cac bai toan cuc tri trong hinh hoc

Lời nói đầu Lời nói đầu Chúng tôi nghiên cứu đề tài “Các bài toán cực trị trong hình học thuộc chương trình PTCS” vì các bài toán tìm GTLN,GTNN trong hình học rất đa dạng, đòi hòi ở học sinh phải biết vận dụng kiến thức một cách hợp lí nhiều khi rất độc đáo, bất ngờ. Việc giải các bài toán dạng này sẽ đưa người học xích gần lại với các bài toán thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “nhất “ trong những ràng buộc nào đó như nhiều nhất, ít nhất; xa nhất, gần nhất; dài nhất, ngắn nhất; nhanh nhất, chập nhất… Thông thường các bài toán dạng này không cho sẵn điều phải chứng minh mà đòi hỏi học sinh phải tự tìm thấy kết quả của bài toán. Điều đó là không dễ chút nào đối với các em. ,nhóm nghiên cứu tiểu luận “Các bài toán cực trị trong hình học thuộc chương trình THCS” là muốn góp phần nhỏ trong việc khơi dậy sự hứng thú khi học toán và cảm nhận niềm vui khi tự mình giải được bài toán. Lần đầu tiên làm tiểu luận khoa học, mặc dù rất cố gắng trong việc nghiên cứu song khó tránh những thiếu sót. Nhóm biên soạn rất mong đợi những nhưng xét quí giá, những góp ý chân thành của thầy cô và các bạn. 2 Chương1: Các bài toán cực trị trong hình học phẳng vàmột số kiến thức để giải. 1. Bài toán cực trị trong hình học phẳng 1.1Thế nào là bài toán cực trị trong hình học? • Các bài toán cực trị hình học có dạng chung: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, chu vi, .) có GTLN hoặc GTNN. • Khi tìm vị trí của hình ( H ) trên miền D sao cho biểu thức f có GTLN, ta phải chứng tỏ hai điều:  Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m với m là hằng số.  Xác định vị trí của hình H ( chỉ cần chứng tỏ tồn tại một hình H ) trên miền D sao cho f = m. • Khi tìm vị trí của hình ( H ) trên miền D sao cho biểu thức f có GTNN, ta phải chứng tỏ hai điều:  Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m với m là hằng số.  Xác định vị trí của hình H ( chỉ cần chứng tỏ tồn tại một hình H ) trên miền D sao cho f = m. 1.2 Các dạng của bài toán cực trị hình học: • Dạng 1: Bài toán về dựng hình. Vi dụ: Xác định vị trí của dây đi qua điểm P trong một đường tròn sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất. • Dạng 2: Bài toán về chứng minh. Ví dụ: Chứng minh rằng trong tất cả các tứ giác lồi nội tiếp cùng một đường tròn, hình vuông có chu vi lớn nhất. • Dạng 3: Bài toán về tính toán. Ví dụ: Cho đường tròn ( O;R ) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h. Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P. 1.3 Phương pháp giải: • Các bài toán cực trị hình học, lời giải được trình bày theo hai cách sau:  Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh rằng hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác ( bài toán tìm GTLN ) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác ( bài toán tìm GTNN ).  Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác tương đương (nếu có). Rồi từ đó vận dụng kiến thức: 3  Tìm GTLN, GTNN của A, với A là đại lượng nào đó ( góc, đoạn thẳng): o Ta chứng minh được A ≥ m ( m không đổi ). o Có một hình sao cho A = m. o Kết luận GTLN của A là m. o Ta chứng minh được A ≤ n ( n không đổi ). o Có một hình sao cho A = n. o Kết luận GTNN của A là n.  Từ đó xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị. • Chú ý: Thường giải các bài toán cực trị hình học trình bày theo cách 2. 2. Một số kiến thức cơ bản thường dùng để giải bài toán cực trị trong hình học phẳng: 2.1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác: • Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. • Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. • Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, nếu cạnh thứ ba của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đối diện cũng lớn hơn và ngược lại. 2.2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu: • Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. • Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:  Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.  Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.  Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại. 2.3.Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác: • Trong một tam giác, tổng dộ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. • Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. • Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lai. 2.4. Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc: • Trong các đường nối liền hai điểm, đoạn thẳng nối hai điểm đó là ngắn nhất. 4 2.5.Các bất đẳng thức trong đường tròn: • Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn. • Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảng cách đến tâm nhỏ hơn. • Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn. • Trong hai cung lớn của một đương tròn, cung lớn hơn khi va chỉ khi dây 2.6.Một số bất đẳng thức đại số: • 2 x o≥ . • 2 0x− ≤ . • 2 ( ) 4x y xy+ ≥ dấu “ = “ xảy ra ⇔ x y= . Suy ra, nếu x + y là hằng số thì xy lớn nhất ⇔ x y= , nếu xy là hằng số thì x + y nhỏ nhất ⇔ x y= . • Bất đẳng thức Côsi với hai số không âm: 2 a b ab + ≥ . 5 Chương 2: Các bài toán minh họa Việc mở rộng hay khai thác một bài toán sau khi tìm ra lời giải sẽ có nhiều điều lí thú trong quá trình dạy và học toán. Chúng tôi xin được trao đổi vấn đề này cùng bạn đọc 2.1 Các bài toán về dựng hình 2.1.1 Bài toán 1: Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B ( hình1 ). Hãy tìm trên bờ sông một vị trí C để con đường bạn Tú đi là ngắn nhất. Hình 1 Lời giải: Gọi ' A là điểm đối xứng của A qua d, ' A luôn xác định được và ' A la điểm cố định. Xét 3 điểm C,A’, B ta có: ' ' CA CB A B+ ≥ Mà CA = CA’ (tính chất đối xứng trục). Do đó ' CA CB A B+ ≥ . Dấu “=” xảy ra ⇔ C là giao điểm của d và A’B. Khai thác: Nhận xét 1: Vấn đề đặt ra là nếu ta cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d thì bài toán sẽ như thế nào? Từ đó ta sẽ được bài toán mới là:”Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d và không cách đều d. Xác định điểm M trên đường thẳng d sao cho AM + MB là ngắn nhất”. Hướng dẫn: Điểm M phải là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng AB, vì khi đó ta có AC + BD = AB. Còn trên đường thẳng d nếu dựng một điểm N khác M thì theo 6 bất đẳng thức tam giác, ta có: AN BN + > AB. Nhận xét 2: Nếu ta thay đổi yêu cầu bài toán thành tính GTLN thì bài toán sẽ như thế nào? Như vậy ta lại được một bài toán mới: • Bài 1:Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d và không cách đều d. xác định điểm M trên đường thẳng d sao cho MA MB− có GTLN. • Bài 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nữa mặt phẳng có bờ là d và AB không song song với d. Xác định điểm M thuộc d sao cho MA MB− có GTLN. Nhận xét chung: Có thể tổng quát bài toán này thành hai loại: • Xác định điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất, trong đó A, B cùng phía hoặc khác phía đối với đường thẳng d cho trước. • Xác định điểm M sao cho MA MB− lớn nhất, trong đó A, B cùng phía hoặc khác phía đối với đường thẳng d cho trước. 2.1.2 Bài toán 2: Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trong góc đó. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. (1) (Bài 72/67 SBT lớp 8 tập 1 năm 2005 ). Lời giải: Cách dựng:  Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox.  Dựng điểm E đối xứng với A qua Oy.  Ox, Oy cắt đoạn thẳng DE ở B, C.  Tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Chứng minh: Gọi B’ là điểm bất kì trên Ox, C’ là điểm bất kì trên Oy. Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AD , ' 'AB BD AB B D⇒ = = . Tương tự Oy là đường trung trực của đoạn thẳng AE , ' ' .AC CE AC C E⇒ = = Chu vi tam giác ABC bằng: AC + C’B’ + B’A = EC’ + C’B’ + B’D. Do ' ' ' 'ED EC C B B D≤ + + nên chu vi tam giác ABC bé hơn chu vi tam giác A’B’C’. 7 Dấu “=” xảy ra khi 'C C≡ và 'B B≡ . Khai thác: Nhận xét 1: Nếu ta thay đổi dữ liệu bài toán đi một ít, thêm vào điều kiện: OB = OC thì ta sẽ được một bài toán mới: “cho góc xOy và điểm A nằm trong góc.Xác định điểm B thuộc Ox, điểm C thuộc Oy sao cho : OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất. ( góc xOy khác 180 Ο ). Nhận xét 2: Vấn đề đặt ra tiếp theo, nếu ta lại thay đổi dữ liệu : OB = OC thành 2OB = OC thì bài toán sẽ như thế nào? Ta được bài toán khác là: Cho góc nhọn xOy, A là điểm cố định nằm trong góc đó. B và C theo thứ tự là hai điểm thay đổi trên hai tia Ox và Oy sao cho 2OB = OC. Tìm vị trí của B, C để 2AB + AC nhỏ nhất. Nhận xét 3:Các bài toán trên không quan tâm đến vị trí của ba điểm A, B, C như thế nào với nhau, bây giờ chúng ta thử quan tâm đến vị trí của ba điểm, chẳng hạn như ba điểm đó thẳng hàng thì bài toán sẽ trở nên như thế nào? Có giải được hay không? Bài toán: Cho góc xOy và A là điểm cố định nằm trong góc đó. Một đường thẳng d đi qua A và cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Tìm vị trí của đường thẳng d để 1 1 AM AN + là lớn nhất. Nhận xét 4: Ta tiếp tục biến đổi bài toán bằng việc thay từ một điểm nằm trong góc thành hai điểm nằm trong góc, ta lại được một bài toán mới nữa: “Cho hai điểm A, B nằm trong góc nhọn xOy. Xác định điểm M trên Ox và điểm N trên Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất. Nhận xét 5: Nếu ta cho điểm A nằm ngoài góc thì bài toán có giải được không? Chúng ta thử giải bài toán: “cho góc xOy và điểm A nằm ngoài góc xOy. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Nhận xét chung:Góc xOy có thể xảy ra các trường hợp: góc nhọn, góc vuông, góc bẹt. Từ đó dẫn đến những bài toán cụ thể có yêu cầu như các bài toán trên. Bạn đọc thử tìm hiểu và tiếp tục mở rộng thêm. 2.1.3 Bài toán 3: Cho đường tròn ( O; R ). A là một điểm cố định trong đường tròn ( A ≠ O) . Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn (O) sao cho góc OBA là lớn nhất. Lời giải: Vẽ dây cung BC của đường tròn (O) qua A. 8 Tam giác OBC cân ( OB = OC ). 180 2 C ∧ Ο ∧ −ΒΟ ⇒ ΟΒΑ = . Cách 1: Vẽ OH vuông góc với BC. Do A thuộc BC nên OH OA ≤ ( OA không đổi ). Dấu “ = “ xảy ra khi H A≡ AB OA⇔ ⊥ tại A. Cách 2: Ta có góc OBA lớn nhất ⇔ góc BOC nhỏ nhất ⇔ cung BC nhỏ nhất ⇔ dây BC nhỏ nhất ⇔ OH lớn nhất H A AB OA⇔ ≡ ⇔ ⊥ tại A. Khai thác: Nếu thay đổi yêu cầu bài toán ta sẽ được một bài toán mới: “ cho ( O; R ). A là một điểm cố định trong đường tròn. Tìm điểm B trên đường tròn (O) sao cho chu vi tam giác OAB là lớn nhất. 2.2 Các bài toán về chứng minh 2.2.1 Bài toán 1: Cho đường tròn (O), I nằm trong đường tròn. Chứng minh dây AB vuông góc OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I. (Bài 27/133 SBT lớp 8 -Tập 1 năm 2005) Lời giải Cách 1: Gọi CD là dây bất kì (khác dây AB) đi qua Kẻ OK ⊥ CD. Tam giác OKI vuông tại K nên OI > OK. Do OI > OK nên AB <CD (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây). Như vậy, trong các dây đi qua I, dây AB vuông góc OI tại I có độ dài nhỏ nhất. Cách 2: Xét dây AB bất kì đi qua I. Kẻ OK ⊥ AB. Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: Ta có AB nhỏ nhất ⇔ OK lớn nhất. Ta lại có : OK ≤ OI OK = OI ⇔ K ≡ I. Do đó maxOK = OI, khi đó AB ⊥ OI tại I. 9 I O A B K I O D C K A B Khai thác: Cho đường thẳng d và hai điẻm A,B nằm về hai phía đối với đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn tâm O đi qua hai điểm A,B, và cắt d ở C,D sao cho CDcó độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn: Gọi M là giao điểm của d và AB. Theo hệ thức lượng trong đường tròn: Ta có: MC.MD = MA MB (không đổi). Do MC.MD không đổi nên CD = CM+MD nhỏ nhất khi và chỉ khi MC=MD, khi đó OM vuông góc CD. Vậy tâm O thuộc đường vuông góc với d tại M và thuộc đường trung trực của AB. Bài toán luôn có một nghiệm hình. Nhận xét: • Trong hai cách trình bày ở lời giải, phần trình bày của cách 2 sẽ tự nhiên hơn, và mang tính chất tìm kiếm nếu như trường hợp đề bài là: ”Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn ( I không trùng O ). Xác định vị trí của dây đi qua I sao cho dây đó có độ dài ngắn nhất”. • Trong hướng dẫn bài toán khai thác nêu trên nếu như ta biểu thị MC=x, MD = y thì ta có tích xy không đổi nên x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y (hệ quả bất đẳng thức CoSi). 2.2.2 Bài toán 2: Cho tam giác vuông cân AOB (đỉnh O) nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác vuông nội tiếp đường tròn nói trên thì tam giác vuông cân AOB có chu vi lớn nhất , đồng thời cũng có diện tích lớn nhất. Lời giải : Gọi C 1 , C 2 lần lượt là chu vi tam giác OAB, AKB. Gọi S 1 , S 2 lần lượt là diện tích tam giác OAB, AKB. Lấy điểm K bất kì trên đường tròn đường kính AB (K ≠ O). Trên tia AO lấy O 1 sao cho OO 1 = OB. Trên tia BK lấy K 1 sao cho KK 1 = KA. Suy ra O ˆ 1 = K ˆ 1 = 45 0 ⇒ AO ˆ B = 45 0 ⇒ A B ˆ O 1 = 90 0 ⇒ O 1 ,K 1 nằm trên cung 10 B C D A M O d B I K H O A O 1 K 1 chứa góc 45 0 vẽ trên đoạn AB ⇒ O 1 , K 1 , A, B nằm trên cung tròn đường kính AO 1 ⇒ AO 1 > BK 1 ⇒ OA+OO 1 > KB+KK 1 ⇒ OA+OB > BK+KA ⇒ OA+OB+AB > KA+KB+AB ⇒ C 1 > C 2 . Kẻ OH ⊥ AB, KI ⊥ AB (H, I ∈ AB). Vì O là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB và K ≠ O nên OH > KI ∀ K ≠ O. Suy ra 2 1 OH.AB > 2 1 KI.AB ⇒ S 1 > S 2 . Khai thác: 1.Tìm một hình chữ nhật nội đường tròn sao cho hình chữ nhật đó có chu vi lớn nhất. Chứng minh rằng hình chữ nhật đó có diện tích lớn nhất. 2.Trong tất cả các tứ giác lồi nội tiếp cùng một đường tròn, tứ giác nào có : a.Diện tích lớn nhất ? b.Chu vi lớn nhất ?. 3.Chứng minh rằng mọi tứ giác nội tiếp một đường tròn (O,R) đều có chu vi bé hơn 6R và có diện tích không lớn hơn 2R 2 . Nhận xét: • Sau khi giải được bài2, ta thấy trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp một đường tròn thì hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau (tức là hình vuông có diện tích lớn nhất, cũng như có chu vi lớn nhất. Do đó ta có bài khai thác 1. • Có được bài khai thác1, ta tổng quát hơn trong trường hợp tứ giác lồi nên có được bài khai thai thác 2. • Bài khai thác 3 là cụ thể cho trường hợp đường tròn có tâm O và bán kính là R. 2.2.3 Bài toán 3: Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB. Một đường tròn tâm O đi qua hai đỉnh A và B, đồng thời tiếp xúc với đáy lớn DC tại M. Chứng minh rằng góc AMB là góc lớn nhất so với mọi góc AM ’ B với M ’ là điểm bất kì trên đáy lớn DC. Lời giải: Lấy M ’ bất kì trên DC. 11 [...]... về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học phẳng, NXBGD, 2002 [3]- Vũ Hữu Bình, Một số vấn đề phát tri n hình học, NXBGD, 2001 [4]- Nguyễn Đức Tấn, Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng, NXBGD, 2002 [5]- Vũ Dương Thụy, Thực hành giải toán, NXBGD, 1998 20 Mục lục Trang Lời nói đầu Chương 1: Một số kiến thức cơ bản thường dùng để giải bài toán cực trị trong hình học phẳng Chương 2:... thống các dạng toán thường gặp  Thông qua việc giải bài toán giáo viên nên theo dõi cách trình bày lời giải, hay trong cách vẽ hình Có những bài toán, hình vẽ không phải lúc nào cũng vẽ theo các bước trình tự như trong đề bài Bởi vì trình tự ấy sẽ gây khó khăn hoặc mất nhiều thời gian như trong bài toán 3 mục 2.2.3 Việc sửa những thiếu sót, sai lầm của học sinh sẽ góp phần cho ngườI dạy hiểu thêm những... −x 2 1 ) = a2 2 4 max S1 = a2 khi x = a – x ⇔ x = a 2  Hoặc là trong một số bài toán có nhiều trường hợp thì đa phần học sinh thường bỏ sót Ví dụ: Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến d có giá trị lớn nhất Đối với bài toán này đa phần các em hay bỏ qua trường hợp d không cắt BC  Hay trong các bài toán sau sai lầm là do đâu • Bài toán 1: Cho tam... (2) suy ra DE ≤ AK Dấu “=” xảy ra khi M ≡ K Vậy DE có độ dài lớn nhất là AK khi M ≡ K • Bài toán 2:Đường tròn (O;r) nội tiếp trong tam gi ác ABC Đường thẳng kẻ qua O cắt hai cạnh CA và CB tại M và M Đường thẳng MN ở vị trí nào thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất Lời giải: (trong nhiều sách) Gọi S là diện tích tam giác CMN 1 ( CM+ CN)r 2 1 Theo bất đẳng thức Côsi ( CM+ CN) 2 Ta có: S = ≥ CM CN ≥ 2S... lớn BC Và …và ta nhận ra rằng tứ giác AHDK nội tiếp trong đường tròn đường kính ˆ AD mà A ≠ 900 cho nên HK . bài toán cực trị trong hình học phẳng vàmột số kiến thức để giải. 1. Bài toán cực trị trong hình học phẳng 1.1Thế nào là bài toán cực trị trong hình học?. thường dùng để giải bài toán cực trị trong hình học phẳng: 2.1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác: • Trong một tam giác, góc đối diện với