trờng THPT Tống duy tân đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tổ : Toán - tin Môn Toán. Lớp 12. Năm học: 2010 2011 Thời gian: 180 phút. Ngày 12 tháng 10 năm 2010. Câu I. (4,5 điểm) Cho hàm số 1 (1) 1 x y x + = 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2. Tìm m để đờng thẳng y x m= + cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( O là gốc toạ độ). Câu II. (6 điểm) 1. Giải phơng trình : 4 3 sin cos tan cot x x x x = + . 2. Giải hệ phơng trình : 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x + + = + + = + . 3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: 3 cos cos cos tan tan tan 2 2 2 sin sin sin A B C A B C A B C + + + + + = + + . Câu III. (3,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đờng thẳng MN và AC. Câu IV. (4 điểm) 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2010 chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đó bằng 3 . 2. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 6 6 0x y x y+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2( 3 1) 2 6 16 xy x y P y x x y + = + + + . Câu V. ( 2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 1), đờng phân giác trong của các góc B, C lần lợt có phơng trình là : 2x y + 1 = 0 và 3x 2y - 3 = 0 . Lập phơng trình đờng thẳng chứa cạnh BC. .Hết . trêng THPT Tèng duy t©n ®¸p ¸n ®Ò thi chän ®éi tuyÓn häc sinh giái Tổ : Toán - tin Môn Toán. Lớp 12 Năm học: 2010 - 20111 Câu ý Nội dung Điểm I 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số )( 1 1 H x x y + = 2.5 TXĐ: { } 1\ = D 0.25 Sự biến thiên 1 1 1 lim = + + x x x , 1 1 1 lim = + x x x suy ra đờng thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 0.25 1 1 1 lim 1 = + x x x , 1 1 1 lim 1 = + + x x x suy ra đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị h/số 0.25 2 2 ' 0 1. ( 1) y x x = < 0.5 Bảng biến thiên x 1 + y - - y 1 + 1 0.25 Hàm số nghịch biến trên các khoảng : )1;( và );1( + 0.25 Hàm số không có cực trị 0.25 Đồ thị * Điểm đặc biệt : 10 == yx . 10 == xy * Vẽ * Nhận xét : Đồ thị nhận điểm I (1 ; 1) lầm tâm đối xứng 0.5 2 Tìm m để đờng thẳng mxy += cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( O là gốc toạ độ) 2 Phơng trình hoành độ giao điểm của đờng thẳng (D) mxy += và đồ thị (H) là : mx x x += + 1 1 0.5 2 1 ( ) ( 2) ( 1) 0 (1) x f x x m x m = + + = 0.25 Đờng thẳng (D) cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi phơng trình (1) có hai ngghiệm phân biệt khác 1 0.25 2 2 0 ( 2) 4( 1) 0 8 0 (1) 0 2 0 m m m m f > + + > + > 0.25 Khi đó );(;);( 2211 mxxBmxxA ++ trong đó 21 ; xx là nghiệm phơng trình (1) 0.25 suy ra = =+ 1 1 21 21 mxx mxx Tam giác OAB vuông tại O khi 0)(20))((0. 2 21212121 =+++=+++= mxxmxxmxmxxxOBOAOBOA 2 2( 1) (2 ) 0 0 2m m m m + + = = Vy khụng tn ti m . 0.5 II 1 Giải phơng trình : )1( cottan 4 cossin3 xx xx + = 2 ĐK xác định : (*); 2 02sin Zkkxx . 0.5 Khi đó phơng trình (1) xxx 2sincos 2 1 sin 2 3 = 0.5 xx 2sin) 6 sin( = Zk kx kx += += ; 2 18 7 2 6 0.5 Đối chiếu với điều kiện (*) ta có nghiệm phơng trình là: 2 6 ; 7 2 18 x k k Z x k = + = + 0.5 2 Giải hệ phơng trình 2 Hệ đã cho tơng đơng với: 2 2 2 ( ) 2 9 3 3 2 x xy x x xy x + = + = + 2 2 2 3 3 2 9 2 x x x x + + = + ữ 4 3 2 3 12 48 64 0 ( 4) 0 0 4x x x x x x x x + + + = + = = = 1 *) x = 0 không thỏa mãn hệ phơng trình *) x = - 4 thì y = 17 4 . Vậy hệ đã cho có nghiệm 17 ( ; ) 4; 4 x y = ữ 1 3 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có 2 Ta có 2 2 2 3 cos cos cos 2 cos cos cos 2 2 2 A B C A B C + + + = + + ữ Và sin sin sin 4 cos cos cos 2 2 2 A B C A B C+ + = 1 Do đó vế phải của đẳng thức đã cho là: VP = cos cos cos 1 2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C B C A C B A ữ + + ữ ữ 0.5 = sin sin sin 1 2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 B C A C B A B C A C B A + + + ữ + + ữ ữ = 0.5 = sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 B C C B A C C A B A A B B C A C B A + + + ữ + + ữ ữ = tan tan tan 2 2 2 A B C + + = Vế Trái (ĐPCM) III 3,5 Gọi P là trung điểm của SA. Ta có MP là đờng trung bình của tam giác EAD nên MP song và bằng 1/2 đoạn AD, suy ra MPCN là hình bình hành, suy ra MN // PC nên MN // (SAC). 1 Mặt khác, dễ có BD (SAC) nên BD MN. 0,75 Vì MN // (SAC) nên d(MN; AC) = d(MN;(SAC)) 0,75 = d(N; (SAC)) = 1 2 d(B; (SAC)) = 1 4 BD = 2 4 a Vậy khoảng cách giữa MN và AC bằng 2 4 a . 1 IV 1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2010 chữ số mà tổng các chữ số của chúng bằng 3 2.0 Ta có 3 = 2 +1 = 1 + 1 +1 0.25 số tự nhiên gồm 2010 chữ số mà tổng các chữ số của chúng bằng 3 gồm các loại sau: 0.25 Số gồm một chữ số 3 và 2009 chữ số 0 Loại này có 1 số 0.25 Số gồm 1 chữ số 2 , 1 chữ số 1 và 2008 chữ số 0 Chọn số cho vị trí dầu tiên ta có 2 cách chọn ( 1 hoặc 2) Xếp số còn lại vào 2009 vị trí ta có 2009 cách xếp Loại này có 2 .2009 số 0.25 0,25 Số gồm 3 chữ số 1 và 2007 chữ số 0 Chọn số cho vị trí dầu tiên ta có 1 cách chọn ( số 1) Còn 2 số 1 xếp vào 2009 vị trí, số cách xếp là: 2 2009 C Loại này có : 2 2009 C 0.25 0,25 Vậy có tất cả là : 2 2009 1 2.2009 1. 2021055.C + + = 0.25 D S C B A M P N E 2 Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 6 6 0x y x y+ + + = . 2 Từ giả thiết ta có: 2 2 1 3 1 2 2 x y + + = ữ ữ , nên tồn tại [ ] 0; 2a sao cho 1 sin 2sin 1 2 3 2cos 3 cos 2 x a x a y y a a = = + + = = 0,5 Khi đó [ ] 2 2 2 (2sin 1)(2cos 3) 3(2sin 1) (2 cos 3) 1 1 sin 2 (2cos 3) (2sin 1) 2(2sin 1) 6(2 cos 3) 16 2 cos 2 a a a a a P a a a a a + + + + = = + + + + + + 0,5 Gọi m là 1 giá trị của P, tức là tồn tại a sao cho 1 sin 2 cos 2 sin 2 1 2 2 cos 2 a m m a a m a + = = + 0,5 Để tồn tại a, ta phải có : m 2 + 1 2 (1 2m) 2 0 m 4 3 . Vậy maxP = 4 3 và minP = 0. Nếu học sinh giải theo cách khác thì cho điểm nh sau: - Tìm đúng giá trị nhỏ nhất, cho 1 điểm - Tìm đúng giá trị lớn nhất, cho 1 điểm. 0,5 V Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1), đờng phân giác trong các góc B, C lần lợt có phơng trình là : 2x y + 1 = 0 và 3x 2y - 3 = 0 . Lập phơng trình đ- ờng thẳng chứa cạnh BC. 2 C l A(1;1) B l B 1 A 2 A C Gọi là 1 A điểm đối xứng A với qua đờng phân giác trong góc B. Gọi là 2 A điểm đối xứng A với qua đờng phân giác trong góc C. Khi đó 1 2 ;A A thuộc đờng thẳng chứa cạnh BC 0.25 Xác định toạ độ 1 A Đờng thẳng đi qua A(1;1) vuông góc với B l có phơng trình 032: 1 =+ yx 0.25 = 11 B lH toạ độ 1 H là nghiệm của hệ 1 2 1 0 1 7 ; 2 3 0 5 5 x y H x y + = ữ + = 0.25 1 A đối xứng A với qua B l nên 1 AA nhận 1 H làm trung điểm suy ra 1 3 9 ; 5 5 A ữ 0.25 Xác định toạ độ 2 A Đờng thẳng đi qua A(1;1) vuông góc với C l có phơng trình 0532: 2 =+ yx 0.25 = 22 C lH toạ độ 2 H là nghiệm của hệ 2 3 2 3 0 19 9 ; 2 3 5 0 13 13 x y H x y = ữ + = 0.25 2 A đối xứng A với qua C l nên 2 AA nhận 2 H làm trung điểm suy ra 2 25 5 ; 13 13 A ữ 0.25 Phơng trình đờng thẳng chứa cạnh BC đi qua A 1 và A 2 nên có phơng trình 0.25 3 9 23 41 0 5 5 x y + + − = ÷ ÷ hay 23x + 41y – 60 = 0. . THPT Tống duy tân đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tổ : Toán - tin Môn Toán. Lớp 12. Năm học: 2010 2011 Thời gian: 180 phút. Ngày 12 tháng 10 năm 2010 ®¸p ¸n ®Ò thi chän ®éi tuyÓn häc sinh giái Tổ : Toán - tin Môn Toán. Lớp 12 Năm học: 2010 - 20111 Câu ý Nội dung Điểm I 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ