Tài liệu Toán giải tích - Kiến thức cơ bản doc

Phụ lục KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƯƠNG I Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết khái niệm hàm số đơn điệu.  Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biên của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó  Kỹ năng xét dấu một biểu thức  Kỹ năng xét tính đơn điệu của một hàm số. I.Tóm tắt lý thuyết: Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) a) f’(x)>0, ∀ x∈K ⇒ y= f(x) đồng biến trên K b) f’(x)< 0, ∀ x∈K ⇒ y= f(x) nghịch biến trên K c) f’(x)=0, ∀ x∈K ⇒ f(x) không đổi trên K Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ’(x) ≥ 0 (f’(x) ≤ 0), ∀ x K∈ và f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K Phương pháp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số : + Tìm TXÐ ? + Tính đạo hàm : y / .Tìm nghiệm của phương trình y / = 0 ( nếu có ) + Lập bảng BXD y / + Kết luận : Hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng nào ? II.Bài tập A.Bài tập mẫu : 1.Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y= –2x 3 +9x 2 +24x –7 b) 2 x x 1 y 1 x − + = − Giải a)Tập xác định: D= ¡  2 y 6x 18x 24 ′ = − + + , cho x 1 y 0 x 4 = −  ′ = ⇔  =   Bảng biến thiên: x -∞ -1 4 +∞ y’ - 0 + 0 - y +∞ -∞ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( ; 1),(4; )−∞ − +∞ ; Hàm số đồng biến trên khoảng: (–1;4) b)Tập xác định: D= { } \ 1¡  ( ) 2 2 x 2x y 1 x − + ′ = − , cho x 0 y 0 x 2 =  ′ = ⇔  =   Bảng biến thiên x -∞ 0 1 2 +∞ y’ - 0 + + 0 - y 14 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (0;1) và (1;2) Hàm số số nghịch biến trên mỗi khoảng: (-∞;0) và (2:+∞) Ví dụ 2: Định m để hàm số: y= x 3 – 3mx 2 + (m+2)x– m đồng biến trên ¡ Giải:  Tập xác định: D= ¡  y ′ = 3x 2 – 6mx+ m+ 2 Ta co: ′ ∆ = 9m 2 – 3m– 6 Bảng xét dấu ∆’: m -∞ 2 3 − 1 +∞ ∆’ + 0 - 0 + Ta phân chia các trường hợp sau:  Nếu 2 m 1 3 − ≤ ≤ .Ta có: ′ ∆ ≤ 0 ⇒ y 0, x ′ ≥ ∀ ∈¡ ⇒ hàm số đồng biến trên ¡  Nếu 2 m 3 m 1  < −   >  . Ta có: ′ ∆ > 0 phương trình y ′ =0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 (giả sử x 1 < x 2 )  Bảng biến thiên: x -∞ 1 x 2 x +∞ y’ + 0 - 0 + y +∞ -∞ Hàm số không đồng biến trên ¡ Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: 2 m 1 3 − ≤ ≤ B.Bài tập tự giải Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = x 3 +3x 2 +1. b) y = 2x 2 - x 4 . c) y = x 3 x 2 − + . d) y = 2 x 4x 4 1 x − + − . Bài 2: Chứng minh rằng: hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 2 x x 1 y x 1 − − = − . c) x 1 y 2x 1 − = + . Bài 3 : Cho hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1. Định m để hàm số : Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0 Bài 4: Định m∈Z để hàm số y = f(x) = mx 1mx − − đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Kq: m = 0 Bài 5 : Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 1x 1xx y 2 − −− = . c) 1x2 1x y + − = . Bài 6 : Tìm m để hàm số : mx 2mmx2x y 2 − ++− = luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Bài 7 : Chứng minh rằng : 15 a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx ≥ 2 x 2 , với x > 0 Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết các khái niệm điểm cực đại, cực tiểu, điểm cực trị của hàm số  Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số  Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, của đồ thị hàm số  Nắm vững kỹ năng tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 1  Giải được bài toán tìm m để hàm số đạt CĐ, CT bằng dấu hiệu 2 I.Tóm tắt lý thuyết: • Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x 0 và có đạo hàm tại x 0 th́ f / (x 0 )=0 • Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (x 0 – h; x 0 + h) với h > 0. +Nếu y / đổi dấu từ dương sang âm qua x 0 (xét từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực đại tại x 0 +Nếu y / đổi dấu từ âm sang dương qua x 0 (xét từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 Qui tắc tìm cực trị bằng dấu hiệu I: + TXĐ + Tính : y / , tìm nghiệm của phương trình y / = 0 (nếu có) + BBT : + Kết luận cực trị ? •Dấu hiệu II: Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x 0 ∈ (a;b) +Nếu / 0 // 0 y (x ) 0 y (x ) 0  =   >   thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . +Nếu / 0 // 0 y (x ) 0 y (x ) 0  =   <   thì hàm số đạt cực đại tại x 0 . Qui tắc tim cực trị bằng dấu hiệu II: + TXÐ + Tính : y / . Tìm nghiệm y / = 0.( nếu có ), giả sử các nghiệm x 1 , x 2 …x n + Tính y // và y // (x i ), i 1,n=  Nếu y // (x i ) > 0 thì hàm số đạt CT tại x i .  Nếu y // (x i ) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x i . II.Bài tập: A.Bài tập mẫu: Áp dụng quy tắc 1 1.Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: y= –x 4 + 2x 2 – 3 Giải Tập xác định: D= ¡  y ′ = – 4x 3 + 4x= 4x(–x 2 + 1); y ′ = 0 ⇔ x 0 x 1 x 1 =   =   = −   Bảng biến thiên x -∞ -1 0 1 +∞ y’ + 0 - 0 + 0 - y -2 -2 -∞ -3 -∞ 16 Hàm số đạt cực đại tại các điểm: x=–1, x=1 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm: x=0 Áp dụng quy tắc 2 2)Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin 2 x  Miền xác định: D= ¡  y ′ = 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x; y ′ =0 ⇔ sin2x= 1 2 x k 12 k 5 x k 12 π  = + π  ⇔ ∈  π  = + π   ¢  y ′′ = – 4cos2x * y k 4cos k2 12 6 π π     ′′ + π = − + π  ÷  ÷     = –2 3 <0 Vậy: x k 12 π = + π , k ∈¢ là những điểm cực đại. * 5 5 y k 4cos k2 12 6 π π     ′′ + π = − + π  ÷  ÷     = 2 3 >0 Vậy: 5 x k 12 π = + π , k ∈¢ là những điểm cực tiểu. Một số bài toán có tham số 1.Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu a) ( ) 3 2 y m 2 x 3x mx m= + + + + . b) 2 2 2 x 2m x m y x 1 + + = + Giải a) ( ) 3 2 y m 2 x 3x mx m= + + + + Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: ( ) 2 y' 3 m 2 x 6x m= + + +  Hàm số có cực đại và cực tiểu⇔ ( ) ( ) 2 g x 3 m 2 x 6x m 0= + + + = có hai nghiệm phân biệt ( ) m 2 0 ' 9 3m m 2 0 + ≠   ⇔  ∆ = − + >   ( ) 2 m 2 3 m 2m 3 0 ≠ −   ⇔  − − + >   m 2 3 m 1 ≠ −  ⇔  − < <  Vậy giá trị cần tìm là: 3 m 1 − < < và m 2≠ − . b) 2 2 2 x 2m x m y x 1 + + = + Tập xác định: { } D \ 1= −¡  Đạo hàm: ( ) 2 2 2 x 2x m y' x 1 + + = +  Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ ( ) 2 2 g x x 2x m 0= + + = có hai nghiệm phân biệt khác –1 ( ) 2 2 ' 1 m 0 g 1 1 m 0  ∆ = − >  ⇔  − = − + ≠   1 m 1 m 1 − < <  ⇔  ≠ ±  1 m 1 ⇔ − < < Vậy giá trị cần tìm là: 1 m 1− < < 2. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số ( ) 3 2 y m 3 x 2mx 3= − − + không có cực trị. Giải Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: ( ) 2 y' 3 m 3 x 4mx= − − ( ) 2 y' 0 3 m 3 x 4mx 0= ⇔ − − = (1)  Xét m 3= : y' 0 12x 0 x 0= ⇔ − = ⇔ = y'⇒ đổi dấu khi x đi qua 0 x 0= ⇒ Hàm số có cực trị m 3⇒ = không thỏa  Xét m 3 ≠ : 17  Hàm số không có cực trị ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2 m 3 0 ' 4m 0 − ≠  ⇔  ∆ = ≤  m 3 m 0 ≠  ⇔  =  m 0⇔ = Vậy giá trị cần tìm là m 0 = . 3. Cho hàm số 4 2 4 y x 2mx 2m m= − + + . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. Giải  Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: 3 y' 4x 4mx= − ( ) 2 x 0 y' 0 x m * =  = ⇔  =  Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m 0⇔ > . Khi đó : 4 4 2 x 0 y m 2m y' 0 x m y m m 2m  = ⇒ = + = ⇔  = ± ⇒ = − +   Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là ( ) 4 A 0;m 2m+ và hai điểm cực tiểu là ( ) ( ) 4 2 4 2 B m;m m 2m ,C m;m m 2m− − + − + Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều AB AC AB BC =  ⇔  =  2 2 AB BC⇔ = 4 m m 4m⇔ + = ( ) 3 m m 3 0⇔ − = ⇔ 3 m 3= (do m 0> ). Vậy giá trị cần tìm là: 3 m 3= 4.Cho hàm số 4 2 1 3 y x mx 2 2 = − + . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Giải  Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: 3 y' 2x 2mx= − ; ( ) 2 x 0 y' 0 x m * =  = ⇔  =  Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x 0 = m 0 ⇔ ≤ Vậy giá trị cần tìm là: m 0 ≤ B. Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) 3 2 1 y x 4x 15x 3 = − + − b) y= 4 3 2 3 x x 9x 7 4 − − + c) y= 2sinx +cos2x trên [ ] 0;2π d) y= 2 x 3x 6 x 2 − + + + Bài 2: Xác định tham số m để hàm số y=x 3 −3mx 2 +(m 2 −1)x+2 đạt cực đại tại x=2. Bài 3: Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) = 3 x 3 −mx 2 +(m+3)x−5m+1 Bài 4: Xác định tham số m để hàm số y=x 3 −3mx 2 +(m 2 −1)x+2 đạt cực đại tại x=2. 18 Bài 5: Định m để hàm số y = f(x) = x 3 −3x 2 +3mx+3m+4 a.Không có cực trị. b.Có cực đại và cực tiểu. Bài 6: Cho hàm số 4 2 1 3 2 2 y x mx= − + . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số  Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]  Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a;b)  Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác đơn giản 3.1.Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:  Tính y’  Tìm nghiệm của y / = 0 ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm thuộc (a;b) là x 1 , x 2 ,…,x n + Tính y(a), y(b), y(x 1 ), y(x 2 ) ………y(x n ) + So sánh các giá trị vừa tính max y [a;b] = số lớn nhất, min y [a;b] = số nhỏ nhất. 3.2.Phương pháp tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên (a;b) hoặc TXÐ : + Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ + Tìm đạo hàm y / . Tìm nghiệm y / =0 ( nếu có ) . +Lập BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất II.BÀI TẬP: A.Bài tập mẫu: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y= 2x 3 – 3x 2 – 12x+ 1 trên 3 2; 2   −     b) y= 1 2 x 2 + 1 x trong ( ) 0;+∞ Giải a)Xét x ∈ 3 2; 2   −     , ta có y ′ = 6x 2 –6x –12 cho y ′ = 0 ⇔ x= –1 ( vì x ∈ 3 2; 2   −     ) f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f( 3 2 )= –17 Vậy: 3 x 2; 2 max f(x) 8   ∈ −     = , 3 x 2; 2 min f (x) 17   ∈ −     = − b)Xét x ∈ ( ) 0;+∞ , ta có y ′ = x– 2 1 x = 3 2 x 1 x − cho y ′ = 0 ⇔ x= 1  Bảng biến thiên: x -∞ 0 1 +∞ y’ - 0 + y +∞ +∞ 3 2 Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong ( ) 0;+∞ ; x (0; ) 3 min f (x) 2 ∈ +∞ = B. Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x 2 -2x+3. Kq: R Min f(x) = f(1) = 2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 -2x+3 trên [0;3]. Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 19 a/ y = 3 sinx 4 cosx. b/ 2xcos 1xsin22 y + = . c/ ( ) + + = ;0 1cosx2x cosx2cosx y 2 2 Bi 4:NG TIM CN Chun kin thc k nng cn t Bit khỏi nim ng tim cn ng, ng tim cn ngang ca th hm s Tỡm c tim cn ng, tim cn ngang ca mt th hm s Gi c bi toỏn liờn quan n tim cn ca th hm s I.Túm tt lý thuyt: *Tim cn ng : x = x 0 l tim cn ng nu cú mt trong cỏc gii hn sau 0 0 0 0 x x x x x x x x lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) + + = + = = + = Chỳ ý : Tỡm x 0 l nhng im hm s khụng xỏc nh *Tim cn ngang : y = y 0 l tim cn ngang nu cú mt trong cỏc gii hn sau: x x f (x) y ; f(x) y 0 0 lim lim + = = II.BI TP: A.Bi tp mu: Vớ d 1. Tỡm cỏc tim cn ng v ngang ca th (C) ca hm s x 1 y x 2 = + . Gii. Vỡ x 2 x 1 lim x 2 + = + ; x 2 x 1 lim x 2 = + + ng thng x = -2 l tim cn ng ca (C). Vỡ x x x 1 x 1 lim lim 1 x 2 x 2 + = = + + nờn ng thng y = 1 l tim cn ngang ca (C). Vớ d 2. Tỡm cỏc tim cn ca th hm s 2 2x x 1 y 2x 3 + + = . Gii. Vỡ 2 3 x 2 2x x 1 lim 2x 3 + ữ + + = + (hoc 2 3 x 2 2x x 1 lim 2x 3 ữ + + = ) nờn ng thng 3 x 2 = l tim cn ng ca th hm s ó cho. 2 2 x x 2x x 1 2x x 1 lim , lim 2x 3 2x 3 + + + + + = + = th hm s khụng cú tim cn ngang B.Bi tp t gii: Bi 1: Tỡm tim cn ng v tim cn ngang ca th ca mi hm s sau: a) 1 x y 2x 3 = b) 2 2 x y 9 x + = c) x 7 y x 1 + = + d) 2 x 6x 3 y x 3 + = e) 3 y 5x 1 2x 3 = + + Bài 2 Xác định m để đồ thị hàm số: 2 2 x 3 y x 2(m 2)x m 1 = + + + + có đúng 2 tiệm cận đứng. 20 Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết sơ đồ tổng qt để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)  Vận dụng giải được bài tốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, trùng phương, hàm hữu tỉ 5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức: b1. TXĐ b2. Tìm y’, cho y’= 0 tìm nghiệm và giá trị y’ khơng xác định b3. Giới hạn tại vơ cực b4. BBT - Kết luận: Khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị. Chú ý : y / = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y / ln cùng dấu với a trừ nghiệm kép B5. Tìm y”, cho y”= 0 tìm nghiệm, suy ra điểm uốn ( chỉ thực hiện với hàm bậc 3 ) B6. Lập bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hồnh độ cực trị, điểm uốn và lấy thêm 2 điểm có hồnh độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn cực trị bên phải) B7. Vẽ đồ thị. kết luận tâm đối xứng. trục đối xứng. Các dạng đồ thò hàm bậc 3: y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 =   >  y a ' 0 0 ≥ ∀   >  y x a ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 y a =   <  ' 0 0 ≤ ∀   <  y x a Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Các dạng đồ thò hàm trùng phương: y' 0 có 3 nghiệm phân biệt a 0 =   >  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   >  ' 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 y a =   <  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   <  II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x 3 – 9x 2 + 12x– 4 Giải: Miền xác định: D= ¡ y ′ = 6x 2 – 18x+ 12 21 x Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y / =0 f’(x) Xét dấu y / f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số y ′ = 0 ⇔ 6x 2 – 18x+ 12=0 ⇔ 1 2 x x =   =  lim x y →+∞ = +∞ , lim x y →−∞ = −∞ Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 + ∞ y ′ + 0 – 0 + y 1 + ∞ −∞ 0 Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:( −∞ ;1)và (2; + ∞ ), nghịch biến trong khoảng: (1;2) Hàm số đạt cực đại tại x=1; y CĐ =1, cực tiểu tại x=2; y CT =0 y ′′ = 12x– 18 y ′′ = 0 ⇔ x= 3 2 ⇒ y= 1 2 đồ thị có 1 điểm uốn I( 3 2 ; 1 2 ) Điểm đặc biệt x 0 1 3 2 2 3 y -4 1 1 2 0 5 Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I 3 1 ; 2 2    ÷   làm tâm đối xứng. Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= x 4 – 2x 2 – 1 Giải: Miền xác định: D= ¡ y ′ = 4x 3 – 4x cho y ′ = 0 ⇔ 4x 3 – 4x=0 ⇔ 0 1 1 x x x =   =   = −  lim x y →+∞ = lim x y →−∞ = +∞ Bảng biến thiên: x −∞ –1 0 1 +∞ y ′ – 0 + 0 – 0 + y +∞ –1 +∞ –2 –2 Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1; +∞ ), nghịch biến trong 2 khoảng: ( −∞ ;–1) và (0;1) Hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ = -1, cực tiểu tại x= ±2; y CT = -2 Điểm đặc biệt x -2 -1 0 1 2 y 7 -2 -1 -2 7 Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau: 1/ Dạng 1 : y = a 3 + bx 2 + cx +d 22 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 h x ( ) = x-1 x+1 g x ( ) = 1 f y ( ) = -1 a/ y = 2x 3 - 3x 2 + 1 b/ y = 1 3 x 3 – x 2 + x -1 c/ y = - x 3 – x 2 – x -1 d/y = - x 3 + 3x + 1 e/y = x 3 -3x+1 f/ y = x 3 +3x−4 g/ y = (1-x) 3 h/ y = 3x 2 -x 3 i/y = - 1 3 x 3 –2 x 2 -4 x +1 2/ Dạng 2 : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) a/ y= x 4 – 3x 2 +2 b/ y= x 4 + x 2 – 4 c/ y= 4 2 3 2 2 x x− + − d/ y= 3 - 2x 2 – x 4 e/y= 4 2 5 3 2 2 x x− + f/ y = x 4 + 2x 2 g/ y = - x 4 + 2x 2 +2 h/ y = - 4 2 3 2 2 x x− + 5.2.Hàm phân thức : y = dcx bax + + ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) + TXĐ : D = R\       − c d + Đạo hàm : y / = 2 )( dcx bcad + − kết luận tính đơn điệu của hàm số. + Tiệm cận: • x = c d − là tiệm cận đứng vì ( / ) ( / ) lim ( ); lim ( ) x d c x d c ax b ax b cx d cx d + − →− →− + + = +∞ −∞ = −∞ +∞ + + • y = c a là tiệm cận ngang vì lim lim x x ax b ax b a cx d cx d c →+∞ →−∞ + + = = + + +Bảng biến thiên : + Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví dụ 1:khảo sát hàm số 1 1 x y x − = + TXĐ : D { } \ 1= −¡ Sự biến thiên : + Giới hạn và tiệm cận : • lim lim 1 1 x x y y y →−∞ →+∞ = = ⇒ = là tiệm cận ngang • ( ) 1 lim x y + → − = −∞ ; ( ) 1 lim x y − → − = +∞ 1x⇒ = − là tiệm cận đứng + ( ) 2 2 ' 1 y x = + > 0 , x∀ ∈ D ⇒ Hàm số tăng trong 2 khoảng ( ) ( ) ; 1 ; 1;−∞ − − +∞ x - ∞ -1 + ∞ y’ + + y + ∞ 1 1 - ∞ Đồ thị : 23 x= −d/ c y= a/c x= −d/ c y= a/c [...]... tuyến với đường cong : 6 4 2 5 -2 25 a.Tại điểm A (-1 ; -1 ) b.Tại điểm có hồnh độ bằng –2 c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8) Giải 2 Ta có y’= 3.x  x 0 = −1 ⇒f’(x0)= 3. (-1 )2 = 3⇒phương trình tiếp tuyến f (x 0 ) = −1  a)Tiếp tuyến tại A (-1 ;-1 ) ∈ (C) có  là: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1 ) f (x 0 ) = −8 ⇒ Ph.trình... f '(x 0 ) = 12 b) Ta có x0= -2 ⇒  3 c) Ta có tung độä bằng y0= –8 ⇔ f(x0)= -8 ⇔ x 0 =-8 ⇒ x0 =-2 ⇒ f’(x0)=12 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16 2 d) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔ f’(x0)=3 ⇔ 3 x 0 =3 ⇔ x0= ± 1  Với x0=1 ⇒ f(x0)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2  Với x0 =-1 ⇒ f(x0)= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2 e)Phương trình đường... k là: y = k(x–2) + 8 d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm :  x 3 = k(x-2) + 8(1) x = 2  ⇔ x3 = 3x2(x-2) + 8 ⇔ 2x 3- 6x2 + 8 = 0 ⇔   2 (2) 3x = k  x = −1   Với x=2 ⇒ k=12 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -1 6  Với x =-1 ⇒ k=3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4 B.Bài tập tổng hợp CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT KÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số: y= x3–... y= x3 -3 x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k biện luận số giao điểm của (C) và d Giải  Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1  Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d là: x3 -3 x +1=kx + 1 (1) x = 0 ⇔ x(x 2-3 -k) = 0 ⇔  Ta có ∆ / (2)= 3+k g(x) = x 2 − 3 − k = 0 (2)   Nếu 3+k -3 , g(0)=0 ⇔ -3 - k = 0 ⇔ k =-3 vậy k >-3 phương tŕnh (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ (C) và d có 3 giao điểm Ví dụ 2: Cho hàm số y = 3 − 2x x −1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt Giài 1) Học sinh tự giải 2) Đường thẳng...Điểm đặc biệt x -3 -2 y 2 3 -1 0 -1 1 0 Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I ( −1;1) làm tâm đối xứng B/ Bài tập tự giải: x 2x + 3 2x + 1 f/y = 1− x a/ y = b/ y= g/ y = 2x − 1 3x + 2 x +1 x −1 c/ y= h/ y = 3x − 2 x −1 d/y= 2 x +1 e/y = x +1 −2 x + 1 2x x+2 MỘT SỐ BÀI... y=ax+b thì có f /(x0)=a  Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=ax+b thì có f /(x0).a= -1 5.Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) : B1:Phương tŕnh đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1) f (x) = k(x − x1 ) + y1 f ′(x) = k B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương tŕnh sau có nghiệm:  B3 :Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1)⇒phương tŕnh... y0 : B1: Tìm f ’(x) B2:Do tung độ là y0 ⇒f(x0)=y0 giải phương tŕnh này tìm được x0 ⇒ f /(x0) B3: Phương tŕnh tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là: y = f / (x 0 ) (x–x0) + y0 4.Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k: B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên: f ′(x 0 ) =k (*) ⇒ y0= f(x0) ⇒ phương tŕnh tiếp tuyến B3: Giải phương tŕnh (*) tìm x0 Chú ý:  Tiếp tuyến song... = (m − 4) + 20m > 0 ⇔  2 m > 0  m + 12m + 16 > 0  m.12 − (m − 4).1 − 5 ≠ 0    Ví du 3: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0 Giải 3 2 ⇔ x3 – 6x2 + 9x = m Phương trình x – 6x + 9x – m = 0 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m Dựa vào y đồ thị ta có:  Nếu m > 4 thì d và (C) có 1 giao... cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất c)Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2010 d)Tìm điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng y= -2 x +2010 Bài 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y = đồ thò của các hàm số: a) (C1): y = f1(x) = c) (C3): y = f3(x) = e) (C5): y = f5(x) = x−2 x+2 x −2 x +2 x−2 x+2 x−2 x+2 b) (C2): y = f2(x) . +d 22 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -1 0 -5 5 10 h x ( ) = x-1 x+1 g x ( ) = 1 f y ( ) = -1 a/ y = 2x 3 - 3x 2 + 1 b/ y = 1 3 x 3 – x 2 + x -1 c/ y = - x 3 –. y CĐ = -1 , cực tiểu tại x= ±2; y CT = -2 Điểm đặc biệt x -2 -1 0 1 2 y 7 -2 -1 -2 7 Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. B/ Bài tập tự giải: