ĐA THỨC VÀ SỐ HỌC

DỖN QUANG TIẾN HUỲNH KIM LINH TƠN NGỌC MINH QN NGUYỄN MINH TUẤN CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN x y z n n n Chuyên đề ĐA THỨC VÀ SỐ HỌC TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Copyright © 2019 by Tap chi va tu lieu toan hoc All rights reserved No part of this book may be reproduced or distributed in any form or by anymeans, or stored in data base or a retrieval system, without the prior written the permission of the author LỜI GIỚI THIỆU S ố học hay a thc u l cỏc ch thng xuyờn xuỗt hin cỏc thi hc sinh giụi cỗp quc gia, kì thi khu vực quốc tế vi cỏc bi toỏn khú ti rỗt khú c cỏc nc cng nh cỏc thổy cụ phỏt trin rỗt nhiu Đa thức mâng mà chứa đựng yếu tố đäi số, giâi tích, hình học cõ cỏc tớnh chỗt v s hc Chớnh vỡ th ta xem đa thức xem toán tổ hợp mâng khác Tốn học đóng vai trò liên kết mâng läi với thành thể thống nhỗt V chỳng ta cng bit rng s hc khụng phõi t nhiờn rỗt nhiu nh toỏn hc, nhng ngi làm tốn gọi với tên mỹ miều Bà chúa toán học Thế giới số rỗt quen thuc vi chỳng ta cuc sng thng ngày, giới kì lä đỉy bí èn: lồi người phát bao nhiờu tớnh chỗt rỗt hay, bao nhiờu quy lut rỗt p v bỗt ng ng thi cng ang chu "bú tay" trước nhiều kiện, nhiều dự đốn Điều lí thỳ l nhiu mnh khú nhỗt ca s hc c phỏt biu rỗt n giõn, cng hiu c ; nhiu bi toỏn khú nhng cú th giõi rỗt sáng täo với kiến thức số học phổ thông đơn giân Không đåu số học,chúng ta lọi cú th lổn theo c dỗu vt ca nhng bi toỏn c xa n c vi nhng vỗn đề chờ đợi người giâi – Trích từ sách Số học – Bà chúa toán học – Hồng Chúng Chính kết hợp mâng kiến thức mang tới cho tốn đẹp vẻ đẹp không dễ để chinh phục câ, ln èn chứa điều khó khăn “nguy hiểm” Trong chủ đề viết này, khám phá chinh phục phæn vẻ đẹp kết hợp Nhóm tác giả ĐA THỨC VÀ SỐ HỌC TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Đa thức số học CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC N Joseph – Louis Lagrange ếu nhạc sĩ người Áo Wolgang Amadeus Mozart (1756 – 1791) để lại cho đời sau nhạc tuyệt vời hai trăm năm sau, năm kỷ 21, với lòng tôn sùng bậc tài danh, người yêu âm nhạc cổ điển biết lắng nghe để thưởng thức âm điệu mà Nhưng thời với ông, Âu châu có thiên tài khác lừng danh, tiếng tăm khơng vang ngồi nhân mơn hạn hẹp tốn học Tuy cơng trình ơng để lại, khơng người đời sau ghi học hỏi, mà áp dụng nhiều mơn CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN khoa học thực dụng cho đời sống hàng ngày, chương trình thám hiểm khơng gian vũ trụ để tìm hiểu nguồn gốc đời sống người tương lai sau Người nhắc đến Joseph – Louis Lagrange (1736 – 1813), nhà toán học lỗi lạc nhất, mà người thật khiêm tốn, nhiều bậc vương giả Âu châu trọng vọng vào cuối kỷ 18 đầu kỷ 19 Để phê bình danh nhân này, Đại đế Napoléon nói rằng: "Lagrange thật kim tự tháp cao vời mơn tốn học" Lời nói Hồng đế thường đơi với việc làm ơng phong cho Lagrange làm Bá tước, cử ông làm Thượng Nghị sĩ vinh tặng ơng Đệ Nhất Đẳng Bắc Đẩu Bội Tinh Nhiều bậc vương giả khác Âu châu Quốc vương xứ Sardinia Hoàng đế Frederick Đức quốc tôn vinh Lagrange Joseph – Louis Lagrange (1736 – 1813) Chinh phục olympic toán| Bồi dưỡng học sinh giỏi Lagrange sinh ngày 25 – – 1736 Turin (Italia), ngày 10 – – 1813 Paris (Pháp) Ông xem thiên tài toán học lớn lịch sử toán học, đồng thời nhân vật đặc sắc thời đại ông – thời đại đầy xáo động mặt: trị, văn hóa, xã hội Ơng người Pháp, có pha dòng máu Ý Tổ phụ Lagrange đại úy kỵ binh Pháp, tới phục vụ trướng Quốc vương đảo Sardinia Charles Emmanuel II Sau vị sĩ quan kỵ binh điển trai anh dũng tới định cư tỉnh Turin nhận vào làm rể dòng họ quyền quý Conti nước Ý Thân phụ Lagrange hưởng may mắn hôn ước kết duyên cô Marie – Thérèse Gros nữ độc bác sĩ giàu có tỉnh Cambiano Cặp tài tử giai nhân tuổi ấu thơ sau may mắn thêm cậu út Joseph – Louis đời ngày 25 tháng Giêng năm 1736 để lớn lên trở thành nhà bác học danh tiếng lẫy lừng Thân phụ Lagrange người có tài trí, có thời làm Tổng Giám Đốc ngân sách binh bị cho đảo quốc Sardinia Ông xây dựng nên tài sản lớn, lại cộng thêm với hồi môn bà vợ nên gia đình vào hạng giàu có lớn tỉnh Nhưng ông lại ham mê đầu tư nên theo với kinh tế đương thời Châu Âu, tài sản gia đình bị giảm sút đến khánh kiệt Lagrange bước vào tuổi trưởng thành Cậu út cưng chiều lại không thừa kế chút di sản cha mẹ, thật khơng đáng giá để lại Trong đời sau Lagrange, ông thường cho phá sản lại điều may cho nói rằng: "Nếu tơi hưởng gia tài lớn tơi khơng dựa vào Tốn Học để xây dựng đời mình" Sự Nghiệp Tốn Học Vào đầu kỷ 18, khoa học nói chung, tốn học nói riêng, chưa phải mơn học cho sĩ tử, nên lúc đầu Lagrange theo văn học cổ điển Nhưng nghiên cứu văn hoá Hy Lạp, chàng niên biết đến cơng trình Hình Học vĩ nhân toán học đời trước Euclid (330 – 275 tr CN) Archimedes (287 – 212 tr CN) Tuy chàng không ý môn Nhưng sau Lagrange đọc tham luận nhà thiên văn học Edmund Halley (1656 – 1742) ca tụng mơn Giải Tích Học xây dựng hoàn bị nhà bác học Isaac Newton (1642 – 1727) cho mơn tốn học vượt trội mơn Hình Học Bài gợi trí tò mò chàng niên anh dồn hết tâm trí vào để thời gian ngắn học hết cơng bố sách phép tính vi phân tích phân mơn giải tích học Sự hiểu biết toán học cao cấp làm | Tạp chí tư liệu tốn học TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC sống vui hạnh phúc hai ơng bà có đến mười người tất mệnh yểu Đa thức số học cho Lagrange bổ nhiệm làm giáo sư toán học Trường Pháo binh Hoàng gia tỉnh Turin chàng 16 tuổi Nơi đây, hàng ngày Lagrange giảng cho lớp sinh viên mà người lớn tuổi Tuy chàng thừa uy tín để chinh phục người có nhiều lực để tổ chức Hội Nghiên cứu Khoa học khởi thủy Trung tâm để sau trở thành Viện Hàn lâm Khoa học Turin Chỉ năm sau, vào năm 1759, Lagrange 23 tuổi, mà Hội Nghiên cứu chàng sáng lập xuất Tập san Nhưng ta phải nói với tâm địa tốt, luôn nâng đỡ bạn đồng nghiệp mà nhiều khảo cứu toán học đăng số tập san nghiên cứu, ký tên tác giả khác, mà thực cơng trình Lagrange chàng sửa chữa viết lại hoàn toàn Trong trường hợp này, có tác giả viết thật đặc sắc – sau Lagrange sửa lại – người ý CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN ngợi khen, chuyện tới tai quốc vương Sardinia, tác giả vời tới giao cho giữ Bộ Hải quân chức vụ thật quan trọng Sardinia đảo quốc Chỉ có điều lịch sử mơn tốn học, người ta thấy ông viết độc mà nâng đỡ Lagrange giúp cho ông địa vị triều Cũng thời gian sáng tác phong phú mà Lagrange tạo dựng nên lý thuyết cho môn Cơ học Giải tích Một tốn biết từ thời thượng cổ toán đẳng chu (isoperimetric problem) người ta tìm hình phẳng có mơt diện tích cực đại cho chu vi cho sẵn Lời giải tất nhiên hình tròn phải đợi đến kỷ 17 người ý đến toán cực đại hay cực tiểu hai anh em toán gia Bernouilli, người Thụy Sĩ, ông anh tên James (1654 – 1706) người em John (1667 – 1748) thách thức giải toán sau đây: "Từ điểm khởi đầu O, thả trơi vòng theo đường giây nhẵn thín nằm mặt phẳng thẳng đứng, tuột xuống điểm A Phải uốn đường giây theo hình thời gian tuột ngắn nhất." Dĩ nhiên hai anh em nhà Bernouilli đưa nhiều lời giải, lại đề nhiều tốn khác thuộc loại Những viết anh em nhà Bernouilli gây phấn khởi cho thiên tài toán học khác người Thụy Sĩ Leonhard Euler (1707 – 1783) học trò John Bernouilli, Euler đưa phương pháp tổng quát để giải tốn mà James Bernouilli đề nghị xưa Ơng đặt tên cho phép tính Phép tính biến thiên (Calculus of Variations) Nhưng ngưòi thực đưa phép giải tốn để tìm trường hợp tối ưu lại Lagrange, lúc giáo sư Turin Tuy chàng niên, tuổi 19 hệ sau, nghiên cứu toán đẳng Chinh phục olympic toán| Bồi dưỡng học sinh giỏi chu sau bậc tiền bối danh tiếng vang lừng, Lagrange có nhận xét tân kỳ để giải tốn, có can đảm viết thư cho Euler, Chủ tịch Ủy ban Toán học Viện Hàn lâm Khoa học Vương quốc Phổ Berlin, để đưa lời giải mà chàng cho có tính cách tổng qt Cũng may Euler thiên tài toán học thời ấy, danh tiếng vang lừng, người rộng lượng, ông nhận phương pháp Lagrange giải toả vài thắc mắc ơng tìm phương pháp giải toán Euler nhường cho Lagrange công bố kết trước Hơn hai trăm năm sau, khoa học gia khơng gian, tìm qũy đạo tối ưu để đưa vệ tinh thám sát lên hành tinh xa vời Thái dương hệ, phải viết phương trình có tên chung phương trình Euler – Lagrange Khơng người, dù khoảnh khắc, nghĩ đến tài trí siêu việt Lagrange đức tính cao năm đời nghiên cứu sáng tác toán học Lagrange, viết đăng tập san đề Miscellanea Taurinensia tất tổng cộng có Tập Những viết dù để tên học sinh hay người cộng chàng giáo sư tuổi hai mươi đưa ý kiến duyệt xét sửa đổi lại Tuy thị thành hẻo lánh nơi có hội tốn học mà Lagrange sáng lập mà sau trở thành Viện Hàn lâm Khoa học Turin, tập san toán học phát xuất từ nơi đây, mà số nói Phép tính biến thiên, tồn giới khoa học Âu châu ý tới làm cho Lagrange đương nhiên trở thành toán gia hàng đầu người ngưỡng mộ Ngồi tốn gia Euler, Lagrange trưởng bối người Pháp D’Alembert (1717 – 1783) nhiệt tình ủng hộ Những người bạn tốt nghĩ chàng tới thủ đô văn học tiếp xúc với tốn gia hàng đầu kỷ tài Lagrange nảy nở toàn diện Trước Lagrange mời tới London, nửa đường vừa tới Paris bị ốm Nơi ơng tiếp đón trọng vọng sức khoẻ chưa hồi phục nên đành phải trở Turin thời gian để chờ hội khác Mấy năm sau dịp may tới đại tốn gia Euler nhận lời mời Viện Hàn lâm Khoa học St Petersburg để chuyển cư tới Do đề nghị nhà tốn học D’Alembert Euler, Hồng đế Frederick Phổ Quốc viết cho Lagrange thư nói Hồng đế Frederick vĩ đại châu Âu muốn toán gia lừng danh kỷ tới vương triều để hàng ngày bàn luận Lagrange nhận lời để tới Berlin vào chỗ trống Euler khoảng 20 năm cư ngụ ỏ Phổ Quốc ông viết trăm khảo luận toán học để đăng tập san Turin Berlin Cũng thời gian mà Lagrange hoàn tất tác phẩm vĩ đại đời ông môn Cơ học Giải tích | Tạp chí tư liệu tốn học TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC thượng Euler, người khai phá mơn tốn học Trong Đa thức số học Khi ông chôn cất điện Panthéon Paris Nguồn nội dung: Diễn đàn toán học Việt Nam – VMF CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Nguồn ảnh: Wikipedia Chinh phục olympic toán| Bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề ĐA THỨC VÀ SỐ HỌC Tạp chí tư liệu toán học Trong chủ đề này, thay việc phân chia dạng tốn cụ thể kèm lời phân tích chi tiết dạng mang tới cho bạn đọc tuyển tập tốn hay khó để ơn tập nâng cao kiến thức chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi kì thi khác mà CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐA THỨC Đơn thức theo biến x biểu thức có dạng m.x n m số n số nguyên không âm Đa thức tổng hữu hạn nhiều đơn thức hay đa thức biểu thức có dạng P  x   ak x k  ak 1 x k 1   a1 x  a0  ak   Khi  gọi hệ số đa thức Nếu  , i ta gọi đa thức P   x tức tập đa thức hệ số nguyên n gọi bậc đa thức, ký hiệu deg P  n MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NẮM Tính chất Với hai số nguyên a , b b  , tồn số nguyên c cho a  bc ta gọi a chia hết cho b b chia hết a b ước a hay gọi a bội b Ký hiệu a b b|a Tính chất Với P  x a , b hai số ngun khác nhau, ta ln có P  a  P b  a  b Chứng minh Giả sử P  x   an x n  an1 x n1   a1 x  a0   an    Sử dụng đẳng thức a k  b k   a  b  a k 1  a k 2 b   b k 1 với k  số nguyên Khi P  a   P  b    a  b   an  an1  an2 b   b n1   an1  a n2  a n3b   b n2    a1  | Tạp chí tư liệu tốn học TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC bạn tham gia Nào bắt đầu nhé! ... liệu tốn học TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu Cho đa thức P  x  đa thức hệ số nguyên với bậc n  Chứng minh đa Đa thức số học Dễ dàng kiểm tra P đa thức P  1; 1 Ta giả sử P khác đa thức Khơng... hay đa thức biểu thức có dạng P  x   ak x k  ak 1 x k 1   a1 x  a0  ak   Khi  gọi hệ số đa thức Nếu  , i ta gọi đa thức P   x tức tập đa thức hệ số nguyên n gọi bậc đa thức, ... phá chinh phục phỉn vẻ đẹp kết hợp Nhóm tác giả ĐA THỨC VÀ SỐ HỌC TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Đa thức số học CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC N Joseph – Louis Lagrange ếu nhạc sĩ người