giai tich to hop co ban

Giải tích tổ hợp

Lớp 10 Toán 2  1 . Quy tắc nhân Giả định phép chọn Φ gồm nhiều giai đoạn chọn liên tiếp : A , B , C . . .  ở giai đoạn A có m cách chọn ;  ở giai đoạn B có n cách chọn ;  ở giai đoạn C có p cách chọn . . . Thế thì có cả thảy m. n . p . . . . cách chọn để thực hiẹn phép chọn Φ . Ví dụ 379 . a . Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường ; từ thành phố B đến thành phố C có 4 con đường . Có thể chọn lựa bao nhiêu cách đi từ A đến C ? b . Từ các số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số phân biệt ? c . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số chia hết cho 4 tạo bởi các số 1 , 2 , 3 , 4 , nếu : các chữ số có thể trùng nhau ? các chữ số phân biệt ? GIẢI a . Có cả thảy 3 . 4 = 12 cách đi từ A đến C . b . Để ý rằng chữ số đầu tiên phải khác 0 .  Có 9 cách chọn viết chữ số đầu tiên của số ( trong các số 1 , 2 , . . . , 9) . Sau khi chọn xong  Có 9 cách chọn viết chữ số thứ hai của số ( trong 8 chữ số còn lại của 1 , 2 , . . . , 9 và 0 ).  Có 8 cách chọn viết số thứ ba , sau khi viết xong hai chữ số đầu .  Có 7 cách chọn viết số thứ tư , sau khi viết xong ba chữ số đầu.  Có 6 cách chọn viết số thứ năm ,, sau khi viết xong bốn chữ số đầu . Vậy , có cả thảy 9 . 9 . 8 . 7 . 6 = 27 216 cách viết . c . Một số chia hết cho 4 khi hai chữ số cuối chia hết cho 4 . Do đó hai chữ số tận cùng của số phải là : 12 , 32 , 24 , 44 . Nếu các chữ số có thể trùng nhau :  Có 4 cách viết hai chữ số cuối : 12 , 32 , 24 , 44 .  Có 4 cách viết chữ số thứ nhất , thứ hai . Vậy có cả thảy 4 . 4 . 4 = 64 cách viết . Nếu các chữ số không được trùng nhau :  Có 3 cách viết hai chữ số cuối : 12 , 32 , 24 .  Có 2 cách viết chữ số thứ hai .  Có 1 cách viết chữ số thứ nhất Vậy có cả thảy 1 . 2 . 3 = 6 cách viết . Niên khóa 09-11 -1- Lớp 10 Toán 2 380 . a . Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau , bé hơn 10 000 được tạo thành từ 5 chữ số : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . ĐH XÂY DỰNG 98 b . Một đội xây dựng gồm 10 công nhân , 3 kỹ sư . Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng , 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên . Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác ? ĐH KIẾN TRÚC HN 98 GIẢI a . Vì 10 000 là số tự nhiên bé nhất gồm 5 chữ số , nên các số bé hơn chỉ có 4 chữ số .  số có 1 chữ số : có 5 số tự nhiên là 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ⇒ 5 số .  số có 2 chữ số : có 4 cách viết chữ số thứ nhất , 5 cách viết chữ số thứ hai ⇒ 4 . 5 = 20 số .  số có 3 chữ số : có 4 cách viết chữ số thứ nhất , 5 cách viết chữ số thứ hai , và thứ ba ⇒ 4 . 5 . 5 = 100 số .  số có 4 chữ số : có 4 cách viết chữ số thứ nhất , 5 cách viết chữ số thứ hai , thứ ba , thứ tư ⇒ 4 . 5 . 5 . 5 = 500 số . Vậy cả thảy có : 5 + 20 + 100 + 500 = 625 số . b . Ta có  Có 3 cách chọn tổ trưởng từ 3 kỹ sư .  Có 10 cách chọn từ 10 công nhân . Sau khi chọn tổ phó xong chỉ còn 9 công nhân .  Có C 5 9 = !5!4 !9 = 126 cách chọn 5 công nhân là tổ viên trong 9 công nhân còn lại Vậy có cả thảy 3 . 10 . 126 = 3780 cách chọn . Bài tập tự luyện 381 . a . Với 10 chữ số 0 , 1 , 2 , . . . , 9 có thể lập nên bao nhiêu số khác nhau thỏa mãn điều kiện : Mỗi số gồm ba chữ số có thể trùng nhau ? Mỗi số gồm 10 chữ số phân biệt ? b . Từ các số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể tạo được bao nhiêu số 5 chữ số chia hết cho 8 ? HD : a . 900 ; 9. 9 ! . b . số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 . 382 . a . Với các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể tạo nên được bao nhiêu số , mỗi số gồm 4 chữ số phân biệt , trong đó nhất thiết có mặt chữ số 1 ? b . Có bao nhiêu số nguyên dương có 4 chữ số tạo nên từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 trong hai trường hợp : các chữ số không trùng nhau ? Số lẻ các chữ số không trùng nhau ? HD : a . 60 . b . 96 ; 36.  2 . Chỉnh hợp  Mỗi chỉnh hợp ( không lặp ) chập m từ tập hợp E có n phần tử là một bộ m thứ tự các phần tử của tập hợp E .  Số chỉnh hợp n chập m là A m n = )!mn( !n − . Ví dụ 383 . a . Cho 6 số : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác Niên khóa 09-11 -2- Lớp 10 Toán 2 nhau . Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 ? GTVT 99 b .Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được : Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ? Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? HQ 98 c . Cho tập hợp X = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } . Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau : n là số chẵn ? Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1 ? ĐH QGTPHCM 99 GIẢI a . Để chia hết cho 5 , chữ số cuối cùng phải là 5 : 1 cách viết . Mỗi cách viết 3 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 từ 5 số 1 , 2 , 3 , 4 , 6 : có A 3 5 = !)35( !5 − = 1.2 1.2.3.4.5 = 60 cách viết . Vậy có thể tạo ra : 60 . 1 = 60 số thỏa điều kiện đề bài . b . Trường hợp 1 :  Có 6 cách chọn viết chữ số đầu , từ các số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .  Mỗi cách viết 4 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 4 từ 6 chữ số còn lại sau khi dã chọn chữ số đầu : có A 4 6 = !)46( !6 − = 6 . 5 . 4 . 3 = 360 cách viết . Vậy có cả thảy : 6 . 360 = 2160 cách viết . Trường hợp 2 : Để chia hết cho 2 số tận cùng phải là 0 hoặc 2 , 4 , 6 . Có hai khả năng xảy ra  Nếu chữ số cuối là 0 : mỗi cách viết 4 chữ số đầu là một chỉnh hợp 6 chập 4 : có A 4 6 = 6 . 5 . 4 . 3 = 360 cách viết .  Nếu chữ số cuối là 2 , 4 , 6 : có 3 cách viết chữ số cuối ; sau đó có 5 cách viết chữ số đầu ; và mỗi cách viết 3 chữ số ở giữa là chỉnh hợp 5 chập 3 , nên có A 3 5 = 5 . 4 . 3 = 60 cách viết . Do đó có tất cả : 5 . 60 . 3 = 900 cách viết . Vậy có cả thảy : 360 + 900 = 1260 cách viết . c . n là số chẵn : Để chia hết cho 2 số tận cùng phải là 0 hoặc 2 , 4 , 6 . Có hai khả năng xảy ra  Nếu chữ số cuối là 0 : mỗi cách viết 4 chữ số đầu là một chỉnh hợp 7 chập 4 : có A 4 7 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 cách viết .  Nếu chữ số cuối là 2 , 4 , 6 : có 3 cách viết chữ số cuối ; sau đó có 6 cách viết chữ số đầu ; và mỗi cách viết 3 chữ số ở giữa là chỉnh hợp 6 chập 3 , nên có A 3 6 = 6 . 5 . 4 = 120 cách viết . Do đó có tất cả : 6 . 120 . 3 = 2160 cách viết . Vậy có cả thảy : 840 + 2160 = 3000 cách viết . n có một trong ba số đầu bằng 1 :  Nếu chữ số 1 đứng ở đầu : mỗi cách viết 4 chữ số còn lại là một chỉnh hợp 7 chập 4 : có A 4 7 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 . Niên khóa 09-11 -3- Lớp 10 Toán 2  Nếu chữ số 1 đứng ở vị trí thứ hai : có 6 cách viết chữ số đầu ; mỗi cách viết các số còn lại là chỉnh hợp 6 chập 3 : có A 3 6 = 120 . Do đó có 6 . 120 = 720 cách .  Nếu chữ số 1 đứng ở vị trí thứ ba : Tương tự trường hợp trên có 720 cách . Vậy có cả thảy : 840 + 720 + 720 = 2280 cách viết . 384 . a . Hỏi từ 10 chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1 . HVBCVT 99 b . Người ta viết các số có sáu chữ số bằng các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 như sau : Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần . Hỏi có bao nhiêu số như vậy ? ĐHSP VINH 98 c . Người ta viết các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 lên các tấm phiếu , sau đó sắp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng . Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành ? Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành ? ĐH HUẾ 99 GIẢI a . Ta có các trường hợp sau  Có thể viết A 6 10 số 6 chữ số từ 10 chữ số ; trong đó có số 6 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu là A 5 10 ⇒ Số các số có 6 chữ số phân biệt là : A 6 10 - A 5 10 = 9 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 136 080 .  Số 6 chữ số phân biệt đều khác 0 là A 6 9 = 9 .8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 60 480 .  Số 6 chữ số phân biệt đều khác 1 là A 6 9 - A 5 9 = 8 . 8. 7 . 6 . 5 . 4 = 53 760 . Vậy có cả thảy : 136 080 - ( 60 480 + 53 760 ) = 21 840 số thỏa điều kiện đề bài . b . Nếu chữ số 1 , chẳng hạn , xuất hiện hai lần . Thế thì mỗi cách viết 4 số còn lại và 6 vị trí là một chỉnh hợp 6 chập 4 : có A 4 6 = 6 . 5 . 4 . 3 = 360 cách . Tương tự cho 4 số kia . Vậy có cả thảy : 5 . 360 = 1 800 cách . c . Số gồm 6 chữ số tạo thành A 6 6 - A 5 5 = 5 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 600 . Số tạo thành là lẻ :  Có 3 cách viết chữ số cuối , từ các chữ số 1 , 3 , 5 .  Có 4 cách viết chữ số đầu ( không có 0) .  Có A 4 4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 cách viết 4 chữ số ở giữa . Vậy có cả thảy : 4 . 24 . 3 = 288 số . Số tạo thành là chẵn : Có thể viết được 600 số , mà có 288 số lẻ . Vậy có cả thảy 600 - 288 = 312 số chẵn . Bài tập tự luyện Niên khóa 09-11 -4- Lớp 10 Toán 2 385 . a . Từ các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 , 4 , 5 , 6 có thể viết được bao nhiêu số gồm năm chữ số phân biệt , trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 ? b . Từ 7 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt ? c . Từ 7 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt ? d . Từ 7 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt , trong đó nhất thiết có mặt chữ số 5 ? e . Từ năm chữ số 0 , 1 , 3 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt ? f . Từ năm chữ số 0 , 1 , 3 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số phân biệt ? g . Từ năm chữ số 0 , 1 , 3 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt và chia hết cho 3 ? HD : a .1560 . b . 2520 . c . 1080 . d . 1800 . e . 96 . f . 54 . g . 18 . 386 . a . Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần các chữ số khác có mặt đúng một lần ? b . Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 10 000 là bội số của 4 và các chữ số được chọn trong các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 5 và các chữ số phân biệt ? c . Có bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số phân biệt và tổng các chữ số là lẻ . d . Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số trong đó nhiều nhất là có hai chữ số trùng nhau ? e . Từ các chữ số 0 , 1 , 2 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 2 . 20 8 chia hết cho 3 ? HD : a . 5880 . b . 31 . c . 450 000 . d . 576 . e . 4373 .  3 . Phép tính trên công thức chỉnh hợp  A m n = n(n - 1) . . . (n - m + 1) = !)mn( !n − .  A n n = n ! = P n .  n ! = n (n - 1)(n - 2) . . . 3 . 2 . 1 .  0 ! = 1 = 1 ! . Ví dụ 387 . Giải các phương trình , với x ∈ N . a . !3 5 A 3 x = !4 1 A 4 2x + ; b . A 3 1x + + !)2x( 1 − A 2x x − = 9x ; c . A 2 3x + = 6 1 A 3 2x + + 20. GIẢI a . Phương trình tương đương với . Điều kiện x ≥ 3 . 5 !)3x( !x − = 4 1 !)2x( !)2x( − + ⇔ 20 x (x - 1)(x - 2) = (x + 2)(x + 1)x(x - 1) ⇔ x(x - 1) [ 20(x - 2) - (x + 2)(x + 1) ] = 0 Từ đó x = 0 (loại) hay x = 1 hay 20(x - 2) - (x + 2)(x + 1) = 0 ⇔ x 2 - 17x + 42 = 0 ⇒ Niên khóa 09-11 -5- Lớp 10 Toán 2 ⇒ x = 14 ; x = 3 . Vậy phương trình có tập hợp nghiệm S = { 3 , 14 } . b . Điều kiện x ≥ 2 . Phương trình tương đương với !)2x( !)1x( − + + !)2x( 1 − !2 !x = 9x ⇔ 2(x + 1)x (x - 1) + x(x - 1) = 18x ⇔ x(2x 2 + x - 21 ) = 0 ⇒ x = 0 (loại) ; x = - 2 7 (loại) ; x = 3 . Phương trình có tập nghiệm : S = { 3 }. 388 . Giải các bất phương trình sau , với x ∈ N . a . !x 1 A x 13 < !)2x( 1 + A 2x 13 + . b . A 1x 1x − + > 21(x - 1)! . GIẢI a . Điều kiện x ≤ 11 . Bất phương trình tương đương với !)x13(!x !13 − < !)x11(!)2x( !13 −+ ⇔ (13 - x)(12 - x) > (x + 2)(x + 1) ⇔ 154 > 28x ⇔ x < 2 11 . Vậy tập nghiệm là : S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . b . Điều kiện x ≥ 1 . Bất phương trình tương đương với !2 !)1x( + > 21 (x - 1) ! ⇔ x 2 + x - 42 > 0 ⇔ x < - 7 hay x > 6 . Tập nghiệm của bất phương trình là : S = { 7 , 8 , 9 , . . . } 389 . Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số f(x) = 8x2 1 − A 8x2 1x − + . GIẢI Hàm số xác định khi x ∈ N và    >− −≥+ 08x2 8x21x ⇔ 5 ≤ x ≤ 9 . ⇒ D = { 5 , 6 , 7, 8 , 9 } . Ta có : f( 5) = 85.2 1 − A 2 6 = 15 ; f(6) = 86.2 1 − A 4 7 = 210 . f(7) = 87.2 1 − A 6 8 = 1232 ; f(8) = 88.2 1 − A 8 9 = 45 360 ; f(9) = 89.2 1 − A 10 10 = 362 880 . Vậy miền giá trị E = { 15 , 210 , 1232 , 45 360 , 362 880 } . Niên khóa 09-11 -6- Lớp 10 Toán 2 390 . a . Tính Q = 4 20 5 20 6 20 A AA + ; b . Chứng minh rằng A m n = mA 1m 1n − − + A m 1n − . GIẢI a . Q = !16 !20 !15 !20 !14 !20 + = ( ) !14!15 !16!14!15 + = !14!15 !15.16)115(!14 + = 16 . 16 = 256 . b . VP = m !)mn( !)1n( − − + !)1mn( !)1n( −− − = !)1mn( !)1n( −− −         + − 1 mn m = !)1mn( !)1n( −− − mn n − = !)mn( !n − = VT . Bài tập tự luyện 391 . Giải các phương trình , với x ∈ N . a . A 2 1x − - A 1 x = 79 ; b . A 3 1x + + !)1x( 1 − A 1x 1x − + = 14(x + 1) ; c . 2 1 A 2 1x + . A 2 x - 4x 3 = ( ) 2 1 x2 A . HD : a . x = 11 . b . x = 4 . c . x = 9 . 392 . Giải các bất phương trình sau , với x ∈ N . a . !4 1 A 4 1x − - !3 1 A 3 1x − - 4 5 A 2 2x − < 0 . b . 5 2 A 5 x > !3 11 A 3 2x − . HD : a . S = { 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, 10 } . b . S = { 1 , 12 , 13 , . . . } . 393 . Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số f(x) = A 3x x7 − − . HD : D = { 3 , 4 , 5 } ; E = { 1 , 2 , 3 } . ΙΙ394 . Tính tổng S = 3 n A 1 + 3 1n A 1 + + . . . + 3 mn A 1 + . HD : S = 2 1 mn 1 + - 1mn 1 −+ - 1n 1 − + 2n 1 − .  4 . Hóan vị  Một hoán vị của tập E có n phần tử là một bô n thứ tự các phần tử của E .  Số hoán vị P n của tập hợp E : P n = n ! . Ví dụ Niên khóa 09-11 -7- Lớp 10 Toán 2 395 . a . Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A , B , C , D , E vào một chiếc ghế dài sao cho : Bạn C ngồi chính giữa ? Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế ? ĐH HÀNG HẢI 99 b . Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau , trong đó có 2 cuốn sách môn Toán , 4 cuốn sách môn Văn và 6 cuốn sách môn Anh văn . Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài , nếu mọi cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau ? ĐH QGTPHCM 99 c. Xét những số gồm 9 chữ số , trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2 , 3 , 4 , 5 . Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu : Năm chữ số 1 được xếp kề nhau . Các chữ số được xếp tuỳ ý . HVNHTPHCM 99 GIẢI a . Trường hợp C ngồi chính giữa : có 1 cách xếp C ngồi chính giữa . Mỗi cách xếp 4 bạn còn lại vào 4 chỗ là một hóan vị . Vậy có cả thảy 4! = 24 cách . Trường hợp A , E ngồi ở hai đầu : Có hai cách xếp A , E vào hai đầu chỗ ngồi . Số 3 bạn còn lại , mỗi cách xếp là một hóan vị 3 người vào 3 chỗ ngồi : có 3 ! cách . Vậy có cả thảy : 2 . 3! = 12 cách . b . Trước hết có 3! cách xếp ba bộ sách lên kệ . Sau đó :  Có 2! cách xếp 2 cuốn sách Tóan cạnh nhau .  Có 4! cách xếp 4 cuốn sách Văn cạnh nhau.  Có 6! cách xếp 6 cuốn sách Anh cạnh nhau. Vậy có cả thảy : 3! . 2! . 4! . 6! = 6 . 2 . 24 . 720 = 207 360 cách . c . Năm chữ số 1 xếp liền nhau : Lúc đó chúng được xem là một số . Mỗi cách xếp là một hóan vị . Vậy có cả thảy : 5! = 120 cách . Các chữ số được xếp tùy ý : Có 9! cách xếp 9 chữ số , trong đó 5! vị trí số 1 giống như nhau . Vậy có cả thảy : !5 !9 = 9 . 8 . 7 . 6 = 3024 cách . 396 . a. Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để không có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau . KTQS 98 b . Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau .Có bao nhiêu cách xếp để : Các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau ? Các phiếu phân thành hai nhóm chẵn , lẻ riêng biệt ( chẳng hạn 2 , 4 , 1 , 3 , 5 ) ? ĐH HUẾ 99 c . Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau , mỗi dãy gồm 6 ghế . Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau : Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau ? Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau ? ĐH QGTPHCM 99 GIẢI a . Đánh số từ 1 đến n vào n ghế xen kẽ , ghế còn lại không đánh dấu . Chọn nam sinh A trong n nam sinh . Niên khóa 09-11 -8- Lớp 10 Toán 2 Trước hết A ngồi vào ghế số 1 . Mỗi cách xếp (n - 1) nam sinh còn lại là một hóan vị (n - 1) vị trí. Khi A ngồi ở ghế số 2 , 3 , . . . , n ta thấy cũng cách xếp tương tự . Nên có (n - 1)! cách xếp nam sinh . Ứng với mỗi cách xếp nam sinh ta có n ! cách xếp nữ sinh . Vậy có cả thảy : n! (n - 1)! cách xếp . b . Số chẵn ở cạnh nhau :Có hai cách hai phiếu số chẵn ở cạcnh nhau : (2 , 4) ; (4 , 2) .Sau đó ta coi chúng là một phiếu . Sẽ có 4! cách xếp các phiếu số 1 , 3 , 4 , 5 , (2 , 4) hoặc (4 , 2) . Vậy có cả thảy : 2 . 4! = 2 . 4 . 3 . 2 = 48 cách . Số chẵn lẻ riêng biệt : Có 2! cách xếp nhóm chẵn , lẻ . Trong nhóm chẵn ( gồm 2 số) có 2! cách xếp . Trong nhóm lẻ ( gồm 3 số ) có 3! cách xếp . Vậy có cả thảy : 2 . 2 . 6 = 24 cách . c . trường hợp thứ nhất : Đánh dấu xen kẽ một dãy ghế . Còn dãy ghế đối diện , đánh dấu vào ghế đối diện với ghế không được đánh dấu . ( x. hình) Trước hết học sinh trường A có hai cách chọn lựa ; ngồi ở ghế có hoặc không đánh dấu . Sau đó , có 6! cách xếp học sinh trường A vào chỗ ngồi . Rồi thì , với mỗi cách xếp của học sinh trường A có 6! cách xếp học sinh trường B . Vậy có cả thảy : 2 . 6! . 6! = 1 036 800 cách . trường hợp thứ hai : Ta lần lượt thực hiện  Học sinh thứ nhất trường A chọn ghế ngồi trước : có 12 cách . Sau đó chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 6 cách chọn .  Học sinh thứ hai của trường A chọn ghế ngồi : có 10 cách . Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 5 cách .  Học sinh thứ ba của trường A chọn ghế ngồi : có 8 cách . Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 4 cách .  Học sinh thứ tư của trường A chọn ghế ngồi : có 6 cách . Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 3 cách .  Học sinh thứ năm của trường A chọn ghế ngồi : có 4 cách . Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 2 cách .  Học sinh thứ sáu của trường A chọn ghế ngồi : có 2 cách . Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 1 cách . Vậy có cả thảy : 12 . 6 . 10 . 5 . 8 . 4 . 6 . 3 . 4 . 2 . 2 . 1 = 33 177 600 cách . Bài tập tự luyện 397 . a . Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số , chia hết cho 5 , tạo thành từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ? Biết rằng các chữ số không lặp lại . b . Có bao nhiêu hóan vị được tạo nên từ các chữ cái trong từ “ DEGREE “ ? c . Có bao nhiêu cách xếp 5 nam sinh và 5 nữ sinh ngồi vào một dãy ghế sao cho không có hai nam hoặc hai nữ nào ngồi cạnh nhau ? d . Có bao nhiêu cách xếp 15 gói hàng vào trong ba thùng sao cho thùng thứ nhất đựng 2 gói ; thùng thứ hai đựng 3 gói ; thùng thứ ba đựng 10 gói ? Niên khóa 09-11 -9- Lớp 10 Toán 2 e . Có bao nhiêu cách xếp 11 cầu thủ của một đội bóng thành một hàng ngang sao cho đội trưởng và thủ môn luôn đứng cạnh nhau ? f . Một rạp hát có 1000 chỗ ngồi chia thành hai dãy : dãy số chẵn và dãy số lẻ , mỗi dãy có 500 xhỗ ngồi . Có bao nhiêu cách xếp 1000 khán giả thành hai hàng dọc đẻ vào rạp sao cho mỗi hàng ngang gồm hai khán giả không cùng dãy ? g . Có bao nhiêu cách xếp 6 nam sinh và 6 nữ sinh ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai nam hoặc hai nữ nào ngồi cạnh nhau ? HD : a . 5 ! = 120 . b . !3 !6 . c . 2(5 . 4 . 3 . 2 . 1) 2 = 28 800 . d . !10!3!2 !15 . e . 8 . 10 ! . f . 2(500!) 2 . g . 2(6 !) 2 . 398 . a . Có bao nhiêu cách xếp 12 quyển sách vào 6 ngăn , mỗi ngăn có 2 quyển ? b. Có bao nhiêu cách xếp 15 quyển sách lên kệ sao cho 5 quyển sách định trước luôn ở cạnh nhau ? c . Có bao nhiêu hóan vị các chữ số 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7 trong đó các chữ số 1 , 2 , 3 đứng kề nhau theo : (i) Thứ tự tăng dần ? Thứ tự bất kỳ ? d . Có bao nhiêu cách xếp 9 quyển sách vào 5 ngăn , trong đó có 4 ngăn chứa đúng 2 quyển ? e . Có bao nhiêu cách xếp 15 quyển sách vào 3 ngăn sao cho ngăn thứ nhất chứa đúng 6 quyển , ngăn thứ hai chứa đúng 7 quyển ? f . Một lớp có 24 học sinh làm bài kiểm tra , mỗi học sinh làm một trong hai đề khác nhau . Có bao nhiêu cách xếp 24 học sinh ngồi thành 2 dãy sao cho hai học sinh ngồi cùng hàng có đề thi khác nhau? g. Cho 5 quả cầu trắng và năm quả cầu xanh . Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu thành một dãy sao cho không có hai quả cầu nào cùng màu đứng cạnh nhau . HD : a . !6.2 !12 6 . d . !4.2 !9 4 . e . !2!.7.!6 !15 . f . 2(12 !) 2 .  5 . Phép tính trên công thức hoán vị  P n = n! = n(n - 1)(n - 2) . . . 3 . 2 . 1  A n n = P n . Ví dụ 399 . Giải các phương trình , với x ∈ N : a . 3 1x 1x x2 P A + + = 2 1x 1x 1x2 P A − − + ; b . 2A 1x 1x − + = 15 1 A 3 1x + P x - 1 ; c . 2 3 A 2 1x + + xP 2 = 4 A 2 x . GIẢI a . Điều kiện x ≥ 1 . Phương trình đã cho tương đương với 3 !)1x(!)1x( )!x2( +− = 2 !)1x(!)2x( )!1x2( −+ + ⇔ 3 = 2x 1x2 + + ⇔ ⇔ 3x + 6 = 4x + 2 ⇔ x = 4 . b . Điều kiện x ≥ 2 . Phương trình đã cho tương đương 2 !2 !)1x( + = 15 1 !)2x( !)1x( − + (x - 1)! ⇔ 15 = x - 1 ⇔ x = 16 . Niên khóa 09-11 -10- . Lớp 10 To n 2  1 . Quy tắc nhân Giả định phép chọn Φ gồm nhiều giai đoạn chọn liên tiếp : A , B , C . . .  ở giai đoạn A có m cách chọn ;  ở giai đoạn. Tập con chứa 1 và không chứa 2 : Số tập con ấy bằng số tập con của { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } : có 2 6 = 64 tập con . Số chẵn 5 chữ số không bắt đầu bởi