Chuyen de giai toan the tich

vat ly 12

CHUYấN TH TCH Phần 1. Thể tích khối đa diện A. Lý thuyết 1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12) 2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện a) Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật b) Thể tích của khối chóp V= 3 1 S đáy . h ; h: Chiều cao của khối chóp c) Thể tích của khối lăng trụ V= S đáy . h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ B. Các dạng bài tập Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện *Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể: +áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích +Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính đợc +Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích. *Các bài tập 1)Về thể tích của khối chóp +Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức :V= 3 1 S đáy . h Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau: a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60 o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng giải: http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình1 CHUYấN TH TCH a) Gọi O là tâm ABC đều SO (ABC) S ABC = 2 1 a 2 3a = 4 3 2 a ABC có SA = SB; ABC = 60 o SA = AB = SB = a C S A B O a SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có: SO 2 = SA 2 - OA 2 = a 2 - ( 3 2 a 2 3 ) 2 = 2 2 2 3 2 3 a a a = SO = a 3 2 Vậy VSABC = SABC . SO = 3 1 . 4 3 2 a . a 3 2 . 3 2 2 a l b) Tơng tự câu a đáp số: VSABC = 3 1 . 4 3 2 a . 3 2 2 a l c) Gọi O là tâm ABC Gọi A là trung điểm BC Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO = Tam giác vuông SOA có: SO 2 = l 2 - OA 2 = l 2 - 9 4 AA 2 Tam giác vuông SOA có: sin'.sin 3 1 ' 3 1 AASO AA SO == (2) Từ (1) (2) ta có: 2 9 4 2 9 1 sin'.sin' lAAAA =+ O B A' A C a AA 2 (sin 2 + 4) = 9l 2 4sin 3 2 ' + = l AA SABC = )4(sin2 33 4sin3 3 4sin 3 2 1 2 1 2 2 22 '. + ++ == l ll BCAA 4sin sin. 4sin 3 3 1 22 sin ++ == ll SO http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình2 CHUYấN TH TCH VSABC = 3 1 SABC . SO = 4sin).4(sin sin 3 3 22 2 . ++ l Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a? Giải. -Gọi H là trung điểm BC AH (ABC) (gt) -Ta có SABC = 3. 2 2 1 2 1 aACAB = -Vì AH (ABC) AH AH Tam giác vuông AHA có: AH 2 = AA 2 - AH 2 = (2a) 2 - 4 1 .(a 2 + 3a 2 ) hay AH 2 = 4a 2 - a 2 = 3a 2 AH = a 3 B C H 2a a a 3 C' A' VAABC = 3 1 SABC .AH = 2 2 2 1 3 1 2 3.3. a aa = Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có AB = BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC a) tính VSABC b) Chứng minh rằng AB (ABC). Tính VSABC Giải a) SABC = 2 2 1 2 1 . aBCBA = ; SA =a VSABC = 3 1 SABC .SA = 6 1 a 3 a C A a a B' C' B b) SAB có AB = SA = a SAB cân tại A AB SB http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình3 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH B’S = B’B BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA ⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥ SC C¸ch 1 2 2 2 1 2 1 2' a aSBAB === V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = aACSA 3 22 =+ 3 2 ' a SC SA SC == B’C’ 2 = SB’ 2 - SC’ 2 = 66 '' 2 aa CB =⇒ ⇒S∆AB’C’ = 3462 2 1 2 1 2 '''. aaa CBAB == ⇒V∆AB’C’ = 363243 1 32 aaa = C¸ch 2 3 ' ' 1 1 2 3 3 a SB SC SB SC a = = = 3 ' ' 3 3 ' ' ' 1 1 1 ' ' ' 6 6 6 36 3 SAB C SABC a V SA SB SC a SA B C V SA SB SC a V a = = = ⇒ = = Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. TÝnh VSABC. Gi¶i http://violet.v/nvbinh198 GV: NguyÔn V¨n B×nh4 CHUYấN TH TCH Dễ thấy (SB, (ABC)) = = SBA (SB, (SAD)) = = BSD ABC cân AD BC DB = DC SAB có cos = SB AB (1) BC AD BC SA (vì SA (ABC) BC (SAD) BC SD a B A C D S Tam giác vuông SB có sin = SB BD (2) Từ (1) (2) sinsincos 22 aAB BDAB == sin cos 22 2 2 aAB AB = AB 2 (sin 2 cos 2 ) = -a 2 cos 2 AB = cos 2 sincos 1 22 a SSAB =BD.AD = 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos cos cos sin cos sin . . Sin a a AD AB = = SA = AB. tan = 22 sincos sin a VSABC = 3 1 SA.SABC = 22 sincos sin 3 1 a 22 2 sincos sin a = 22 3 sincos3 cossin a Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC. Giải Gọi I là giao điểm của AC và BD Ta có BD AC (vì ABCD là hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD) BD (AMNC) BI (AMNC) BI = 2 2 2 a BD = x n A D C m B M N http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình5 CHUYấN TH TCH Diện tích hình thang AMNC là S = 2 2)( 2 )( . anmCNAM AC ++ = VAMNC = )( . 62 2 2 2)( 3 1 3 1 2 nmBIS a a anm AMNC +== + *Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao trên đáy. Ta có một số nhận xét sau: -Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy. -Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên áy hoặc có các đờng cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. -Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao của khối chóp sẽ song song hoc nm trờn với đờng thẳng đó. -Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên. *Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp. Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc . Tính VSABC Giải A S C B H a - Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình6 CHUYấN TH TCH - Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. - Ta có: ABC = sin 2 1 ACAB mà BC 2 = 2AB 2 - 2AB 2 cos = 2AB 2 (1-cos ) = a 2 AB = 2 cos1 a SABC = 24cos1 sin 22 1 2 2 1 cossin 22 aa AB == HA = R = sin2sin2 aBC = Tan giác vuông có tan = AH SH SH = cos2sin2 tan aa = VSABC = cos24 cot cos2243 1 3 1 2 3 2 .cot a aa ABC SHS == Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đờng chéo = 60 o . các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45 o . Tính VSABCD Giải A B C O D -Hạ SO (ABCD) - Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đờng tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC BD - Đặt AC = BD =x. Ta có S hcnABCD = 2 1 AC.BD.sin60 o = 3. 2 4 3 2 3 2 2 1 == xx x=3 - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45 o = SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân tại S SO = 1 2 1 = AC VSABCD = 3 3 3 1 1.3 = Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60 o , BSC = 90 o , CSA = 120 o . a) Chứng minh rằng ABC vuông b) Tính VSABC Giải a) http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình7 CHUYấN TH TCH H B A S C a = = o ASB SBSA 60 AB = a -Tam giác vuông SBC có BC 2 = SB 2 + SC 2 = 2a 2 -SAC có AC 2 = a 2 + a 2 -2a 2 cos120 o = 2a 2 - 2a 2 (- 2 1 ) =3a 2 -ABC có AC 2 = AB 2 + BC 2 ABC vuông tại B b) Hạ SH (ABC) Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H là trung điểm AC ABC vuông tại B Tam giác vuông SHB có SB = a SH 2 = SB 2 - BH 2 = 24 2 aa SH = BH = 2 3 2 a AC = (Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH = 22 aSA = ) VSABC = 12 2 6 1 2 1 3 1 3 1 23 .2 . aa ABC aaSHBCABSHS === Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90 o . SAC và SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 . Tính thể tích khối chóp SABCD. Đáp số: VSABCD = 4 6 Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD Giải http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình8 CHUYấN TH TCH 2a 3a C D H K - Hạ SH (ABCD), H (ABCD) - Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là tâm đờng tròn nội tiếp đáy - Gọi K là hình chiếu của H lên AD - Ta có HK = a AD = 2 - Tam giác vuông SHK có HK = a SK = 32 2 3 aa = (vì SAD đều) SH = 23 22 aaa = Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a SABCD = 2 2 2.5 2 ).( 5a aa ADCDAB == + VSABCD = 3 5 2 3 1 3 1 23 2.5. a ABCD aaSHS == Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , (SAB) (ABCD). M, N ln lt l trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN Giải S A D C H B M N SAB hạ SH b AB http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình9 CHUYấN TH TCH (SAB) b (ABCD) SH b (ABCD) SH b (BMDN) SCDN = SMDA = 4 1 SABCD SBMDN = 2 1 SABCD = 2 1 2a.2a = 2a 2 SAB có AB 2 = SA 2 + SB 2 = 4a 2 SAB vuông tại S 222222 3 4 3 11111 aaaSBSASH =+=+= SH = 2 3a VSBMDN = 3 1 SBMDN.SH = 2 3 2 3 2 3 1 3 .2 aa a = Bài 12: SABCD có ABCD là hình thang với AB = BC = CD = 2 1 AD. SBD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SB = 8a, SD = 15a. Tính VSABCD Giải S H 15a 8a A D C B -Trong SBD kẻ SH b BD Vì (SBD) b (ABCD) SH b (ABCD) -Tam giác vuông SBD có 222 111 SDSHSH += hay 222 225 1 64 11 aaSH += hay aaSH 17 120 289 14400 . == -Vì hình thang có AB = BC = CD = 2 1 AD DA = = 60 o , B = C = 120 o -SBD có BD 2 = SB 2 +SD 2 =289a 2 BD = 17a CBD có BD 2 =2BC 2 (1+ 2 1 ) = 3BC 2 = 289a 2 BC = a 3 17 SBCD = 12 3289 2 3 2 3 289 2 1 2 2 1 2 120sin a o aBC == SABCD = 3SBCD = 12 3289 2 a http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình10 [...]... mặt phẳng (A1BM) Giải http://violet.v/nvbinh198 35 GV: Nguyễn Văn Bình CHUYấN TH TCH z B C A M x y B1 2a C1 A1 Đa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc nh hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hớng theo A1 A Trục A1y hớng theo A1C1 Trục A1x tạo với trục Oy góc 90o và nằm trong MP (A1B1C1) Toạ độ các điểm: A1(0 ; 0; 0), B1( a 2 3 ; a ;0) , C1(0; 2a; 0) 2 a 3 A(0 ; 0; 2a 5 ), B( 2 ; a ;2a 5 ) , C(0; 2a; 2a 5 )... trung điểm của BC, CC, CA Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra Giải http://violet.v/nvbinh198 31 GV: Nguyễn Văn Bình CHUYấN TH TCH E A' C' A' B' N A C M I B Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI Gọi V1, V2 tơng ứng là thể tích phần trên và phần dới của thiết diện, ta có V1 = VNIBM + VNBBFI + VNBCEF V2 = VNFAE + VNAAFI + VNACMI V So sánh từng phần tơng ứng ta có... 4 2 4 c +b 2 4c 2 + b 2 a 2 = 2 b a 3 2 4 ab 12 4c 2 + b 2 a 2 4c 2 + b 2 =a 4 c 2 +b 2 a 2 4 c 2 +b 2 Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1 a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x b)Tính d(A, (BCD)) Tơng tự bài 4 Đáp số: VABCD = x2 6 d(A, (BCD)) = x 4 4+ x 2 = 2x 4+ x 2 Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120o Gọi m là trung điểm của... điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Hớng dẫn: 3 +Chọn mặt đáy thích hợp V = a 12 2 +Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1 a.Tính thể tích tứ diện theo x b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất Giải a http://violet.v/nvbinh198 18 GV: Nguyễn Văn Bình CHUYấN TH TCH C H D B C Cách 1: Gọi H là Hình chiếu . = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a? Giải. -Gọi H là trung điểm BC AH (ABC) (gt) -Ta có SABC = 3. 2 2 1. Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. a.Tính thể tích tứ diện theo x. b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c. Tìm x để thể ABCD