Đề và đáp án thi HSG 9, q.Tây Hồ, vòng I

Câu 1 (5 điểm) Cho biểu thức: + + = x x x x xxx x M 2 2 : 2 3 2 4 a) Rút gọn M. b) Tính giá trị của M nếu 526 = x c) Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn ( ) nxMx +=+ .1 Câu 2 (3 điểm) a) Cho x và y là các số dơng thỏa mãn ( )( ) 201111 22 =+++ yxxy Tính giá trị của biểu thức : 22 11 xyyxA +++= b) Cho xy=1 và x>y. Chứng minh rằng 22 22 + yx yx Câu 3 (5 điểm) a) Cho x, y, z là các số nguyên sao cho (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z. Chứng minh rằng khi đó 27zyx ++ b) Cho biểu thức 1815143 +++= aaaaM - Tìm điều kiện của a để M xác định. - Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Câu 4 (5 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi I là điểm bất kì trên cạnh AB (I khác A và B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đờng thẳng CI cắt AE tại M. Trên tia đối tia AB lấy điểm N sao cho AN=BE. a) Chứng minh rằng CN vuông góc với DE. b) Chứng minh rằng DE vuông góc với BM. Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và chu vi tam giác là 2p. Chứng minh rằng: 9 + + cp p bp p ap p ------ Hết-------- - Giám thị không giải thích đề thi PHềNG GIO DC O TO QUN TY H Kè THI HC SINH GII LP 9, VềNG I, CP QUN Nm hc 2010-2011 PHềNG GIO DC O TO QUN TY H Kè THI HC SINH GII LP 9, VềNGI,CPQUN Nm hc 2010-2011 Môn thi : Toán Ngày thi: 9/10/2010 Thời gian làm bài: 150 phút Tây Hồ ngày 21 tháng 10 năm 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN I.Hướng dẫn chung: - Làm tròn toàn bài đến 0,5 điểm - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương II. Thang điểm và đáp án: Câu Đáp án Thang điểm a)         − − +         − + − − = x x x x xxx x M 2 2 : 2 3 )2( 4 4 )2( . )2( 44 − − − − = xx xx x xM −= 1 ĐK: 4;0 ≠> xx 2đ 1 (5 đ) b) 2 )15(526 −=−= x ⇒ 15 −= x ⇒ 52 −= M 1đ c) ( ) ( )( ) 0111.1 <−++⇔+>−+⇔+>+ nxxnxxxnxMx nx −<       +⇔ 4 5 2 1 2 . Vì x>0 nên 4 1 2 1 2 >       + x Do đó nx −<       +<⇔ 4 5 2 1 4 1 2 1 4 1 4 5 <⇒>−⇒ nn 2đ 2 (3 đ) a) ( )( ) 222 )11(2011 yxxy +++= = ( )( ) 22222222 1112 yxyxyxxyyx +++++++ ( )( ) 1)1(112)1( 222222 +++++++= xyyxxyyx = ( ) 111 2 22 ++++ xyyx ⇒ ( ) 201011 2 22 =+++ xyyx ; 0 > A Vậy 2010 = A 2đ b) 0 >−⇒> yxyx ( ) ( ) ( ) 22 2 .2 2 )( 22 22 22 = − −≥ − +−= − +− = − +− = − + yx yx yx yx yx yx yx xyyx yx yx 1đ 3 (5 đ) a)Ta có một số nguyên chia cho 3 có số dư là 0; 1 hoặc 2 • Nếu x, y, z chia cho 3 có 3 số dư khác nhau thì x-y, y-z, z-x đều không chia hết cho 3. Do đó (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z không xảy ra • Nếu x, y, z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư. Giả sử là x và y chia cho 3 cùng dư thì x-y chia hết cho 3; còn x+y+z không chia hết cho 3. • Vậy x-y, y-z, z-x chia cho 3 cùng dư 27))()(( xzzyyxzyx −−−=++⇒ 2đ b) 1815143 −−++−−+= aaaaM = 161814141 +−−−++−−− aaaa 22 )14()21( −−+−−= aaM M xác định khi 01 ≥− a hay 1 ≥ a M= ≥−−+−− |14||21| aa |1421| −−+−− aa =2. Ta có 2 ≥ M Dấu = khi 0)14)(21( ≥−−−− aa ⇔ 412 ≤−≤ a ⇔ 175 ≤≤ a 1đ 2đ a)Gọi K,L là giao điểm của AE và NC,DN. Gọi H là giao điểm của DE và NC. 4 (5 đ) H I K A B C D E N L M ⇒∆=∆ ) ( cgcANDBAE góc BAE=góc AND Mà góc BAE+góc LAD= 0 90 Suy ra ADL+ góc LAD= 0 90 Hay NDAL ⊥ Tương tự DECNCDEBCN ⊥⇒∆=∆ b) K là trực tâm của tam giác EDN NEDK ⊥⇒ I là trực tâm của tam giác CEN NECI ⊥⇒ Suy ra DK//CI Trong EK EM ED EI EDK =∆ : . Trong EC EB ED EI EDC =∆ : Suy ra BM//CK .Vậy DE ⊥ BM 2đ 3đ 5 (2 đ) Xét bài toán phụ với x>0; y>0 ;z>0 9) 111 )(( ≥++++ zyx zyx Áp dụng với x= p-a > 0 ; y= p-b > 0 ;z= p-c > 0 , Ta có ( ) ( ) ( ) [ ] 9 111 . ≥         − + − + − −+−+− cpbpap cpbpap Thay (p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p suy ra 9 ≥ − + − + − cp p bp p ap p 1đ 1đ . đề thi PHềNG GIO DC O TO QUN TY H Kè THI HC SINH GII LP 9, VềNG I, CP QUN Nm hc 2010-2011 PHềNG GIO DC O TO QUN TY H Kè THI HC SINH GII LP 9, VềNGI,CPQUN. hc 2010-2011 Môn thi : Toán Ngày thi: 9/10/2010 Th i gian làm b i: 150 phút Tây Hồ ngày 21 tháng 10 năm 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN I. Hướng dẫn chung: