Ứng dụng biến phân trong kỹ thuật

Trong các bài toán kỹ thuật, ví dụ các bài toán của lý thuyết đàn hồi, để tìm các đại lượng trường như chuyển vị, biến dạng, ứng suất chúng ta cần phải giải các phương trình vi phân chủ đạo. Tuy nhiên, hình thức biểu diễn các phương trình chủ đạo này không phải là duy nhất. Thực tế, nhiều bài toán chúng ta có thể đưa về việc tìm cực tiểu tích phân của các phiếm hàm (hàm của các hàm).

Bản tin Khoa học Công nghệ Số 1/2019 Newsletter of Science and Technology No 1/2019 ỨNG DỤNG BIẾN PHÂN TRONG KỸ THUẬT TS Phạm Ngọc Tiến Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung Tóm tắt Trong tốn kỹ thuật, ví dụ tốn lý thuyết đàn hồi, để tìm đại lượng trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất cần phải giải phương trình vi phân chủ đạo Tuy nhiên, hình thức biểu diễn phương trình chủ đạo Thực tế, nhiều tốn đưa việc tìm cực tiểu tích phân phiếm hàm (hàm hàm) Thủ tục toán học để xây dựng phương trình chủ đạo theo hướng gọi tính tốn biến phân Tài liệu trình bày kiến thức phiếm hàm, tính tốn biến phân cấp phiếm hàm số ứng dụng để xây dựng phương trình chủ đạo cho tốn lý thuyết đàn hồi Từ khóa: phiếm hàm, biến phân cấp một, lý thuyết đàn hồi Giới thiệu chung Bất kỳ đại lượng mà đại lượng nhận giá trị cụ thể tương ứng với vài nhiều hàm gọi phiếm hàm (Functional) [1-2] I   F ( x, y , u x , u y )dxdy S - Trường hợp có thêm điều kiện phụ: b I   F ( x, u, v, u ', v ')dx a Ví dụ b I   1  ( u ')  a ; với n I   u( xi )i i 1 b phân: I   F ( x, u, u ', )dx a , a b thay đổi biểu thức tích phân: - Trường hợp đơn giản: ( x, u, v)  constant - Trường hợp có biến đổi cận tích phiếm hàm Một số phiếm hàm cho dạng , b Trong biểu thức bên “I” a đại diện cho phiếm hàm “F” I   F ( x, u, u ')dx - Trường hợp có chứa đạo hàm bậc cao: hàm dấu tích phân biến độc lập b x, y,… biến phụ thuộc u, v, a u1, v1, u’1, u’1,… I   F ( x, u, u ', u '', , u ( n ) )dx - Trường hợp có chứa nhiều hàm ẩn: b ' ' ' n Tính toán biến phân (Calculus of I   F ( x, u1 , u2 , , un ; u , u , , u )dx Variation) liên quan đến việc tìm cực tiểu - Trường hợp có chứa nhiều biến độc lập: cực đại phiếm hàm Nhiều a Bản tin Khoa học Công nghệ Số 1/2019 Newsletter of Science and Technology No 1/2019 phương pháp tính tốn biến phân đây: u(x) hàm liên tục khả vi phát triển cách 200 năm (Euler với đạo hàm liên tục u’(x) u’’(x) (liên (1701-1783), Lagrange (1736-1813),…) [3] tục C2) đoạn [a,b] thỏa mãn điều Ngày nay, cơng cụ tiếp tục kiện biên (Hình 1): phát triển xem kỹ thuật quan trọng nhiều nhánh kỹ thuật vật lý Biến phân cấp phiếm hàm 2.1 Định nghĩa biến phân cấp phiếm hàm Xét phiếm hàm trường hợp đơn giản nhất: u(a )  ua  u(b)  ub (2.2) Bây cần tìm số tất hàm u(x) thỏa mãn điều kiện cho cho tồn hàm để phiếm hàm I (2.1) đạt cực trị b I   F ( x, u, u ')dx a (2.1) Hình 2.1: Minh họa giá trị hàm u(x) Gọi ( x) hàm tùy ý, liên tục C2 thỏa mãn điều kiện biên: (a)  (b)  để cho hàm a (2.4) u( x) hàm nghiệm để phiếm hàm I đạt cực trị, J ( ) đạt giá Nếu (2.3) Khi đó, số b J ( )   F ( x, u   , u '  ')dx  đủ bé u( x)  ( x) thỏa mãn trị cực trị phiếm hàm I tương ứng với điều kiện biên (2.2) thừa u( x)   Nhưng để đạt điều nhận hàm ứng tuyển phải có: Tiếp đến, tiến hành thay u( x) u( x)  ( x) u '( x) u '( x)   '( x) (2.1), nhận đại lượng khác J hàm 10  dJ ( ) dJ ( )  0 d d   0 Xem (2.5) x , u   , u '  ' biến độc lập hàm dấu tích phân F, đạo hàm (2.4) theo  dạng: Bản tin Khoa học Công nghệ Số 1/2019 Newsletter of Science and Technology No 1/2019 b F ( x, u   , u '   ') x dJ ( ) F ( x, u   , u '  ') (u   )     a d x  (u   )    F ( x, u   , u '  ') (u '  ')   dx (u '  ')   x  (u   )  (u '  ') 0  '   (Sử dụng kết quả:  ; ; ) Do đó: b  F ( x, u   , u '   ') dJ ( ) F ( x, u   , u '  ')      '  dx a d (u   ) (u '  ')   Từ điều kiện (2.5): b  F ( x, u, u ') dJ ( ) F ( x, u, u ')      '  dx  a d   0 (u ')  (u )  Hay: b   F ( x, u, u ')  F u a u' Fu  (Ở đây: ( x, u, u ') ' dx  (2.6) F ( x , u, u ') F ( x , u, u ') ; Fu '   (u )  (u ') ) Biến đổi tích phân thứ hai (2.6): b b  dF ( x, u, u ')  b Fu ' ( x, u, u ') ' dx   Fu ' ( x, u, u ')d   Fu ' ( x, u, u ') a     u '  dx a a a dx   b b  F ( x, u, u ') a  Vì (a)  (b)  nên u ' b  dF ( x, u, u ')  Fu ' ( x, u, u ') ' dx      u '  dx a a dx  Do đó: (2.6) trở thành:  b dF ( x, u, u ')   Fu ( x, u, u ')  u '   dx  a dx   b Đến đây, sử dụng (2.7) cho hàm bổ đề quan trọng (Dubois–Reymond lemma) điều kiện: làm tảng cho kỹ thuật [4], là: Cho  ( x) ( x)  x = a x = b, liên tục (kể đạo hàm có bậc cần thiết), hàm liên tục b đoạn [a,b] Nếu ( x) , hàm mà thỏa mãn   ( x ) ( x )dx  a đó:  ( x)  11 Bản tin Khoa học Công nghệ Số 1/2019 Newsletter of Science and Technology No 1/2019 Bây giờ, dựa bổ đề này, biểu thức (2.7) dẫn tới phương trình gọi phần chuỗi khai triển Taylor, ký hiệu  F : ‘‘phương trình Euler-Lagrange’’ đơn giản gọi ‘‘phương trình Euler’’ Fu ( x , u , u ')  dFu ' ( x , u , u ')  0, dx F  F F ( x, u, u ') u  ( x, u, u ') u '  Fu u  Fu ' u ' u u ' (2.9) axb (Ở có tương tự toán vi (2.8) Lưu ý: u( x) cho trước, định nghĩa lượng biến đổi u( x) thay đổi ( x) ký hiệu bởi: dF (u, v )  phân, là: 2.2 Một số tính chất biến phân - Với hàm  u  ( x) - Tương ứng với thay đổi u, phiếm hàm, ví dụ F ( x, u, u ') thay đổi lượng F F  F ( x, u  , u '  ')  F ( x, u, u ') Bây giờ, tiến hành khai triển F ( x, u  , u '  ') lân cân F ( x, u, u ') theo bậc   ' : Taylor  ( F1  F2 )   F1   F2 (a) (2.10) Chứng minh: (F1  F2 )  (F1  F1  F2  F2 )  (F1  F2 )   F1  F2  ( F1.F2 )  F1 F2  F2 F1 (2.11) (b) Tương tự, định nghĩa:  u '   '( x )  u ''   ''( x ); F F du  dv u v ) Chứng minh: (F1.F2) (F1 F1)(F2 F2) F1.F2  F1F2  F2F1  F  F  F  F F  1 2  F2  (c) F2 (2.12) Chứng minh:  F1  F1   F1 F1 ( F1   F1 ) F2  F1 ( F2   F2 )    F2 ( F2   F2 )  F2  F2   F2 F2   F2 F1  F1 F2 F2 F1  F1 F2  F22  F2 F2 F22 (Bỏ qua lượng vô bé F2 F2 ) (d) Tính giao hốn tốn tử vi phân biến phân d  du  ( u)     dx  dx  Do đó: F  Fu ( x, u, u ')()  Fu' ( x, u, u ')( ') VCB Từ đó, định nghĩa biến phân cấp phiếm hàm F thành 12 ( u)'   u ' (2.13) Chứng minh: d d d  du  ( u )  ( )     '   u '     dx dx dx  dx  Bản tin Khoa học Công nghệ Số 1/2019 Newsletter of Science and Technology No 1/2019 Cũng vậy: Theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli,   u   x ( u )    x    ux       ( u )    u    u , y  y   y   (2.14) (e) Tính giao hốn tích phân phương trình vi phân chủ đạo dầm chịu uốn: d2y  M ( x)  dx (3.1) : E môđun đàn hồi, I mơmen EI qn tính mặt cắt ngang mặt phẳng uốn, L chiều dài dầm xác định biến phân Điều kiện biên toán: b Cho I   F ( x , u , u ') dx a  y (0)    y ( L)  Ta có: b b a a  I    F ( x , u, u ') dx    F ( x , u , u ')dx (2.15) Vì tốn tử Với tốn tại, M0 giá trị tải trọng cho trước số Do  khơng liên quan đến biến M ( x)  M (3.1) trở thành: x biểu thức tính tích phân nên tốn tử  (3.2) EIy ''  M đưa vào dấu tích phân Nghiệm phương trình (3.3): Một số ứng dụng biến phân y( x)  kỹ thuật 3.1 Bài toán dầm đàn hồi chịu uốn 3.1.1 Dầm đơn giản, chịu tác dụng mômen tập trung hai đầu Xét dầm đơn giản, chịu tác dụng mômen tập trung M0 hai đầu dầm hình 3.1 [4] (3.3) M0 x( x  L) EI (3.4) - Bài toán giải theo lý thuyết biến phân sau: Năng lượng toàn phần (bỏ qua ảnh hưởng lực dọc lực cắt (Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli)): L  EIy '  I U W     M y  dx   (3.5) Theo nguyên lý bảo toàn lượng (bỏ qua ảnh hưởng phần lượng Hình 3.1: Dầm đàn hồi chịu tác dụng mômen tập trung - Giải toán theo sức bền vật liệu: từ, nhiệt, điện,…): I 0 Hay 13 Bản tin Khoa học Công nghệ Số 1/2019  L Newsletter of Science and Technology No 1/2019 (3.6) L Theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, phương trình vi phân chủ đạo dầm chịu Đối với tích phân đầu tiên:  - Giải toán theo sức bền vật liệu: L  EIy '2   M y  dx   EIy '  y ' dx  M 0 y  0    uốn: L EIy '  y ' dx   EIy ' d ( y ) L L  EIy '  y   EIy ''  ydx Từ đó: L qn tính mặt cắt ngang mặt L  EIy '' M   ydx  0 EIy '  y   d2y  M ( x)  dx (3.11) đây: E môđun đàn hồi, I mômen EI (3.7) phẳng uốn, L chiều dài dầm Điều kiện biên tốn: Phương trình (3.7) tồn khi:  y  x = x = L  y (0)    y ( L)  (3.8) Với toán tại, q giá trị tải EIy '' M  0, (0  x  L) (3.9) (3.9) phương trình Euler theo lý trọng cho trước số Do M ( x)  thuyết tính tốn biến phân phương trình vi phân cân dầm Giải phương trình (3.9), kết hợp điều kiện biên hai đầu dầm (3.8) (không tồn chuyển vị), ta được: M0 x ( x  L) EI (3.10) Kết (3.4) (3.10) trùng 3.1.2 Dầm đơn giản, chịu tác dụng tải phân bố Xét dầm đơn giản, chịu tác dụng lực phân bố q hình 3.2 [5] Nghiệm y( x)  q ( Lx  x ) (3.11) trở thành: q ( Lx  x ) (3.13) EIy ''  (Sức bền vật liệu) y( x)  (3.12) phương trình qx   x  Lx  L3  24 EI (3.13): (3.14) - Bài tốn giải theo lý thuyết biến phân sau: Năng lượng toàn phần (bỏ qua ảnh hưởng lực dọc lực cắt (Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli): L  EIy ''  I U W     qy  dx   (3.15) Theo nguyên lý bảo toàn lượng (bỏ qua ảnh hưởng phần lượng từ, nhiệt, điện,…): Hình 3.2: Dầm đàn hồi chịu tác dụng tải trọng phân bố 14 I 0 Bản tin Khoa học Công nghệ Số 1/2019 Newsletter of Science and Technology No 1/2019 Hay: L  EIy ''2    qy dx   0  0  EIy '' y '' q y  dx   L (3.16) Đối  L với tích phân đầu tiên: L EIy ''  y '' dx   EIy '' d ( y ') L L  EIy ''  y '   EIy '''  y ' dx 0 L L L  EIy ''  y '  EIy '''  y   EIy ( IV ) ydx Do đó, (3.16) trở thành: L L EIy ''  y '  EIy '''  y   L  EIy ( IV )  q   ydx  (3.17) Phương trình (3.17) tồn khi: Tại x = x = L: EIy ''  y 0 EIy ( IV )  q  0, Hình 3.3: Thanh chịu tải dọc trục L L  EIy ''  y '   EIy ''' d ( y ) - Lời giải toán theo phương pháp tích phân trực tiếp: Phương trình vi phân cân cho toán sau: d 2u( x ) q E  dx A Hay: (3.18) (0  x  L) d 2u( x ) q  dx EA (3.19) phương trình Euler theo lý thuyết tính tốn biến phân phương trình vi phân cân dầm (sức  x   u(0)    du  x  L  EA dx ( L)  P (3.23) Tích phân hai lần phương trình (3.22) bền vật liệu) Kết giải phương trình (3.19) với điều kiện biên (3.18) chuyển vị và dùng điều kiện biên (3.23), ta được: u( x )   mômen gối không tồn tại, ta được: qx   x  Lx  L3  24 EI (3.22) Điều kiện biên toán: (3.19) y (3.21) (3.20) Kết (3.14) (3.20) trùng 3.2 Bài toán chịu tác dụng lực dọc trục Xét có mặt cắt ngang khơng q q x  Lx EA EA (3.24) - Lời giải toán theo phương pháp biến phân: Năng lượng toàn phần thanh: L  EAu '  I U W     qu  dx   (3.25) đổi A, sơ đồ liên kết chịu lực dọc trục q hình 3.3 [5] 15 Bản tin Khoa học Cơng nghệ Số 1/2019 Theo nguyên lý bảo toàn lượng (bỏ qua ảnh hưởng phần lượng Newsletter of Science and Technology No 1/2019 số hình 3.4 [5] Gọi T lực kéo sợi dây, ta có: từ, nhiệt, điện,…): - I Hay  L Năng lượng toàn phần dây: I U W 0 Ở : U lượng biến dạng L  EAu '   qu  dx    EAu '  u ' q u  dx  0    Đối với tích phân đầu tiên: L dây, xác định 2   L T  dy   dy    U   T     dx     dx 0 dx  dx      (3.32) L (3.26)  L EAu '  u ' dx   EAu ' d ( u ) Và W công ngoại lực, tính L L  EAu '  u   EAu ''  udx L W    w0 ydx 0 Từ đó: L I  (3.27) L Phương trình (3.27) tồn khi: u  I 0 EAu '  x = L: (3.29) EAu ''  q  (3.30) Hay  L  T dy  L dy dy       w0 y dx   T      w0 y dx  thuyết tính tốn biến phân   dx     dx   dx   (3.35) phương trình vi phân cân Đối với tích phân (3.35): (sức bền vật liệu) Lời giải (3.30) hoàn toàn giống (3.22)  T  dy 2      w0 y dx   dx   (3.34) Theo nguyên lý bảo tồn lượng: (3.28) (3.30) phương trình Euler theo lý (3.33) Do (3.31) viết lại: L  EAu '' q   udx  0 EAu '  u   Tại x = 0: (3.31)  L L  dy   dy   dy  T      dx   T   d ( y )   dx   dx   dx  L 3.3 Bài toán dây chịu tác dụng lực phân bố ngang L d y  dy   T    y   T    ydx  dx  0  dx  Do đó, (3.35) trở thành: L Hình 3.4: Dây chịu kéo lực ngang phân bố Cho sợi dây có chiều dài L, cố định hai đầu, dây chịu tác dụng tải trọng ngang đồng phẳng w0 16 L d y L  dy  T    y   T    ydx   w0 ydx  0  dx  0  dx  Hay L L  d y    dy  T    y   T    w0   ydx  0  dx    dx   (3.36) Bản tin Khoa học Công nghệ Số 1/2019 Newsletter of Science and Technology No 1/2019 Phương trình (3.36) tồn khi: Kết luận Tại x = x = L: Tính toán biến phân y 0 (3.37)  d2y  T    w0   dx  ứng dụng phổ biến việc thiết lập phương trình chủ đạo cho toán giá trị biên Từ phương (3.38) trình chủ đạo tiến (3.38) phương trình Euler theo lý hành tìm nghiệm giải tích cho thuyết tính tốn biến phân tốn lời giải xấp xỉ Do đó, ứng phương trình vi phân cân dây dụng tính tốn biến phân việc Lời giải giải tích phương trình (3.38): y w0 x L  x 2T giải toán kỹ thuật quan trọng hữu ích (3.39) TÀI LIỆU THAM KHẢO J N Reddy (1993), An introduction to the finite element method, McGraw-Hill, Inc E Ventsel and T Krauthammer (2001), Thin Plates and Shells (Theory, Analysis, and Applications), Marcel Dekker, Inc Abdusamad A Salih (2004), Finite element methods in engineering, Lecture notes, Department of Aerospace Engineering Indian Institute of Space Science and Technology, India E Miersemann (2012), Calculus of variations, Lecture notes, Department of Mathematics Leipzig University T Senjuntichai and T Pothisi (2013), Finite element method for civil engineers, Lecture notes - Chulalongkorn University 17 ... quan đến biến M ( x)  M (3.1) trở thành: x biểu thức tính tích phân nên tốn tử  (3.2) EIy ''  M đưa vào dấu tích phân Nghiệm phương trình (3.3): Một số ứng dụng biến phân y( x)  kỹ thuật 3.1... thuyết tính tốn biến phân tốn lời giải xấp xỉ Do đó, ứng phương trình vi phân cân dây dụng tính tốn biến phân việc Lời giải giải tích phương trình (3.38): y w0 x L  x 2T giải toán kỹ thuật quan... công cụ tiếp tục kiện biên (Hình 1): phát triển xem kỹ thuật quan trọng nhiều nhánh kỹ thuật vật lý Biến phân cấp phiếm hàm 2.1 Định nghĩa biến phân cấp phiếm hàm Xét phiếm hàm trường hợp đơn giản