Phương pháp chọn đại diện giải toán trắc nghiệm – Trần Tuấn Anh

Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Việc tìm đáp án cho toán trắc nghiệm khác so với việc trình bày giải tự luận Giải toán tự luận, phải trình bày lời giải toán theo suy luận mình, cho người đọc hiểu đúng, dựa tảng kiến thức chuẩn mực Với thi toán trắc nghiệm, học sinh không cầøn trình bày lời giải có nhiều cách tiếp cận Không cần xét trường hợp, vài trường hợp đủ chọn đáp án loại khả khác Các suy luận không cần diễn giải, viết ra, viết ý để tìm đáp án nháp! Sau hướng tiếp cận ! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com CHỌN ĐẠI DIỆN GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM Nếu toán với giá trò x  K với giá trò xác đònh x  K I MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ Ví dụ Hàm số y = x − m ( m + 1) x + m3 + có cực đại cực tiểu với x−m giá trò thực m Gọi điểm cực đại cực tiểu hàm số x1 , x2 Khi ta coù : B x1 − x2 = m A x1 − x2 = C x1 − x2 = D x1 − x2 = 2m Cách giải thông thường * y' = x − 2mx + m − ( x − m )2 ; * y ' =  x − 2mx + m2 − = m +1  x1 =    x1 = m +  x − x =  ' = m2 − m2 − =    x = m −1  x = m −1  ( ) Chọn đáp án A Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Cách khác (chọn đại diện) Do toán với số thực m nên ta chọn phần tử đại diện m, chẳng hạn m = Khi hàm số trở thành y = y' = x − 6x + ( x − 3) x − 12x + 28 ; x −3 x = =0  x2 = Ta coù : x1 − x2 = Chọn đáp án A Lưu ý : Ta không chọn m = đáp án A trùng với D ; B trùng với C (tương tự cho trường hợp m = ) x3 − 3x = m2 + m coù ba nghiệm thực tham số Ví dụ Phương trình thực m thỏa mãn : A −2  m  m  B C −1  m  m  −21 D Caùch giải thông thường Xét hàm số y = x3 − 3x ; y ' = x − ; y ' = 3x − =  x = 1 Bảng biến thiên x − + −1 + y' + - −2 Phương trình cho có nghiệm −2  m2 + m   −2  m  Chọn đáp án A Cách giải thông thường x − x = m2 + m  x − x − m2 − m = Để thỏa mãn toán đồ thò hàm số y = x − 3x − m − m có hai Ta có điểm cực trò nằm khác phía so với trục hoành y ' = x − ; y ' = 3x − =  x = 1 Vậy ta cần có y ( −1) y (1)   ( − m2 − m )( −2 − m2 − m )   −2  m  Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Chọn đáp án A Cách khác (chọn đại diện) Nếu m = −2 phương trình trở thành : x =1 x3 − 3x =  x3 − 3x − =   x = −   Loại trường hợp B, D phương trình trở thành : 15 15 x3 − 3x =  x3 − 3x − = (không thỏa) 4 Nếu m=  Loại trường hợp C Chọn đáp án A Ví dụ Các giá trò thực tham số m để m x − mx + (2m − 1) x + m nghòch biến laø B m  C  m  m  hoaëc m  hàm số y= A D m  Cách giải thông thường y ' = mx − 2mx + 2m − TH1: Neáu m = y ' = −1  thỏa mãn toán TH2: Nếu m  , để thỏa mãn toán Ta có ta cần có m=0 thỏa m  m   m0  m − m m −  − m + m  ( )   Vậy m  , chọn đáp án D Cách khác (chọn đại diện) Nếu m=0 hàm số trở thành y = − x ; y ' = −1  Suy mãn toán  Loại trường hợp A, C (do không chứa giá trò m = ) Nếu m = −3 hàm số trở thành y ' = −3x + x −  0, x  y = − x3 + 3x − x + Suy m = −3 ; thỏa mãn toán  Loại trường hợp B Chọn đáp án D Ví dụ Với tất giá trò thực tham số m đồ thò hàm số y = x + ( m + 1) x + coù ba điểm cực trò ? Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com A m  −1 ; B m  −1 ; C m  −1 ; D m  −1 Cách giải thông thường Ta có y ' = x3 + ( m + 1) x = x ( x + m + 1) Để thỏa mãn toán phương trình x + m + = phải có hai nghiệm phân biệt khác Suy : m +   m  −1 Chọn đáp án C Cách khác (chọn đại diện) m = −1 hàm số trở thành y = x + (hàm số có cực trò) Suy m = −1 không thỏa mãn toán  Loại trường hợp B, D (do chứa giá trò m = −1 , làm hàm số có cực Nếu trò) Nếu m=0 hàm số trở thành y = x4 + x2 + ; y ' = x3 + x = x ( x + 1) =  x = Suy m=0 khoâng thỏa mãn toán  Loại trường hợp A Chọn đáp án C Ví dụ Với tất giá trò thực tham số m hàm soá m x − mx + (2m − 1) x + m 1 m B m  2 y= A nghòch biến đoạn C m  0;1 ? D m  Cách giải thông thường y ' = mx − 2mx + 2m − TH1: Neáu m = y ' = −1  Ta có TH2: Nếu thỏa mãn toán m  , ta cần có y '  0, x  0;1  mx − 2mx + 2m −  0, x   0;1  m ( x − x + )  1, x  0;1  m  Xét hàm số , x   0;1 x − 2x + 2 đoạn  0;1 x2 − x + 2x − ; f '( x ) =  x = f '( x ) = − 2 ( x − 2x + 2) f ( x) = Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Ta coù : f ( 0) = ; f ( 0) = Suy : Để thỏa mãn toán ta cần có m f ( x ) = f ( ) = 0;1 Chọn đáp án B Cách khác (chọn đại diện) m=0 Nếu y = − x ; y ' = −1  hàm số trở thành Suy m=0 thỏa mãn toán  Loại trường hợp A, D (do không chứa giá trò m = ) Nếu m =1 hàm số trở thành y = x3 − x + x + ; y ' = x − x + = ( x − 1)  0, x  m =1 Suy không thỏa mãn toán  Loại trường hợp C Chọn đáp án B Ví dụ Cho hàm số y = ax + bx + c ( a  ) x − y' − có bảng biến thieân : + 0 + + + y c Chọn khẳng đònh : A C a0 a0 và b 0 b  Cách giải thông thường Trong khoảng (khoảng Ta có B D a0 a0 ( 0;+ ) ) và b  b 0 y'  neân x = y ' = 4ax3 + 2bx = x ( 2ax + b ) =    2ax + b = Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com a  Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 2ax2 + b = Do haøm số có cưcï trò nên phương trình  ab  x = Ta phải có :  b = b 0 có nghiệm Mà a0 nên phải vô nghiệm Chọn đáp án D Cách khác (chọn đại diện) Trong khoảng (khoảng ( 0;+ ) ) y'  nên a  Loại đáp án A, B a = , b = −2 Xét trường hợp C : cho y = x − 2x vaø c = , ta hàm số ; x = y ' = x − x = x ( x − 1) =   x = −1   x = Suy hàm số cho có ba cực trò Loại đáp án C Chọn đáp án D Ví dụ Cho hàm số y = ax + bx + c ( a  ) có đồ y thò hình bên Chọn khẳng đònh : A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  O C a  0, b  0, c  D x a  0, b  0, c  Cách giải thông thường Ta có x=0 c =  Nhánh cùng, bên phải đồ thò xuống từ trái qua phải nên a  Loại đáp án A B x = y ' = 4ax3 + 2bx = x ( 2ax + b ) =   2 ax + b =  Do hàm số có ba cưcï trò nên phương trình 2ax + b = phải nghiệm phân biệt khác x = Ta phải có : ab  Mà a  nên b  Ta có Chọn đáp án D Cách khác (chọn đại diện) Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com có hai Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Nhánh cùng, bên phải đồ thò xuống từ trái qua phải nên a  Loại đáp án A vaø B a = −1, b = −2 vaø c = , ta y ' = −4 x − x = −4 x ( x + 1) =  x = Xét trường hợp C : cho y = −x − 2x ; hàm số Suy ra, hàm số cho có cực trò Loại đáp án C Chọn đáp án D Ví dụ Với tất giá trò thực tham số m hàm số x−3 đồng biến khoảng ( 2;+ ) ? x+m B m  −2 C −3  m  −2 m  −3 y= A D m  −2 Cách giải thông thường y' = Ta có m+3 ( x + m) Để thỏa mãn toán ta cần có y '  0, x  ( 2; + ) m +   0,  x  2; +  ( )  ( x + m) −m  ( 2; + ) m  −3 m  −3    m  −2 − m  m  −    m+3 Choïn đáp án D Cách khác (chọn đại diện) Nếu m = −2 m = −2 hàm số trở thành y= x−3 x−2 ; y' = ( x − 2) thỏa mãn toán  Loại trường hợp A, B, C (do không chứa giá trò m = −2 ) Chọn đáp án D Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) có đồ thò (C ) hình bên Tìm tất giá trò thực tham số để đường thẳng y = 2m − cắt đồ thò điểm phân biệt có hoành độ lớn (C ) m hai −1 A 3 m5 B  m  C 3 m5 D  m  Traàn Tuaán Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  Suy Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Cách giải thông thường Từ đồ thò ta suy ra, giá trò tham số m thỏa mãn toán :  2m −    2m −   2m  m    2m  10 m  Chọn đáp án B Cách khác (chọn đại diện) - Nếu m = 3, y=0 có giao điểm y = 2m − trở thành y = Đường thẳng với đồ thò ( C ) Suy m = không thỏa mãn đường thẳng toán  Loại trường hợp A, C (do chứa giá trò m = ) y = 2m − trở thành y = y = có hai giao điểm với đồ thò ( C ) , có hoành độ −1 Suy m = không thỏa mãn toán  Loại trường hợp D (do chứa giá trò m = ) - Nếu m = 5, đường thẳng Đường thẳng giao điểm có Chọn đáp án B Ví dụ 10 Các giá trò thực tham số thực m y = mx + ( m − 1) x + − 2m có điểm cực trò : A để đồ thò hàm số m  m   B ( −;0  (1; + ) C  m  D ( −;0 )  (1; + ) Cách giải thông thường TH1: Nếu trò TH2: Nếu m=0 y = − x + , đồ thò hàm số có điểm cực m  , ta coù y ' = 4mx3 + ( m − 1) x = x ( 2mx + m − 1) Để thỏa mãn toán phương trình nghiệm x = vô nghiệm Suy : 2mx2 + m − = m − = m =    m m −  m  − ;0  1; + ( ) ( ) ( )   Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com phải có Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Kết hợp hai trường hợp ta m  m   Chọn đáp án A Cách khác (chọn đại dieän) y = x − ; y ' = x3 =  x = (đồ thò hàm số có điểm cực trò) Suy m = thỏa mãn toán - Nếu m =1 hàm số trở thành  Loại đáp án B, C, D Chọn đáp án A II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Ví dụ Cho log a x = 3, logb x = với a, b số thực lớn Tính P = log ab x A P = 12 B P = 12 C P = 12 D P = 12 (Caâu 42 - Mã đề 101 – THPT QG - 2017) Cách giải thông thường Ta có : P = log ab x = 1 12 = = = log x ab log x a + log x b + Chọn đáp án D Cách khác (Chọn đại diện)  12 a = Chọn   x = Khi P = log 2 = log = ( ) 212  b = (ta dùng máy tính cầm tay để hỗ trợ tính cho nhanh) Chọn đáp án D Ví dụ Cho a = log2 m với m  ; m  vaø A = l og8 ( 8m ) Khi đoù mối quan hệ A vaø a laø : A A = a ( − a ) B A = 3+a C A = 3−a a D A = a ( + a ) Cách giải thông thường Ta có A = l og8 ( 8m ) = l og8 + l og8 m = + l og m = + l og2 m = Vaäy A = 3+a a Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com + l og2 m Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Chọn đáp án B Cách khác (chọn đại diện) Chọn m = ta tính a = log2 m = log2 = ; A = log8 ( 8m ) = log8 32 = Khi ta có : A A = a ( − a ) = C A = 3−a = a B A = 3+a = 3 D A = a ( + a ) = 10 Chọn đáp án B Ví dụ Tìm tập nghiệm S bất phương trình 5x+1 − A S = (1; + ) B S = ( −1; + ) 0 C S = ( −2; + ) D S = ( −; −2 ) Cách giải thông thường 5x +1 − 1   5x +1   5x +1  5−1  x +  −1  x  −2 5 Tập nghiệm bất phương trình S = ( −2; + ) Chọn đáp án C Cách khác (chọn đại diện) - Với x = 50 +1 −  suy ra, loại đáp án A D - Với x = −1 5−1+1 − 1 = − =  suy ra, loại đáp án B 5 Chọn đáp án C Ví dụ Tìm tập nghiệm S bất phương trình l og x2  −1 A ( −; 2 B −2; 2 C −2; )  ( 0; 2 D ( 0; 2 Caùch giải thông thường x  x   x  −1   l og x  −1     x  −2; )  ( 0;   1 −2  x  x  x     4  Chọn đáp án C Cách khác (chọn đại diện) - Với x = l og x2 không xác đònh Suy ra, loại đáp án A B Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 2 1  f ( x ) d ( −x ) =  d ( −x ) = − ( − 1) = −1 Thỏa mãn toán I3 = 1 2 I = −  F ( x ) dx = −  xdx = − 1  x2 = −  −  = Loaïi đáp án D 2 2  Chọn đáp án C * Lưu ý: cách chọn đại diện nhìn trình bày có vẽ dài, thực tế, nhẩm nhanh Ví dụ Biết  f ( x ) dx = vaø f ( x ) hàm số lẻ Khi I = 0  f ( x ) dx coù −1 giá trò A I = B I = C I = −2 D I = Cách giải thông thường Ta có I =  f x dx −1 ( ) Đặt x = −t  dx = −dt ; Đổi caän x =  t = ; x = −1  t = 1 0 Suy I = −  f ( −t ) dt =  f ( −t ) dt = −  f ( t ) dt = −2 Chọn đáp án C Cách khác (chọn đại diện) Ta chọn f ( x ) = x thỏa maõn 1  f ( x ) dx =  xdx = 2x 0 21=2 vaø f x = x ( ) laø haøm số lẻ Khi I = 0 −1 −1  f ( x ) dx =  xdx = 2x −1 = −2 Chọn đáp án C IV MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC Ví dụ Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 = z = 1, z1 + z = Tính z1 − z : A B C Cách giải thông thường Gọi z1 = a + bi; z = c + di , ta coù : Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com D Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com • z1 =  a + b = ; z =  c2 + d = ; (*) • z1 + z = (a + c) + (b + d)i  z1 + z =  (a + c) + (b + d) =  a + 2ac + c2 + b + 2bd + d = Kết hợp với (*) ta : 2ac + 2bd = Lại có : z1 − z = (a − c) + (b − d)i = (a − c) + (b − d) = a − 2ac + c2 + b2 − 2bd + d = − ( 2ac + 2bd ) = − = Choïn đáp án A Cách khác (chọn đại diện) Ta chọn hai số phức z1 , z thỏa mãn giả thiết toán : z1 = 3 + i ; z2 = − i 2 2 Khi     z1 − z =  + i  −  − i  = i =  2   2  Chọn đáp án A Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z − = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 − i ) z + i đường tròn Tính bán kính r đường tròn A r = 2 B r = C r = D r = Cách giải thông thường w −i w −i w +i−2  z−2= −2 z−2= 1− i 1− i 1− i w +i−2 w +i−2  w + i − = z − 1− i  z−2 =  z−2 = 1− i 1− i Ta coù : w = (1 − i ) z + i  z =  w +i−2 = 2 Bán kính r đường tròn cần tìm r = 2 Chọn đáp án A Cách giải thông thường Ta có : w = (1 − i ) z + i  w = (1 − i ) z − (1 − i ) + − i  w = (1 − i )( z − ) + − i  w − + i = (1 − i )( z − )  w − + i = (1 − i )( z − )  w − + i = − i z −  w + i − = 2 Bán kính r đường tròn cần tìm r = 2 Chọn đáp án A Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Cách khác (chọn đại diện) Ta chọn số phức z1, z , z3 thỏa mãn giả thiết toán : z1 = + 2i  w1 = (1 − i )( + 2i ) + i = + i , với điểm biểu diễn w1 M1 ( 4;1) z2 = − 2i  w = (1 − i )( − 2i ) + i = −3i , với điểm biểu diễn w M ( 0; −3)  w = (1 − i ) + i = − 3i , với điểm biểu diễn cuûa z3 = − 2i M3 ( 4; −3) w Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 − i ) z + i đường tròn ( C ) nên điểm M1 , M , M3 thuộc ( C ) Goïi ( C ) : x + y + ax + by + c = , ta có hệ phương trình : 2 4a + b + c = −17 a = −4    − 3b + c = −9  b = 4a − 3b + c = −25 c = −3   Khi đó, bán kính đường tròn ( C ) laø r = + + = 2 2 Chọn đáp án A Ví dụ Cho z số phức số phức có phần thực Tính z −z A z = z D z = B z = C z = Cách giải thông thường Ta có w = số phức có phần thực nên suy ra: w + w = z −z   z −z+ z −z z −z+ z −z 1 + =8  =8  =8 z −z z −z z − z z − z z + z.z z − z z − z z z −z−z =8 z = z z −z−z ( ) (2 z −z−z  0) Lưu ý : z − z − z =  z = z + z Đặt z = a + bi, ( a, b  a + b = a b =  a + b = 2a    a  a   Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ) ta có Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Khi z số thực không âm nên z − z = , vi phạm điều kiện biểu thức z −z Chọn đáp án C Cách khác (chọn đại diện) Ta chọn số phức z thỏa mãn Dễ thấy z = − Khi z = số phức có phần thực z −z Chọn đáp án C Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z + z = Khi : A z số thực nhỏ B z = C Phần thực z số âm D z số ảo Cách giải thông thường Đặt z = a + bi, ( a, b  ) Khi ta coù : a + bi + a + bi =  a + b + a =  a + b = −a   a + b + a + bi =   b = b = a + b = a  b =  b =  a  a   Vậy z số thực nhỏ Chọn đáp án A Cách khác (chọn đại diện) Ta chọn số phức z thỏa mãn Chọn z = thỏa mãn z + z = kiểm tra đáp án z + z = loại đáp án B, C, D Chọn đáp án A Ví dụ Tìm tất cá giá trò thực tham số m để số phức z = m+i có m−i phần thực dương  m  −1 m  A  B m  C −1  m  Cách giải thông thường Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com D m  Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Ta coù z = m + i ( m + i )( m + i ) m2 − + 2mi m − 2m = = = + i m − i ( m − i )( m + i ) m +1 m +1 m +1 Để số phức z =  m  −1 m+i có phần thực dương m −    m−i m  Chọn đáp án A Cách khác (chọn đại diện) Chọn m = z= án C 0+i = −1 (không thỏa mãn toán) nên ta loại đáp 0−i (1 + i ) = i (không thỏa mãn toán) nên 1+ i z= = − i (1 − i )(1 + i ) Chọn m = loại đáp án D ( −2 + i ) −2 + i − 4i = = = − i (thỏa mãn −2 − i ( −2 − i )( −2 + i ) 5 Choïn m = −2 z = toán) nên loại đáp án B Chọn đáp án A Lưu ý : Ta nên sử dụng máy tính cầm tay để tính z , giúp tăng tốc độ xử lý toán Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + = i − z đường thẳng có phương trình : A 2x + 4y + 13 = B 4x + 2y + = C −2x + 4y − 13 = D 4x − 2y + = Cách giải thông thường Đặt z = x + yi, ( x, y  ) Khi ta có  x + + yi = − x + (1 − y ) i  z + = i − z  x + yi + = i − ( x + yi ) ( x + )2 + y = x + (1 − y )  x + 4x + + y2 = x + − 2y + y2  4x + 2y + = Chọn đáp án B Cách khác (chọn đại diện) Ta chọn số phức z = −1 +   i thỏa mãn z + = i − z , điểm biểu diễn z 1 2 M  −1;  Ta kiểm tra đáp án đường thẳng đáp án B qua M Chọn đáp án B Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com V MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ví dụ 11 Cho khối tứ diện tích ( V ) Gọi V ' thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số A V' = V V' V B V' = V C V' = V D V' = V (Đề tham khảo lần Bộ GD&ĐT) Cách giải thông thường Ta có VAM RN V = AM AR AN 1 1 = =  VAMRN = V AB AC AD 2 8 Tương tự ta có : VBM QS = V ; VCPQR = V ; VDNPS = V   V' V ' = V −  V  = V  = V   Chọn đáp án A Cách giải khác (chọn đại diện) Ta xét trường hợp riêng khối tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD đôi vuông góc với có độ dài 2, ta có : V =   1 1  AC AD  AB =  2.2  = ; 2 2   1   1     V ' = V −   AQ AR  AM  = −   1.1  1 =    3   3  2 V'  = = V Chọn đáp án A Ví dụ 10 Cho khối tứ diện ABCD có ba cạnh AB , AC , AD đôi vuông góc tích V Gọi S1 , S2 , S3 theo thứ tự diện tích tam giác ABC , ACD , ADB Khi đó, khẳng đònh khẳng đònh ? Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com A V = V = S1S2 S3 2S1S2 S3 B V = S1S2 S3 C V = 2S1S2 S3 D Cách giải thông thường AD AC AB AC AD AB = Ta có VABCD = Mặt khác : S1S2 S3 = AB AC AB AD AD AC AB AC AD = 2 2 2S1S2 S3 Suy : 6VABCD = 2 S1S2 S3  VABCD = Chọn đáp án D Cách giải khác (chọn đại diện) Ta chọn AB = AC = AD = VABCD = ; S1S2S3 = So sánh đáp án đáp án D thỏa mãn V = 2S1S2 S3 = Chọn đáp án D Ví dụ Cắt khối nón mặt phẳng qua trung điểm đường cao khối nón, ta khối nón nhỏ Tỉ số thể tích khối nón nhỏ khối nón cho baèng : A B C Cách giải thông thường Xét khối nón lớn có chiều cao h, bán kính đường tròn đáy r - Thể tích khối nón lớn laø : V1 = h r - Thể tích khối nón nhỏ : h r  V2 =   = h r 2 24 V2 24 h r = = Suy : V1 h r Chọn đáp án C Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com D Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Cách giải khác (chọn đại diện) Xét khối nón lớn có chiều cao h , bán kính đường tròn đáy r Chọn h = r =2 8 - Thể tích khối nón lớn : V1 = h r = 3 - Thể tích khối nón nhỏ : V2 = h r     = 2  V Suy : = = V1 8 Chọn đáp án C Nhận xét: Về chất hai cách gần nhau, nhờ việc chọn h = r = mà ta nhẩm dễ để dạng tổng quát h r Ví dụ 12 Tính theo a thể tích V khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết AC ' = a A V = 3a3 B V = 3a3 C V = 3a3 D V = a3 27 Cách giải thông thường Gọi x cạnh a x2 = a  x = hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, ta có : 3  a  a3 Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ : V =  =  = 3  3 3a3 Chọn đáp án A Cách giải khác (chọn đại diện) Xét riêng trường hợp hình lập phương có cạnh a = AC ' = 12 + 12 + 12 = Khi thể tích khối lập phương nên đáp án A thỏa mãn toán Chọn đáp án A VI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Ví dụ Trong không A ( 0; −1; ) , B ( 3;0;1) , C ( 2;3;0 ) gian Oxyz, cho tam giác ABC với hai mặt phẳng ( P ) : x + 2y + z − = ; ( Q ) : 2x − y − z + = Gọi H trực tâm tam giác ABC ,  giao tuyến ( P ) ( Q ) Khi có mặt phẳng (  ) qua H chứa đường thẳng  có phương trình : Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com A 7x + 19y + 10z + = B 7x + 19y + 10z − 30 = C 10x + 7y + 19z − 30 = D 10x + 7y + 19z − = Cách giải thông thường Gọi H ( x; y; z ) , ta coù : AH = ( x; y + 1; z − ) ; BH = ( x − 3; y; z − 1) ; AB = ( 3;1; −1) ; AC = ( 2; 4; −2 ) ; BC = ( −1;3; −1) ;  AB, AC = ( 2; 4;10 ) Do H trực tâm tam giác ABC nên ta : AH.BC = − x + ( y + 1) − ( z − ) =    2 ( x − 3) + 4y − ( z − 1) = BH.AC =     AB, AC  AH = 2x + ( y + 1) + 10 ( z − ) = 17  x = − x + 3y − z = −5  −1    17   2x + 4y − 2z =   y =  H  ; − ;1  5  2x + 4y + 10z = 16   z =   Do  laø giao tuyến ( P ) ( Q ) neân u  =  n P , n Q  = ( −1;3; −5) ;    x + 2y + z − = 2x − y − z + = Một điểm thuộc  nghiệm hệ phương trình :  x + z = x =  Vậy điểm M ( 0;0;3)   2x − z = −3 z = Ta choïn y =   Phương trình tắc đường thẳng  : Mặt phẳng ()  17  ; − ;1 , chứa   5  qua H  x y z −3 = = −1 −5 có vectơ pháp tuyến n  =  u  , MH  = ( −7; −19; −10 )  (  ) : 7x + 19y + 10z − 30 = Chọn đáp án B Cách khác (chọn đại diện) Mặt phẳng () qua điểm H chứa đường thẳng  nên () qua điểm thuộc đường thẳng  Một điểm thuộc  nghiệm heä x + z = x =  x + 2y + z − =  Ta choïn y =   2x − z = −3 z = 2x − y − z + = phương trình :  Vậy điểm M ( 0;0;3)   Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trong đáp án có đáp án B thỏa mãn M ( 0;0;3)  (  ) Chọn đáp án B Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( Q ) : 2x − y + z = Giao tuyeán hai mặt phẳng (P) (P) : x = z ; ( Q ) có véctơ phương : A n = (1;0; −1) B n = (1;3;1) C n = (1; −3;1) D n = ( 2;1; −1) Cách giải thông thường Ta coù n P = (1;0; −1) ; n Q = ( 2; −1;1) Giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) có véctơ phương : u = n Q  n P = (1;3;1) Choïn đáp án B Cách khác (chọn đại diện) Giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) đường thẳng  Một điểm 2x − y + z = x = z thuộc  nghiệm hệ phương trình :  Chọn x = y = z =  O ( 0;0;0 )   Choïn x = z =  y =  M (1;3;1)   Một véctơ phương đường thẳng  u = OM = (1;3;1) Chọn đáp án B Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x = + t  đường thẳng ( d ) :  y = + t z =  m thỏa mãn m  − (  ) : x + 2my − mz − = ( t  ) Với giá trò thực tham số đường thẳng ( d ) cắt mặt phẳng (  ) điểm M có tọa độ :   ; ;2  + 2m + 2m   4m + 2m  C  ; ;2  + 2m + 2m  A   4m + 2m  ; ;2  + 2m + 2m   4m − 2m  D  ; ;2  + 2m + 2m  B  Cách giải thông thường Ta tìm giao điểm M, xét phương trình : ( + t ) + 2m (1 + t ) − m.2 − =  (1 + 2m ) t + =  t = − Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 1 (do m  − ) + 2m Traàn Tuaán Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 1 + 4m    x = − + 2m  x = + 2m   2m    y = −  y = + 2m + 2m   z = z =      4m + 2m  Vaäy M  ; ;2  + 2m + 2m  Chọn đáp án C Cách khác (chọn đại diện) Bài toán với giá trò thực m thỏa mãn m  − nên ta xét trường hợp riêng ( ) : x −1 = Ta xét phương trình ( + t ) − =  t = −1 , suy Choïn m =  M (1;0; ) Thế m = vào đáp án cho đáp án C thỏa mãn (cho tọa độ M (1;0; ) ) Chọn đáp án C VII MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Ví dụ Công thức sau công thức tính diện tích tam giác xác? A S= C S= abc 2R p ( p − a )( p − b )( p − c ) ; B S = Pr ; D S = a.ha ; Cách giải thông thường Nhớ công thức S= abc 4R Vậy chọn đáp án A Cách giải khác (chọn đại diện) Trong trường hợp nhớ công thức sau: S = a.ha , ta xác thực Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Xét trường hợp tam giác vuông ba cạnh 3; 4; p= 3+ 4+5 =6 vaø R= S= 3.4 =6 ; Thế vào ba công thức A, C, D (dùng máy tính cho nhanh) A không thỏa mãn Chọn đáp án A Ví dụ Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu Cnk = thức n! k !(n − k )! , ( k, n  ; 1 k  n ) Cnk vaø xác đònh công Trong công thức sau, công thức sai ? A Cnk = Cnn−k B Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 C n Cnk = Cnk−−11 k D nCnk = kCnk−−11 Caùch giải thông thường Nhớ công thức B Ta coù Cnk = Cnk = Cnn−k ; Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 Loại đáp án A n ( n − 1)! n! = k !(n − k )! k ( k − 1)! (n − 1) − (k − 1) ! n ( n − 1)! n = = Cnk−−11 Loại đáp án C k ( k − 1)! (n − 1) − (k − 1) ! k Chọn đáp án D Cách giải khác (chọn đại diện) Ta chọn trường hợp riêng n = 7; k = dùng máy tính cầm tay để kiểm tra công thức, công thức sai chọn Ta có C73 = C77−3 = 35 ; C73+1 = C73 + C73−1 = 56 ; C73 = C73−−11 = 35 (Công thức đáp aùn 3−1 −1 7C = 245  3C A, B, C trường hợp này) = 45 (Công thức đáp án D sai) Chọn đáp án D Ví dụ Trong dãy số sau, dãy số dãy số tăng ? A Dãy số (un ) với C Dãy số (un ) với n +1 n 2n + un = 3n + un = B Dãy số (un ) với D Dãy số (un ) với Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com n +1 3n 2n + un = n+2 un = ; Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Cách giải thông thường + Với đáp án A, xét hiệu Dãy số (un ) n + n +1 − n +1 n   1 1  = 1 + −   − 1 +  =  n +1  n  n +1 n un+1 − un = giảm Loại đáp án A + Với đáp án B, xét thương : n+2 un+1 3n+1 n + 3n n + 1  = = n+1 = = 1 +  n +1 un n +1 n +1 3 n +1 3n u 1   n+1  1 +  = 1 un  +  Dãy số (un ) giảm Loại đáp án B + Với đáp án C, xét hiệu : un+1 − un = ( n + 1) + 2n + 2n + 2n + − = − ( n + 1) + 3n + 3n + 3n + 2 ( 3n + 5) − ( 3n + ) +  1    3−3 3= =3  − − +  3n + 3n +  3 3n +   3 3n +  1 =− −  3n + 3n + Dãy số (un ) giảm Loại đáp án C Chọn đáp án D Cách giải khác (chọn đại diện) Ta chọn với n = 1; n = dùng máy tính cầm tay để kiểm tra + Với đáp án A, xét hiệu u2 − u1 = − = −  2 Loaïi đáp án A Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuaán Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com un+1 32 31 = = =  Loại đáp án B + Với đáp án B, xét thương 32 2 un 31 + Với đáp án C, xét hiệu un +1 − un = − = −  Loại đáp án C 8 Chọn đáp án D Ví P= dụ Bieåu ( cos x − ) tan x A rút gọn biểu thức lượng giác : + 2sin x + sin x thức B − tan x C − tan x D   sin  x +  4  Cách giải thông thường Ta có : cos x − ) tan x (1 − 2sin x − ) tan x ( P= = + 2sin x = − (1 + 2sin x ) tan x + 2sin x + 2sin x = − tan x Chọn đáp án B Cách giải khác (chọn đại diện) Ta chọn với x=0 Giá trò P để kiểm tra đáp án x=0 P= ( cos0 − ).tan = + 2sin + Với đáp án A, ta coù + sin =  Loại đáp án A + Với đáp án B, ta có − tan = Đáp án B trường hợp + Với đáp án C, ta coù − tan =  Loại đáp án C + Với đáp án D, ta coù   sin  +  =  Loại đáp án D 4  Chọn đáp án B Ví dụ Cho hàm soá 9x f ( x) = , x + 9x Neáu a+b=3 f ( a ) + f ( b − ) có giá trò : A B C Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com D Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Cách giải thông thường f (a) = Ta coù 9a ; + 9a 91−a 9a.91−a f ( b − ) = f (1 − a ) = = a = = 1− a a a 3+9 ( + 91−a ) 3.9 + 9 + Suy : 9a f ( a ) + f (b − 2) = + = a + + 9a Chọn đáp án A Cách giải khác (chọn đại diện) Ta chọn với Khi a = 0;b =3 thỏa mãn giả thiết a + b = f ( a ) + f ( b − ) = f ( ) + f (1) = f ( x ) = + =1 12 Chọn đáp án A Sài gòn, năm 2017 Tác giả: Trần Tuấn Anh Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ... = 2 Chọn đáp án A Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Cách khác (chọn đại diện) Ta chọn số phức z1, z , z3 thỏa mãn giả thiết toán :... og2 m = Vaäy A = 3+a a Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com + l og2 m Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Chọn đáp án B Cách khác (chọn đại diện) Chọn m = ta tính a = log2... m2 − m )   −2  m  Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Chọn đáp án A Cách khác (chọn đại diện) Nếu m = −2 phương trình trở thành