cac bai toan cuc tri trong hinh hoc

Lời nói đầu Chúng tôi nghiên cứu đề tài “Các bài toán cực trị trong hình học thuộc chương trình PTCS” vì các bài toán tìm GTLN,GTNN trong hình học rất đa dạng, đòi hòi ở học sinh phải

Lời nói đầu

Chúng tôi nghiên cứu đề tài “Các bài toán cực trị trong hình học thuộc chương trình PTCS” vì các bài toán tìm GTLN,GTNN trong hình học rất đa dạng, đòi hòi ở học sinh phải biết vận dụng kiến thức một cách hợp lí nhiều khi rất độc đáo, bất ngờ Việc giải các bài toán dạng này sẽ đưa người học xích gần lại với các bài toán thường gặp trong thực tế là đi tìm cái

“nhất “ trong những ràng buộc nào đó như nhiều nhất, ít nhất; xa nhất, gần nhất; dài nhất, ngắn nhất; nhanh nhất, chập nhất…

Thông thường các bài toán dạng này không cho sẵn điều phải chứng minh

mà đòi hỏi học sinh phải tự tìm thấy kết quả của bài toán Điều đó là không

dễ chút nào đối với các em ,nhóm nghiên cứu tiểu luận “Các bài toán cực trị trong hình học thuộc chương trình THCS” là muốn góp phần nhỏ trong việc khơi dậy sự hứng thú khi học toán và cảm nhận niềm vui khi tự mình giải được bài toán.

Lần đầu tiên làm tiểu luận khoa học, mặc dù rất cố gắng trong việc nghiên cứu song khó tránh những thiếu sót Nhóm biên soạn rất mong đợi những nhưng xét quí giá, những góp ý chân thành của thầy cô và các bạn

Chương1: Các bài toán cực trị trong hình học phẳng

vàmột số kiến thức để giải.

1 Bài toán cực trị trong hình học phẳng

1.1Thế nào là bài toán cực trị trong hình học?

 Các bài toán cực trị hình học có dạng chung: Trong tất cả các hình cóchung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (độ dàiđoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, chu vi, .) có GTLN hoặcGTNN

 Khi tìm vị trí của hình ( H ) trên miền D sao cho biểu thức f có GTLN,

ta phải chứng tỏ hai điều:

 Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f  m với m là hằng số

 Xác định vị trí của hình H ( chỉ cần chứng tỏ tồn tại một hình H )trên miền D sao cho f = m

 Khi tìm vị trí của hình ( H ) trên miền D sao cho biểu thức f có GTNN,

ta phải chứng tỏ hai điều:

 Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f  m với m là hằng số

 Xác định vị trí của hình H ( chỉ cần chứng tỏ tồn tại một hình H )trên miền D sao cho f = m

1.2 Các dạng của bài toán cực trị hình học:

 Dạng 1: Bài toán về dựng hình

Vi dụ: Xác định vị trí của dây đi qua điểm P trong một đường tròn saocho dây đó có độ dài nhỏ nhất

 Dạng 2: Bài toán về chứng minh

Ví dụ: Chứng minh rằng trong tất cả các tứ giác lồi nội tiếp cùng mộtđường tròn, hình vuông có chu vi lớn nhất

 Dạng 3: Bài toán về tính toán

Ví dụ: Cho đường tròn ( O;R ) và điểm P nằm trong đường tròn có

OP = h Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P

1.3 Phương pháp giải:

 Các bài toán cực trị hình học, lời giải được trình bày theo hai cách sau:

 Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh rằng hình đó có đạilượng cần tìm cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hìnhkhác ( bài toán tìm GTLN ) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng củamọi hình khác ( bài toán tìm GTNN )

 Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng kháctương đương (nếu có) Rồi từ đó vận dụng kiến thức:

 Tìm GTLN, GTNN của A, với A là đại lượng nào đó ( góc, đoạn thẳng):

o Ta chứng minh được A ≥ m ( m không đổi )

 Từ đó xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị

 Chú ý: Thường giải các bài toán cực trị hình học trình bày theo cách 2

2 Một số kiến thức cơ bản thường dùng để giải bài toán cực trị trong hình học phẳng:

2.1 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác:

 Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn

 Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, nếu cạnh thứ

ba của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đốidiện cũng lớn hơn và ngược lại

2.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu:

 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài mộtđường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất

 Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đếnđường thẳng đó:

 Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

 Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

 Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau vàngược lại

2.3.Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác:

 Trong một tam giác, tổng dộ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn

 Trong các đường nối liền hai điểm, đoạn thẳng nối hai điểm đó là ngắnnhất.

2.5.Các bất đẳng thức trong đường tròn:

 Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn

 Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảngcách đến tâm nhỏ hơn

 Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khigóc ở tâm lớn hơn

 Trong hai cung lớn của một đương tròn, cung lớn hơn khi va chỉ khi dây

Chương 2: Các bài toán minh họa

Việc mở rộng hay khai thác một bài toán sau khi tìm ra lời giải sẽ có nhiềuđiều lí thú trong quá trình dạy và học toán Chúng tôi xin được trao đổi vấn đềnày cùng bạn đọc

Nhận xét 1: Vấn đề đặt ra là nếu ta cho hai điểm A, B nằm về hai phía của

đường thẳng d thì bài toán sẽ như thế nào? Từ đó ta sẽ được bài toán mớilà:”Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d và không cách đều

d Xác định điểm M trên đường thẳng d sao cho AM + MB là ngắn nhất”

Hướng dẫn:

Điểm M phải là giao điểm của

đường thẳng d và đường thẳng AB,

Nhận xét 2:

Nếu ta thay đổi yêu cầu bài toán thành tính GTLN thì bài toán sẽ như thế nào?Như vậy ta lại được một bài toán mới:

 Bài 1:Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d và không

cách đều d xác định điểm M trên đường thẳng d sao cho MA MB cóGTLN

 Bài 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nữa mặt

phẳng có bờ là d và AB không song song với d Xác định điểm M thuộc

d sao cho MA MB có GTLN

Nhận xét chung:

Có thể tổng quát bài toán này thành hai loại:

 Xác định điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất, trong đó A, B cùng phíahoặc khác phía đối với đường thẳng d cho trước

 Xác định điểm M sao cho MA MB lớn nhất, trong đó A, B cùng phíahoặc khác phía đối với đường thẳng d cho trước

 Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox

 Dựng điểm E đối xứng với A qua Oy

 Ox, Oy cắt đoạn thẳng DE ở B, C

 Tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Chứng minh:

Gọi B’ là điểm bất kì trên Ox,

C’ là điểm bất kì trên Oy

Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AD

Do ED EC C B B D '  ' '  ' nên chu vi tam giác ABC bé hơn chu

vi tam giác A’B’C’

Dấu “=” xảy ra khi C' Cvà B' B.

Khai thác:

Nhận xét 1: Nếu ta thay đổi dữ liệu bài toán đi một ít, thêm vào điều

kiện: OB = OC thì ta sẽ được một bài toán mới: “cho góc xOy và điểm A nằmtrong góc.Xác định điểm B thuộc Ox, điểm C thuộc Oy sao cho :

OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất ( góc xOy khác180)

Nhận xét 2: Vấn đề đặt ra tiếp theo, nếu ta lại thay đổi dữ liệu :

OB = OC thành 2OB = OC thì bài toán sẽ như thế nào? Ta được bài toán kháclà: Cho góc nhọn xOy, A là điểm cố định nằm trong góc đó B và C theo thứ

tự là hai điểm thay đổi trên hai tia Ox và Oy sao cho 2OB = OC Tìm vị trí của

B, C để 2AB + AC nhỏ nhất

Nhận xét 3:Các bài toán trên không quan tâm đến vị trí của ba điểm A,

B, C như thế nào với nhau, bây giờ chúng ta thử quan tâm đến vị trí của bađiểm, chẳng hạn như ba điểm đó thẳng hàng thì bài toán sẽ trở nên như thếnào? Có giải được hay không?

Bài toán: Cho góc xOy và A là điểm cố định nằm trong góc đó Một

đường thẳng d đi qua A và cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N Tìm vị trí củađường thẳng d để 1 1

AM  AN là lớn nhất

Nhận xét 4: Ta tiếp tục biến đổi bài toán bằng việc thay từ một điểm

nằm trong góc thành hai điểm nằm trong góc, ta lại được một bài toán mớinữa: “Cho hai điểm A, B nằm trong góc nhọn xOy Xác định điểm M trên Ox

và điểm N trên Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất

Nhận xét 5: Nếu ta cho điểm A nằm ngoài góc thì bài toán có giải được

không? Chúng ta thử giải bài toán: “cho góc xOy và điểm A nằm ngoài gócxOy Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC

có chu vi nhỏ nhất

Nhận xét chung:Góc xOy có thể xảy ra các trường hợp: góc nhọn, góc

vuông, góc bẹt Từ đó dẫn đến những bài toán cụ thể có yêu cầu như các bàitoán trên Bạn đọc thử tìm hiểu và tiếp tục mở rộng thêm

Tam giác OBC cân ( OB = OC ).

1802

Do A thuộc BC nên OH OA ( OA không đổi )

Dấu “ = “ xảy ra khi H A ABOA tại A

Cách 2: Ta có góc OBA lớn nhất  góc BOC nhỏ nhất  cung BC nhỏ nhất

 dây BC nhỏ nhất OH lớn nhất  H  A ABOA tại A

Khai thác:

Nếu thay đổi yêu cầu bài toán ta sẽ được một bài toán mới: “ cho ( O; R ) A làmột điểm cố định trong đường tròn Tìm điểm B trên đường tròn (O) sao chochu vi tam giác OAB là lớn nhất

2.2 Các bài toán về chứng minh

2.2.1 Bài toán 1:

Cho đường tròn (O), I nằm trong đường tròn Chứng minh dây AB vuông góc

OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I

Tam giác OKI vuông tại K nên OI > OK

Do OI > OK nên AB <CD (liên hệ giữa dây và

khoảng cách từ tâm đến dây)

Như vậy, trong các dây đi qua I, dây AB

vuông góc OI tại I có độ dài nhỏ nhất.

A

B K

I O

D

C

K A

B

Khai thác:

Cho đường thẳng d và hai điẻm A,B nằm về hai phía đối với đường thẳng d.Hãy dựng đường tròn tâm O đi qua hai điểm A,B, và cắt d ở C,D sao choCDcó độ dài nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Gọi M là giao điểm của d và AB

Theo hệ thức lượng trong đường tròn:

Ta có: MC.MD = MA MB (không đổi)

Do MC.MD không đổi nên CD = CM+MD

nhỏ nhất khi và chỉ khi MC=MD, khi đó

OM vuông góc CD

Vậy tâm O thuộc đường vuông góc với d tại M

và thuộc đường trung trực của AB

Bài toán luôn có một nghiệm hình

 Trong hướng dẫn bài toán khai thác nêu trên nếu như ta biểu thị MC=x,

MD = y thì ta có tích xy không đổi nên x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y

(hệ quả bất đẳng thức CoSi)

2.2.2 Bài toán 2:

Cho tam giác vuông cân AOB (đỉnh O) nội tiếp đường tròn Chứng minh rằngtrong tất cả các tam giác vuông nội tiếp đường tròn nói trên thì tam giác vuôngcân AOB có chu vi lớn nhất , đồng thời cũng có diện tích lớn nhất

Lời giải :

Gọi C1, C2 lần lượt là chu vi tam giác OAB, AKB

Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác OAB, AKB

Lấy điểm K bất kì trên đường tròn đường kính AB

(KO)

Trên tia AO lấy O1 sao cho OO1 = OB

Trên tia BK lấy K1 sao cho KK1 = KA

O

d

B I

Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB Một đường tròn tâm O đi qua hai đỉnh A

và B, đồng thời tiếp xúc với đáy lớn DC tại M

Chứng minh rằng góc AMB là góc lớn nhất so với mọi góc AM’B với M’ là

điểm bất kì trên đáy lớn DC.

Lời giải:

Lấy M’ bất kì trên DC

2.Cho hai điểm A,B cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d Dựngđường tròn đi qua A,B và tiếp xúc với đường thẳng d.

3 Cho hai điểm A,B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳngd.Tìm trên d điểm M sao cho góc AMB lớn nhất

Nhận xét:

 Việc chứng minh góc AMB lớn nhất là không vận dụng gì đến điều kiệnhình thang ABCD Do đó ta đặt vấn đề khác thay cạnh DC của hìnhthang thành đường thẳng d và A,B là hai điểm bất kì trên (O) nên ta cóbài toán khai thác1 Khi đó AB sẽ không còn song song với d, và để giảiđược cần phải phân biệt hai trường hợp:

TH1: AB//d Cách giải tương tự bài3

TH2: ABd =I Khi đó I,A,B thẳng hàng và ta lại có hai trường hợp

o Với mọi M’ thuộc tia Ix: chứng minh tương tự bài3

o Với mọi M’ thuộc tia Iy: ta có A ˆ M ’B < B ˆ M ’I< B ˆ I M

 Nếu như ở bài khai thai thác1 cho trước đường tròn (O) đi qua A,B vàtiép xúc với đường thẳng d tại M thì có thể đặt vấn đề cho trước haiđiểm A,B và đường thẳng d, dựng đường tròn (O) đi qua A,B và tiếpxúcd Từ bài toán chứng minh ta đã khai thác bài toán dựng hình Khi

đó cách dựng đường tròn thoả mãn điều kiện trên cũng căn cứ vào haitrường hợp AB//d và ABd=I

 Hoặc nếu như ở bài khai thác 1 ta xác định được điểm M  d và M cótính chất nhìn AB dưới một góc lớn nhất Cũng giống như bài khai thác

2 ta có bài toán khai thác 3 nhưng ở mức độ khó hơn

 Như vậy từ bài toán đã cho ban đầu ta đã khai thác được một số bài toánkhác có cách giải hoàn toàn tương tự

2.3 Các bài toán về tính toán

Góc bé nhất của tam giác là góc ở đỉnh

đối diện với cạnh 4cm (góc Hình 1)

Tam giác đã cho là tam giác cân có

4

=

3 1

2.Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=5cm, đường cao ứng với cạnh huyền

là 2cm Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC

3.Cho tam giác ABC có Aˆ = 600, Bˆ= 450, AH=3cm Tính cạnh nhỏ nhất (lớnnhất ) của ABC.

Nhận xét:

Cả 3 trường hợp ,2 đường tròn cắt nhau, 2đường tròn tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoàithì lời giải luôn cần chứng minh EF = 2IK

2.3.3 Bài toán 3:

Cho hình vuông ABCD cạnh a Điểm E di chuyển trên AD, F di chuyển trên

CD sao cho DE = CF Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác BEF

A

F

O' O

I

K H

F

O

A O'

E

I

H K

Vậy diện tích nhỏ nhất của  BEF là

8

3

a2

Khai thác:

1 Thay hình vuông ABCD cạnh a thành hình chữ nhật có hai cạnh là a, b.

2 Cho hình vuông ABCD cạnh a E,F lần lượt là trung điểm của AD,CD.Chứng minh diện tích tam giác BEF là nhỏ nhất và tính diện tích đó

3 Cho tam ABC cân tại A có BC=a Điểm D là trung điểm của AB, E dichuyển trên cạnh AC.Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của D,E lên BC

Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH Khi đó hình thang trở thànhhình gì?

EK= KC= a4

Hình thang DEKH là hình chữ nhật, E là trung điểm AC

Nhận xét:

Bài toán 3, bài khai thác 1, và bài khai thác 2 có cách giải tương tự nhau

Trong cách giải bài khai thác3 nếu ta biểu thị BH+KC = x, HK = y thì ta cóx+y = a(không đổi) nên tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y

Chương 3: Một số sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải toán cực trị và một vài đề xuất khi dạy.

 Hoặc là trong một số bài toán có nhiều trường hợp thì đa phần học sinhthường bỏ sót

Ví dụ: Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d đi qua A sao cho tổng các

khoảng cách từ B và từ C đến d có giá trị lớn nhất

Đối với bài toán này đa phần các em hay bỏ qua trường hợp d không cắt BC

 Hay trong các bài toán sau sai lầm là do đâu

 Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Xác

định vị trí của điểm M trên đường tròn sao cho nếu gọi D, E theo thứ tự là hìnhchiếu của M trên các đường thẳng AB, AC thì DE có độ dài lớn nhất

F

E

C D

Gọi AK là đường kính của (O)

 AM  AK (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE  AK

Dấu “=” xảy ra khi MK

Vậy DE có độ dài lớn nhất là AK khi MK

 Bài toán 2:Đường tròn (O;r) nội tiếp trong tam gi ác ABC

Đường thẳng kẻ qua O cắt hai cạnh CA và CB tại M và M Đường thẳng MN ở

vị trí nào thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất

Lời giải: (trong nhiều sách)

Gọi S là diện tích tam giác CMN

 Lời giải sai ở đâu?

 Bạn có giải đúng được không?

(Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Số 6 năm 2000)

Như vậy trong lời giải của hai bài toán trên đều sai lầm ở chỗ dấu “=” xảy ra ởđâu Đối với bài1 dấu “=”ở (2) xảy ra thì MK và ngược lại, còn dấu “=”bấtđẳng thức cuối chỉ xảy ra thì M không trùng với K Đối với bài2 khi CM =CNthì

2

1

( CM+ CN) = CM CN

 Bài toán 3:

Cho đường tròn (O) và một dây cung BC không phảI là đường kính Lấy A bất

kì trên cung lớn BC GọI AD là phân giác của tam giác ABC Từ D vẽ DH

AB, DKAC (HAB, KAC) Xác định vị trí điểm A sao cho diện tích tứgiác AHDK lớn nhất

Mà HA.HD 21 (HA2 +HD2 ) = 21 AD2

Gọi A’, M’, D’ lần lượt là trung điểm của cung lớn BC, cung BC, dây BC Suy ra A, D, M thẳng hàng; A’,O, D’, M thẳng hàng , MD’DD’

Do đó AM A’M, MD  MD’  AD A’D’

Do đó SAHDK 12 A’D’2 (không đổi )

Dâú “=” xaỷ ra  A là trung điểm của cung lớn BC

Vậy SAHDK đạt giá trị lớn nhất khi điểm A là trung điểm của cung lớn BC

Và …và ta nhận ra rằng tứ giác AHDK nội tiếp trong đường tròn đường kính

AD mà Aˆ 900 cho nên HK<AD

3.2 Một vài đề xuất khi dạy:

 Đây là một loại toán khó đối với học sinh và ngay cả đối với giáo viên khi dạy Do đó trong một bài toán cụ thể người dạy làm sao truyền được cảmhứng cho các em để các em thấy rằng giải toán không là một “cực hình”

 Chính vì vậy giáo viên không nên coi trọng cho học sinh làm nhiều bài tập là chủ yếu, mà với mỗi đề toán người dạy nên đặt vấn đề đó vào thực tếthường gặp hay hệ thống các dạng toán thường gặp

 Thông qua việc giải bài toán giáo viên nên theo dõi cách trình bày lờigiải, hay trong cách vẽ hình Có những bài toán, hình vẽ không phải lúc nàocũng vẽ theo các bước trình tự như trong đề bài Bởi vì trình tự ấy sẽ gây khókhăn hoặc mất nhiều thời gian như trong bài toán 3 mục 2.2.3 Việc sửa nhữngthiếu sót, sai lầm của học sinh sẽ góp phần cho ngườI dạy hiểu thêm nhữngvướng mắc của các em