nằm phía so với A1 A16 Vậy có tổng cộng · C14 cách chọn tam giác tù có đỉnh A1 Xét tương tự với đỉnh A2 , A3 , , A30 số tam giác bị đếm hai lần xét đỉnh Ai Ai Ai+15 (i = 1, 20) đường kính xét đến đỉnh Ai+15 ta dùng Ai Ai+15 làm đường kính, i + 15 ta hiểu i − 15 16 ≤ i ≤ 30 ta chọn ba đỉnh Suy có tổng cộng số cách chọn tam giác tù 30 · C14 30 đỉnh có C30 cách chọn 30 · C14 39 Suy xác suất để ba đỉnh lấy tạo thành tam giác tù = 58 C30 Chúc bạn học sinh khối 12 tỉnh Phú Thọ nói chung trường THPT chun Hùng Vương nói riêng thi tốt kì thi thức tới 36 ... 3Cn2 − Cn3 = 24 Hệ số √ n số hạng chứa x12 khai triển x2 x − x A 672x12 B −672x12 C 672 24 D −672 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Lời giải Đáp án đúng: D Trước hết... 34 Giả sử n số nguyên dương thỏa mãn 3Cn2 − Cn3 = 24 Hệ số số hạng √ n chứa x12 khai triển x2 x − x A 672x12 B −672x12 C 672 D −672 Câu 35 Cho hàm số f (x) > có đạo hàm liên tục R, thỏa mãn (x+1)f... trụ, ta có V = S · h = a2 · 3a = 3a3 12 D 3a3 Lớp chun Tốn khóa 36 - CHV Hướng tới kì thi đại học 2020 Câu Nghiệm phương trình log2 (3x − 8) = A x = −4 B x = 12 C x = D x = −4 Lời giải Đáp án