BỘ ĐỀ THI HSG

Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 1 Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử a) a(x 2 + 1) x(a 2 + 1) b) x 1 + x n + 3 x n HD: a). a(x 2 + 1) x(a 2 + 1) = ax 2 a 2 x + a x = ax(x a) (x a) = (x a)(ax 1). b). x 1 + x n (x 3 1) = (x 1)[1 + x n (x 2 + x + 1)] = (x 1)(x n+2 + x n+1 + 1). Câu 2: (1,5 điểm) Thực hiện phép tính: 2 2 2 2 2 2 x y x y : y xy x xy x y xy + ữ ữ + HD: + Điều kiện xác định: ( x 0;y 0;x y;x y ). + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy(x y) x y A : . xy(x y) x y y xy x xy x y xy x y + + = + = = ữ ữ + Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: x y A x y + = + HD: + Điều kiện xác định: ( x y ). + Xét 4 trờng hợp: x y x y *Nếu x 0;y 0 B 1; *Nếu x 0;y 0 B 1; x y x y x y x y *Nếu x 0;y 0 B ; *Nếu x 0;y 0 B x y x y + = = = = + + + = = + + Câu 4: (1,5 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 2 x 3 M x 2 = có giá trị nguyên. HD: + M có nghĩa khi x 2 { } { } 2 2 x 3 x 4 1 (x 2)(x 2) 1 1 M (x 2) x 2 x 2 x 2 x 2 x Z,M Z (x 2) Ư(1) 1;1 x 3;1 + + + + = = = = + + = Câu 5: (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF. a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân. b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng. HD: 2 Câu 1: Cho đa thức : P(x) = 2x 4 7x 3 2x 2 + 13x + 6 a)Phân tích P(x) thành nhân tử. b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z. Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn HD: a). P(x) = 2x 4 7x 3 2x 2 + 13x + 6 = 2x 4 6x 3 x 3 + 3x 2 5x 2 + 15x 2x + 6 = (x 3)(2x 3 x 2 5x 2) = (x 3)(2x 3 4x 2 + 3x 2 6x +x 2) =(x 3)(x 2)(2x 2 + 3x + 1) = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x + 1). b). P(x) = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x + 1) = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x 2 + 3) = 2(x 3)(x 2)(x + 1)(x 1) + 3(x 3)(x 2)(x + 1) P(x) 6 M (Đfcm). Câu 2: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE AB, CF AD. Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC 2 Câu 3: Cho phân thức 4 3 2 4 3 2 x x x 2x 2 F(x) (x Z) x 2x x 4x 2 + = + a)Rút gọn phân thức. b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất. Câu 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đờng cao AH = 120 cm. Tính hai cạnh AB và AC. Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c. Chứng minh rằng: 1 1 1 (a b c) 9 a b c + + + + ữ Câu 6: Cho 3 số dơng a, b, c. Giải phơng trình: a b x b c x c a x 4x 1 c a b a b c + + + + + + = + + 3 Câu 1: Giải phơng trình: (3x 1)(x + 1) = 2(9x 2 6x + 1) Câu 2: Giải bất phơng trình: x 1 x 4 3 2 2 + Câu 3: Tính giá trị của biểu thức: 2a b 5b a A 3a b 3a b = + + Biết 10a 2 3b 2 + 5ab = 0 và 9a 2 b 2 0. Câu 4: Cho biểu thức: 4 3 4 3 2 1 P 2 1 + + + = - + - + x x x x x x x a)Tìm điều kiện xác định của P. b)Rút gọn P. c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2. Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD. Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đờng chéo AC. Câu 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đờng thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G. Chứng minh EF + EG = 2AM. 4 Câu 1:Rút gọn biểu thức: 4 12 9 A 2 6 + = 2 2 a a + a a Câu 2: Cho biểu thức 0,5 2 8 2 B : 1 0,5 2 2 + + = + + + 2 3 a a a a a a( a) Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn a)Tìm a để B có nghĩa. b)Rút gọn biểu thức B. Câu 3: 1) Giải bất phơng trình: (x 2)(x + 1) < 0. 2) Giải phơng trình: 2 2 2 0+ + = 2 x x x + 1 Câu 4: Cho biểu thức: A = x 2 + 6x + 15 a)Chứng minh rằng A luôn dơng với mọi x. b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất đó. Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và AD. Cho AB DC MN 2 + = . Chứng minh rằng ABCD là hình thang. Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N. Chứng minh a) AM DM CB AB DN CN = = ; b) ID 2 = IM.IN. 5 Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: a 2 b + b 2 c + c 2 a +ca 2 + bc 2 + ab 2 a 3 b 3 c 3 > 0. Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: 2 3 A 2 + + = + 2 2 x x x Câu 3: Giải phơng trình: 1 2 3 4 + + = +x x x Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lợt vuông góc với cạnh AD và CD tại M và N. Tính các góc của hình thoi ABCD biết rằng 2MN = BD. 6 Câu 1: Cho a b = 7. Tính giá trị của biểu thức: a 2 (a + 1) b 2 (b 1) + ab 3ab(a b + 1) Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất: 2 6 3 7 2 2 1 6 9 3 ữ x x Câu 3: Cho biểu thức B = 3 2 2 a 8 2 a : 1 0,5a a 2 2a a + + ữ + + a)Tìm x để B có nghĩa. b)Rút gọn B. Câu 4: Giải phơng trình: (x 2)(x + 2)(x 2 10) = 72. Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5 m, CD = 15 cm, độ dài hai đờng chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đờng thẳng song song với BD cắt CD tại E. 1) Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A. 2) Tính diện tích hình thang ABCD. Câu 6: Cho tam giác ABC, đờng phân giác trong của góc C cắt cạnh AB tại D. Chứng minh rằng: CD 2 < CA.CB 7 Câu 1:Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng: Nếu a chia cho 13 d 2 và b chia cho 13 d 3 thì : a 2 + b 2 chia hết cho 13. Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng: 10a 2 + 5b 2 + 12ab + 4a 6b + 13 0. Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh: 1) AC = FH và AC vuông góc với FH. 2) Tam giác CEG vuông cân. Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x 4 + 2x 3 13x 2 14x + 24 (Với x nguyên) 1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử. 2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6. Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF và EG là hai đờng cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng: 1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng. 2)Chứng minh: FG//BC. Câu 6: 1)Chứng minh rằng phơng trình x 4 x 3 x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm. 2)Giải và biện luận phơng trình: m 2 x + 1 = x + m (m là tham số) 8 Câu 1: Cho phân thức: 4 2 3 x 2x 1 A x 3x 2 + = 1) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. 2) Rút gọn A. 3) Tính x để A < 1. Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: 2 3 E x 2x 4 = + Câu 3: Giải phơng trình: 1 1 x(x 1) 2 = Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đờng chéo AC > BD. Gọi E, F lần lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD; Gọi G là chân đ- ờng vuông góc kẻ từ B đến AC, 1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF. 2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC 2 . Bài tập t ơng tự : 1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BH.BD = CH.CE = BC 2 . 2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD. Chứng minh : AD 2 = AB.AC + BD.DC. 3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng à à 2 2 A 2B a b bc.= = + 4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE 2 = EB.EC + AB.AC. 9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x 4 3x 3 + 5x 2 9x + 6. 1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6. 2)Giải phơng trình P(x) = 0. 9 Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác. Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p; 2) p < MA + MB + MC + MD < 3p. 9 Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a 2 + b 2 + c 2 = 1. 1) Nếu x y z a b c = = . Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0. 2) Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tìm giá trị của a, b, c. 9 Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. 1) So sánh hai góc BAH và CAH. 2) So sánh hai đoạn thẳng BD và CE. 3) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng. 9 Câu 5: Giải phơng trình: x 1 2 x 1 x+ = 9 Câu 6: Giải phơng trình: x a x b x c 1 1 1 2 bc ac ab a b c + + = + + ữ (Trong đó x là ẩn) 10 Câu 1: Giải phơng trình: x 4 + 2x 3 4x 2 5x 6 = 0 10 Câu 2: Rút gọn biểu thức: 2 2 3 3 2 2 2 2 x y xy x y A : x y x y 2xy + + = + 10 Câu 3: Chứng tỏ rằng bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x: 2 4 5 0 x 2x 2 < + 10 Câu 4: Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 x 4x 1 A x + = 10 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đờng cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE. 1)Chứng minh rằng à 0 B 45> . 2)Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông cân. 3)Gọi Q là đỉnh thứ t của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng. 4)Chứng minh rằng HE // QK. 11 Câu 1: (3đ) Chứng minh biểu thức P = 2 2 2 2 2 2 (x a)(1 a) a x 1 (x a)(1 a) a x 1 + + + + + + không phụ thuộc vào biến x 11 Câu 2: (2đ) Giải phơng trình: x 3 + 12 = 3x 2 + 4x 11 Câu 3: (2đ) Giải phơng trình: 2 2 1 8x 4x 32x 0 4 8x 12x 6 3(4 16x ) + + = + 11 Câu 4: (5đ) Cho ba phân thức: 2 2 2 2 2 2 4xy z 4yz x 4xz y A ; B ; C xy 2z yz 2x xz 2y = = = + + + Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn Trong đó x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1. 11 Câu 5: (4đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt đờng chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đờng thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đờng thẳng song song với BD cắt BC ở P. Chứng minh rằng: MP//CD. 11 Câu 6: (4đ) Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB. 1)Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. 2)Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đờng đặc biệt nào của tam giác ABC? Giải thích vì sao? 12 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 6x 3 + 13x 2 + 4x 3. 12 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6). 12 Câu 3: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. 12 Câu 4: Giải phơng trình: (4x + 3) 3 + (5 7x) 3 + (3x 8) 3 = 0. 12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab + bc + ac a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + ac + bc) 12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng nếu ( a + b + c) 2 = 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác đều 12 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đờng thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM = FE. 12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC. 1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S. 2)Một đờng thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lợt tại I và J. Chứng minh rằng: AB AC 6 AI AJ + = . 13 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x 2 + x) 2 2(x 2 + x) 15 13 Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 . 13 Câu 3: Giải phơng trình: 2 3 2 1 2x 1 x 1 x x 1 x 1 = + + + + 13 Câu 4: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a b, c d. Chứng minh: ac + bd bc + ad. 13 Câu 5: Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết góc FAE = 45 0 . Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD. 13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R. Chứng minh rằng OA OB OC 2 AP BQ CR + + = . Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 14 Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn ( ) 1 1 1 a b c 1 a b c + + + + = ữ Tính giá trị của biểu thức: (a 23 + b 23 )(b 5 + c 5 )(a 1995 + c 1995 ) 14 Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức lần lợt là: (x 1); (x 2); (x 3) đều có số d là 6 và tại x = 1 thì đa thức nhận giá trị là ( 18). 14 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lợt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số đo của góc MCN? 15 Câu 1: Cho biểu thức: 2a 1 5 a A 3a 1 3a 1 = + + 1)Tính giá trị của A khi 1 a 2 = . 2)Tính giá trị của A khi 10a 2 + 5a = 3. 15 Câu 2: Giải phơng trình : x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x 12 = 0. 15 Câu 3: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc COD = 90 0 . 1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng. 2) Chứng minh : CD = AC + BD. 3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN//AC. 16 Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức: 5n 11 A 4n 13 = là số tự nhiên. 16 Câu 2: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng B = n 3 + 6n 2 19n 24 chia hết cho 6. 16 Câu 3: Tính tổng 1 1 1 S(n) . (n N) 2.5 5.8 (3n 1)(3n 2) = + + + + 16 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB, CB lần lợt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh: 1) IM.IN = ID 2 . 2) KM DM KN DN = . 3) AB.AE + AD.AF = AC 2 . 16 Câu 5:Giải phơng trình : x 1 x 2 x 3 14 + + + = 16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x 3 + xy = 7. 16 Câu 7: Cho 4 số dơng a, b, c, d. Chứng minh: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + 16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h. Từ một điểm M trên Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn đờng cao AH vẽ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC. 1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x). 2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất. 17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 3 7x 6 17 Câu 2: (6đ) Một trờng tổ chức lần lợt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng đợc 18 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Cứ nh thế các lớp trồng hết số cây và số cây trồng đợc của mỗi lớp bằng nhau. Hỏi trờng đó đã tồng đợc bao nhiêu cây? 17 Câu 3: (4đ) Cho biểu thức: 3 3 x 1 x 1 x 1 x 1 A x 1 1 x + + = + Hãy viết A dới dạng tổng của một biểu thức nguyên và một phân thức với bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu. 17 Câu 4: (4đ) Chứng minh rằng Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác thì lớn hơn 3 4 chu vi và nhỏ hơn chu vi của chính tam giác ấy. 17 Câu 5: (4đ) Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON, NOP, POQ, QOM có diện tích bằng nhau. 1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP. 2) Chứng minh O nằm trên đờng chepos NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác MNPQ. 18 Câu 1: (4đ) Rút gọn biểu thức: A = 75(4 1993 + + 4 2 + 5) + 25. 18 Câu 2: (3đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 B 1 = + +x x 18 Câu 3: (3đ) Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và 1 1 1 2 a b c + + = thì 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = 18 Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dơng n để: n 1988 + n 1987 + 1 là số nguyên tố. 18 Câu 5: (3đ) Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm của hai tia phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh rằng: GO//AC. 18 Câu 6: (5đ) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM, trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN. Gọi I là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm. 19 Câu 1: Chứng minh rằng: 21 30 + 39 21 chia hết cho 45. Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 19 Câu 2: Cho a, b, c là ba số dơng. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c a b c b c a c a b 2 + + + + + + + 19 Câu 3: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) 19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng thẳng d song song với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C. 19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho AM BN CP k (k 0) MB NC PA = = = > Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k. Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất. 20 Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức: m n n p p m p m n S p m n m n n p p m = + + + + ữ ữ 20 Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 1985 1986 . Hỏi tổng của haio số đó có phải là bội của 1986 hay không? 20 Câu 3: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó có một ngời đi xe gắn máy khác từ B đến A. Sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu sau khi đi đợc 1giờ 15 phút mà ngời đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi tiếp thì phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai ngời mới gặp nhau. Tính vận tốc cua mỗi ngời? 20 Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu các tam giác AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi. 20 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dờng chéo cắt nhau tại O. Kí hiệu S là diện tích. Cho S AOB = a 2 (cm 2 ) và S COD = b 2 (cm 2 ) với a, b là hai số cho trớc. 1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S ABCD ? 2) Giả sử S ABCD bé nhất. Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho đờng thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đờng chéo AC, BD chia thành ba phần bằng nhau 21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì: A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là một số chính phơng. 21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a x)y 3 (a y)x 3 + (x y)a 3 . 21 Câu 3: Giải phơng trình: 2 2 1 1 1 6 x 4x 3 x 8x 15 + = + + + + 21 Câu 4: Giải phơng trình: x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 10x + 15 = 0. 21 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đờng phân giác của góc ACB (D thuộc cạnh AB). Qua D kẻ đờng vuông góc với CD; đờng này cắt đờng thẳng BC tại E. Chứng minh: EC = 2BD. 21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 20 0 ; cạnh đáy là a, cạnh bên là b. Chứng minh: a 3 + b 3 = 3ab 2 . 22 Câu 1:Giải phơng trình: 2 2x 5 3 7 = Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 22 Câu 2: Giải phơng trình: 315 x 313 x 311 x 3 105 103 101 + + = 22 Câu 3: Cho biểu thức: 4 3 4 3 2 x x x 1 A x x 2x x 1 + + + = + + 1) Rút gọn A. 2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh: 1) Tam giác CIN vuông. 2) Tính diện tích tam giác CIN theo a. 3) Tam giác AID cân. 23 Câu 1: (3đ) Cho phân thức: 5 4 3 2 2 x 2x 2x 4x 3x 6 M x 2x 8 + + = + 1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa. 2). Tìm các giá trị của x để M = 0. 3). Rút gọn M. 23 Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất: 2 2 x 2x 1995 A (x 0) x + = > 23 Câu 3: (5đ) chứng minh rằng: ( ) ( ) n * 10 9n 1 27 n N M 23 Câu 4: (7đ) Cho tứ giác ABCD có: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, và BD vuông góc với BC. 1). Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao? 2). Tính các góc trong của tứ giác ABCD. 2). So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD. 24 Câu 1: Rút gọn rồi tính giá tị của biểu thức: 3 2 2a 12a 17a 2 A a 2 + = Biết rằng a là nghiệm của phơng tình: 2 a 3a 1 1 + = 24 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tơng ứng của x với: ( ) 2 B 3x 1 4 3x 1 5= + 24 Câu 3: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 a b c 3 + + 24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH. 1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và OBC đồng dạng. 2). Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O. 24 Câu 5: Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE. Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC. 25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của [...]... + 2 0 Câu 5: Cho hình thoi ABCD có góc A = 60 Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD Đờng thẳng CM cắt đờng thẳng AB tại N 1) Chứng minh: AB2 = DM.BN Chơng trình luyện thi HSG THCS 36 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 Chơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 2) BM cắt DN tại P Tính góc BPD 38 Câu 6: Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 và 0 a 2;0 b 2;0 c 2 Chứng minh rằng:... b c Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Điểm M bất kỳ nằm trong hình thang, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB Chứng minh rằng: PQ//CD Chơng trình luyện thi HSG THCS 54 54 55 55 55 55 55 56 56 56 56 56 Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn Chơng trình luyện thi HSG THCS 57 Câu 1: 1 1 1 1 + + = a b c 2002 Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau Câu 2: Cho x, y, z là 3 số thoả mãn điều kiện:... CA lấy điểm E sao cho: CE = AK Chứng minh rằng BK + BE > BA + BC Câu 6: Cho tam giác đều ABC Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí của điểm M 1 Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 x + 3 Chơng trình luyện thi HSG THCS 41 41 41 42 42 42 42 42 42 43 43 2 Câu 2: Cho biểu thức: 43 (1 x ) B= 1 +... Dựng ra bên ngoài tam giác đều BCD Chứng minh rằng: AD2 = AB2 + AC2 2) Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của một đa giác có số đo là 47058,50 Tính số cạnh của đa giác? Câu 1: 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên chẵn n thì: n3 + 20n chia hết cho 48 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x a)b3 (x b)a3 + (a b)x3 Câu 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có: 19 a 2 + 9b 2 + c... 3 bằng hai cách 2) Cho A(x) = 8x2 26x + m và B(x) = 2x 3 Tìm m để A(x) chia hết cho B(x) Câu 2: Với giá trị nào của a thì bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất: (x a)(x 5) 0 Chơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 2 33 Câu 3: Giải phơng trình: x 1 + a(x 1) = 0 33 33 34 34 34 34 34 35 Câu 4: Cho hình vuông ABCD trên BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM Trên tia đối của tia CD lấy...Chơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn tổng các chữ số của nó 25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác Xác định hình dạng của a b c + + tam giác để biểu thức sau : A = đạt giá trị nhỏ b+ca... nhân tử: a) x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc 28 Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz a b c ; y= ; z= Biết: x = b+c a+c a+b Chơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120 28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM... F Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại I 1) Chứng minh dóc AEI = 450 1 1 1 = + 2) Chứng minh: AB 2 AE 2 AF 2 a2 3) Chứng minh diện tích tam giác AEI không nhỏ hơn 2 Chơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 43 Câu 4: Cho hinh bình hành ABCD (AB > AD) Từ C kẻ CE và CF lần lợt vuông góc với các đờng thẳng AB, AD (E thuộc AB và F thuộc AD) Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF... CI = BF 2) Ba đờng thẳng AI, BF, CD đồng qui Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x2 + 2y2 + 4xy 2x + 4y + 2005 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 5x2 + 8x 4 0 Chơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn 46 x y z a b c + + = 0 Câu 2: Cho + + = 1 và a b c x y z x2 y2 z2 Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 = 1 a b c 46 Câu 3: Giải phơng trình: 1) x2 + 8x 20 2) x 2 x 1 +... AE + KC = DE 49 Câu 1: x +1 x 1 2(x + 2)2 Giải phơng trình: 2 = 6 x + x + 1 x2 x + 1 x 1 49 Câu 2: Tìm giá trị của x để biểu thức A(x) = x (với x > 0) đạt giá trị lớn (x + 1999)2 Chơng trình luyện thi HSG THCS nhất 49 Câu 3: 1 1 4 + x y x+y 2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: 1 1 1 1 1 1 + + + + a+bc b+ca a+cb a b c Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 900) đờng cao AH, . điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm. 19 Câu 1: Chứng minh rằng: 21 30 + 39 21 chia hết cho 45. Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng. tử. b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z. Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn HD: a). P(x) = 2x 4 7x 3 2x 2 + 13x