10 phương trình bất phương trình minmax logarit đáp án

TÀI LIỆU TỔNG ƠN TẬP TNTHPT 2020 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - MIN MAX LOGARIT Vấn đề 10 A PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BPT MŨ -LOGARIT Thường sử dụng phương pháp sau: Phương pháp đưa số 1/ Phương trình – Bất phương trình mũ Phương trình mũ + Nếu a  0, a  a    a f x g x   f x   g x  a  + Nếu a chứa ẩn a    a    a  1 f x  g x    f x gx  f  x  g x  f x gx f x g x + a    b    log a a    log a b    f  x   log a b.g x  (logarit hóa) Bất phương trình mũ + Nếu a  a    a f x g x   f  x   g x  (cùng chiều) + Nếu  a  a    a f x + Nếu a chứa ẩn a    a f x g x   f x   g x  (ngược chiều) g x   a  1  f x   g x     2/ Phương trình logarit – Bất phương trình logarit Phương trình logarit + Nếu a  0, a  : log a x  b  x  a b 1 + Nếu a  0, a  : loga f x  loga g x   f x   g x  2 + Nếu a  0, a  : loga f x   g x   f x   a g x (mũ hóa) 3  Bất phương trình logarit + Nếu a  log a f x   log a g x   f x   g x  (cùng chiều) + Nếu  a  log a f x   log a g x   f x   g x  (ngược chiều)  log B   a  1B  1   a + Nếu a chứa ẩn  loga A   A  1B  1    loga B  Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit Bước Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga), ta cần ý:    log  0a 1  loga b    a   b0    loga   ĐK f x    f x    mũ lẻ ĐK   f x   mũ chẵn ĐK   f x   Bước Dùng công thức biến đổi đưa trên, giải Bước So với điều kiện kết luận nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ I/ Đặt ẩn phụ cho phương trình mũ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489      đặt t  a  , t   Loại P a  f x  Loại .a 2.f x  f x PP f x   a.b 2.f x   λ.b PP  Chia hai vế cho b    2.f  x  f x  a     , đặt t     (chia cho  b  số lớn nhỏ nhất) t    PP   đặt t  a  b   Loại a    b    c với a.b   f x f x f x f x a f x.a gx f x     u  a f x g x  PP  .a  b    Loại .a     a f x  đặt  g x    va     a gx II/ Đặt ẩn phụ cho phương trình logarit PP  Loại P loga f x     đặt t  log a f x   Loại Sử dụng công thức a log c  clog a để đặt t  a log x  t  xlog a  Lưu ý Trên số dạng thường gặp phương trình mũ loga, bất phương trình ta làm tương tự lưu ý chiều biến thiên Về phương diện tổng quát, ta tìm mối liên hệ biến để đặt ẩn phụ, đưa phương trình (bất phương trình) đại số hệ phương trình đại số mà biết cách giải Từ đó, tìm nghiệm Ngồi ra, số trường hợp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Nghĩa sau đặt ẩn phụ t x Ta giải phương trình theo t với x xem số cách lập biệt thức ∆ đưa tích số b b b b Phương pháp hàm số I/ Cơ sở lý thuyết vận dụng sở lý thuyết để tìm hướng giải Thơng thường ta vận dụng nội dung định lý (và kết quả) sau:  Nếu hàm số y  f x đơn điệu chiều D phương trình f x  không nghiệm D  Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x  x o phương trình, rõ hàm đơn điệu chiều D (luôn đồng biến nghịch biến D) kết luận x  xo nghiệm  Hàm số f t đơn điệu chiều khoảng a; b tồn u; v  a; b f u  f v  u  v "  Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t  Hàm số y  f t xác định liên tục D: Nếu f t đồng biến D u, v  D f u  f v  u  v Nếu f t nghịch biến D u, v  D f u  f v  u  v  Để vận dụng nội dung định lí giải bất phương trình, người đề thường cho hai hình thức có hai hướng xử lí thường gặp sau: Nếu đề yêu cầu giải f x  : Nhẩm nghiệm f x  miền xác định D, chẳng hạn x  x o Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Xét hàm số y  f  x D rõ đơn điệu tăng chiều (đơn điệu giảm chiều) Khi đó: f  x   f  x  f x o   x  x o hàm số đơn điệu tăng D x  xo hàm số đơn điệu giảm D Nếu đề yêu cầu giải f x  mà không nhẩm nghiệm x  x o f x  cần biến đổi f  x    f  g  x   f  h x  với việc xây dựng hàm đặc trưng y  f  t , hàm f  t đồng     biến (nghịch biến) Khi f g x   f h x   g x   f  x  hay g x   f x        Ta làm tương tự đề cho f x  0, f x  f x   Nếu hàm số y  f x có đạo hàm f ' x liên tục thỏa mãn f ' x  có nghiệm D phương trình f x  khơng q nghiệm D II/ Một số loại toán thường gặp sử dụng đơn điệu hàm  Loại loga f x  g x   g  x   f x    1 Tìm tập xác định D Biến đổi 1  loga f x  loga g x  .g x  .f x  loga f  x  .f x  loga g x  .g  x  f f x   f  g x      Xét hàm số đặc trưng f t  .t  loga t miền D hàm số đơn điệu chiều D f  f x   f  g x   f x   g x       Loại loga f x   log b g x  2 Nếu a  b 2  f x  g x : dạng toán quen thuộc PP   Dùng phương pháp đoán nghiệm chứng minh nghiệm Nếu a  1b  1   PP Nếu a  1b  1     Đặt ẩn phụ kết hợp mũ hóa phương trình  f x   a t biến đổi phương trình dạng:  g x   bt    Tìm tập xác định D đặt loga f x  logb g x  t   f t  At  Bt  giải phương pháp đoán nghiệm chứng minh nghiệm tìm x biết t  Dạng tốn:  loga f  x    log b g  x  ta làm tương tự cách đặt  loga f x   logb g x  γ.t với γ bội số chung nhỏ    Loại logf x g x   loga b 3 Đặt điều kiện: f x   g x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Sử dụng cơng thức đổi số 3  logb f  x  logb g  x   loga b  logb f x  loga b logb g  x  logb f  x  loga g x (đây loại 2)  Loại a x   p loga λx     qx  r 4 PP   Đặt ẩn phụ loga λx     y để đưa hệ phương trình đối xứng loại II hay gần đối xứng sử dụng phương pháp hàm để tìm x  y Phương trình dạng log a f  x, y   log b g  x, y  t  f  x, y   a Phương pháp: đặt t  log a f  x, y   log b g  x, y  chuyển hệ  đánh giá chặn giá trị t  g  x, y   b t Từ chọn giá trị nguyên x thích hợp thử lại xem với giá trị nguyên x chọn hệ phương trình có nghiệm t miền chặn hay không? Kiến thức để đánh giá chặn giá trị t : + Điều kiện có nghiệm phương trình bậc + Bất đẳng thức Cauchy, BCS… + Tính chất biến thiên hàm số x Câu Cho x , y số thực dương thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Giá trị y A B 3 C log   2 Lời giải D log Chọn B  x  9t   2.9t  6t  4t Đặt t  log x  log y  log  x  y  Khi  y  6t 2 x  y  4t   t     1 t t t 2 9 3 3               t 4 2 2        t Do đó: Câu Biết t x 9 3      y 6 2 x1 ; x2  x1  x2   hai nghiệm phương trình  x  x 1   x  x log   x   a  b với a , b số nguyên dương Giá trị P  a  b A P  14 B P  13 C P  15 D P  16 Lời giải x1  x2  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Chọn A 2 x 1 x  x 1 Điều kiện 0   x  0, x  x x 2 log x  x 1 2  x  x  log 2 x 1  log x  2 x 1  x  x  log 2 x 1  2 x 1  log 2 x  x 1 2 Xét hàm số f t   log t  t với t  Ta có f  t   1  với t  suy f t   log3 t  t đồng biến 0; ln 2.t  1 Xét x  0;  , từ 1 ta có     x   l   2 f 2 x 1  f 2 x  2 x 1  x  x  x       x  3    1  Xét x   ;  , từ 1 ta có     x  3  2 f 2 x 1  f 2 x   2 x 1  x  x  x       x  l      x  x 1   x  x có hai nghiệm phân biệt Do đó, phương trình log    x 3 3 ; x2  4 Suy x1  x2   Suy a  9, b   P  a  b  14 x1   Câu  Biết a  log 30 10 , b  log 30 150 log 2000 15000  nguyên, tính S  A S  x1a  y1b  z1 với x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y ; z số x2 a  y2b  z2 x1 x2 B S  C S  D S  Lời giải Chọn A Ta có log 2000 15000  log 30 15000 log 30 150  log 30 10  1 log30 2000 log 30  3log 30 10 Ta có a  log 30 10  log 30  log 30  log 30  a  log 30 2 b  log 30 150   log 30  log 30  b 1 thay vào 2 ta log 30  a  b  Ta có log 2000 1500  b  2a 2a  b  a  b   3a 4a  b  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy S  x1   x2 log x y  log y x Cho số thực dương x, y khác thỏa mãn  log x  x  y   log y  x  y   2 Giá trị x  xy  y Câu A B C Lời giải D Chọn D ĐK: x  y      y   log x y  log x y  log y x  x log x y     Ta có  x  y log x  x  y   log y  x  y   log  x  y   log  x  y     y  x    log x  x  y   log x1  x  y   1   y   xy  y  x x       x  xy  y     x  y  2 log x  x  y   log x  x  y   log x  x  y   Câu Cho số thực dương a , b thỏa mãn log a  log b  log a  log b  100 log a , log b , log a , log b số nguyên dương Tính P  ab A 10164 B 10100 C 10 200 Lời giải D 10144 Chọn A Ta có: log a  log b  log a  log b  100  log a  log b  log a  log b  200   log a  1   log b 1  202  81  121 * Mà log a ,     *        log b , log a , log b số nguyên dương nên a  1064  log a  64     b  10100  log b   11  log b  100       log a  100 a  10100 log a   11     64  log b  64    log b   b  10 log a   Vậy: P  ab  1064.10100  10164 Câu Cho log  a; log  b; log  c Biết log 24 175  A 27 B 25 C 23 Lời giải mb  nac Tính A  m  2n  p  4q pc  q D 29 Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Ta có log 24 175  log 24 7.52  log 24  log 24    log  log log5  log 23   log 24 log 24   3   log3 log log3 log 2     3 3     log 7.log3 log log log 3.log 2b 2b 2a c.2a c 2b 4ac 2b  4ac     c c c  c  c    2b 2b 2ac 2ac A  m  2n  p  4q     12  25 Câu Cho x , y số thực lớn thoả mãn x  y  xy Tính M  A M  B M  C M   log12 x  log12 y log12  x  y  D M  Lời giải Chọn B Ta có x  y  xy  x  xy  y  * Do x , y số thực dương lớn nên ta chia vế * cho y ta  x    y  x  3  x  y n y x  6      x y   2  x  2 y l   y Vậy x  y (1) Mặt khác M   log12 x  log12 y log12 12 xy (2)  2 log12  x  y  log12  x  y  Thay (1) vào (2) ta có M  Câu Cho log12 36 y 1 log12 36 y   f  x   a ln x  x   b sin x  với a, b Biết f log log e  Tính f log ln10 B 10 A C D Lời giải Chọn B Đặt x0  log log e   Có: f  x0   a ln x0  x02   b sin x0   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489     Ta có f log ln10  f log    f  log log e  f x0    log e  f  x0   a ln     x02   x0  b sin  x0    a ln x0  x02   b sin x0         a ln x0  x02 1  b sin x0  6  12   f  x0   12  10   Câu Cho x + 9-x = 14 A P  10 a 6+3(3x +3-x ) a phân số tối giản Tính P  a.b = với x+1 1-x 2-3 -3 b b B P  45 C P  10 D P  45 Lời giải Chọn B Ta có x  9 x  14  32 x  2.32 x.32 x  32 x  16  3x  3 x   16  3x  3 x   3(3x  3 x )  3(3x  3 x )  3(3x  3 x )    3x1  31x  3.3x  3.3 x  3.3x  3 x    3.4 18 a       ab  45  3.4 10 b  3 Câu 10 Biết phương trình 27 x  271 x 16 3x  x    có nghiệm x  a, x  log b x  log c   b thuộc khoảng sau đây? c 3 5  3 B  ;  C 1;   2    với a  , b  c  Tỉ số A (3; ) 5  D  ;3   Lời giải Chọn D Ta có  3 27 x  271x 16 3x  x     33 x  27.33 x 16 3x  3.3 x    1   Đặt t  3x  3.3 x  t  33 x  27.33 x  333 x  3.33 x .33 x.3.33 x  33 x  27.33 x  33 x  3.33 x  3x  3.3 x  32 x  3x   t     x x   Khi 1  t  7t    t  3  3  3.3  3  32 x  3.3x     x  2x x x t  3  3.3  3  2.3    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020   3x  13   x  log 13    2     21  21  b 13   3x    x  log    2.9 2 c 21    3 x  x 1       Câu 11 Cho hai số thực dương a, b thỏa log a  log b  log9  a  b  Tính A B 1 a b 1  Lờigiải C D 1  Chọn D Đặt t  log a  log6 b  log9  a  b  t    1  a  4t    2t t   3 2  2 t t t t  b           1    t  3  3     a  b  9t    ( L)    t a t   1      b 6t   Câu 12 Gọi a nghiệm phương trình 4.2 log x  6log x  18.32 log x  Khẳng định sau đánh giá a ? 2 B a  10 A  a  10   C a  a   D a  100 Lờigiải Chọn D Điều kiện x  2 Chia hai vế phương trình cho 32 log x ta   3 2 Đặt t    3 2log x 2   3 log x  18  log x , t   t Ta có 4t  t  18     t  2  L  2   3 Vậy a  100 Với t  log x   log x  2  x  100 Câu 13 Tổng nghiệm phương trình sau x 1  log  x    A B C Lờigiải D 10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B Điều kiện: x  Đặt y   log  x  5 ta có hệ phương trình 7 x 1   y  1  7 x 1  y    x 1  x  y 1  y (2)   y 1 7  x   y   log  x   Xét hàm số f  t   7t 1  6t với t   2  f  x   f  y   x  y 5 f '  t   7t 1 ln   0, t   f  t  đồng biến nên 6 ta có phương trình x 1  x   (3) Xét hàm số g  x   x 1  x  với x  5 g '  x   x 1 ln   g "  x   x 1  ln   x  6 nên suy phương trình g  x   có khơng q hai nghiệm Mặt khác g 1  g    nên x  x  nghiệm phương trình (3) Vậy phương trình cho có nghiệm x  x  Suy tổng nghiệm phương trình   Câu 14 Bất phương trình x   x   3x   x  1  có tập nghiệm S   a; b    c;   Tính tổng a  b  c ? A B D C Lờigiải Chọn D Đặt t  x , t  Bất phương trình cho trở thành: t   x  5 t  2 x 1    t   t  x  1  3 x  t   t  TH1:    x t  x   t  x   3  x   1 2 Xét bất phương trình   : Đặt g  x   3x  x   g   x   x ln  Gọi x0 nghiệm phương trình g   x   , x0  Khi đó, g  x   có nhiều hai nghiệm Xét thấy, g  x   có hai nghiệm x  x  Ta có bảng biến thiên Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Smin   B Smin   C Smin   D Smin   Lời giải Chọn D Theo đề suy ra: xy   Ta có: 3xy  x  y 1  2x  y   xy  1 3xy 1   x  y  32 x  y 1 xy  Xét hàm số: f  t   t.3t ,  t    f   t   3t  t.3t.ln  0, t  Hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;   Do đó: 1  f  xy  1  f  x  y   xy   x  y  y  1 2x x 1 Theo đề ta có: x, y   x  Ta có: S  x  y  x  Đạo hàm: S   12  x  1 8x  , x 1 x 1   S    x  12  Từ ta Pmin   Câu 13 Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn  9.3 x 2 y    9x 2 y  y  x2  Giá trị nhỏ biểu x  y  18 x thức P  A B 3 C  D 17 Lời giải Chọn A Ta có  9.3 x   3x 7x 2 2 y 2 y 2 2 y      9x  32( x 2( x 2 2 y  y  x2    3x 2 y 2    32( x  2 y)  y  x  2 2 y ) 2 y ) (*) t t  3t 1 3 Xét hàm số f (t )  t  Ta có f (t )       nghịch biến  7 7   (*)  f x  y   f  2( x  y )   x  y   2( x  y )  x  y   y  x  Từ P  x  x  16 16 16  x    x   P  x x x Dấu "  " xảy x   x  y 1  Câu 14 Cho số dương x, y thỏa mãn log    x  y  Giá trị nhỏ biểu thức  2x  y  A  x  y   x y Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 A 31 27 Lời giải B 11 C D 19 Chọn D  x  y 1 0   x  y 1 ĐK:  x  y  x, y   Ta có:  x  y 1  log    3x  y   2x  y    log  x  y  1  1   x  y  1  log5  x  y   x  y  log 5  x  y  1    x  y  1  log  x  y   x  y * Xét hàm số f (t )  log  t   t  0;    , f (t )    0, t   0;    nên hàm số f (t ) t ln đồng biến  0;    *   x  y  1  x  y  3x  y  Mặt khác, ta có A  6x  y   4  9    x     y     x  y   2.6  2.6   19 x y  x  y  9 x  x   x    Dấu “ = ” xảy   y  (thỏa mãn điều kiện)  y  y   3 x  y    Vậy GTNN A 19 y x Câu 15 Cho hai số thực x, y lớn thỏa mãn y x (e x ) e  x y (e y ) e Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log x xy  log y x A 1 2 Lời giải B 2 C D 1 Chọn C Với x, y  , ta có y y x (e x )e  x y (e y )e   ln y x (e x )e y x   ln  x (e )  y y ex  x ln y  xe y  y ln x  ye x  ln y e y ln x e x    (1) y y x x Xét hàm số g (t )  tet  et   ln t 1;   , có g(t )  tet   0, t  t Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hàm số g(t ) đồng biến 1;   nên g (t )  g (1)   0, t  Xét hàm số f (t )  g (t ) ln t et 1;   , có f '(t )   0, t  1, nên f (t ) đồng biến (1; )  t t t Với x, y  (1)  f ( y)  f ( x)  y  x Đặt u  log x y Do y  x  nên u  Ta có P  h(u )  1 u u2   Nhận thấy h '(u )  , nên u 2u h '(u)  u  2, h '(u)   u  2, h '(u)  u  Dẫn tới P  h(u )  h     22 Vậy P  , u  1, đẳng thức xảy u  1 2 , đạt y  x 2 x  Câu 16 Cho hai số thực x , y thỏa mãn  x , y  x , y khơng đồng thời  x y  log     x  1  y  1   Tìm giá trị nhỏ P với P  x  y   xy  A B C D Lời giải Chọn B xy Từ điều kiện đề  0;1  xy   x  y  0;1  xy   xy  xy  log     x  1  y  1    log  x  y    x  y   log   xy     xy    xy  Xét hàm số f  t   log t  t  t   có f   t     t  t.ln  f  t  hàm số đồng biến khoảng  0;   Vậy phương trình  1  x  y   xy  y  Xét hàm số f ( x)  x   1 1 x 1 x  P  2x  1 x 1 x x  2 1 x với x   0; 1 có f ( x)   cho f ( x)    x1  x  2  x  1 f    1; f  1   f ( x)   chọn B 0;1   2x  Câu 17 Xét số thực dương x , y thỏa mãn ln    3x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin  xy  1 P  x xy A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  16 Lời giải Chọn A Điều kiện  x  Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020   2x  Từ giả thiết ln    3x  y   ln   x     x   ln  x  y    x  y   1  xy  Xét hàm số f  t   ln t  t  0;   có f   t     , t  hàm f  t  đơn điệu t Vậy  1   x  x  y  x  y    1 2      x xy x x  y x  x Có P  Đặt g  x   , ta có g  x     suy g   x    x   x  2x x 1  2x  Do g  x   Vậy Pmin   1  0;   2 Bổ sung: đánh giá P  1 2        x xy x x  y x  x x   x Câu 18 Cho hai số thực x, y không âm thỏa mãn x  x  y   log 2 y 1 Giá trị nhỏ biểu x 1 thức P  e2 x 1  x  y  A  Lời giải B D  C Chọn A y 1 2   x  1  log 2  x  1  log  y  1   y  1 x 1 Xét hàm số f  t   t  log t ,  t   ; f   t     0, t  t.ln  x  x  y   log 2  Suy  x  1  y   y   x 1 1 P  e2 x 1  x2  y   e2 x1  4x2   x  1    e2 x 1  x  x  g  x  g   x   2e2 x 1  x  hàm số đồng biến nửa khoảng  0;   nên g   x   có tối đa nghiệm, nhẩm nghiệm x  Vậy P   nên nghiệm 1 x  2 Câu 19 Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức  xy  1 22 xy 1   x  y  x y Tìm giá trị nhỏ ymin y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A ymin  B ymin  C ymin  D ymin  Lời giải Chọn B Ta có  xy  1 22 xy 1   x  y  x y   xy   1 22 xy 1   x  y  x  y 1 1 Xét hàm f  t    t  1 2t với t  Khi f   t   2t   t  1 2t.ln  với t  Từ 1  xy   x  y   y  y  2x2  2x   x  1 x2  2x 1 x    2x2  2x      x  1 Loại x  1 điều kiện t nên f     x, y     x  3 Câu 20 Cho  cho ln 2     x  ln  19 y  xy ( x  y ) Tìm giá trị nhỏ m biểu   x , y  y     thức T  x  x  3y A m  1 B m  C m  Lời giải D m  Chọn C Ta có  ln 2   x  3  x  ln  19 y  xy ( x  y )  ln 2 y  x   2 y  x   ln 3 y   3 y  1   y Xét hàm số f t   ln t   t với t  có f  t    3t  t Vậy 1  y  x  y  x  y  T  x  t   f t  đồng biến 4x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM T  x 3x x 3x x 3x           Dấu xảy x  y  4x 4 4x 4 4x 4 Câu 21 Cho x; y số thực dương thỏa mãn điều kiện x4 y  5xy  x    3 x4 y  y  x  4 Tìm xy giá trị nhỏ biểu thức P  x  y A B  C  Lời giải D 1 Chọn B Ta có x4 y  5xy  x    3 x4 y  y  x  4 xy Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  x4 y  3 x4 y  x  y  xy1  31xy  xy 11 Xét hàm số f t   5t  3t  t  Vì f  t   5t.ln  3t.ln   0; x   nên hàm số f t  đồng biến  2 Từ 1 2 ta có x  y  xy 13 Dễ thấy x  không thỏa mãn 3 x 1 kết hợp điều kiện y  suy x  x4 x 1 Do P  x  y  x  x4 x 1 Xét hàm số g  x   x  4;  x4 x   5    Ta có g   x  1  x     x   x 4 Với x  , 3  y  g  x – g  x      5 Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin  g  x   4;  Câu 22 Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  xy  x    3 x  y  y ( x  2) Tìm giá trị nhỏ 3xy biểu thức T  x  y A Tmin   B Tmin   C Tmin   D Tmin   Lời giải Chọn B Theo đề ta có xy  x    3 x  y  y ( x  2) xy 1  x  y  x  y  x  y  xy 1  xy 1  xy  3 Xét f  t   5t  t  t  f   t   5t ln  3 t ln   x 1 x 1 Do y  0, x    x  y  xy   y  0 x2 x2 x2 5x y  x  x2  x   x2 x2  x     2;   x2  4x   T     x     2;    x  2 Bảng biến thiên Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với x  nhé,kết không thay đổi Ta có: T  x  y  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 71 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin   x   Câu 23 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log x  3y  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy  1 y A x A Amin  14 B Amin   14 C Amin  6 D Amin  Lời giải Chọn D Điều kiện: x  y  log x  3y  xy  y  x   log  x  y   log  xy  1  xy  y  x  xy   log  x  y    x  y   log  xy  1  xy  11 Xét hàm f  t   log t  t , t  f  t     0, t  t.ln Suy hàm số f  t  đồng biến  0;    nên 1  x  y  xy   y  A x x 1 x3 x3  x y x 1 Đặt A  A  x   x  x3  A  x      x  x, y  x 1  x  1 4x  y  2 x  y  2 Câu 24 Cho x, y  thỏa 2019   Tìm giá trị nhỏ P P  y  x  x  2 A 2018 B 2019 Lời giải D C Chọn D Ta có: 2019   x2  y2  4x  y   x  2   2019   x  x  2 x  y  2  4x  y   x  2  2019 2 x 2  x  2  2019 24 x y  2. x  y  2* 2 Trang 72 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  u   x  22 Đặt  u, v  0   v  x  y    Khi đó: *  2019 2u.u  2019 v.v  f u   f v  với f t   2019 t t , (t  0)  f ' t   2019 t ln 2019.t  2019 t  0,  t  Do đó: f u   f v   u  v   x  2  x  y   y  x  2  P  y  x  x  x    x 1   Vậy Pmin   x  Câu 25 Cho số thực dương x , y thỏa mãn log  x  1 y  1  biểu thức P  x  y A Pmin  11 B Pmin  27 y 1    x  1 y  1 Giá trị nhỏ C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D y 1 Ta có log  x  1 y  1     x  1 y  1   y  1  log  x  1  log  y  1    x  1 y  1    y  1 log  x  1  log  y  1  x  1   log  x  1  x    log  y  1 y 1  log  x  1  x    9   log y 1 y1 Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số f  t  t ln đồng biến liên tục  0;   Từ suy x   Vậy P  x  y  8y 9 , x  nên y   0;  x 1  y1 y 1 y 1 8y 9  2y  2y     y  1    3  y 1 y 1 y1 Vậy Pmin  3   y  1  y 1 y 1 Câu 26 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log 1 y  xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin x  xy P  x y A Pmin  34 B Pmin  34 C Pmin  34 D Pmin  34 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 73 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 log 1 y  xy  x  y   log 1  y   log  x  xy   xy  x  y  x  xy  log 3 1  y   1  y   log  x  xy    x  3xy    0, t  Suy hàm số đồng biến t ln  0;   Suy  log 3 1  y   1  y   log  x  3xy    x  3xy   1  y   x  3xy Xét hàm f  t   log t  t , t  có f '  t   x 1  y  1  y   4 34  x y  y Vậy Pmin   1 3y 1 3y 3 Câu 27 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log lớn Pmax biểu thức P  A x y  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá trị x  y  xy  2 3x  y  x y6 B C Lời giải D Chọn C Ta có: log x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  2  log 3  x  y    x  y   log x  y  xy    x  y  xy  Xét hàm số f  t   log t  t , t  có f   t     0, t  Vậy hàm số f  t  đồng t ln biến liên tục khoảng  0;   Do đó: f   x  y    f  x  y  xy     x  y   x  y  xy  1 Từ 1  xy   x  y    x  y    x  y 1 Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy     xy   x  y  Đẳng thức xảy Do từ 1 , suy ra:  x  y  1 x 2   x  y   3 x  y   Đặt t  x  y , t  2 x  y 1 x  Suy ra: P  x y6 Ta có: f   t    t  1 2t   3t  36t  135 t  6 2  t  3t  3t  22t    f t  t 6  t  6   t  (nhận) Bảng biến thiên Trang 74 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 t f  t     f t  x  y 1 x  Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3     0;   x  y   y  Câu 28 Xét số thực dương x , y thỏa mãn 2018    x  y Tìm giá trị nhỏ P 2 x  y 1  x  1 P  y  3x A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  Lời giải Chọn B x  y 1 2x  y 2x  y Cách 1: Ta có 2018     x  y  1  log 2018 2  x  1  x  1   x  1   x  y   log 2018  x  y   log 2018  x  1 2   x  1  log 2018  x  1   x  y   log 2018  x  y  Có dạng f  x  1   f  x  y  với f  t   2t  log 2018 t ,  t     Xét hàm số f  t   2t  log 2018 t ,  t   , ta có f   t      t   nên hàm số f  t  t ln 2018 2 đồng biến khoảng  0;    Khi f  x  1   f  x  y    x  1  x  y  y  x2    Ta có P  y  3x   x  1  3x  x  3x  Bảng biến thiên x     P Vậy Pmin  x  Câu 29 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log  x  1 y  1  biểu thức P  x  y A Pmin  11 B Pmin  27 y 1    x  1 y  1 Giá trị nhỏ C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D Ta có log  x  1 y  1  y 1    x  1 y  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 75 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   y  1 log3  x  1  log3  y  1    x  1 y  1    y  1 log  x  1  log  y  1  x  1   log  x  1  x    log  y  1 y 1  log  x  1  x    9 (*)   log y 1 y 1 Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số f  t  t ln đồng biến liên tục  0;   9 8 y x 1  , x  nên y   0;8  y 1 y 1 y 1 8 y 9 Vậy P  x  y   y  y 1   y  1    3  y 1 y 1 y 1 Từ (*) suy x   Vậy Pmin  3   y  1   y 1 y 1 Câu 30 Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  A  x y 59 B 19 53 Lời giải C D  Chọn B x  Điều kiện:  0  y  Từ giả thiết ta có: log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log  x   y    x   y  (*) Xét hàm số f  t   log t  t với t  , Ta có f '  t     0, t  nên hàm t ln số f  t   log t  t đồng biến khoảng  0;   Do *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  x  y  ** ( x  ) Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho cặp số dương bất đẳng thức ** , ta có: 3x y  3x   y  P  3x  y     x  y              19 x y 2 x y  x 2 y  x  y   x   3x Đẳng thức xảy    Vậy giá trị nhỏ P 19 y  2 x y 2  y  Trang 76 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 31 Cho x , y số dương thỏa mãn log x2  y   x  10 xy  y  Gọi M ,m 2 x  10 xy  y giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  A T  60 B T  94 x  xy  y Tính T  10 M  m xy  y C T  104 D T  50 Lời giải Chọn B log x2  y   x  10 xy  y  2 x  10 xy  y  log  x  y   log  x  10 xy  y   log 2   x  y    x  10 xy  y    log  x  10 y    x  y   log  x  10 xy  y    x  10 xy  y   x2  10 y  x2  10 xy  y2 vi) x x x  x  10 xy  y      10        y  y  y 2 x x  y   y 9 2 x  xy  y P   x xy  y 1 y Đặt t  x , điều kiện:  t  y t  2t   t  4 t2  t   f t  f t   ;   ; f  t     t 1  t  1 t  11 99 ; f    ; f 9  10 99 Nên M  , m  Vậy T  10 M  m  94 10 f  1  Câu 32 Vậy Amin  Cho số thực dương x y thỏa mãn  9.3x 2 y    9x 2 y  y  x2  Tìm giá trị x  y  18 x nhỏ biểu thức P  3 A P  B P  C P   D Hàm số khơng có giá trị nhỏ Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta đặt t  x  y , t   Phương trình  9.3x 2 y    9x 2 y .7 y  x2  trở thành   t  49 t t  9.3     t    49   9    49       t t Nhận thấy t  nghiệm phương trình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 77 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta chứng minh t  nghiệm phương trình t 7  Xét t  :  49    49 nên vế trái phương trình ln dương, nên phương trình vơ 3 nghiệm t t 7  Xét t  : 7t  49    49 nên vế trái phương trình ln âm, nên phương trình vơ nghiệm 3 Vậy t  x  y   y   x x2  x  y  18 x  x  16  thay vào P  x x 16 16 16   x   Dấu đạt x   x  x x x   Câu 33 Cho x, y số thực lớn cho y x e x ey ex  x y  e y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log x xy  log y x A 1 2 Lời giải B 2 C D 1 Chọn C Cách Ta có: y x y x e e e e y x  e x   x y  e y   ln  y x  e x    ln  x y  e y     x y  x ln y  xe y  y ln x  ye x   x ln x  e ln y  e y    (*) (vì y  e x  ln x có y '  e x   0; x  x nên y  y 1  e  ) Xét hàm số: f  t   ln t  et   tet t f ' t  1; ta có Với hàm số     ln t  et  ln t  et  g  t   ln t  et   tet có g '  t    ln t  et   tet  '   tet  0, t  t Nên g  t   g 1  1  f '  t   0; t   y  f  t  hàm nghịch biến 1;   nên với (*) f  x   f  y   y  x  Khi P  log x xy  log y x  Dấu “=” xảy khi: Vậy: Pmin  1 1 1 1 2  log x y    log x y  2 log x y 2 log x y 1 log x y    log x y    y  x log x y 1 2 Câu 34 Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  biết 1  y  A P  x2  x2 1  log 14   y   y   với x  13 B P  C P  D P  Trang 78 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Lời giải Chọn B Xét x2  Ta có x2 1 x2  x2  log 14   y   y   1 x2 4 x2 1  , dấu xảy x  1 , Mặt khác 14   y   y   14  y   Đặt t  y  ta có  t    y 1 30 Xét hàm số f  t   t  3t  14 Ta tìm GTLN – GTNN hàm   30  56  30 30  số đoạn 0; ; max f  t   f 1  16 f  t   f    min  30  30      0;  0;          Suy log 14   y   y    log 16  ,  x  1  x  1 Từ suy ta có   Thay vào P  t  y   y  1 ,  y  log 11  x  y   y  x  Xét biểu thức 2 P  16 yx  x  y    y  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn P Khi Câu 35 Cho hai số thực x , y thỏa mãn  x  giá trị T   4m  M  bao nhiêu? A 16 B 18 C 17 Lời giải D 19 Chọn A Ta có log 11  x  y   y  x    x  y   log 11   x  y     Đặt t  x  y ,  t  11 Phương trình trở thành: 2t  log 11  t    1 Xét hàm số f  t   2t  log 11  t   khoảng  0;11 Có y    , t   0;11 Do hàm số f  t  đồng biến 11  t Dễ thấy 1 có nghiệm t  Do t  nghiệm 1 Suy x   y Khi 1  y  P  16 y  1  y  y    y   y  y  y   1 Xét hàm số g  y   y  y  y  0;  , có  2  1 g   y   12 y  10 y   , y   0;   2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 79 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do đó, g  y   g    , max g  y   g 1   1  0;     1 0;  Suy m  , m  Vậy T  4.3   16 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 80 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... phương trình mũ loga, bất phương trình ta làm tương tự lưu ý chiều biến thiên Về phương diện tổng quát, ta tìm mối liên hệ biến để đặt ẩn phụ, đưa phương trình (bất phương trình) đại số hệ phương trình. .. Mặt khác g 1  g    nên x  x  nghiệm phương trình (3) Vậy phương trình cho có nghiệm x  x  Suy tổng nghiệm phương trình   Câu 14 Bất phương trình x   x   3x   x  1  có tập... Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S   0;1 Câu 29 Bất phương trình x  x 1 1   2x  x 1 B A có tập nghiệm S   a; b  Khi a  b D 10 C Lờigiải Chọn B ĐK: x  Bất phương trình