Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 54 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Khóa Lu n t t nghi p TR NG IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN ********** NGUY N TH H P BI U DI N C A Sl2C VÀ Sl3C KHÓA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: Ng ih IH C IS ng d n khoa h c TH.S NGUY N HUY H NG HÀ N I ậ 2009 Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p TR NG IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN ********** NGUY N TH H P BI U DI N C A Sl2C VÀ Sl3C KHịA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: IH C IS HÀ N I ậ 2009 Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p L ic m n Trong th i gian h c t p t i khoa toán tr đ ng đ i h c s ph m Hà N i 2, c s d y d , ch b o t n tình c a th y, cô giáo em ti p thu đ tri th c khoa h c, kinh nghi m ph ng pháp h c t p m i, b v i công tác nghiên c u khoa h c Tr c nhi u c đ u làm quen c s b ng g p nhi u khó kh n m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c, em nh n đ c s giúp đ , đ ng viên c a th y, cô b n bè khoa Qua đây, em xin g i l i c m n t i tồn th th y, b n khoa c bi t, em xin g i l i c m n sâu s c t i th y giáo Th c s Nguy n Huy H ng, ng i h ng d n t n tình đ giúp em hồn thành khố lu n Hà N i, tháng n m 2009 Sinh viên Nguy n Th H p Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p L i cam đoan Khoá lu n c a em đ c hoàn thành d is h ng d n c a th y giáo Th c s Nguy n Huy H ng v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u th c hi n khố lu n, em có tham kh o tài li u c a m t s tác gi ( có nêu m c tài li u tham kh o ) Em xin cam đoan nh ng k t qu khoá lu n k t qu nghiên c u c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Hà N i, tháng n m 2009 Sinh viên Nguy n Th H p Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p M cl c Trang L i c m n .1 L i cam đoan M c l c M đ u Ch ng Nh ng ki n th c chu n b 1.1 Nhóm 1.2 Vành tr ng 1.3 Môđun 1.4 i s Lie .11 Ch 2.1 ng Lý thuy t bi u di n nhóm h u h n nh ngh a ví d 13 2.2 Bi u di n nhóm theo thu t ng mơđun 14 2.3 Hai bi u di n t ng đ ng 15 2.4 B đ Schur 18 2.5 c tr ng c a bi u di n 23 2.6 Bi u di n b t kh quy 26 Ch ng Bi u di n c a Sl Sl 3.1 Bi u di n b t kh quy c a Sl 35 3.2 Bi u di n c a Sl 38 K t lu n 50 Tài li u tham kh o 51 Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p M đ u 1.LỦ ch n đ tài i s m t nghành chi m v trí quan tr ng khoa h c tốn h c Nó góp ph n thúc đ y s phát tri n c a toán h c hi n đ i Ngày nhu c u h c h i c a sinh viên khoa Toán, th y d y tốn nhi u ng quan tâm đ n tốn h c nói chung mơn i khác i s nói riêng ngày gia t ng nh m nâng cao hi u bi t c a V i mong mu n tìm hi u sâu h n v b mơn này, d i góc đ m t sinh viên s ph m Toán ph m vi c a m t khoá lu n t t nghi p v i s giúp đ c a th y giáo Th c s Nguy n Huy H ng, em xin m nh d n trình bày nh ng hi u bi t c a v đ tài: “ Bi u di n c a Sl Sl ” 2.M c đích nghiên c u Q trình th c hi n đ tài giúp em b c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c tìm hi u sâu h n v đ i s h c, đ c bi t tìm hi u sâu h n v nhóm h u h n thơng qua bi u di n c a bi u di n c a Sl Sl 3.Nhi m v nghiên c u tài đ c nghiên c u nh m sâu khai thác làm n i b t đ c tr ng c a bi u di n nhóm h u h n bi u di n c a Sl , Sl 4.Ph ng pháp nghiên c u tài hoàn thành d a s k t h p ph ng pháp: nghiên c u lý lu n, phân tích, t ng h p, đánh giá 5.C u trúc khoá lu n Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p Ngoài ph n m đ u, k t lu n, danh m c tài li u tham kh o, khoá lu n g m ch ng: + Ch ng 1: Nh ng ki n th c chu n b + Ch ng 2: Lý thuy t bi u di n c a nhóm h u h n + Ch ng 3: Bi u di n c a Sl Sl Trong su t trình nghiên c u đ c th y Nguy n Huy H ng ch b o, giúp đ t n tình, em hồn thành khố lu n M t l n n a cho em g i l i c m sâu s c t i th y Em r t mong th y, cô giáo b n sinh viên khoa đóng góp ý ki n đ đ tài đ c hoàn thi n h n Hà N i, tháng n m 2009 Sinh viên Nguy n Th H p Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p Ch ng Nh ng ki n th c chu n b 1.1 Nhóm 1.1.1 nh ngh a nhóm M t nhóm m t c p ( G , ), G m t t p khơng r ng m t lu t h p thành G tho mãn ba u ki n sau đây: (G1) Lu t h p thành k t h p, t c là: ( x y) z x ( y z) , x, y, z G (G2) Có m t ph n t e G đ c g i ph n t trung l p, có tính ch t: x e e x x , x G (G3) V i x G có m t ph n t x G đ c g i ngh ch đ o c a x cho: x x x x e 1.1.2 Nhóm abel nh ngh a: Nhóm ( G , ) đ c g i nhóm giao hoán ( hay abel ) n u x y y x , x, y G 1.1.3 Nhóm nh ngh a: Gi s G m t nhóm M t t p khơng r ng S G đ c g i m t nhóm c a G n u S khép kín đ i v i đ i v i lu t h p thành G ( t c xy S v i x, y S ) khép kín đ i v i phép l y ngh ch đ o G ( t c x1 S v i x S ) 1.1.4 Nhóm chu n t c Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p nh ngh a: Nhóm S c a nhóm G đ c g i m t nhóm chu n t c c a G n u b t bi n đ i v i m i t đ ng c u c a G , t c là: Ca (S) S, a G Ký hi u: S G 1.1.5 L p liên h p c a nhóm nh ngh a: Cho G m t nhóm Trên G ta xác đ nh quan h R nh sau: x, y G , xRy n u a G cho y = axa 1 Ta d dàng ch ng minh đ quan h R m t quan h t ng đ c ng G Khi t p: C (a ) x G \ xRa g i l p liên h p c a G xác đ nh b i a 1.1.6 Nhóm h u h n nh ngh a: Nhóm ch có m t s h u h n ph n t đ c g i nhóm h u h n 1.1.7 a, ng c u nhóm nh ngh a: Gi s G G nhóm M t ánh x : G G đ c g i đ ng c u nhóm n u ( x y) ( x) ( y) v i x, y G b, Tính ch t: Gi s : G G m t đ ng c u nhóm Khi đó: i, (eG ) eG ; v i eG , eG l n l t ph n t đ n v c a G G ii, ( x1 ) ( x) , x G 1 iii, N u m t đ n ánh đ c g i m t đ n c u nhóm iv, N u m t tồn ánh đ c g i m t tồn c u nhóm v, N u m t song ánh đ c g i m t đ ng c u nhóm 1.2 Vành tr ng 1.2.1 Vành Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p nh ngh a: Ta g i m t vành m i t p h p R v i hai phép tốn hai ngơi, g m phép c ng: : R R R ( x, y) x y : R R R phép nhân: ( x, y) x y tho mãn u ki n sau đây: (R1) R m t nhóm abel đ i v i phép c ng (R2) Phép nhân có tính ch t k t h p (R3) Phép nhân phân ph i v phía đ i v i phép c ng: ( x y) z xz yz ; z( x y) zx zy , x, y, z R Vành R g i giao hốn n u phép nhân c a giao hốn Vành R g i vành có đ n v n u phép nhân c a có đ n v , t c có ph n t thu c R cho: 1 x x 1, x R 1.2.2 Vành nhóm nh ngh a: G i K[G] t p h p n tính hình th c k s sG s c a ph n t c a G v i h s ks K Khi đó, K[G] l p thành m t vành, g i vành nhóm c a G (v i h s K ), đ i v i hai phép toán sau đây: k s l s (k l ) s , ( k s)(l t ) k l (st ) s s s s t s t s n v c a K[G] ph n t 1 e Có th coi G K[G] b ng cách đ t t ng ng s s,( s G ) Rõ ràng K[G] m t vành giao hoán n u ch n u G m t nhóm abel 1.2.3 Mi n nguyên a, c c a không Nguy n Th H p 10 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p ho c X ( Ym ( v )) = m ( n – m + 1) Ym1 (v) nh lý đ (3.2) c ch ng minh T đ nh lý trên, ta có m t s h qu sau: H qu 3.1.2 T t c không gian V c a H m t chi u H qu 3.1.3 V đ c xác đ nh b i t p có s phân tích V V Gi s V m t không gian h u h n chi u Khi đó, ta có m t c n d ic a cho V (0) Vì v y, ta có : Yk (v) = , v i k đ l n N u m s m nh nh t c a Y tri t tiêu v , t (3.2) ta có: = X ( Ym ( v )) = m ( n – m + 1) Ym1 (v) , Mà Ym1 (v) nên ( n – m + 1) = i u ch n m t s ngun khơng âm Do đó, giá tr riêng c a H V l p thành m t chu i s nguyên phân bi t đ i x ng Khi đó, ta có m t s bi u di n nh t V ( n ) , n bi u di n V ( n ) ( n + 1) chi u v i H có giá tr riêng n , n – 2, , - n + 2, - n Chú ý: M i bi u di n V c a Sl cho giá tr riêng c a H t t c đ u gi ng xu t hi n s b i b t kh quy H n n a, s nhân t b t kh quy m t bi u di n V tu ý c a Sl t ng s b i c a nh giá tr riêng c a H Khi đó, ta có m t s tiêu chu n bi u di n c a Sl : Kí hi u bi u di n m t chi u V (0) Xét tiêu chu n bi u di n c a Sl V = + N u x y tiêu chu n c s , ta có: H ( x) x H ( y) y Do đó: V = .x y V1 V1 bi u di n V(1) Nguy n Th H p 40 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p + M t c s hình đ i x ng W Sym2V Sym2 { x2 , xy, y2 } ta có: H ( x x ) = x H ( x) + H ( x) x = 2x x , H ( x y ) = x H ( y) + H ( x) y = 0, H ( y y ) = y H ( y) + H ( y) y = 2 y y Do đó, bi u di n W = x2 xy y2 W2 W0 W2 bi u di n V (2) + T ng quát: Lu th a đ i x ng b c n , SymnV c a V có c s { xn , xn1 y, , yn } ta có: H ( xnk yk ) (n k).H ( x).xnk 1 yk k.H ( y).xnk yk 1 (n 2k) xnk yk Do giá tr riêng c a H SymnV n , n – 2, , - n + 2, - n Vì v y SymnV b t kh quy V ( n ) = SymnV T đó, ta có h qu sau: H qu 3.1.4 M i bi u di n b t kh quy c a Sl lu th a đ i x ng c a tiêu chu n bi u di n V 3.2 Bi u di n c a Sl Ph n phát tri n nh ng k t qu v Sl gi ng nh Sl Ta s phân tích s bi u di n c a Sl xem xét tr ta thu đ c hai k t qu đáng đ ng h p đ i s Sl Và c nhìn nh n sau: + Th nh t: Khi k t thúc ph n ta s đ n vi c phân l p bi u di n c a Sl m t cách c th rõ ràng nh vi c phân l p bi u di n c a Sl + Th hai: Khi xem xét l i nh ng phân tích ph n này, s không c n đ a vào nh ng khái ni m cao h n vi c phân l p bi u di n h u h n chi u c a s t n t i đ i s Lie n a đ n Nguy n Th H p 41 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p Ta b t đ u s phân tích c a Sl v i c s { H , X , Y } đ i s Lie Khi ta phân tích m t bi u di n V tu ý c a Sl thành t ng tr c ti p c a không gian riêng tác đ ng c a H Khi đó, ta xem ph n t s đóng vai trò t ng t nh H ? Câu tr l i khơng có ph n t thay vào đó, ta ph i thay th ph n t H Sl b i m t không gian h Sl , không gian chi u c a ma tr n chéo 3.2.1 Cho h Sl m t véct riêng h ; v V : H h ta có: H ( v ) = ( H ) v , đó: ( H ) m t vô h (3.3) ng ph thu c n tính H , ngh a là: h Khi có m t s khái ni m sau: + Giá tr riêng tác đ ng c a h ph n t h cho v V \ {0} tho mãn (3.3) + Không gian riêng liên h p v i giá tr riêng không gian c a véct v V tho mãn (3.3) Phát bi u 3.2.1 M i bi u di n h u h n chi u V c a Sl có phân tích: V V , V khơng gian riêng h thu c t p xác đ nh c a h 3.2.2 X Y Sl Ta xem xét đóng vai trò c a X Y Sl V n đ then ch t xem m i quan h giao hoán: [ H , X ] = X [ H , Y ] = 2Y Sl Gi s X Y véct riêng tác đ ng liên h p c a H Sl đây, ta xem xét véct riêng tác đ ng liên h p c a h Sl Nói Nguy n Th H p 42 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p cách khác, áp d ng phát bi u 3.2.1 vào bi u di n liên h p c a Sl ta thu đ c phân tích sau: Sl = h ( g ) (3.4) : h h tác đ ng m i không gian g b i phép nhân vô h ng; ngh a là, H h, Y g [ H , Y ] = ad( H ) ( Y ) = ( H ) Y Trong m i tr đ ng h p, ta th c hi n phép nhân ma tr n M phía bên trái b i ng chéo ma tr n D v i ph n t a i , nhân dòng th i c a M b i a i Trong nhân phía bên ph i nhân c t th i b i a i N u ph n t c a M mi , j , ph n t c a hoán t [ D , M ] (ai -a j )mi,j Ta th y hoán t [ D , M ] phép nhân c a M v i D n u ch n u M có m t ph n t Vì v y n u cho Ei , j ma tr n 3x3 mà ph n t th (i,j) t t c ph n t l i 0, ta th y Ei , j sinh không gian riêng tác đ ng liên h p c a h g a1 0 Ta có: h a1 : a1 a a 0 a 3 a1 Suy ra: h L1 , L2 , L3 /( L1 L2 L3 0)} , đó: Li 0 a1 0 a i a Nh v y hàm n tính h xu t hi n phân tích t ng tr c ti p (3.4) hàm Li Lj ; không gian g L L đ i j c sinh b i ph n t Ei , j Ta có hình nh sau: Nguy n Th H p 43 L p K31 E-Toán Khóa Lu n t t nghi p l 2-l l2 l 2-l l 1-l l1 l3 l 3-l l 1-l l 3-l (3.5) Trên mơ hình, ta th y rõ tác đ ng c a h lên g : h mang m i khơng gian g vào Tác đ ng m i g b i phép nhân vô h tính đ ng c a hàm n c bi u di n b i d u ch m 3.2.3 Ngun t c tính tốn th Coi X ph n t b t k c a g , Y g , ta xem xét h tác đ ng lên ad( X )( Y ) nh th nào? V i H h ta có nguyên t c tính tốn (th hai): H , X,Y X, H ,Y H , X ,Y = [ X, ( H ) Y] [ ( H ) X, Y] = ( ( H ) ( H )) X,Y Nguy n Th H p 44 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p M t khác: [ X , Y ] = ad( X )( Y ) m t véct riêng h v i giá tr riêng Vì v y: ad( g ): g g ; Tác đ ng c a ad( g ) b o t n phân tích (3.4) v i ý ngh a mang m i khơng gian riêng g vào khơng gian khác Ta có th gi i thích u d a vào mơ hình (3.5) c a không gian riêng b i “ phép t nh ti n ”, ngh a là, g mang m i không gian g t g t ng ng v i d u ch m mô hình vào khơng gian ng ng v i d u ch m đ Ví d : Tác đ ng c a g L L đ Nguy n Th H p c t nh ti n b i c mơ t mơ hình sau: 45 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p l 2-l l2 l 2-l l 1-l l1 0 l3 l 3-l l 1-l l 3-l ngh a là: mang g L L vào g L L ; g L L vào h; h vào g L L ; g L L vào g L L , 2 3 1 3 2 tri t tiêu g L L , g L L g L L 3 Chú ý: Không ph i t t c d li u có th đ c t t t mơ hình, nh t c s bi t Ví d nh : ta khơng th th y mơ hình h t nhân c a ad( g L L ) lên h, m c dù ý t ng t t 3.2.4 Ngun t c tính tốn th Cho X g , v V ta xem xét X tác đ ng lên v n u bi t m t ph n t b t k H h s tác đ ng lên X ( v ) Ta có ngun t c tính tốn (th ba ): H ( X(v)) X( H (v)) H , X (v) = X ( ( H ) v) ( ( H ) X )(v) Nguy n Th H p 46 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p = ( ( H ) ( H )) X (v) Nh n th y, X ( v ) m t véct riêng tác đ ng c a h v i giá tr riêng ; Nói cách khác: g : V V Vì v y, bi u di n khơng gian riêng V c a V b i d u ch m mơ hình cho m i g tác đ ng b ng phép t nh ti n nh bi u di n c a Sl ph n tr c bi u di n liên h p c a Sl Nh n xét 3.2.2 Các giá tr riêng xu t hi n bi u di n b t kh quy c a Sl phân bi t v i giá tr khác b i t h p tích phân n tính c a véct Li Lj h Chú ý: Các véct Li Lj sinh m t m ng l i h mà ta bi u di n b i R t t c n m s t nh ti n c a m ng l i nh ngh a 3.2.3 Giá tr riêng h tác đ ng c a h lên bi u di n V c a g đ T c g i tr ng s c a bi u di n ng t : + Các véct V đ + Các không gian V đ c g i tr ng s véct c g i tr ng s không gian Nh n xét 3.2.4 Các tr ng s xu t hi n bi u di n liên h p đ nghi m c a đ i s Lie t c g i ng ng không gian g g không gian nghi m Quy l c: S không nghi m L i R h sinh b i nghi m đ cg i i nghi m Xét Sl : Cho không gian riêng c c tr V véct v V , ta có: X : V V 2 , X( v ) = Nguy n Th H p 47 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p Vì v y: v v a m t véct riêng H v a h t nhân c a X ng tìm xa nh t h Xét Sl : Ch n m t h phân tích (3.4) T ng xu t hi n ng ng v i vi c ch n m t hàm n tính: l : R m r ng b i tính ch t n tính t i hàm n tính l : h m i bi u di n s có khơng gian riêng V v i ph n th c c a l ( ) c c đ i V nđ véct tr gì? Trong tr ng h p bi u di n V c a Sl , ta ph i tìm m t v V mà h t nhân c a toán t X véct riêng H Trong ng h p bi u di n c a Sl , ta ph i tìm m t véct v V mà véct riêng h, đ ng th i h t nhân c a tác đ ng c a g , v i m i cho l ( ) - t c b tri t tiêu b i m t n a không gian nghi m g Ch n l cho: l (a1L1 a L2 a3 L3 ) aa1 ba ca3 a b c a b c Vì v y không gian g g mà l ( ) th c ch t là, g L L , g L L g L L Chúng t khác đ 3 ng ng ma tr n v i m t ph n t ng chéo Nguy n Th H p 48 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p l 2-l l2 l 2-l l 1-l l1 l3 l 3-l l 1-l l 3-l l =0 Vì v y, cho i < j, ma tr n Ei , j sinh không gian nghi m d ng ma tr n E j ,i sinh không gian nghi m âm Ta coi: H i , j Ei , j , E j ,i Ei ,i E j , j Bây gi , cho V bi u di n b t kh quy h u h n chi u c a Sl T u ta thu đ c k t qu sau: B đ 3.2.5 Có m t véct v V v i thu c tính : (i) v m t véct riêng h, ngh a là: v V v i ; (ii) v b tri t tiêu b i E1,2 , E1,3 E2,3 Khi đó: m i bi u di n V c a Sl , véct v V v i thu c tính đ cg i m t véct có tr ng s cao nh t Nguy n Th H p 49 L p K31 E-Toán Khóa Lu n t t nghi p nh lý 3.2.6 Coi V m t bi u di n b t kh quy c a Sl v V véct có tr ng s cao nh t Khi V đ c sinh b i nh c a v d i phép tr i liên ti p c a ba toán t E2,1 , E3,1 E3,2 H qu 3.2.7 Ta có h qu sau: 1, M i giá tr riêng h xu t hi n V n m m t lo i c a m t ph ng v i m góc t i 2, dimV v véct riêng nh t v i giá tr riêng 3, Các không gian V n ( L L ) V n ( L L ) m t chi u, chúng đ b i ( E2,1 )n (v) ( E3,2 )n (v) t c sinh ng ng Ch ng minh đ nh lý 3.2.6: Ta ph i ch ng minh r ng không gian W c a V sinh b i nh c a v d i đ i s c a Sl sinh b i E2,1 , E3,1 E3,2 đ T ng đ c b o t n b i c Sl ng v i E1,2 , E1,3 E2,3 mang W vào + v h t nhân c a E1,2 , E1,3 E2,3 Ta có: E1,2 ( E2,1 (v)) E2,1 ( E1,2 (v)) E1,2 , E2,1 (v) = ( E1,2 , E2,1 ).v ( E1,2 (v) E1,2 , E2,1 h) E2,3 ( E2,1 (v)) E2,1 ( E2,3 (v)) E2,3 , E2,1 (v) = (vì E2,3 (v) E2,3 , E2,1 ) T ng t : E3,2 (v) đ + Ph c mang vào V b i E1,2 E2,3 ng pháp quy n p: Gi s Wn ch m i đ dài n ho c bé h n d u hi u E2,1 E3,2 Wn không gian véct sinh b i véct wn (v) Nguy n Th H p 50 L p K31 E-Toán Khóa Lu n t t nghi p Chú ý r ng: W Wn , E3,1 hốn t c a E3,2 E2,1 nh lý ch r ng E1,2 wn E2,1.wn1 E2,3 mang Wn vào Wn1 Khi ta có: wn E3,2 wn1 ( wn1 (v) véct riêng h v i giá tr riêng , Ta có: E1,2 ( wn (v)) E1,2 ( E2,1 ( wn1 (v))) = E2,1 ( E1,2 ( wn1 (v))) [ E1,2 , E2,1 ]( wn1 (v)) E2,1 (Wn2 ) ([ E1,2 , E2,1 ]).( wn1 (v)) Wn1 ( E1,2 , E2,1 h) E2,3 ( wn (v)) E2,3 ( E2,1 ( wn1 (v))) = E2,1 ( E2,3 ( wn1 (v))) [ E2,3 , E2,1 ]( wn1 (v)) E2,1 (Wn 2 ) Wn1 ( E2,3 , E2,1 ) Tính tốn t nh lý đ ng t tr ng h p wn E3,2 wn1 c ch ng minh Tính ch t 3.2.8 N u V bi u di n c a Sl v V véct có tr ng s cao nh t, bi u di n W c a V sinh b i nh c a v b ng phép tr i liên ti p c a ba toán t E2,1 , E3,1 E3,2 b t kh quy Ch ng minh: Gi s tr ng s c a v T đ nh lý suy W m t bi u di n rõ ràng W m t chi u Nguy n Th H p 51 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p Gi s ng c l i: N u W khơng b t kh quy , ta có W W W v i m i bi u di n W,W Nh ng hình chi u t i W W giao hoán v i tác đ ng c a h, ta có : W W W Mà không gian W,W b ng Suy ra: v W ho c v W V y suy ra: W W ho c W W H qu 3.2.9 M i bi u di n b t kh quy b t k c a Sl có nh t m t véct có tr ng s cao nh t; H n n a, t p véct có tr ng s cao nh t V hình thành s liên k t khơng gian n tính W ng v i bi u di n b t kh quy W c a V , v i s chi u c a W b ng s l n W xu t hi n s phân tích t ng tr c ti p c a V thành b t kh quy Nguy n Th H p 52 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p K t lu n Khoá lu n: “ Bi u di n c a Sl Sl ” nghiên c u t ng quan v nđ : + Bi u di n c a nhóm h u h n đ c tr ng c a bi u di n + Trình bày bi u di n c a Sl Sl Qua khoá lu n này, b n thân em không ch l nh h i thêm nh ng tri th c m ic a i s mà có nh ng hi u bi t nh t đ nh nghiên c u khoa h c Vi c nghiên c u sâu lý thuy t bi u di n nhóm h u h n bi u di n c a Sl , Sl góp ph n b sung thêm nh ng k t qu quan tr ng vào lý thuy t đ i bi u di n Do th i gian nghiên c u có h n kh n ng c a b n thân h n ch nên đ tài khơng tránh kh i thi u sót nh t đ nh Vì v y, em mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y, cô b n sinh viên khoa đ đ tài đ c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n ! Hà N i, tháng n m 2009 Sinh viên Nguy n Th H p Nguy n Th H p 53 L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p Tài li u tham kh o Ti ng vi t 1/ Nguy n H u Vi t H ng, 2/ Hồng Xn Sính, is đ ic is đ ic ng, NXB giáo d c 1999 ng, NXB giáo d c Ti ng anh 3/ W Fulton, J Harris, Representation Theory, Springer – Verlag, 1991 Nguy n Th H p 54 L p K31 E-Toán ... zy , x, y, z R Vành R g i giao hoán n u phép nhân c a giao hốn Vành R g i vành có đ n v n u phép nhân c a có đ n v , t c có ph n t thu c R cho: 1 x x 1, x R 1.2.2 Vành nhóm nh ngh a:... u m t song ánh đ c g i m t đ ng c u nhóm 1.2 Vành tr ng 1.2.1 Vành Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa Lu n t t nghi p nh ngh a: Ta g i m t vành m i t p h p R v i hai phép toán hai ngôi,...Khóa Lu n t t nghi p TR NG IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN ********** NGUY N TH H P BI U DI N C A Sl2C VÀ Sl3C KHịA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: IH C IS HÀ N I ậ 2009 Nguy n Th H p L p K31 E-Tốn Khóa